2016年广东省东莞市高一下学期期末数学试卷与解析答案

第二学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷一．选择题（共12小题，5分/小题，共60分）1．已知34tan =x ，且x 在第三象限，则x cos =（ ） A ．54 B ．54- C ．53 D ．53-2．已知312sin =α，则)4(cos 2πα-=（ ）A ．31-B ．31C ．32-D ．323．要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(π+=x x g 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．若向量a ，b 满足|a |=，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．若31)3sin(=-απ，则=+)23cos(απ（ ）A ．97B ．32C ．32-D ．97-6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，a =2，c =，则C=（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7．等差数列{n a }的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{n a }前6项的和为（ ） A ．﹣24 B ．﹣3 C ．3D ．88．在等比数列{n a }中，若1a =2，4a =16，则{n a }的前5项和5S 等于（ ） A ．30 B ．31 C ．62 D ．649．变量y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（ ）A ．223 B ．5 C ．5 D ．29 10．锐角三角形ABC 的三边长c b a ,,成等差数列，且21222=++c b a ，则实数b 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．（6，7]11．已知*,R y x ∈，且满足xy y x 22=+，那么y x 4+的最小值为（ ） A ．3﹣B ．3+2C ．3+D ．412．如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若=x+y（R y x ∈,），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则21+++y x y 的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．[，]D ．[，]二．填空题（共4小题，5分/小题，共20分） 13．函数43cos 3sin )(2-+=x x x f ，（∈x [0，]）的最大值是 ． 14．在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R ），且=﹣4，则λ的值为 ．15．等比数列{n a }的各项均为实数，其前n 项为n S ，已知3S =，6S =，则8a = ．16．若关于x 的不等式b x x a ≤+-≤43432的解集恰好为[b a ,]，那么a b -= ．三．解答题（共14小题）xy1O17．（10分）已知函数x x x f 2sin )42sin(22)(++=π． （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若函数)(x g 对任意R x ∈，有)6()(π+=x f x g ，求函数)(x g 在[﹣，]上的值域．18．（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(φω（其中22,0,0πφπω<<->>A ），其部分图象如图所示．（I ）求)(x f 的解析式； （II ）求函数)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g 在区间上的最大值及相应的x 值．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若10S =110，且421,,a a a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设数列{n b }满足)1)(1(1+-=n n n a a b ，若数列{n b }前n 项和n T ．20．（12分）某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2000元．甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工一件甲所需工时分别为1h ，2h ，加工一件乙设备所需工时分别为2h ，1h ．A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400h 和500h ，分别用y x ,表示计划每月生产甲，乙产品的件数．（Ⅰ）用y x ,列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．21．（12分）已知在△ABC 中，三条边c b a ,,所对的角分别为A 、B ，C ，向量m =（A A cos ,sin ），n =（B B sin ,cos ），且满足m •n =C 2sin ． （1）求角C 的大小；（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等比数列，且•（﹣）=﹣8，求边c 的值并求△ABC 外接圆的面积．22．（12分）若正项数列{n a }满足：)(,*11N n a a a a n n nn ∈-=++，则称此数列为“比差等数列”． （1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值； （2）设数列{n a }是一个“比差等数列” （i ）求证：42≥a ；（ii ）记数列{n a }的前n 项和为n S ，求证：对于任意*N n ∈，都有2452-+>n n S n ．广东仲元中学2016学年第二学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）DDCCD BACCC BC二．填空题（共4小题）13． 1 ．14．．15．32 ．16． 4 ．三．解答题（共14小题）17．解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=； ..........(5分)（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，则≤sin（2x+）≤1，即×≤g（x），解得≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在[﹣，]上的值域为：[，1]． .........(10分)18．解：（I）由图可知，A=1（1分），所以T=2π（2分）所以ω=1（3分）又，且所以（5分）所以．（6分）（II）由（I），所以==（8分）=cosx•sinx（9分）=（10分）因为，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]故：，当时，g（x）取得最大值．（12分）19．解析：（Ⅰ）由题意知：…..…（4分）解得a1=d=2，故数列a n=2n；…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，…..（8分）则…..（10分）=…（12分）20．解：（Ⅰ）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分 .........（5分）（Ⅱ）设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y由z=3x+2y可得y=﹣x+z，截距最大时z最大．结合图象可知，z=3x+2y在A处取得最大值由可得A（200，100），此时z=800故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．.................(12分)21．解：（1）∵向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），且满足•=sin2C，∴sin（A+B）=2sinCcosC，∴cosC=，∴C=； ...........(4分)（2）∵sinA，sinC，sinB成等比数列∴sin2C=sinAsinB，∴c2=ab，∵•（﹣）=﹣8，∴•=﹣8，∴ab=16，∴c=4，设外接圆的半径为R，由正弦定理可知：2R=∴R=，∴S=． ...........（12分）22．（1）解：一个“比差等数列”的前3项可以是：2，4，； ...........（2分）（2）（i）证明：当n=1时，，∴===，∵a n＞0，∴，则a1﹣1＞0，即a1＞1，∴≥2+2=4，当且仅当时取等号，则a2≥4成立； ...........（7分）（ii）由a n＞0得，a n+1﹣a n=≥0，∴a n+1≥a n＞0，则a n+1﹣a n=，由a2≥4得，a3﹣a2≥1，a4﹣a3≥1，…，a n﹣a n﹣1≥1，以上 n﹣1个不等式相加得，a n≥（n﹣2）+4=n+2（n≥2），当n≥2时，S n=a1+a2+a3+…+a n≥1+4+（3+2）+…+（n+2）≥（1+2）+（2+2）+…+（n+2）﹣2=﹣2=，当n=1时，由（i）知S1=a1＞1≥，综上可得，对于任意n∈N*，都有S n＞． ...........（12分）。

高一下学期期末学业水平考试数学试题一、选择题1．设全集U R =，集合{|13}A x x =-<<， {|1}B x x =<，则()U A C B ⋂=（ ）A. {|13}x x <<B. {|13}x x ≤<C. {|13}x x <≤D. {|13}x x ≤≤ 【答案】B【解析】 由题意得， {|1}U C B x x =≥，所以(){|13}U A C B x x ⋂=≤<，故选B ．2．若lg lg 0a b +=且a b ≠，则函数()x f x a =与()x g x b =的图像（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y x =对称 【答案】B【解析】 由lg lg 01a b ab +=⇒=，即1b a=， 则根据指数函数的图象与性质可知，函数()xf x a =与()1xg x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 对称，故选B ．3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 A. 月接待游客逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】2014年8月到9月接待游客下降，所以A 错；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以选A. 4．运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,则输出M 的值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. －1 【答案】C【解析】试题分析：因为2log 31>， 3log 21<，所以23log 3log 2>，由算法框图可知，运行后输出M 的值为23log 3log 21112M =⋅+=+=． 【考点】算法框图．5．已知空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下能推出“αβ⊥”的是（ ） A. m n ⊥， //m α， //n β B. //m n ， m α⊥， n β⊥ C. m n ⊥， m α⊥， n αβ⋂= D. //m n ， m α⊥， n β⊂ 【答案】D【解析】 有图有跌，对于A 中，平面,αβ可能平行或相交但是不一定垂直，所以是错误的；对于B 中，由于//,m n m α⊥得到n α⊥，又n β⊥，所以//αβ，得不到αβ⊥，所以是错误的；对于C 中， ,,m n m n ααβ⊥⊥⋂=，由此无法得到m 与β的位置关系，因此,αβ不一定垂直，所以是错误的；对于D 中，由于//,m n m α⊥，得到n α⊥，又n β⊂是正确的，故选D ． 6．直线20mx y m +-+=恒经过定点（ ）A. ()1,1-B. ()1,2C. ()1,2-D. ()1,1 【答案】C【解析】 由题意得，直线可化()21y m x +=--，根据直线的点斜式可得，直线过定点()1,2-，故选C ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.12π+ B. 32π+ C.312π+ D. 332π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆锥与三棱锥的组合体（如图所示）则其体积为2111113213123322V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ ，选A8．函数()223,0{2,0x x x f x lnx x +-≤=-+>的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】试题分析：由()0f x =得23,x x e =-=所以零点个数为2，选C ． 【考点】函数零点9．直线2340x y --=与直线()110mx m y +++=互相垂直，则实数m =（ ） A. 2 B. 25- C. 35- D. -3 【答案】D【解析】 由题意得，根据两直线垂直可得()2310m m -+=，解得3m =-，故选D ．10．设函数()cos f θθθ=+，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，则()f θ=（ ）A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】 由角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，可得1sin 22θθ==，所以()1cos 22f θθθ=+=+=，故选A ． 11．已知函数()21log 1f x x x=+-，若()11,2x ∈， ()22,x ∈+∞，则（ ） A. ()10f x <， ()20f x < B. ()10f x <， ()20f x > C. ()10f x >， ()20f x < D. ()10f x >， ()20f x > 【答案】B【解析】 函数()21log 1f x x x=+-在()1,+∞是增函数，（根据复合函数的单调性）， 而()20f =，因为()()121,2,2,x x ∈∈+∞，所以()()120,0f x f x ，故选B ．点睛：本题主要考查了函数的单调性的应用，本题的解答中根据函数的解析式，利用复合函数的单调性的判定方法，得到函数的单调性是解答的关键，同时熟记函数的单调性是解答的重要一环．12．菱形ABCD 中， 60BAD ∠=，点E 满足2DE EC = ，若17•2AE BE = ，则该菱形的面积为（ ）A.92 B. C. 6 D. 【答案】B【解析】 由已知菱形ABCD 中， 060BAD ∠=，点E 满足2DE EC =，若172AE BE ⋅= ，设菱形的边长为3x ，所以()()AE BE AD DE BC CE AD BC AD CE DE BC DE CE ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅2222231717932222x x x x x =-+-==，解得1x =，所以菱形的边长为3，所以菱形的面积为033sin60⨯⨯=，故选B ． 点睛：本题主要考查了平面向量的线性运算，本题的解答中根据向量的三角形法则和向量的平行四边形法则和向量的数量积的运算，得出关于菱形边长的方程，在利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积，其中熟记向量的运算法则和数量积的运算公式是解答的关键．二、填空题 13．（2014•濮阳县一模）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 _________ ．【答案】．【解析】试题分析：根据题意，计算出扇形区域ADE 和扇形CBF 的面积之和为，结合矩形ABCD 的面积为2，可得在矩形ABCD 内且没有信号的区域面积为，再利用几何概型计算公式即可得出所求的概率．首先，因为扇形ADE 的半径为1，圆心角等于，所以扇形ADE 的面积为．同理可得，扇形CBF 的面积也为；然后又因为长方形ABCD 的面积，再根据几何概型的计算公式得，在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．【考点】几何概型．14．某实验室一天的温度（单位： 0C ）随时间t （单位： h ）的变化近似满足函数关系： ()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， [)0,24t ∈，该实验室这一天的最大温差为__________．【答案】4【解析】 因为()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以731233t ππππ<+<，当31232t πππ+=时，即14t =时，函数()f t 取得最大值为10212+=， 当1232t πππ+=时，即2t =时，函数()f t 取得最小值为1028-=，所以一天的最大温差为1284-=．15．已知幂函数a y x =的图像经过点()2,8，且与圆222x y +=交于,A B 两点，则AB =__________．【答案】【解析】 以为幂函数y x α=的图象经过点()2,8，即823αα=⇒=，即幂函数3y x = 联立方程组2232{x y y x+==，解得1x =±，即3y x =与222x y +=的交点为()()1,1,,1,1A B --，所以AB =点睛：本题主要考查了幂函数的性质和圆的标准方程问题，本题的解答中根据幂函数的性质得到α的值，得到幂函数的解析式，联立方程组求解点,A B 的坐标，即可求解弦AB 的长，其中正确求解是解答的关键． 16．已知0sin104m =，则用含m 的式子表示0cos7为__________．【解析】 由题意的()000020sin104sin 9014cos142cos 71m =+==-=，所以201cos 72m +=，即0cos7= 点睛：本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的应用，本题的解答中根据诱导公式得到202cos 71m -=，即可求解0cos7的值，其中熟记三角恒等变换的公式是解得关键．三、解答题17．已知函数()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x R ∈.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()y f x =图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）π；（2）7,1212k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换的公式化简得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解函数的最小正周期；（2）根据图象的变换得到()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质，即可求解函数()g x 的单调递增区间． 试题解析：（1）()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2coscos2sincos2cossin2sin3366x x x x ππππ=+++sin2x x =2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期22T ππ==； 【法二：由于22632x x πππ-=+-，故cos 2sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin 2cos 22sin 2363f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小正周期为π】（2）()22sin 263g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由2222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得71212k x k ππππ-+≤≤-+ 故()g x 的单调递增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．18．已知函数()221f x ax x a =-++. （1）若()()11f x f x -=+，求实数a 的值； （2）当0a >时，求()f x 在区间[]0,2上的最大值. 【答案】（1）1a =；（2）()max 53,1{1,01a a f x a a -≥=+<<【解析】试题分析：（1）因为()()11f x f x -=+，得()f x 的图像关于直线1x =对称，即可求解实数a 的值；（2）由于0a >，根据二次函数的性质，分11a ≤和112a <<、11a≥三种请讨论，即可求解函数在[]0,2上的最值． 试题解析：（1）因为()()11f x f x -=+，故()f x 的图像关于直线1x =对称， 故0a ≠且11a=，解得1a =； 【法二：直接把()()11f x f x -=+代入展开，比较两边系数，可得1a =】 （2）由于0a >， ()f x 的图像开口向上，对称轴10x a=>， 当11a≤，即1a ≥时， ()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，且()()02f f ≤，故()f x 在[]0,2上的最大值为()253f a =-； 当112a <<，即112a <<时， ()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，且()()02f f >，()f x 在[]0,2上的最大值为()01f a =+； 当11a≥，即102a <≤时， ()f x 在[]0,2上递减，最大值为()01f a =+；综上所述， ()max 53,1{1,01a a f x a a -≥=+<<19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】（1）0.4（2）20（3）3:2 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案． 试题解析：(1)由频率分布直方图知，分数在[)70,80的频率为0.04100.4⨯=， 分数在[)80,90的频率为0.02100.2⨯=，则分数小于70的频率为10.40.20.4--=，故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4. (2)由频率分布直方图知，样本中分数在区间[]50,90的人数为()0.010.020.040.021010090+++⨯⨯= (人)，已知样本中分数小于40的学生有5人，所以样本中分数在区间[)40,50内的人数为1009055--= (人)， 设总体中分数在区间[)40,50内的人数为x ， 则5100400x =，得20x =， 所以总体中分数在区间[)40,50内的人数为20人. (3)由频率分布直方图知，分数不小于70的人数为()0.040.021010060+⨯⨯= (人)，已知分数不小于70的男女生人数相等， 故分数不小于70分的男生人数为30人， 又因为样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为： 0.6， 即女生的频率为： 0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为： 3:2.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中， //AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===， 90APD ∠= ，求直线PB 与平面ABCD 所成的角的大小.【答案】（1）见解析；（2）30 ．【解析】试题分析：（1）根据题设条件证得AB ⊥平面PAD ，再根据面面垂直的判定定理，即可得到平面PAB ⊥平面PAD ； （2）取AD 的中点O ，连PO 、BO ，根据线面角的定义得到PBO ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，在等腰Rt PAD ∆和等腰Rt PAB ∆中，即可直线PB 与平面ABCD 所成的角． 试题解析：（1）//AB CD ， CD PD ⊥，故AB PD ⊥，又AB PA ⊥， PA PD P ⋂=，可得AB ⊥平面PAD ，AB ⊂ 平面PAB ，故平面PAB ⊥平面PAD ； （2）取AD 的中点O ，连PO 、BO ， 由于PA PD =，故PO ⊥ AD ，结合平面PAB ⊥平面PAD ，知PO ⊥平面ABCD ， 故PBO ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，在等腰Rt PAD ∆和等腰Rt PAB ∆中， PO PA =， PB =， 于是1sin 2PO PBO PB ∠==，即直线PB 与平面ABCD 所成的角为30 ．21．长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动. （1）求线段AB 的中点的轨迹Γ的方程；（2）当2a =时，曲线Γ与x 轴交于,C D 两点，点G 在线段CD 上，过G 作x 轴的垂线交曲线Γ于不同的两点,E F ，点H 在线段DF 上，满足GH 与CE 的斜率之积为-2，试求DGH ∆与DGF ∆的面积之比.【答案】（1）222x y a +=（2）23．【解析】试题分析：（1）设线段AB 的中点为(),x y ，根据平面上两点间的距离公式，即可求解线段AB 的中点的轨迹Γ的方程；（2）当2a =时，直线GH 和直线DF 的方程，联立方程组，求得点H 的坐标，即可得打结果． 试题解析：设线段AB 的中点为(),x y ，则()2,0A x ， ()0,2B y ，故2AB a =，化简得222x y a +=，此即线段AB 的中点的轨迹Γ的方程；【法二：当A 、O 重合或B 、O 重合时， AB 中点到原点距离为a ； 当A 、B 、O 不共线时，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，知AB 中点到原点距离也恒为a ，故线段AB 的中点的轨迹Γ的方程为222x y a +=】（2）当2a =时，曲线Γ的方程为224x y +=，它与x 轴的交点为()2,0C -、()2,0D ，设()0,0G x ， ()00,E x y ， ()00,F x y -， 直线CE 的斜率002CE y k x =+，故直线GH 的斜率()0022GH x k y -+=， 直线GH 的方程是()()00022x y x x y -+=-，而直线DF 的方程是0022y x y x -=--，即()0022y y x x =--- 联立()()()000022{22x y x x y y y x x -+=-=---，解得()00213{23x x y y +==-，此即点H 的坐标， 故23DGH H DGF F S y S y ∆∆==． 点睛：本题主要考查了轨迹方程的求解和两条直线的位置关系的应用，其中解答中涉及到平面上两点间的距离公式的应用，直线与圆的位置关系等知识点的综合考查，本题的解答中确定直线GH 和直线DF 的方程，联立方程组，求得点H 的坐标是解得关键． 22．已知函数()•,x x f x e a e x R -=+∈. （1）当1a =时，证明： ()f x 为偶函数；（2）若()f x 在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x ⎡⎤+≥+⎣⎦在R 上恒成立.【答案】（1）见解析；（2）1a ≤；（3）34m ≥． 【解析】试题分析：（1）代入1a =，根据函数奇偶性的定义，即可判定()f x 为偶函数；（2）利用函数单调性的定义，求得函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，进而得到12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，即可求解实数a 的取值范围； （3）由（1）、（2）知函数()f x 的最小值()02f =，进而得()()222x xf x e e -=+-，设x x t e e -=+，得不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+，进而21t m t +≥恒成立，利用二次函数的性质即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）当1a =时， ()x x f x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称， 而()()x x f x e e f x --=+=，说明()f x 为偶函数； （2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <， 则()()()()()121211221212x x x x x x x x x x e e eaf x f x e ae e ae e +--+---=+-+=，因为12x x <，函数x y e =为增函数，得12x x e e <， 120x x e e -<， 而()f x 在[)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <， ()()120f x f x -<， 于是必须120x x e a +->恒成立， 即12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，1a ∴≤；（3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 其最小值()02f =，且()()22222x x x x f x e e e e --=+=+-， 设x x t e e -=+，则[)2,t ∈+∞，110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+， 即21t m t +≥恒成立， 而22211111124t t t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，仅当112t =，即2t =时取最大值34，故34m ≥点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性的定义及判定、函数的奇偶性性的判定与证明，以及函数的单调性与奇偶性的应用、二次函数的最值等知识点的综合考查，其中熟记函数的单调性的定义、奇偶性的定义和熟练应用是解答的关键．同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．。

2015—2016学年度第二学期期末教学质量检查高一数学(A ）考生注意:本卷共三大题，22小题，满分150分,时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：1。

方差的计算公式：])()()[(1222212x x x x x x nS n-++-+-= ；2.用最小二乘法求线性回归方程a xb yˆˆˆ+=的系数公式:()()()∑∑∑∑====-⋅⋅-=---=n i i ni ii ni i ni i ixn x yx n yx x x y y x xb1221121ˆ，x b y aˆˆ-=。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面向上的概率是( ） A.10001 B ．9991 C 。

21 D ．10009992．点P 从(1,0）出发,沿单位圆逆时针方向运动65π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.错误!B.错误! C 。

错误! D 。

错误! 3. 已知向量b a ,的夹角为60，且1==||||b a ，则||b a +等于（ ）A ．3 BC ．2D ．14. 总体由编号为01,02，…，39，40的40个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 4822 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11A 。

23 B.21 C 。

35 D 。

·2016—2017学年度第二学期教学质量检查高一数学参考答案二、填空题(每小题5分,满分20分)5815.12 16.[2,8] 三、解答题： 17. 【解析】（1）因为i ，j 是互相垂直的单位向量，所以0,1,122=⋅==j i j i 2332)3(2222=+⋅+=+==j j i i j i a a …………1分2323)3(2222=+⋅+=--==j j i i j i b b …………2分 (3)(3)23a b i j i j ⋅=+⋅--=-…………3分设a 与b 的夹角为θ，故232232cos -=⨯-=⋅=ba b a θ …………4分 又),0(πθ∈ …………5分 故65πθ= …………6分 （2）由()a a b λ⊥+得0)(=⋅+a b a λ …………7分02=⋅+a b a λ，又32)23(22,42-=-⨯⨯=⋅=a b a …………9分 故3322=⋅-=ba a λ …………10分【解法二】设a 与b 的夹角为θ，则由i ，j 是互相垂直的单位向量，不妨设i ，j 分别为平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，则)3,1(=a ，)1,3(--=b …………1分 132a =+=312b =+= …………2分1(3)(1)a b ⋅=⋅--=-3分故232232cos -=⨯-=⋅=ba b a θ …………4分 又),0(πθ∈ …………5分 故65πθ= …………6分 （2）由a 与a b λ+垂直得0)(=⋅+a b a λ …………7分 02=⋅+a b a λ，又24,23a b a =⋅=-…………9分故3322=⋅-=ba a λ …………10分18. 【解析】（1）3554321=++++=x ， …………1分 5.75985.776=++++=y …………2分 10)35()34()33()32()31()(22222412=-+-+-+-+-=-∑=i i x x ……………3分7)5.79)(35()5.78)(34()5.75.7)(33()5.77)(32()5.76)(31())((51=--+--+--+--+--=--∑=y y x x ii i …………4分7.0107)())((ˆ121==---=∑∑==ni in i i ix x y y x x b …………5分 4.537.05.7ˆˆ=⨯-=-=x b y a…………6分 故线性回归方程为4.57.0ˆ+=x y. …………7分 （2）当维护费用y 超过13.1万元时，即0.7 5.413.1x +>…………9分11x ∴>…………10分∴从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年. …………11分答：该批空调使用年限的最大值为11年. …………12分19. 【解析】（1）第六组与第七组频率的和为：14.0)5008.0506.0504.0504.05016.05008.0(1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-∵第六组和第七组人数的比为5：2.∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008. ………2分…………4分（2）设身高的中位数为x ，则5.0)170(04.0504.05016.05008.0=-+⨯+⨯+⨯x …………6分 5.174=x …………7分∴估计这50位男生身高的中位数为174.5 …………8分（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2，第5组应抽取3人记为3，4，5 …………9分则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， {3，4}，{3，5}，{4，5}共10种 …………10分 满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种…………11分 因此所求事件的概率为103． …………12分20. 【解析】(1)1cos 3()322x f x x ωω+=-…………1分13(sin ))23x x x πωωω=+=+…………2分()f x ∴()f x ∴的值域为[…………3分ABC ∴∆的高为ABC ∆为正三角形ABC ∴∆的边长为4()f x ∴的周期为4…………5分24T πω==2πω∴=…………6分(2)00()sin()235f x x ππ=+=03sin()235x ππ∴+= …………7分 021(,)33x ∈-0(0,)232x πππ∴+∈04cos()235x ππ∴+= …………9分00001()sin())cos cos()sin ]2234234234f x x x x πππππππππ∴+=++=+++343(55==12分21. 【解析】(1) 圆C 的标准方程为22(2)(2)16x y -+-= ∴圆心为(2,2)C ,半径4r = …………1分由弦长为2d ==…………2分1当斜率不存在时，直线为0,x =符合题意； …………3分 2当斜率存在时，设直线为1(0)y k x -=-即10kx y -+=则2d == 化简得34k =-…………5分 ∴直线方程为3440x y +-=故直线l 方程为0x =或3440x y +-=…………6分(2) 设直线为1(0)y k x -=-即1y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则联立方程2244801x x y y y kx ⎧-+--=⎨=+⎩得22(1)(24)110k x k x +-+-= 1212222411,11k x x x x k k+-∴+==++，且224(2)44(1)0k k ∆=+++>恒成立…………8分 12121212(1)(1)OA OB x x y y x x kx kx ∴⋅=+=+++212122222(1)()1248410111811k x x k x x k k k k k k =+++++-+-=-++=>-++…………11分 22841088k k k ∴-+->--即42k >12k ∴>…………12分 22. 【解析】(1)切化弦得sin 1sin cos cos αβαβ-=…………1分 sin cos cos cos sin αβααβ∴=-sin cos cos sin cos αβαβα∴+=即sin()cos αβα+=…………3分 (0,),(0,)22ππαβ∈∈2παβα∴+=-或2παβα+=+…………5分 22πβα∴=-或2πβ=(舍) …………6分(2) 由(1)得sin(2)sin 02m παα-++=即cos2sin 0m αα++=212sin sin 0m αα∴-++=22sin sin 1m αα∴=--…………7分,(0,)422πβπαβ=-∈(0,)4πα∴∈…………8分 令sin (0,2t α=∈，则221,(0,)2m t t t =--∈ ∴直线y m =与函数221,(0,2y t t t =--∈公共点的个数即方程根的个数…………9分由图像得2m ≥-或98m <-时方程有0个根； …………10分1m -≤<或98m =-时方程有1个根； …………11分 918m -<<-时方程有2个根. …………12分。

试卷第1页，共8页绝密★启用前【全国市级联考】广东省东莞市2016-2017学年高一下学期期末教学质量检查数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、划线字读音正确的一项是（ ）（2分）A.树杈（chā） 脸颊（jiá） 羚羊（líng ） 意见分歧（qí）B.不禁（jìn ） 撒谎（sā） 沉寂（jī） 絮絮叨叨（dāo ）C.憔悴（cuì） 匿笑（nì） 祷告（dǎo ） 侍弄花草（shì）试卷第2页，共8页D.蹲下（zūn ） 霎时（chà） 攥着（zuàn ） 尊君在不（fǒu ）2、若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．13、已知在中，是的垂心，点满足：，则的面积与的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知函数（，）是偶函数，且，则（ ）A ．在上单调递减B ．在上单调递增C ．在上单调递增D ．在上单调递减5、直线（）与圆的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与的值有在6、已知角终边上一点的坐标为（），则的值是（ ）A ．2B ．-2C ．D ．试卷第3页，共8页7、某程序框图如图，该程序运行后输出的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．118、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，绿灯持续时间为45秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等街15秒才出现绿灯的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．9、一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ）A ．只有一次投中B ．两次都不中C ．两次都投中D ．至少投中一次10、远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在人们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A ．36B ．56C ．91D ．336试卷第4页，共8页11、某高级中学共有学生1500人，各年级学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取45名学生，则在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为（ ） 高一 高二 高三 人数 600 500 400A. 12，18，15B. 18，12，15C. 18，15，12D. 15，15，1512、的值为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第5页，共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、如图，等腰梯形的底边长分别为8和6，高为7，圆为等腰梯形的外接圆，对于平面内两点，（），若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围是__________．14、已知扇形的周长为10，面积为4，则扇形的中心角等于__________（弧度）.15、下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________．16、在空间直角坐标系中，已知，，则__________．三、解答题（题型注释）试卷第6页，共8页17、已知，，（1）用表示；（2）若关于的方程为，试讨论该方程根的个数及相应实数的取值范围.18、函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，为图象的最低点，且为正三角形.（1）求的值域及的值；（2）若，且，求的值.19、某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50个身高介于155 到195之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：2. （1）补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数； （3）用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意试卷第7页，共8页抽取2位男生，求这两位男生身高都在内的概率.20、东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限（单位：年，）和所支出的维护费用（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用关于的线性回归方程；（2）若规定当维护费用超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值. 参考公式：最小二乘估计线性回归方程中系数计算公式：，21、已知，是互相垂直的两个单位向量，，.（1）求和的夹角；（2）若，求的值.22、已知圆，直线过定点，为坐标原点.（1）若圆截直线的弦长为，求直线的方程；试卷第8页，共8页（2）若直线的斜率为，直线与圆的两个交点为，且，求斜率的取值范围.参考答案1、C2、B3、A4、D5、A6、D7、B8、D9、C10、B11、C12、A13、14、15、16、17、（1）；（2）当或时方程有0个根；当或时方程有1个根；当时方程有2个根。

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广东省东莞市2016—2017学年度上学期期末考试高一数学试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分参考公式：球的表面积公式: 24S R π=，其中R 为球半径． 锥体体积公式：Sh V 31=，柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。

集合{}{}R x y y B R x x y y A x ∈==∈+==,2,,1,则A B ⋂等于A. ()+∞,0B. {}1,0C. {}1,2 D 。

{})2,1(),1,0(2。

函数23212---=x x x y 的定义域 A 。

]1,(-∞ B 。

]2,(-∞ C 。

]1,21()21,(-⋂--∞ D. ]1,21()21,(-⋃--∞ 3。

若直线10mx y +-=与直线230x y -+=平行，则m 的值为A 。

2B 。

2- C. 12 D 。

12- 4．直线0ax by c ++=经过第一、第二、第四象限，则,,a b c 应满足A ．ab ＞0，bc ＞0B ．ab ＞0，bc ＜0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．已知两条不同的直线n m ,，两个不同的平面βα,，则下列命题中正确的是A.若,,//,βαβα⊥⊥n m 则n m ⊥B.若,,,//βαβα⊥⊥n m 则n m //C 。

广东省东莞市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共18分)1. （1分） (2019高三上·柳州月考) 曲线在处的切线的倾斜角为 ________．2. （1分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 若函数的最大值为，则的最小正周期为________．3. （1分） (2017高一下·河北期末) 一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是________．4. （2分） (2017高三下·绍兴开学考) 若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5=________；S11=________．5. （1分）(2018·河北模拟) 如图所示，在正方形中，点为边的中点，点为边上的靠近点的四等分点，点为边上的靠近点的三等分点，则向量用与表示为________．6. （1分） (2018高三上·江苏期中) 如图,三棱锥中, 是中点, 在上,且,若三棱锥的体积是2,则四棱锥的体积为________．7. （3分） (2016高一上·金华期末) 设α是第三象限角，P（x，﹣4）是其终边上一点，且cosα= ，则x=________，tanα=________， =________．8. （1分） (2018高一下·上虞期末) 已知等比数列的前项和，则 ________．9. （1分） (2017高二上·泰州开学考) 若m、n、l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线④若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m⊥l，n⊥l其中正确命题的序号是________．10. （1分）若tan（α+β）tanα=﹣5，则2cos（2α+β）+3cosβ=________．11. （2分）(2017·温州模拟) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为△ABC的面积，若A=60°，b=1，S= ，则c=________，cosB=________．12. （1分） (2018高二下·陆川月考) 设，则中点到C的距离________.13. （1分） (2016高二上·南昌开学考) 设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+||2 ，则m=________．14. （1分） (2016高二上·普陀期中) 计算81+891+8991+89991+…+8 1=________．二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分） (2016高一下·福建期末) 设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（）= ．（1）求ω和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．16. （10分） (2016高三上·思南期中) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC，PC于D，E两点，PB=BC，PA=AB=1．（1）求证：PC⊥平面BDE；（2）求直线BE与平面PAC所成角的余弦值．17. （10分） (2016高三上·福州期中) 已知函数f（x）= sinωx﹣cosωx+m（ω＞0，x∈R，m是常数）的图象上的一个最高点，且与点最近的一个最低点是．（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ac，求函数f（A）的值域．18. （15分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知椭圆：的右焦点为点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值；（3）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.19. （10分） (2015高一上·福建期末) 一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）20. （10分） (2016高二上·阳东期中) 计算题。

2016-2017学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）tan（﹣390°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．2．（5分）某高级中学共有学生1500人，各年级学生人数如表，现用分层抽样的方法在全校抽取45名学生，则在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为（）A．12，18，15 B．18，12，15 C．18，15，12 D．15，15，153．（5分）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在人们熟悉的“进位制”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．36 B．56 C．91 D．3364．（5分）一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（）A．只有一次投中B．两次都不中C．两次都投中D．至少投中一次5．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，绿灯持续时间为45秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）在平行四边形ABCD中，=，=，=2，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．+7．（5分）某程序框图如图，该程序运行后输出的S值是（）A．8 B．9 C．10 D．118．（5分）已知角α终边上一点P的坐标为（a，3a）（a≠0），则的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣9．（5分）直线x﹣ky+1=0（k∈R）与圆x2+y2+4x﹣2y+2=0的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．与k的值有关10．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ+）（＜ω＜，0＜φ＜π）是偶函数，且f（0）=f（π），则（）A．f（x）在（，）上单调递减B．f（x）在（，）上单调递增C．f（x）在（0，）上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减11．（5分）已知在△ABC中，O是△ABC的垂心，点P满足：3=++2，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的不等式1﹣cos2x+acosx≥0在R上恒成立，则实数a的最大值为（）A．﹣ B．C．D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1），B（4，2，﹣2），则|AB|=．14．（5分）如图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．15．（5分）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的中心角等于（弧度）．16．（5分）如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为8和6，高为7，圆E为等腰梯形ABCD的外接圆，对于平面内两点P（﹣a，0），Q（a，0）（a＞0），若圆E上存在点M，使得=0，则正实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知，是互相垂直的两个单位向量，=+，=﹣﹣．（1）求与的夹角；（2）若⊥（+λ），求λ的值．18．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．19．（12分）某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50人身高介于155cm到195cm之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180，185）和第七组[185，190）还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：2．（1）补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；（3）用分层抽样的方法在身高为[170，180]内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在[175，180]内的概率．20．（12分）函数f（x）=3cos2+sinωx﹣（ω＞0）的部分图象如图所示，A、B为图象的最高点，C为图象的最低点，且△ABC为正三角形．（1）求f（x）的值域及ω的值；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+）的值．21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣8=0，直线l过定点P（0，1），O为坐标原点．（1）若圆C截直线l的弦长为4，求直线l的方程；（2）若直线l的斜率为k，直线l与圆C的两个交点为A、B，且•＞﹣8，求斜率k的取值范围．22．（12分）已知α∈（0，），β∈（0，），tanα=．（1）用α表示β；（2）若关于α的方程为sinα+sinβ+m=0，试讨论该方程根的个数及相应实数m 的取值范围．2016-2017学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）tan（﹣390°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：tan（﹣390°）=﹣tan30°=﹣．故选：A．2．（5分）某高级中学共有学生1500人，各年级学生人数如表，现用分层抽样的方法在全校抽取45名学生，则在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为（）A．12，18，15 B．18，12，15 C．18，15，12 D．15，15，15【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，故应在高一年级抽取的学生人数为600×=18，故应在高二年级抽取的学生人数为500×=15，故应在高三年级抽取的学生人数为400×=12，故选：C．3．（5分）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在人们熟悉的“进位制”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．36 B．56 C．91 D．336【解答】解：由题意满六进一，可得该图示为六进制数，化为十进制数为1×62+3×61+2×60=56．故选：B．4．（5分）一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（）A．只有一次投中B．两次都不中C．两次都投中D．至少投中一次【解答】解：一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是：两次都投中．故选：C．5．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，绿灯持续时间为45秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为．故选：D．6．（5分）在平行四边形ABCD中，=，=，=2，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．+【解答】解：=因为=2，所以==+====．故选：C．7．（5分）某程序框图如图，该程序运行后输出的S值是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a10=（0+1）+（﹣1+1）+（0+1）+（1+1）+（0+1）+（﹣1+1）+（0+1）+（1+1）+（0+1）=9．所以该程序运行后输出的S值是9．故选：B．8．（5分）已知角α终边上一点P的坐标为（a，3a）（a≠0），则的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：∵角α终边上一点P的坐标为（a，3a）（a≠0），∴x=a，y=3a，tanα==3a，则===﹣，故选：D．9．（5分）直线x﹣ky+1=0（k∈R）与圆x2+y2+4x﹣2y+2=0的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．与k的值有关【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y+2=0即（x+2）2+（y﹣1）2=3，表示以C（﹣2，1）为圆心、半径等于的圆．直线x﹣ky+1=0经过定点A（﹣1，0），且AC=1，小于半径，故点A在圆内，故直线和圆相交，故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ+）（＜ω＜，0＜φ＜π）是偶函数，且f（0）=f（π），则（）A．f（x）在（，）上单调递减B．f（x）在（，）上单调递增C．f（x）在（0，）上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ+）（＜ω＜，0＜φ＜π）是偶函数，所以：φ+=（k∈Z），解得：φ=（k∈Z），由于：0＜φ＜π，所以：当k=0时，φ=．则：f（x）=sin（ωx+φ+）=cosωx．已知：f（0）=f（π），所以：co sωπ=1，解得：ωπ=2kπ（k∈Z），即：ω=2k（k∈Z）．已知：＜ω＜，所以：ω=4．则：f（x）=cos4x．函数的单调递减区间满足：令：2kπ≤4x≤2kπ+π，解得：当k=0时，x单调递减．故选：D．11．（5分）已知在△ABC中，O是△ABC的垂心，点P满足：3=++2，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．【解答】解：取AB中点M，连接CM，CM是AB边上的中线，∵M是AB的中点，∴=（+），∵3=++2，∴3=+2，∴﹣=2（﹣）M∴=2，∴S△ABP ：S△ABC=2：3，故选：A．12．（5分）若关于x的不等式1﹣cos2x+acosx≥0在R上恒成立，则实数a的最大值为（）A．﹣ B．C．D．1【解答】解：由1﹣cos2x+acosx≥0在R上恒成立，即4cos2x﹣3acosx﹣5≤0在R上恒成立，设cosx=t，﹣1≤t≤1则4t2﹣3at﹣5≤0在R上恒成立，令f（t）=4t2﹣3at﹣5≤0．由根的分布，可得：即，解得：．∴得a的最大值为：．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1），B（4，2，﹣2），则|AB|=．【解答】解：在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1），B（4，2，﹣2），则|AB|==．故答案为：．14．（5分）如图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为85．【解答】解：已知中的数据去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：（84+84+86+84+87）=85，故答案为：85．15．（5分）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的中心角等于（弧度）．【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，=lr=4，∵S扇形解得：r=4，l=2，∴扇形的圆心角的弧度数是：=；故答案为：．16．（5分）如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为8和6，高为7，圆E为等腰梯形ABCD的外接圆，对于平面内两点P（﹣a，0），Q（a，0）（a＞0），若圆E上存在点M，使得=0，则正实数a的取值范围是[2，8] ．【解答】解：设圆E的方程为x2+（y﹣b）2=r2，且过点A（﹣4，0），B（4，0），C（3，7），∴，解得b=3，r2=25；∴圆E的方程为x2+（y﹣3）2=25；设点M（x，y），且x=5cosθ，y=3+5sinθ；点P（﹣a，0），Q（a，0）（a＞0），∴=（﹣a﹣5cosθ，﹣3﹣5sinθ），=（a﹣5cosθ，﹣3﹣5sinθ），∴=（25cos2θ﹣a2）+（3+5sinθ）2=34﹣a2+30sinθ=0，解得a2=34+30sinθ；又sinθ∈[﹣1，1]，∴4≤a2≤64，解得2≤|a|≤8，∴正实数a的取值范围是[2，8]．故答案为：[2，8]．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知，是互相垂直的两个单位向量，=+，=﹣﹣．（1）求与的夹角；（2）若⊥（+λ），求λ的值．【解答】解：（1）∵，是互相垂直的两个单位向量，∴，．=，=．．设与的夹角为θ，故cosθ=．∵θ∈[0，π]，∴；（2）由⊥（+λ），得•（+λ）=0，∴，∵，，∴．18．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．【解答】解：（1）由题意可得：，则：，回归方程为：，（2）当维护费用y超过13.1万元时，即：0.7x+5.4＞13.1，解得：x＞11，则从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年．答：该批空调使用年限的最大值为11年．19．（12分）某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50人身高介于155cm到195cm之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180，185）和第七组[185，190）还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：2．（1）补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；（3）用分层抽样的方法在身高为[170，180]内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在[175，180]内的概率．【解答】解：（1）第6组和第7组的频率和为1﹣（0.008+0.016+0.04+0.06+0.008）×5=0.14，且第6组和第7组人数的比为5：2，∴第6组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第7组的频率为0.04，纵坐标为0.008；补全频率分布直方图如图所示；（2）设身高的中位数是x，则0.008×5+0.016×5+0.04×5+0.04×（x﹣170）=0.5，解得x=174.5，∴估计这50位男生身高的中位数为174.5cm；（3）由第4、5组的频率之比为2：3，按分层抽样用方法，第4组应抽取2人，记为A、B；第5组应抽取3人，记为c、d、e，则所有可能的情况有：AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种；满足2位男生身高都在[175，180]内的基本事件为cd、ce、de共3种，故所求的概率为P=．20．（12分）函数f（x）=3cos2+sinωx﹣（ω＞0）的部分图象如图所示，A、B为图象的最高点，C为图象的最低点，且△ABC为正三角形．（1）求f（x）的值域及ω的值；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+）的值．【解答】解：（1）函数f（x）=3cos2+sinωx﹣，=3，=，=．函数f（x）的最大值为，函数f（x）的最小值为﹣，所以：函数的f（x）值域为：[﹣，]．所以：△ABC的高为2，由于△ABC为正三角形，所以△ABC的边长为4．即：函数f（x）的周期为4，由T==4，解得：．（2）已知：若f（x0）=，=，解得：．且x0∈（﹣，），则：，所以：cos（）=．则：=+=（=21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣8=0，直线l过定点P（0，1），O为坐标原点．（1）若圆C截直线l的弦长为4，求直线l的方程；（2）若直线l的斜率为k，直线l与圆C的两个交点为A、B，且•＞﹣8，求斜率k的取值范围．【解答】解：（1）∵圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣8=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=16．∴圆心为（2，2），半径r=4．由弦长为，弦心距d=．若直线斜率k不存在，可得方程为：x=0，符号题意．若直线斜率k存在，可设方程为：y﹣1=kx．即kx﹣y+1=0．d==2，解得：k=．即方程为：3x+4y﹣4=0．故得直线l的方程为：x=0或3x+4y﹣4=0．（2）由题意，可设直线方程为kx﹣y+1=0．直线l与圆C的两个交点为A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组整理得：（1+k2）x2﹣（2k+4）x﹣11=0∴x1+x2=，x1•x2=，且△=4（k2+2）+44（k2+1）＞0恒成立．由•＞﹣8，可得：=．解得：k．故得斜率k的取值范围是（，+∞）．22．（12分）已知α∈（0，），β∈（0，），tanα=．（1）用α表示β；（2）若关于α的方程为sinα+sinβ+m=0，试讨论该方程根的个数及相应实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由tanα=，得，∴sinαcosβ=cosα﹣cosαsinβ，∴sinαcosβ+cosαsinβ=cosα，即sin（α+β）=cosα，∵α∈（0，），β∈（0，），∴或，∴或（舍）；（2）由（1）得，sin（）+s inα+m=0，即cos2α+sinα+m=0．∴1﹣2sin2α+sinα+m=0．∴m=2sin2α﹣sinα﹣1．∵α=，β∈（0，），∴α∈（0，），令t=sinα∈（0，），则m=2t2﹣t﹣1，∴直线y=m与函数y=2t2﹣t﹣1，t∈（0，）公共点的个数即方程根的个数，作出函数图象如图：由图象得：或m时，方程有0个根；﹣1或m=时，方程有1个根；时，方程有2个根．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2016年东莞市高一数学下期末试卷(B)（带答案和解释）2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．已知 =（x，3）， =（3，1），且⊥ ，则x等于（）A．�1 B．�9 C．9 D．1 2．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（） A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，6 3．如果某种彩票的中奖概率为，那么下列选项正确的是（） A．买1000张彩票一定能中奖 B．买999张这种彩票不可能中奖 C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖 D．买1张这种彩票一定不能中奖4．当输入x=1，y=2时，如图中程序运行后输出的结果为（） A．5，2 B．1，2 C．5，�1 D．1，�1 5．已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ= ，则角θ的终边落在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．为了得到函数y=cos（2x+ ），x∈R的图象，只需要把y=cos2x曲线上所有的点（） A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 7．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y= x�1.4，则b=（） x 2 3 4 5 6 y 2 3 5 7 8 A．1.6 B．2.6 C．3.6 D．4.6 8．如图是某校十大歌手比赛上，七位评委为某同学打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（） A．85，4.84 B．85，1.6 C．86，1.6 D．86，4 9．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则 + =（） A． B． C． D． 10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（） A．0 B． C． D． 11．函数f（x）=（ +cosx）x在[�4，4]的图象大致为（）A． B． C． D． 12．若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（�x），f（）=�1，则实数b的值为（） A．�2或0 B．0或1 C．±1 D．±2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 13．已知 =（1，2）， =（�3，2），则| �3 |的值为． 14．要在半径OA=90cm的圆形木板上截取一块扇形，使其弧的长为30πcm，则圆心角∠AOB=（填弧度） 15．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为． 16．已知tan （α�π）= ，化简计算：sin2α+2cos2α= （填数值）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．） 17．已知向量 =（4，3）， =（1，�1）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量3 +4 与λ�平行，求λ的值． 18．为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 上涨率y 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 （1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y= x+ ；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 = ， = �） 19．从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率． 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为，．（1）求tan（2α�β）的值；（2）求β�α的值． 21．已知函数f（x）= sin2x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若f（x0）= ，x0∈[ ， ]，求sin（2x0�）的值． 22．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B（6，�2），又点P（�2，1），点Q是边AB上一点，且• =�10．（1）求点Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（ + ）•（ + ）的取值范围．2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．已知 =（x，3）， =（3，1），且⊥ ，则x等于（） A．�1 B．�9 C．9 D．1 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由已知中， =（x，3），=（3，1），且⊥ ，根据向量垂直的坐标表示，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵ =（x，3）， =（3，1），又∵ ⊥ ，∴ • =3x+3=0 解得x=�1 故选A 2．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（） A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，6 【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 = ，则在高一年级抽取的人数是900× =9人，高二年级抽取的人数是1200× =12人，高三年级抽取的人数是600× =6人，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为9，12，6．故选：D． 3．如果某种彩票的中奖概率为，那么下列选项正确的是（） A．买1000张彩票一定能中奖 B．买999张这种彩票不可能中奖 C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖 D．买1张这种彩票一定不能中奖【考点】概率的意义．【分析】根据事件的运算及概率的性质对四个说法进行验证即可得出正确的说法的个数，选出正确答案．【解答】解：如果某种彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票可能没有一张中奖，故选：C． 4．当输入x=1，y=2时，如图中程序运行后输出的结果为（） A．5，2 B．1，2 C．5，�1 D．1，�1 【考点】选择结构．【分析】模拟执行程序代码，根据条件计算可得x，y的值．【解答】解：模拟执行程序代码，可得 x=1，y=2 满足条件x＜y，则得x=5，y=2 故选：A． 5．已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ= ，则角θ的终边落在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用已知结合三角函数的基本关系式，判定角θ的正弦和余弦的符号．【解答】解：因为0＜θ＜π，sinθ+cosθ= ，所以（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ= ，所以sinθcosθ＜0，又sinθ＞0，所以cosθ＜0，所以角θ的终边落在第二象限；故选：B． 6．为了得到函数y=cos（2x+ ），x∈R 的图象，只需要把y=cos2x曲线上所有的点（） A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把y=cos2x曲线上所有的点向左平行移动个单位，可得函数y=cos（2x+ ）的图象，可得答案．【解答】解：由于y=cos（2x+ ）=cos2（x+ ），故把y=cos2x曲线上所有的点向左平行移动个单位，可得函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）的图象．故选：C． 7．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y= x�1.4，则b=（） x 2 3 4 5 6 y 2 3 5 7 8 A．1.6 B．2.6 C．3.6 D．4.6 【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，利用回归直线方程求解即可．【解答】解：由题意， =4， =5，∴样本中心坐标（4，5），回归直线经过样本中心，可得5=4b�1.4，解得b=1.6．故选：A． 8．如图是某校十大歌手比赛上，七位评委为某同学打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（） A．85，4.84 B．85，1.6 C．86，1.6 D．86，4 【考点】茎叶图．【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分94和一个最低分78后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分94和一个最低分78后，所剩数据85，85，87，85，88的平均数为86；方差为 [（85�86）2+[（85�86）2+[（87�86）2+[（85�86）2+[（88�86）2]=1.6．故选：C． 9．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则 + =（）A． B． C． D．【考点】向量的三角形法则．【分析】D，F分别为△ABC的三边BC，AB的中点，可得， = ， = ．代入即可得出．【解答】解：∵D，F分别为△ABC的三边BC，AB的中点，∴ ， = ， = ．∴ + =��� = = ．故选：C． 10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（） A．0 B． C． D．【考点】程序框图．【分析】本题循环结构是当型循环结构，根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构，第一次循环：S= ，n=2；第二次循环：S= ，n=3；第三次循环：S= ，n=4；第四次循环：S= ，n=5；第五次循环：S=0，n=6；… n=2015÷5=403，S=0 n+1=2016，退出循环，∴输出S=0．故选：A． 11．函数f（x）=（ +cosx）x在[�4，4]的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故排除C；根据函数在（0，）上的值大于零，故排除D；根据当x= 或x= 时，当cosx=�，f（x）=0，故排除B，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=（ +cosx）x为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除C；∵f（x）= +xcosx 在（0，）上的值大于零，故排除D；∵当x= 或x= 时，当cosx=�，f（x）=0，故排除B，故选：A． 12．若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（�x），f（）=�1，则实数b的值为（）A．�2或0 B．0或1 C．±1 D．±2 【考点】余弦函数的图象．【分析】由题意可得 f（x）的图象关于直线x= 对称，求得φ=kπ�，k∈Z．再根据f（）=�1求得b的解析式，利用余弦函数的最值，求得b的值．【解答】解：若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（�x），∴f（x）的图象关于直线x= 对称，∴ +φ=kπ，即φ=kπ�，k∈Z．∵f（）=cos（ +φ）+b=cos（ +kπ�）+b=cos（k+1）π+b=�1，b=�1�cos（k+1）π，当k为偶数时，b=2；当k为奇数时，b=0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知 =（1，2）， =（�3，2），则| �3 |的值为 2 ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与模长公式，进行计算即可．【解答】解：因为 =（1，2）， =（�3，2），所以�3 =（1�3×（�3），2�3×2）=（10，�4），所以| �3 |= =2 ．故答案为：． 14．要在半径OA=90cm的圆形木板上截取一块扇形，使其弧的长为30πcm，则圆心角∠AOB=（填弧度）【考点】弧度制的应用；弧长公式．【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l=30π，扇形的半径r=OA=90，∴则圆心角∠AOB的弧度数α= = ，故答案为：． 15．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【分析】由题意，所求属于几何概型；要计算投中阴影部分的概率，根据每次都投镖都能投入圆盘内，圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为75°，代入几何概型概率公式，即可得到答案．【解答】解：圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为75° 故投中阴影部分的概率P= = ．故答案为：． 16．已知tan（α�π）= ，化简计算：sin2α+2cos2α= （填数值）．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵tan（α�π）=tanα= ，∴sin2α+2cos2α= = = ，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．） 17．已知向量 =（4，3），=（1，�1）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量3 +4 与λ�平行，求λ的值．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量夹角公式即可得出．（2）利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．【解（1）设与的夹角为θ，则，∴ 与的夹角的余弦值为．（2）答】解：∵ =（4，3）， =（1，�1）．∴ ，，∵向量与平行，∴16（3λ+1）=5（4λ�1）．解得． 18．为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 上涨率y 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 （1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y= x+ ；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 = ， = �）【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用已知条件求出回归直线方程的有关数据，即可求出回归直线方程．（2）代入回归直线方程，即可预测该地6月份上涨的百分率．【解答】解：（1）由题意， =3，=0.2… 12+22+32+42+52=55，…1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.3+5×0.1=3.1… 所以… … ∴回归直线方程为y=0.01x+0.17… （2）当x=6时，y=0.01×6+0.17=0.23… 预测该地6月份上涨的百分率是0.23… 19．从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，利用列举法确定基本事件，从而求出概率．【解答】解：（Ⅰ）设区间[75，85）内的频率为x，则区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x 和2x．… 依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，… 解得x=0.05．所以区间[55，65]内的频率为0.2．… （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[45，55），[55，65），[65，75）内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45，55）内应抽取件，记为A1，A2，A3．在区间[55，65）内应抽取件，记为B1，B2．在区间[65，75）内应抽取件，记为C．… 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[55，75]内”为事件M，则所有的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C}，{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共15种．… 事件M包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共3种．… 所以这2件产品都在区间[55，75]内的概率为．… 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为，．（1）求tan（2α�β）的值；（2）求β�α的值．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）根据题意，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cosβ，tanα，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式可求tan2α，根据两角差的正切函数公式即可计算tan（2α�β）的值．（2）由（1）利用两角差的余弦函数公式可求cos（β�α）的值，结合范围β�α∈（0，π），即可得解β�α的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意得sinα= ，sinβ= ，… ∴ ，，… ∴ ，，… ，… ∴tan（2α�β）= =3．… （2）cos（β�α）=cosβcosα+sinβsinα… = ，… ∵由题意β�α∈（0，π），∴β�α= ．… 21．已知函数f（x）= sin2x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若f（x0）= ，x0∈[ ， ]，求sin（2x0�）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得f（x）= +1，再利用三角函数的周期性、单调性即可得出．（II）由（I）可知，可得 = ，由x0∈[ ， ]，可得∈ ．可得．再利用弧长公式即可得出．【解答】解：（I）由，得，∴函数f（x）的最小正周期为π．由得单调增区间是：，k∈z．（Ⅱ）由（1）可知得 = ，∵x0∈[ ， ]，∴ ∈ ．∴ ．∴sin（2x0�）= = � = ． 22．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B （6，�2），又点P（�2，1），点Q是边AB上一点，且• =�10．（1）求点Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（ + ）•（ + ）的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）先设 =λ，根据向量数量积关系• =�10解方程求出λ即可．（2）由R为线段OQ上的一个动点可设R（2t，2t），且0≤t≤1，分别求出，，，的向量坐标，由向量的数量积 + ）•（ + 整理可得关于t的一元二次函数，利用二次函数的知识可求取值范围．【解答】解：（1） =（�3，�2），=（5，�5），∵点Q是边AB上一点，∴设 =λ =（5λ，�5λ），= + =（1，3）+（5λ，�5λ）=（1+5λ，3�5λ），∵ • =�10．∴�3（1+5λ）�2（3�5λ）=�10，即λ= ，则 =（1+5× ，3�5× ）=（2，2）．即Q（2，2）．（2）∵R为线段OQ上的一个动点，∴设R（2t，2t），且0≤t≤1，则 =（�2t，�2t）， =（�2�2t，1�2t），=（1�2t，3�2t）， =（6�2t，�2�2t），则（ + ）•（ + ）=（�2�4t，1�4t）•（7�4t，1�4t） =（�2�4t）（7�4t）+（1�4t）（1�4t）=32t2�28t�13 =32（t�）2�，∵0≤t≤1，∴当t= 时，函数取得最小值�，当t=1时，函数取得最大值�9，即（ + ）•（ + ）的范围是[�，�9]． 2016年8月21日。