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一、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．定积分=+-+⎰-1122512dx xx x x .2．设()()⎰+=0221ln xdt t x f ，则导数()='1f .3．将函数xxe 展开成x 的幂级数后，其中4x 的系数等于 ． 4．交换积分次序()=⎰⎰y ydx y x f dy ,10.5. 微分方程x e y y -=+'满足()10=y 的解为 .二、单项选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．由曲线x y =，0=x ，1=y 围成的平面图形绕y 旋转一周后所成立体的体积等于 [ ](A) 5π (B) 54π (C) 2π (D) π2．下列命题正确的个数是 [ ] (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 1）设()x f 在[)+∞,0上连续且严格大于零，则当+∞→a 时()+∞→⎰adx x f 0．2）若()y x f ,在()00,y x 处的两个偏导()()0000,,,y x f y x f y x ''均存在，则极限()()()y x f y x y x ,lim00,,→也存在．3）若()y x f ,在()00,y x 处取得极小值，则()y x f ,0也在0y 处取得极小值．4）若()00,y x 是可微函数()y x f ,在有界闭区域D 内部的唯一驻点且极小值点，则()00,y x 是()y x f ,在D 上的最小值点． 3．反常积分⎰∞+1dx x p 收敛的充要条件是 [ ](A) 1<p (B) 1>p (C) 1-<p (D) 1->p 4．下列级数收敛的是 [ ](A) ()∑∞=-11n n(B) ∑∞=11cos n n (C) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2212n n n (D) ∑∞=12n n n5．下列命题错误的个数是[ ] (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个1）绝对收敛的级数必然条件收敛． 2）若数列{}n u 单调递减、各项恒正且0lim =∞→n n u ，则交错级数()∑∞=-11n n nu 条件收敛． 3）若()∑∞=-+1212n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 也收敛． 4）若2lim1=+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散，但∑∞=1n n u 可能收敛． 三、计算题（共7小题，每小题6分，满分42分）1．求()⎰-21dx x f ，其中()⎩⎨⎧>≤-=1,1,22x x x x x f 2．判断⎰∞+-02dx xe x的敛散性．若收敛，求其值3．设()y x z 2cos =，求yx z ∂∂∂2 4．设()y x z z ,=由方程zye z x =2所确定，求()0,0,1dz5．求⎰⎰202sin ππxdy y ydx 6．求⎰⎰-Ddxdy x y ，其中(){}21,20,≤≤≤≤=y x y x D7．试求由曲面()22y x e z +-=，422=+y x ，0=z 所围成的封闭立体的体积四、（8分）判定级数()∑∞=-22tan1n nnπ的敛散性．若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛．五、（8分）设有幂级数∑∞=11n n x n，试求：1）该级数的收敛域；2）该级数在收敛域上的和函数．六、（7分）设某产品的生产仅需耗费资本和劳动力两种要素．经统计，该产品的产量Q 与这两种要素投入量L K ,的依赖关系为3231L K Q =．已知资本要素的价格为8，劳动力要素的价格为2．当产量限定为240时，试问：使得总成本最小的资本要素投入量K 与劳动力要素投入量L 各自为多少？七、（5分）设函数()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰-=123dt t f x x x f ，试求()x f ．八、（共2小题，每小题5分，满分10分）1、已知()x f 在()+∞∞-,上连续，试证：()()⎰⎰+=10312121dx x f dx x f ．2、已知()x f 在[]b a ,上连续，()a a f =，且()222a b dx x f b a-=⎰，试证：存在()b a ,∈ξ，使得()()1+='+ξξξf f ．。
对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期 《微积分二》期末考试试卷A课程课序号：CMP124－0～15学号： 姓 名： 成 绩： 班级： 课序号： 任课教师：一、选择题（每小题2分，共14分）： 得分 1．若函数()f x 在区间[a ，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ A ）。
.()().()().()().()()bbb ba aaabbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设)(x f 为连续函数，='=⎰)(,)()(ln 1x F dt t f x F xx则（ A ）。
A.)1(1)(ln 12x f x x f x + B ． )1()(ln xf x f +C.)1(1)(ln 12x f xx f x -D ．)1()(ln x f x f - 3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数 00f(x,y)在点(x ,y )连续的（ D ）。
A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件。
4．设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ C ）。
A ．(,).xf x y dy ⎰⎰B.(,).f x y dy ⎰⎰C.(,).yf x y dx ⎰⎰D.(,).f x y dx ⎰⎰5．函数21212(,xx y c e c e c c -=+为任意常数）为下列二阶常系数齐次线性微分方程（ D ）的通解。
A. 20y y y '''+-= B. 20y y y '''-+=C. 20y y y '''++=D. 20y y y '''--=6．设()1ln(1nn u =-+，则下列结论中正确选项是( B )。
微积分考试题目及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间（-∞，-1）上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：B2. 函数f(x)=x^3-3x的导数为：A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+3答案：A3. 曲线y=x^2+2x+1在点（1，4）处的切线斜率为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案：B5. 曲线y=e^x与直线y=1所围成的面积为：A. 1B. e-1C. 0D. ∞答案：B6. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值为：A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。
答案：6x2. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为______。
答案：1/33. 函数f(x)=ln(x)的反函数为______。
答案：e^x4. 曲线y=cos(x)在x=π/2处的切线方程为______。
答案：x+y=π/2三、计算题（每题10分，共40分）1. 计算定积分∫[0,2] (x^2-2x+1) dx。
答案：∫[0,2] (x^2-2x+1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x] | [0,2] = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/32. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[1,3]上的极值。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9令f'(x) = 0，解得x=1或x=3。
f(1) = -4，f(3) = 1，f(2) = -1。
因此，函数在区间[1,3]上的极大值为1，极小值为-4。
3. 计算曲线y=x^2从x=0到x=1的弧长。
一．填空题（本题总计30分，每小题3分）1. 02. 2π 3. 充分4. y x +25.41 6. ⎰⎰2010)sin ,cos (πθθθrdr r r f d 7. 432 8. 收敛9. 310. 312x x y C e C e -=+ （12,C C 为任意常数）二．（本题总计6分）计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。
dy y y s )24(422⎰--+=4232)642(--+=y y y 18= 三．求下列函数的偏导数（本题总计10分，每小题5分）1．xy y x z cos)sin(2+= 2．dt e y z x y t ⎰-=2 1．x y x y y x xy x z sin )cos(222+=∂∂x y x y x x y z sin 1)cos(22-=∂∂ 2．2x ye xz -=∂∂ 22y x yt ye dt e y z ---=∂∂⎰四．计算下列二重积分（本题总计12分，每小题6分）1．⎰⎰+D22σd y x :D y y x 222=+围成的区域解：原式dr r d ⎰⎰=πθθ0sin 202θθπd r sin 20033⎰= ⎰=πθθ03sin 38d θθπcos )cos 1(3802d ⎰--= πθθ03)cos 3cos (38-=932= 2．dy y x dx x ⎰⎰101332)sin( 解：原式dx y x dy y ⎰⎰=10033)sin( dy x y y041034)sin(⎰=dy y y )sin(413102⎰= 3103)s i n (121dy y ⎰= 103)c o s (121y -=)1c o s 1(121-= 五．（本题总计6分）判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性 ，并说明原因。
解： 221)!()!2()!22(])!1[(lim lim n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ )22)(12()1(lim 2+++=∞→n n n n 41=<1 原级数收敛 六．（本题总计6分）级数∑∞=12sin n n n α是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛，并说明原因。
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
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'
'
∑
∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
2223()d 1d d x y z v x y '
Ω
∑=++-⎰⎰⎰⎰⎰ ................................................2分
21
4
20
3d d sin d 1d d D
r r x y π
π
θϕϕ=+⎰⎰⎰⎰⎰ .............................................3分
11
5
π=
.............................................................................................1分 2. 解答：（1）将()f x 进行周期为2的周期延拓得()F x ，则
1
01(1)d 2a x x -=-=⎰ ................................................................................1分
1
1(1)cos d 0n a x n x x π-=-=⎰ ....................................................................1分
1
1
(1)sin d n b x n x x π-=-⎰1
2dcos x n x n ππ
=
⎰
110022cos cos d x n x n x x n n ππππ=-⎰2(1)n n π
-= ......................................2分 由于()F x 在1x =-处均不连续，故
1
2(1)()1sin n
k f x n x n ππ∞
=-=+∑(11)x -<< ....................................2分
（2）(10)(10)02
(2013)(1)122
F F S S -+++==
==. .............................................2分 3. 解答：收敛半径(1)(2)lim 1(1)n n n R n n →∞++==+，级数1
1
(1)n n x n n +∞=+∑在1±=x 处收敛，故幂
级数的收敛域为[1,1]-。
…………………………………………………………..2分 （方法1）设此幂级数的和函数为()S x ，则
1
()n n x S x n ∞
='=∑，111
()1n n S x x x ∞
-=''==-∑ ……………...……….…2分
将()S x ''在区间(0,)x 上积分，得 ()ln(1)(11)S x x x '=---≤<…………..…...2分
将()S x '在区间(0,)x 上积分，得
1
1(1)ln(1),11,()1,
1.(1)n n x x x x x S x x n n +∞
=--+-≤<⎧==⎨
=+⎩∑..................2分 （方法2）设此幂级数的和函数为()S x ，则
1()n
n x S x n
∞
='=∑l n (1)(11x x =---≤<……………....…...…...4分 将()S x '在区间(0,)x 上积分，得
1
1(1)ln(1),11,()1,
1.(1)n n x x x x x S x x n n +∞
=--+-≤<⎧==⎨
=+⎩∑................2分 五、应用题（8分）
解答：问题可归结为在条件22220
35
x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩下，求函数z （或2z ）的条件极小
值. ………………………………………………………….………………….2分
构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-
令 2222020243020350L
x x L y y L
z z z L x y z L x y z λμλμλμλμ∂⎧=+=⎪∂⎪
∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎪
∂⎪=++-=⎪∂⎩
........................................4分
得驻点(1,1,1)和(5,5,5)--，其中(1,1,1)为最短距离点。
故曲线C 到xOy 面的最短距离为 1. ......................................................2分
六、证明题（6分）
证明： 令(,,)()x F x y z yf z y =-，则曲面()x
z yf y
=切平面的法向量
{,,}{,,1}x y z x n F F F f f f y
''==--
.......................................2分
曲面()x
z yf y
=任意一点(,,)x y z 处的切平面方程为：
()()()()0x
f X x f f Y y Z z y
''-+-
---= .................................2分 方程左端()[()]x x f X
f f Y Z f x
f f y z y y ''''=+---+--()x
f X f f Y Z y
''=+-- 故曲面()x
z yf y
=的所有切平面过定点(0,0,0). .....................................................2分。
