直线和平面两个平面垂直的判定和性质

(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB； (2) 已 知 G ， H 分 别 是 EC 和 FB 的 中 点 . 求 证 ：
GH∥平面ABC.
证明 (1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，
图① 如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点， 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D， 所以AC⊥平面BDEF. 因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.
－AB－C的正切值.
S
解:过C作CH⊥AB于点H,连结SH
∵SC⊥平面ABC, AB⊂平面ABC A
∴ AB ⊥ SC
又∵SC∩CH=H
∴ AB ⊥平面 SCH
H
又∵SH⊂平面SCH ∴ AB ⊥ SH
∴ ∠SHC是二面角S－AB－C的平面角
…………
棱的垂面法
C B
4.PB 平面 ABC, PB BC CA 4, 且 BCA 90, 求二面角 B PA C 的大小
2．(2014·浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的
平面( C )
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
(山东卷) 在如图所示的几何体中，D是AC的 中点，EF∥DB.
(2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD， 所以 BC⊥AD. 又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC. 又因为 AC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥AC.

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD11垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图9-43图9−44看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺*巩固知识典型例题【知识巩固】例2长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】图9−48α，所以AB∥CD．因为BD 确定平面β，在平面β内，过点A作中，因为AE＝BD＝5 cm，图9−52C1D1中，B1B⊥平面ABCD1，因此AC⊥平面BB1D1D，内，所以平面B1AC与平面B1BDD图9−54AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形2222BD，3425+=+=cm）．第2题图【教师教学后记】。

2.如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线 段 AB 上一点，且 3AD＝DB，点 C 为圆 O 上一 点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD. 证明：因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥BC. 在 Rt△ABC 中，由 BC＝ 3AC，得∠ABC＝30°. 设 AD＝1，由 3AD＝DB 得，DB＝3，BC＝2 3. 由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AB. 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC，所以 PD⊥CD. 因为 PD∩AB＝D，所以 CD⊥平面 PAB， 又 PA⊂平面 PAB，所以 PA⊥CD.
找 共 性
[过关训练] 1．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.又 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，∴AE⊥平面 PCD. 又 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD， 又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一 线面垂直的判定与性质 [全析考法过关]