整式及其运算

知识点3 整式及其因式分解一、分类：单项式和多项式统称为整式。

整式可分为单项式和多项式1.单项式：定义：数与字母的积组成的式子，单独一个数或字母也叫单项式。

系数：单项式中的数字因数。

次数：所有字母的指数和。

注意：单独一个字母a 的系数为1，次数为1。

单独一个数字比如3的系数为3次数为02.多项式：定义：几个单项式的和。

项数：含几个单项式是几项式。

次数：次数最高项的次数。

二、计算1.加减：(1)去括号：括号前是+时，去掉括号和括号前的+，括号内各项不变号 括号前是-时，去掉括号和括号前的-，括号内各项要变号(2)合并同类项。

①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

②合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。

2. 乘除：(1)公式：a m .a n =a m+n , (a m )n =a mn , (ab)n =a n b n(2) 计算：单项式乘单项式：系数相乘，相同的字母按照同底数幂的乘法相乘 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项再把结果相加多项式乘多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项再把结果相加 平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （a-b ）2=a 2-2ab+b 2 注意：3.除法：a n ÷a m =a m-n （a ≠0） a 0=1(a ≠0), p paa 1=-(a ≠0) 单项式除以单项式：系数相除，相同的字母按照同底数幂的除法相除 多项式除以单项式：用多项式的每一项去除以单项式再把结果相加第三讲整式（A 卷）一、选择题1. 下列各式计算正确的是（ ）A ．222()a b a b +=+B ．235a a a +=C ．824a a a ÷=D ．23a a a ⋅= 2．下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 5B ． a 2+a 3=a 5C ． （a 3）2=a 5D ．a 3÷a 2=13.下列运算正确的是（ ）A.()236aa = B. 22a a a ⋅= C. 2a a a += D. 632a a a ÷=4. 下列运算正确的是A. (－a 3)2= a 5B. (－a 3)2=－a 6C. (－3a 2)2=6a 4 D . (－3a 2)2= 9a 422222222)()(42)(2)(b a b a ab ab b a b a ab b a b a --+=+-=+-+=+5.下列式子正确的是（ ）A ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－b 2C ．(a －b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b )2＝a 2－ab ＋b 2 6. 计算()23ab 的结果是（ ）A ．6abB ．26a b C ．29ab D ．229a b 7．下列计算中，不正确的是（ ） A ．﹣2x+3x=x B ． 6xy 2÷2xy=3yC ．（﹣2x 2y ）3=﹣6x 6y 3D ． 2xy 2•（﹣x ）=﹣2x 2y 28. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是（ ）A ． M =mnB ． M =n (m +1)C ．M =mn +1D ．M =m (n +1)二、填空1.如图9所示，图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：()127531-+⋅⋅⋅++++n = . （用n 表示，n 是正整数）2. 一件商品的进价为a 元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为 元.3. 如果x=1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是 ．4.单项式35-x y 的系数是 ．5. 为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m 个篮球和n 个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为 元. 6.若m +n =2，mn =1，则m 2+n 2 = ．7.的结果等于 a 2 ．8 .用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n 个图案中共用小三角形的个数是 .三、计算1. 计算：5a ＋2b ＋(3a —2b )； (3)(3)(4)a a a a +-+-2n -15 12 34n7 1 1 2 43 3 n3.请你化简 22236911211x x x x x x x +++÷+--++，再取恰当x 的值代入求值。

初中数学知识归纳整式的概念与运算法则在初中数学中，整式是一个重要的概念，我们经常会遇到它，并且需要了解整式的运算法则。

本文将对整式的概念及其运算法则进行归纳总结，以帮助初中生更好地理解和应用相关知识。

一、整式的概念整式是由常数和变量相乘并加减得到的表达式，其中常数可以是整数、零或有理数，变量表示未知数，通常用字母表示。

整式的例子包括：5x、3x²+2xy、-4a³+7ab-1等。

整式的含义可以通过具体的例子来说明，比如一个多项式P(x)=3x²+2xy-7表示了一个以x为变量的整式，其中3x²表示x的平方项，2xy表示x与y的乘积项，-7表示常数项。

整式可以用来描述各种数学问题，并且在代数、方程解等领域有广泛的应用。

二、整式的运算法则1. 加减运算法则对于整式的加减运算，我们主要使用以下两个法则：- 同类项相加减法则：将同类项（具有相同的变量和相同的指数）的系数相加减，保持变量和指数不变。

例如：对于整式3x²+2xy-7和4x²-3xy+5，可以将同类项相加得到7x²-y-2。

- 去括号法则：对于整式中的括号，可以通过分配律去括号，将整式化简成一个更简单的形式。

例如：对于整式3(x+2)-2(2x-1)，可以应用分配律将其化简为3x+6-4x+2，再进行合并同类项。

2. 乘法运算法则对于整式的乘法运算，我们需要掌握以下两个法则：- 基本乘法法则：将每个项前面的系数相乘，变量相乘的时候，将其指数相加。

例如：对于整式2x²(3x-1)，可以将每一项都乘以2x²，得到6x³-2x²。

- 同类项乘法法则：将同类项的系数相乘，将变量相乘时，保持变量和指数不变。

例如：对于整式(3x-1)(2x+5)，可以将每个项都乘以3x-1，得到6x²+13x-5。

3. 除法运算法则除法运算是整式最复杂的一种运算，通常需要应用因式分解等技巧来进行求解。

整式的基本性质和运算整式是数学中的重要概念，它在代数运算中起着至关重要的作用。

本文将介绍整式的基本性质和运算，帮助中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、整式的定义和基本性质整式是由常数和变量的积及其代数和构成的代数表达式。

例如，3x² + 5xy - 2y³就是一个整式。

整式的基本性质包括：1. 整式的次数：整式中所有项次数的最大值称为整式的次数。

例如，3x² + 5xy - 2y³的次数为3。

2. 整式的系数：整式中每个项的系数即为该项前的数值。

例如，3x² + 5xy - 2y³中，3、5和-2分别为各项的系数。

3. 整式的同类项：整式中具有相同字母和次数的项称为同类项。

例如，3x²和5xy是整式3x² + 5xy - 2y³的同类项。

4. 整式的加减法性质：整式的加减法满足交换律和结合律。

即对于任意整式a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)和a + b = b + a。

二、整式的运算1. 整式的加法：将同类项相加，并保持其他项不变。

例如，将3x² + 5xy - 2y³和2x² + 3xy + 4y³相加，得到5x² + 8xy + 2y³。

2. 整式的减法：将同类项相减，并保持其他项不变。

例如，将3x² + 5xy - 2y³减去2x² + 3xy + 4y³，得到x² + 2xy - 6y³。

3. 整式的乘法：将每个项相乘，并将同类项合并。

例如，将3x² + 5xy - 2y³乘以2x² + 3xy + 4y³，得到6x⁴ + 19x³y + 8x²y² - 6xy⁴ - 8y⁶。

整式及其运算【知识解读】整式加减：1. 代数式的概念代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2. 代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3. 整式的加减（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.（2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数.（3）单项式和多项式统称为整式.（4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项.（5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等. 整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：1. 理解四式（单项式、多项式、整式、n 次m 项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项）2. 掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）.3. 熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）.整式加减的一般步骤1. 根据去括号法则去括号.2. 合并同类项.【例题精讲】【例1】（1）已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式，求mn .（2）已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ，求abc .【例2】（1）先化简，再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+，其中12x =-，y ＝2.（2）已知4m n -=，1mn =-，求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.【例3】已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式，当x ＝2时的值为－17，求当x ＝－2时，此多项式的值.【例4】已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关，求代数式22223(2)(4)a a b b a a b b ---++的值.【练1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式323222(42)a b a b ---的值.【例5】已知2234A x xy cy =-+，23B ax xy =-，222C x bxy y =-+，且23A B C x xy --=-+2y -，求a 、b 、c .【例6】（1）当x ＝2时，代数式31ax bx -+的值等于－17，那么当x ＝－1时，求代数式31235ax bx --的值.（2）已知代数式3ax bx c ++，当x ＝0时的值为2，当x ＝3时的值为1，求当x ＝－3时代数式的值.（3）已知21x x +=，求432222012x x x x +--+的值.【练2】如果210a a +-=，求3222a a ++的值.【例7】倡导“节能减排”，鼓励居民节约用电. 2012年7月1日起，湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度，方案如下：如：小明家3月份用电量为500度，则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=（元）.（1）若小华家4月份电量为100度，则应付费 元，5月用电量为210度，则应付费元，6月份电量为450度，则应付费 元；（2）若小华家7月份的用电量为x 度，请用x 表示应付的电费；（3）若小华家9月份已付电费177.9元，请你求出小华家9月份的用电量；（4）若小华家某月的电费为a 元，则小华家该月用电量属于第几档.【例8】观察下面有规律的三行单项式：x ， 22x ， 34x ，48x ， 516x ， 632x ，……① 2x -， 24x ，38x -， 416x ， 532x -， 664x ，……② 22x ， 33x -， 45x ， 59x -， 617x ， 733x -，……③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为 ；（2）第二行第n 个单项式为 ；（3）第三行第8个单项式为 ；第n 个单项式为 ；【例9】已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++ 是关于x 的恒等式，求1197531a a a a a a +++++的值.【练3】已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式，求24a a +的值.【例10】（1）已知x ，y 为整数，且5|(9)x y +，求证：5|(87)x y +.（2）已知x 、y 、z 均为整数，且11|(725)x y z +-，求证：11|(3712)x y z -+.【跟踪练习】1. 单项式3243x y z -的系数是 ，次数是 .2. 已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式，单项式253n m x y -与该多项式次数相同，则mn ＝ .3. 4243527x x y xy ---是 次 项式，最高次项是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 .4. 多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式，则m ＝ ，n ＝ .5. 已知133m x y +与42n mx y +-是同类项，则m ＝ ，n ＝ ，13423m n x y mx y ++-= .6. 如果2(1)|2|0a b +++=，则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为 .7. 已知两个多项式的和是2521x x -+，其中一个多项式是2235x x --，则另一个多项式是 . 8. 电影院里第一排有a 个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有 .9. 某城市广场中央，有一如图阴影部分所示的花坛，其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米，重叠部分都是边长2米的正方形，圆的半径是r 米，则这个花坛的占地面积为 .10.（1）化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；（2）化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；（3）已知多项式22911A x x =--，2354B x x =++，求(2)A B --.11.（1）2323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--，其中a ＝－2；（2）若2|1||2|1a ab c -+-=-，且a 、b 、c 都为正整数，求65()2ab ab a b c ++--的值.12. 已知m 、n 为正整数，单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式，①试求m 、n 的值；②当x ＝－1，y ＝1时，求此单项式的值.13. 已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项，求代数式2222(236)(39)x x y y m x x y y -+--+的值.14. 已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1，且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项，求m的值.15.（1）多项式531ax bx ++，当x ＝2时，其值为－5，则x ＝－2时，该多项式的值为多少？（2）若241550x x +-=，求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.（3）若331x x -=，求432912372003x x x x +--+的值.（4）已知x ＝2时，多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3，则当x ＝－2时，求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16. 武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤，夹克每件售价80元，T 恤每件售价50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T 恤；②夹克和T 恤按定价的80%付款，现客户要向服装厂购买夹克50件，T 恤x 件（x ＞50）.（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款 元，T 恤需付款 元（用含x 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款 元，T 恤需付款 元（用含x 的式子表示）；（2）若x ＝100，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？（3）若两种优惠方案可同时使用，当x ＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由.17. 观察下面的三个数列：①－1， ＋2， －3， ＋4， －5， ＋6，……②－3， 0， －5， ＋2， －7， ＋4，……③－2， ＋4， －6， ＋8， －10， ＋12，……（1）这三个数列的第n 个数分别是 ；（2）在第一行中是否存在连续的三个数，使得和为－40？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由；（3）是否存在这样的一列，使其中三个数的和为78？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由.18.（1）已知a 、b 为整数，且10n a b =+，如果17|(5)a b -，请你证明：17|n .（2）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数，证明：这个三位数也是11的倍数.。

整式的概念与运算整式是代数中的重要概念，广泛应用于数学和科学领域。

本文将介绍整式的概念和运算规则，并且通过实例进行详细说明，以便读者更好地理解整式的特点和运算方法。

一、整式的概念整式是由常数、变量及它们的乘积和积的和构成的代数式。

整式可以包含一个或多个变量，并且可以对变量进行加、减、乘、除等运算。

一般来说，整式是多项式的一种特殊形式。

1.1 单项式当整式中只包含一个变量的乘积时，称为单项式。

例如：2x，-3xy，4a^2b等都是单项式。

其中，x、y、a、b是变量，2、-3、4是系数。

1.2 多项式当整式中包含多个单项式时，称为多项式。

例如：3x^2 - 2xy + 5是一个多项式。

其中，3x^2、-2xy、5都是单项式。

二、整式的运算整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面将分别介绍各种运算规则，并通过实例进行说明。

2.1 加法和减法整式的加法和减法运算规则与数的加法和减法类似。

只需将同类项(具有相同的变量和相同的指数)的系数相加或相减即可。

例如：3x^2 + 2xy - 5 和 -2x^2 - 3xy + 4 是两个整式，它们可以进行相加运算：(3x^2 + 2xy - 5) + (-2x^2 - 3xy + 4) = (3x^2 - 2x^2) + (2xy - 3xy) + (-5+ 4) = x^2 - xy - 12.2 乘法整式的乘法运算规则是将每一项的系数相乘，并将变量和指数相乘。

例如：(2x + 3)(4x - 5)是一个整式乘法运算，可以按照分配律展开运算：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5) = 8x^2 - 10x + 12x - 15 = 8x^2 + 2x - 152.3 除法整式的除法运算需要借助长除法的方法进行求解。

例如：将12x^2 + 8x + 4除以4x，可以进行如下的除法运算：3x + 1--------------4x | 12x^2 + 8x + 412x^2 + 4x----------4x + 44x + 1-------3所以，商为3x + 1，余数为3。

整式的加减乘除整式是代数表达式的一种形式，由数和字母通过加法、减法、乘法、除法等基本运算符号连接而成。

在数学中，整式的加减乘除是重要的基础知识，本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面对整式的运算进行详细介绍。

一、整式的加法整式的加法是指将两个或多个整式相加的运算。

在进行整式的加法时，需要注意以下两点：1. 同类项相加：同类项是指具有相同字母的指数项，如4x²和3x²就是同类项，可以直接相加。

例如，将3x²+2x²相加，结果为5x²。

2. 系数相加：对于同类项，可以直接将系数相加。

例如，将3x²+2x²相加，结果为5x²。

二、整式的减法整式的减法是指将一个整式减去另一个整式的运算。

在进行整式的减法时，需要注意以下两点：1. 减去一个整式可以转化为加上这个整式的相反数。

例如，将5x²-3x²相减，可以转化为5x²+(-3x²)的运算。

2. 同类项相减：对于同类项，可以直接将系数相减。

例如，将5x²-3x²相减，结果为2x²。

三、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。

在进行整式的乘法时，需要按照分配律和乘法公式进行展开和合并。

例如，将(3x+2)(2x-1)展开乘法运算，结果为6x²+2x-3。

四、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。

在进行整式的除法时，需要使用长除法的方法进行计算。

例如，将6x³+3x²-2x-1除以2x+1，可以通过长除法得到商为3x²+2x-1，余数为0。

综上所述，整式的加减乘除是代数学中基本的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算对于理解和解决复杂的代数问题至关重要。

通过不断练习和巩固，相信大家在整式的运算能力上会有所提升，为解决数学问题提供更加有效的方法和工具。

六年级整式的知识点整式，顾名思义，就是由系数和字母的乘积相加减而成的一种代数表达式。

对于六年级的学生来说，学习整式是数学学习的一项重要内容。

本文将详细介绍六年级整式的知识点，包括整式的定义、展开和合并、常见整式及其运算规则等。

一、整式的定义整式是由字母和数的乘积相加减而成的代数表达式。

整式可以包含常数项、一次项、二次项等，其中常数项只有数字部分，一次项是指字母的次数为1，二次项是指字母的次数为2，以此类推。

二、整式的展开和合并1. 展开整式：展开整式是指将整式进行乘法运算，将每一项相乘后相加得到最终的结果。

例如，将(a + b)(c + d)展开，需要将每一项相乘再相加，得到ac + ad + bc + bd。

2. 合并同类项：合并同类项是指将整式中相同的项进行合并，将系数相加得到最简形式。

例如，合并3x + 2x + 5x，可以将系数相加得到10x。

三、常见整式及其运算规则1. 一次整式：一次整式是指字母的最高次数为1的整式，例如2x + 3。

一次整式的运算规则包括：a. 加减法：将同类项的系数相加减，并保持字母部分不变；b. 乘法：将每一项的系数相乘，并将字母的次数相加。

2. 二次整式：二次整式是指字母的最高次数为2的整式，例如3x^2 + 2x + 1。

二次整式的运算规则包括：a. 加减法：将同类项的系数相加减，并保持字母部分不变；b. 乘法：将每一项的系数相乘，并将字母的次数相加。

3. 整式的乘法运算：将每一项进行乘法运算，并将相同次数的字母进行合并；4. 整式的除法运算：将整式进行约分，将每一项的系数进行除法运算。

四、整式的简化与等式在进行整式的运算过程中，有时需要将整式进行简化或转化成等式的形式。

例如，将2x + 3x + 4x转化成等式的形式，可以得到9x = 0。

五、整式的应用整式在数学中具有广泛的应用，特别是在代数方程和多项式的求解中。

通过学习整式，可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学解题能力。

数学中的整式的加减与乘除整式是数学中的一种基本概念，它是由常数、变量及其指数所构成的代数式。

整式的加减与乘除是数学中常见的运算方式，本文将详细介绍整式的加减与乘除运算方法。

一、整式的加法运算整式的加法是指将两个或多个整式相加的过程。

两个整式相加时，需要将相同指数的变量合并在一起，并对系数进行相加。

例如，将3x² + 2x - 5 和 -2x² - 4x + 3 进行相加，步骤如下：1. 将相同指数的变量合并在一起，即将x²合并，将x合并，将常数项合并。

(3x² - 2x²) + (2x - 4x) + (-5 + 3)2. 对合并后的每项进行系数相加。

x² + (-2x²) = 1x²2x + (-4x) = -2x-5 + 3 = -2因此，3x² + 2x - 5 和 -2x² - 4x + 3 的和为 x² - 2x - 2。

在整式的加法运算中，需要注意变量指数的合并和系数的相加，通过有序的步骤进行计算，可以确保运算的准确性。

二、整式的减法运算整式的减法是指将两个整式相减的过程。

减法运算可以通过加法的方法进行转化，即通过改变被减整式中各项的符号，将减法转化为加法的形式，然后进行整式的加法运算。

例如，将5x³ + 2x² - 7x + 1 和 3x³ - 4x² + x + 2 进行相减，步骤如下：1. 将被减整式的各项符号改变为相反数。

(5x³ + 2x² - 7x + 1) + (-(3x³ - 4x² + x + 2))2. 将改变符号后的整式转化为加法形式。

5x³ + 2x² - 7x + 1 - 3x³ + 4x² - x - 23. 对转化后的整式进行加法运算。