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（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
（江苏专用）2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________.解析y′＝2x e x＋x2e x＝（2x＋x2)e x.答案(2x＋x2）e x2．已知函数f（x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′（1)＝________。
解析由f（x）＝2xf′（1）＋ln x，得f′(x)＝2f′（1）＋错误!，∴f′（1)＝2f′（1)＋1，则f′(1）＝－1。
答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点（0，1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0。
答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研）已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞），且y′＝错误!,设切点为（x0，ln x0），则y′|x＝x0＝错误!，切线方程为y－ln x0＝错误!(x－x0），因为切线过点（0,0），所以－ln x0＝－1,解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e .答案1 e5．若曲线y＝ax2－ln x在点（1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－错误!,所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点（1,a)处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝错误!。
核心考点·精准研析考点一 导数的计算1.下列求导运算正确的是 ( ) A.(sin a)′=cos a(a 为常数) B.(sin 2x)′=2cos 2x C.(cos x)′=sin x D.(x -5)′=- 15x -62.函数f(x)=x 2+ln x+sin x+1的导函数f ′(x)= ( ) +1x +cos x+11x+cos x+1x -cos x +1x+cos x 3.函数f(x)=cosx sinx的导函数f ′(x)= ( )x1tanx1cos 2x1sin 2x4.函数f(x)=√2x +1的导函数f ′(x)= ( )√2x +1 B.√2x+1C.2√2x+1D.√2x+15.设f ′(x)是函数f(x)=cosx e x+x 的导函数,则f ′(0)的值为________.【解析】1.选B.(sin a)′=0(a 为常数),(sin 2x)′=2cos 2x, (cos x)′=-sin x,(x -5)′=-5x -6.2.选D.由f(x)=x 2+ln x+sin x+1得f ′(x)=2x+1x +cos x.3.选′(x)=-sin 2x -cos 2xsin 2x=-1sin 2x.4.选′(x)=(√2x +1)′=[(2x +1)12]′ =12(2x +1)-12(2x +1)′=1√2x+1.5.因为f(x)=cosxe x+x,所以f ′(x)=-sinxe x -cosxe x(e x )2+1=-sinx -cosxe x+1,所以f ′(0)=-1e0+1=0. 答案:0题2中,若将“f(x)=x 2+ln x+sin x+1”改为“f(x)=1-√x +1+√x”,则f ′(x)=________. 【解析】因为f(x)=1-√x +1+√x =21-x,所以f ′(x)=(21-x)′=2'(1-x )-2(1-x )'(1-x )2=2(1-x )2.答案:2(1-x )2考点二 导数的简单应用【典例】1.若函数f(x)=e ax +ln(x+1),f ′(0)=4,则a=________. 2.已知函数f(x)的导函数为f ′(x),且f(x)=2xf ′(e)-ln x,则f ′(e)=_____.3.(2021·苏州模拟)二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,若其导函数为f ′(x)=3x-12,则f(x)=______.【解题导思】序号 联想解题1 由f ′(0)=4,想到求f ′(x),列方程2 由f ′(e)想到求f ′(x)并代入x=e3由二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,想到设函数的解析式为f(x)=ax 2+bx【解析】1.由f(x)=e ax +ln(x+1), 得f ′(x)=ae ax +1x+1,因为f ′(0)=4,所以f ′(0)=a+1=4, 所以a=3. 答案:32.因为f(x)=2xf ′(e)-ln x, 所以f ′(x)=2f ′(e)-1x ,令x=e 得:f ′(e)=2f ′(e)-1e,即f ′(e)=1e.答案:1e3.根据题意,二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax 2+bx, 则有f ′(x)=2ax+b,又由f ′(x)=3x-12,得2ax+b=3x-12,则a=32,b=-12,故f(x)=32x 2-12x.答案:32x 2-12x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其导数f ′(x).1.已知f(x)的导函数为f ′(x),且满足f(x)=x 3+f ′(23)x 2-x,则f(1)=( )B.2 【解析】选C.由f(x)=x 3+f ′(23)x 2-x,得f ′(x)=3x 2+2f ′(23)x-1,所以f ′(23)=43+ 43f ′(23)-1,所以f ′(23)=-1,f(x)=x 3-x 2-x, 所以f(1)=13-12-1=-1.2.函数f(x)=ln x+a 的导函数为f ′(x),若方程f ′(x)=f(x)的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为 ( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,√2)D.(1,√3)【解析】选A.由函数f(x)=ln x+a可得f′(x)=1x,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的0<x0<1,则1x0=ln x0+a(0<x0<1).由于1x0>1,ln x0<0,所以a=1x0-ln x0>1,故有a>1.考点三导数几何意义的运用命题精解读考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.学霸好方法1.注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.(2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还有其他公共点).2.利用导数求曲线的切线方程若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f ′(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:第一步:设出切点坐标P′(x1, f(x1));第二步:写出曲线在点P′(x1, f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f ′(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.已知切点求切线的方程问题【典例】(2021·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为____________.【解析】y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以k=y′|x=0=3,所以曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0. 答案:3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方程的关键是什么提示:关键是确定切点坐标.未知切点求切线的方程问题【典例】已知函数f(x)=x3+x-16,若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为________.【解析】设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0= (-2)3+(-2)-16=-26,f′(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x.答案:y=13x如何从题目条件判断是否知道切点提示:从题目条件的叙述方式判断,一般来说,“过××点”的切线,都是不知道切点.知道切点的叙述方式为“在××点处的切线”.求参数的值【典例】(2021·全国卷Ⅲ)已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )=e,b=-1 =e,b=1=e-1,b=1 =e-1,b=-1【解析】选D.令f(x)=ae x+xln x,=e-1.则f′(x)=ae x+ln x+1,f′(1)=ae+1=2,得a=1ef(1)=ae=2+b,可得b=-1.切线问题中可以用来列出等量关系的依据有哪些提示:(1)切点处的导数为切线斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.1.已知定义在R上的奇函数f(x),当x≤0时,f(x)=x3-2x-m,则曲线在点P(2,f(2))处的切线斜率为( )D.与m的取值有关【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=-m =0,所以m =0,即当x≤0时,f(x)=x3-2x,当x>0时,f(x)=-f(-x)= x3-2x,所以当x>0时,f′(x)=3x2-2,f′(2)=3×22-2=10.2.(2021·吉安模拟)已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有( )B.1【解析】选C.若直线与曲线相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0), 则k=y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1=x 02+x 0+1, 因为y ′=3x 2,所以y '|x=x 0=3x 02, 所以3x 02=x 02+x 0+1,所以2x 02-x 0-1=0,所以x 0=1或x 0=-12,所以过点P(1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,所以共有2条.3.(2021·十堰模拟)若直线y=12x+m 与曲线y=x 3-2相切,则m=________.【解析】y=x 3-2的导数为y ′=3x 2,直线y=12x+m 与曲线y=x 3-2相切,设切点为(s,t),可得3s 2=12,12s+m=s 3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14. 答案:14或-181.设点P 是曲线y=x 3-√3x+23上的任意一点,则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为 ( ) A.[0,π2]∪[5π6,π) B.[2π3,π)C.[0,π2)∪[2π3,π) D.(π2,5π6]【解析】选C.因为y ′=3x 2-√3≥-√3,故切线的斜率k ≥-√3,所以切线的倾斜角α的取值范围为[0,π2)∪[2π3,π).2.如图,y=f(x)是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3处的切线方程为________.【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于-13,即f ′(3)=-13.又g(x)=xf(x),所以g ′(x)=f(x)+xf ′(x),g ′(3)=f(3)+3f ′(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=3f(3)=3,g ′(3)=1+3×(-13)=0,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0. 答案:y-3=03.阅读材料:求函数y=e x 的导函数. 解:因为y=e x ,所以x=ln y,所以x′=(lny )′,所以1=1y ·y′,所以y′=y=e x .借助上述思路,曲线y=(2x -1)x+1,x ∈(12,+∞)在点(1,1)处的切线方程为________.【解析】因为y=(2x -1)x+1, 所以ln y=(x +1)ln (2x -1), 所以1y ·y ′=ln (2x -1)+2(x+1)2x -1,所以y ′=[ln (2x -1)+2(x+1)2x -1](2x -1)x+1,当x=1时,y ′=4,所以曲线y=(2x-1)x+1,x∈(1,+∞)在点(1,1)处的切线方程为2y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案:y=4x-3。
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版第一节 导数的概念及导数的运算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值ΔyΔx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x α f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)；(3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x (g (x )≠0)．[小题体验]1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a xln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x＝－1，所以ex ＝a ，又－1a·e 0x＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 23．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝________.解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：－1或－2564考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1x－ln x . 解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.(3)f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ＝e x(cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2019·泰州检测)若函数f (x )＝2x 在点(a ，f (a ))处的切线与直线2x ＋y －4＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线2x ＋y －4＝0垂直， ∴切线的斜率是12.∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝x12-，∴f ′(a )＝a12-＝12. 解得a ＝4，则f (4)＝4，故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝02．已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为C ，两曲线在点C 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即C (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x ，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3．(2019·扬州模拟)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________．解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，符合题意．答案：(1,3)和(－1,3) 角度三：求参数的值(范围)4．(2018·常州高三期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．解析：设切点为(x 0，bx 0＋ln x 0)，f ′(x )＝b ＋1x ，则k ＝b ＋1x 0，故切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1x(x －x 0)，将(0,0)代入，可得x 0＝e ，则k ＝b ＋1e ，∴k －b ＝1e .答案：1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________． 解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x，所以f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：把x ＝1代入y ＝m x ＋1，得y ＝m2， 则切线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.∵y ′＝－m x ＋12，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－m4.∴切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即mx ＋4y －3m ＝0.∴点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －4－3m |m 2＋42＝|－4－m |m 2＋16＝m ＋4m 2＋16＝m ＋42m 2＋16＝m 2＋8m ＋16m 2＋16＝1＋8mm 2＋16＝ 1＋8m ＋16m≤ 1＋82m ·16m＝2，当且仅当m ＝16m，即m ＝4时取“＝”，故所求最大值为 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－aa ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f (x )＝e x ＋x 2＋sin x 的导函数f ′(x )＝________. 答案：e x＋2x ＋cos x2．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：由f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2x －1， 所以f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y ＝e x在x ＝0处的切线方程为____________． 解析：因为y ′＝e x，所以y ＝e x在x ＝0处的切线斜率k ＝e 0＝1， 因此切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23，当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，所以f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，所以所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________. 解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________. 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：83．(2019·淮安调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， 所以y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14．(2018·无锡期末)在曲线y ＝x －1x(x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：因为y ′＝1＋1x2，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－1x 0，x 0＞0，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，所以切线方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0x 20＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，0； 令x ＝0，得y ＝－2x 0，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2x 0.所以S △OAB ＝12·2x 0x 20＋1·2x 0＝2x 20＋1＝13，解得x 0＝ 5.答案： 55．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2. 答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )＝x 3.设曲线y ＝f (x )在点P (x 1，f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2，f (x 2))，记f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′x 1f ′x 2的值为________．解析：由f ′(x )＝3x 2，得f ′(x 1)＝3x 21，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q(－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′x 1f ′x 2＝3x 213x 22＝14.答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝－a sin x ．设点P 的横坐标为x 0，则f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)·g ′(x 0)＝－1，即2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)·(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.即 sin x 0＝±12，因为x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2338．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，所以y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝－2x 20＋6x 0＋2，所以S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数： (1)y ＝x 2(ln x ＋sin x )； (2)y ＝cos x －x x2； (3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝2x (ln x ＋sin x )＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋cos x ＝2x ln x ＋2x sin x ＋x ＋x 2cos x .(2)y ′＝－sin x －1x 2－cos x －x ·2xx 4＝x －2cos x －x sin xx 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得， f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax . 设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)， g ′(x )＝－1x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34， 所以x 0＝e 34，所以a ＝－1e34＝－e 34-. 答案：－e34-2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线l：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点(0,9)，若直线l是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
第三章 一元函数导数及其应用第一讲 导数的概念及运算1.[2020成都市高三摸底测试]设函数f (x )的导函数为f ' (x ),若f (x )=e x ln x +1x - 1,则f ' (1)= ( ) A.e-3 B.e-2 C.e-1 D.e2.[易错题]已知函数f (x )=f ' (1)x 2+2x +2f (1),则f ' (2)的值为 ( ) A. - 2 B.0 C. - 4 D. - 63.[2020陕西省百校第一次联考]若f (x )=x 3+a 是定义在R 上的奇函数,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是 ( ) A.y =3x - 3 B .y =3x - 2C.y = - 3x - 3D.y = - 3x - 24.[2020广东七校联考]已知函数f (x )=x ln x +a 的图象在点(1,f (1))处的切线经过原点,则实数a = ( ) A .1 B .0 C .1e D. - 15.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x )为偶函数,当x >0时,f (x )=ln x - 3x ,则曲线y =f (x )在点( - 1, - 3)处的切线与两坐标轴围成的图形的面积等于 ( ) A.1 B.34C.14D.126.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f (x )图象的切点为(1, f (1)),则m 的值为 ( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-27.[2020江西五校联考]已知曲线C :y =x e x 过点A (a ,0)的切线有且仅有两条,则实数a 的取值范围是 ( ) A .( - ∞, - 4)∪(0,+∞) B .(0,+∞) C .( - ∞, - 1)∪(1,+∞) D .( - ∞, - 1)8.[2019安徽示范高中高三测试]设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,f ' (x ),g' (x )为其导函数,当x <0时,f ' (x )g (x )+f (x )g' (x )>0且g ( - 3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是 ( ) A.( - 3,0)∪(3,+∞) B.( - 3,0)∪(0,3) C.( - ∞, - 3)∪(3,+∞) D.( - ∞, - 3)∪(0,3)9.[2019福建五校第二次联考]已知函数f (x )={ln(-x +1),x <0,x 2+3x,x ≥0,若f (x ) - (m +2)x ≥0,则实数m的取值范围是 ( )A.(-∞,1]B.[-2,1]C.[0,3]D.[3,+∞) 10.[2020四川五校联考]已知函数f (x )=e x +ax.(1)若曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线x +(e - 1)y - 1=0垂直,求实数a 的值; (2)若对于任意实数x ≥0,f (x )>0恒成立,求实数a 的取值范围.11.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,设函数f (x )的导函数为f ' (x ),若对任意x >0都有2f (x )+ xf ' (x )>0成立,则 ( ) A.4f ( - 2)<9f (3) B.4f ( - 2)>9f (3) C.2f (3)>3f ( - 2) D.3f ( - 3)<2f ( - 2)12.[2019开封市高三模拟]已知函数f (x )=(k +4k )ln x +4-x 2x,k ∈[4,+∞),曲线y =f (x )上总存在两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),使曲线y =f (x )在M ,N 两点处的切线互相平行,则x 1+x 2的取值范围为 ( ) A.(85,+∞)B.(165,+∞) C.[85,+∞) D.[165,+∞)13.[2019辽宁五校联考]设函数f (x )=e 2x - t 的图象与g (x )=a e x +a 2x (a >0)的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数t 的最大值是 ( ) A.e -12 B .e 12C.12eD.2e14.[2020武汉市部分学校质量监测]若直线y =kx +b 是曲线y =ln x 的切线,也是曲线y =e x - 2的切线,则k = .15.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x )=ax sin x +b cos x ,且曲线y =f (x )与直线y =π2相切于点(π2,π2).(1)求f (x );(2)若f (x )≤mx 2+1,求实数m 的取值范围.16.[2019江西红色七校第一次联考]已知函数f (x )=e x (x 2 - 2x +a )(其中a ∈R ,a 为常数,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)设曲线y =f (x )在(a ,f (a ))处的切线为l ,当a ∈[1,3]时,求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.17.[2020陕西省百校第一次联考][新角度题]已知函数f (x )=ln x ,g (x )=2 - 3x (x >0).(1)试判断f (x)与g(x)的大小关系.(2)试判断曲线y=f (x)和y=g(x)是否存在公切线,若存在,求出公切线的方程;若不存在,说明理由.第一讲导数的概念及运算1.C由题意,得f ' (x)=(e x ln x)' - 1x2=e x ln x+e xx− 1x2,所以f ' (1)=0+e - 1=e - 1,故选C.2.D由题意得f (1)=f ' (1)+2+2f (1),化简得f (1)= - f ' (1) - 2,而f ' (x)=2f ' (1)x+2,所以f ' (1)=2f ' (1)+2,解得f ' (1)= - 2,故f (1)=0,所以f (x)= - 2x2+2x,所以f ' (x)= - 4x+2,所以f ' (2)= - 6,故选D.3.B依题意得f (0)=0,即0+a=0,a=0,所以f (x)=x3,则f ' (x)=3x2,所以f ' (1)=3,又f (1)=1,因此曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程是y=3x - 2,故选B.4.A∵f ' (x)=ln x+1,∴f ' (1)=1,又f (1)=a,∴f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y=x - 1+a,又该切线过原点,故0=0 - 1+a,解得a=1,故选A.5.C当x>0时,f ' (x)=1x- 3,因为f (x)是偶函数,所以f ' (x)是奇函数,故曲线y=f (x)在点( - 1, - 3)处的切线的斜率k=f ' ( - 1)= - f ' (1)=2,所以切线方程为y+3=2(x+1),该切线与x轴,y轴的交点分别为(12,0),(0,- 1),所以该切线与两坐标轴围成的图形的面积等于12×1 2×1=14,故选C.6.D解法一∵f ' (x)=1x,∴直线l的斜率k=f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l的方程为y=x -1.g' (x )=x +m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0),则有{x 0+m =1,y 0=x 0-1,y 0=12x 02+mx 0+72,m <0,解得m = - 2.故选D.解法二 ∵f ' (x )=1x ,∴直线l 的斜率k =f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l 的方程为y =x - 1.又直线l 与g (x )的图象相切,则方程组{y =x -1,y =12x 2+mx +72只有一组解,即关于x 的方程12x 2+(m -1)x +92=0只有一个解,则Δ=(m - 1)2 - 4×12×92=0,结合m <0,解得m = - 2.故选D.7.A 对函数y =x e x 求导得y' =e x +x ·e x =(1+x )e x .设切点坐标为(x 0,x 0e x 0),则曲线y =x e x 过点A (a ,0)的切线的斜率k =(1+x 0)ex 0=x 0e x 0x 0-a,化简得x 02- ax 0 - a =0.依题意知,上述关于x 0的二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ=( - a )2 - 4×1×( - a )>0,解得a < - 4或a >0.故选A .8.D 令h (x )=f (x )g (x ),当x <0时,h' (x )=f ' (x )g (x )+f (x )g' (x )>0,则h (x )在( - ∞,0)上单调递增,又f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以h (x )为奇函数,所以h (x )在(0,+∞)上单调递增.由g ( - 3)=0,可得h ( - 3)= - h (3)=0, 所以当x < - 3或0<x <3时,h (x )<0,故选D .9.B 令g (x )=x +3x (x ≥0),则g' (x )=2x +3,所以g' (0)=3,所以函数g (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x ,故函数f (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x.如图D 3 - 1 - 1,画出函数f (x )的图象,切线y =3x ,以及直线y =(m +2)x ,分析可知,为满足f (x ) - (m +2)x ≥0,即f (x )≥(m +2)x ,则0≤m +2≤3,解得 - 2≤m ≤1.故选B .图D 3 - 1 - 110.(1)因为f ' (x )=e +a ,所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f ' (1)=e+a , 因为直线x +(e - 1)y - 1=0的斜率为11-e , 所以(e+a )×11-e = - 1,解得a = - 1.(2)若x =0,则a 为任意实数时,f (x )=e x +ax >0恒成立. 若x >0,f (x )=e x +ax >0恒成立,即当x >0时,a > - e xx 恒成立,设H (x )= - e xx (x >0),则H' (x )= -e x x -e x x 2=(1-x)e x x 2,当x ∈(0,1)时,H' (x )>0,则H (x )在(0,1)上单调递增, 当x ∈(1,+∞)时,H' (x )<0,则H (x )在(1,+∞)上单调递减, 所以当x =1时,H (x )取得最大值. H (x )max =H (1)= - e ,所以a > - e .所以要使当x ≥0时,f (x )>0恒成立,a 的取值范围为( - e ,+∞).11.A 令g (x )=x 2f (x ),则g' (x )=2xf (x )+x 2f' (x ).因为对任意x >0都有2f (x )+xf ' (x )>0成立,则当x >0时,g ' (x )=x [2f (x )+xf ' (x )]>0成立,即函数g (x )=x 2f (x )在x >0时单调递增,由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,得f ( - x )=f (x ),所以g ( - x )=( - x )2f ( - x )=x 2f (x )=g (x ),即g (x )=x 2f (x )为偶函数,则有g ( - 2)=g (2),且g (2)<g (3),所以g ( - 2)<g (3),即4f ( - 2)<9f (3),故选A.12.B f ' (x )=k+4kx− 4x 2 - 1(x >0,k ≥4),由题意知,f ' (x 1)=f ' (x 2)(x 1,x 2>0且x 1≠x 2),即k+4kx 1−4x 12 - 1=k+4kx 2− 4x 22 - 1,化简得4(x 1+x 2)=(k +4k)x 1x 2,而x 1x 2<(x 1+x 22)2,所以4(x 1+x 2)<(k +4k)(x 1+x 22)2,即x 1+x 2>16k+4k对k ∈[4,+∞)恒成立,令g (k )=k +4k ,则g' (k )=1 - 4k 2=(k+2)(k -2)k 2>0对k ∈[4,+∞)恒成立,故g (k )在[4,+∞)上单调递增,所以g (k )≥g (4)=5,所以16k+4k≤165,所以x 1+x 2>165.故x 1+x 2的取值范围为(165,+∞).故选B.13.C 设函数f (x )=e 2x - t 的图象与g (x )=a e x +a 2x (a >0)的图象的公共点为(x 0,y 0),因为f ' (x )=2e 2x ,g' (x )=a e x +a 2,所以2e 2x 0=a e x 0+a 2,所以(e x 0 - a )(2e x 0+a )=0,因为2e x 0+a >0,所以e x 0=a ,所以x 0=ln a.又a e x 0+a 2x 0=e 2x 0 - t ,所以a e ln a +a 2ln a =e 2ln a - t ,化简得t = - a 2ln a ,则t' = - 2a ln a - a 2×1a = - a (1+2ln a ).令t' >0得0<a <e -12,令t' <0得a >e -12,所以t = - a 2ln a 在(0,e -12)上单调递增,在(e -12,+∞)上单调递减,所以当a =e -12时,t = - a 2ln a 取得最大值,最大值为-(e -12)2ln e -12=12e .故选C .14.1或1e 解法一 设直线y =kx +b 与曲线y =ln x 相切于点(x 1,ln x 1),则曲线y =ln x 在点(x 1,ln x 1)处的切线方程为y - ln x 1=1x 1(x - x 1),即y =1x 1x - 1+ln x 1 ①.设直线y =kx +b 与曲线y =e x - 2相切于点(x 2,e x 2-2),则曲线y =e x - 2在点(x 2,e x 2-2)处的切线方程为y - e x 2-2=e x 2-2(x - x 2),即y =e x 2-2x +(1 - x 2)e x 2-2 ②.由题意知①②表示同一直线,所以1x 1=e x 2-2,且 - 1+ln x 1=(1 - x 2)e x 2-2.所以 - 1+ln x 1=1-x2x 1=1-(2-ln x 1)x 1=-1+ln x 1x 1,解得x 1=1或x 1=e .所以k =1或1e .解法二直线y=kx+b与曲线y=ln x相切,则存在x1,使得k=1x1,且ln x1=kx1+b,消去x1,得- ln k=1+b①.直线y=kx+b与曲线y=e x - 2相切,则存在x2,使得k=e x2-2,且e x2-2=kx2+b,消去x2,得k=k(ln k+2)+b②.由①②得k=k ln k+2k - ln k - 1,即(k - 1)(ln k+1)=0,解得k=1或1e.15.(1)由f (π2)=aπ2=π2得a=1.则f ' (x)=x cos x+(1 - b)sin x,由f ' (π2)=1 - b=0得b=1.所以f (x)=x sin x+cos x.(2)令g(x)=mx2+1 - f (x)=mx2 - x sin x - cos x+1,由g(x)≥0得g(2π)=4π2m≥0,所以m≥0.易知g(x)为偶函数,所以只需满足当x≥0时,g(x)≥0即可. g' (x)=2mx - x cos x=x(2m - cos x),下面只讨论x≥0时的情形.当m≥12时,g' (x)≥0,即g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,从而当m≥12时,f (x)≤mx2+1恒成立.当0≤m<12时,因为y=2m - cos x在[0,π2]上单调递增,且当x=0时,y=2m - 1<0,当x=π2时,y=2m≥0,所以存在x0∈(0,π2],使得2m - cos x0=0,因此当x∈(0,x0)时,2m - cos x<0,g' (x)<0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0矛盾.因此当0≤m<12时,f (x)≤mx2+1不恒成立.综上,满足题意的m的取值范围是[12,+∞).16.(1)f ' (x)=e x(x2 - 2x+a)+e x(2x - 2)=e x(x2+a - 2),当a≥2时,f ' (x)≥0恒成立,函数f (x)在区间( - ∞,+∞)上单调递增;当a<2时,令f ' (x)≥0,解得x≤ - √2-a或x≥√2-a,令f ' (x)<0,解得- √2-a<x<√2-a,所以函数f (x)在区间( - ∞, - √2-a],[√2-a,+∞)上单调递增,在区间( - √2-a,√2-a)上单调递减.(2)因为f (a)=e a(a2 - a),f ' (a)=e a(a2+a - 2),所以直线l的方程为y - e a(a2 - a)=e a(a2+a - 2)(x - a).令x=0,得直线l在y轴上的截距为e a( - a3+a),记g(a)=e a( - a3+a)(1≤a≤3),则g' (a)=e a( - a3 - 3a2+a+1),记h(a)= - a3 - 3a2+a+1(1≤a≤3),则h' (a)= - 3a2 - 6a+1<0(1≤a≤3),所以h(a)在[1,3]上单调递减,所以h(a)≤h(1)= - 2<0,所以g' (a)<0,即g(a)在区间[1,3]上单调递减,所以g(3)≤g(a)≤g(1),即直线l在y轴上的截距的取值范围是[ - 24e3,0].17.(1)设F(x)=f (x) - g(x),则F' (x)=1x − 3x2(x>0).由F' (x)=0,得x=3,当0<x<3时,F' (x)<0,当x>3时,F' (x)>0,故F(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以F(x)的最小值为F(3)=ln 3 - 1,且F(3)>0,所以F(x)>0,即f (x)>g(x).(2)曲线y=f (x)和y=g(x)不存在公切线,理由如下.假设曲线y=f (x)与y=g(x)有公切线,切点分别为P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1).因为f ' (x)=1x ,g' (x)=3x2,所以分别以P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1)为切点的切线方程为y=xx0+ln x0- 1,y=3x12x+2 - 6x1.由{1x0=3x12,ln x0-1=2-6x1,得2ln x1+6x1- (3+ln 3)=0.令h(x)=2ln x+6x - (3+ln 3),则h' (x)=2x− 6x2(x>0),令h' (x)=0,得x=3.显然,当0<x<3时,h'(x)<0,当x>3时,h' (x)>0,所以h(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(3)=2ln 3+2 - 3 - ln 3=ln 3 - 1,且h(3)>0,所以h(x)>0,所以方程2ln x1+6x1- (3+ln 3)=0无解,所以曲线y=f (x)与曲线y=g(x)不存在公切线.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
