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反函数
1．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x
＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表
示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记
作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线
截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
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一、对数1、对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。
实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式． 2、指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。
3、对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④log m na M =nmlog a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ⑤换底公式：log b N =bNa a log log （0<a ≠1，0<b ≠1，N ＞0）.二、反函数1、反函数定义一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=()1fy -。
在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、关于反函数的结论（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与()1y f x -=图像关于直线y=x 对称；若点M （a ，b ）在y=f(x)的图像上，则点'M (b,a)必在()1y fx -=图像上；（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,{}0x ∈除外，其中c 为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如1y x=； 对数、反函数知识梳理（5）y=f(x)与()1y fx -=互为反函数，设f(x)定义域为D ，值域为A ，则有f[()1fx -]=x ()x A ∈,()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦;（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ()1y f x -=,()1x f y -=与函数y=f(x)的比较；（9）y=f(x)与()1y fx -=图像若有公共点，并非一定在y=x 上，例如：f(x)=116x⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1116log f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x 对称3、求反函数的步骤（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；（2）反解：由y=(x)解出()1x f y -=；（3）改写：在()1x fy -=中，将x,y 互换得到()1y f x -=；（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
高中数学解题技巧之函数反函数求解在高中数学中，函数反函数是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
理解和掌握函数反函数的求解方法，对于解题和理解数学概念具有重要意义。
本文将介绍函数反函数的求解技巧，并通过具体的例题进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
函数反函数的求解是指在已知一个函数的情况下，找到它的反函数。
反函数是指将原函数的自变量和因变量互换位置后得到的新函数。
要求一个函数有反函数，首先需要保证原函数是一一对应的，即每个自变量对应唯一的因变量。
接下来，我们将介绍函数反函数的求解方法。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个函数 f(x) = 2x + 3，我们需要求解它的反函数。
我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将 f(x) = 2x + 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 x = 2f(x) + 3。
2. 解方程 x = 2f(x) + 3，将 f(x) 表示为 x 的函数。
3. 将方程 x = 2f(x) + 3 移项得到 2f(x) = x - 3。
4. 将方程 2f(x) = x - 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 f(x) = (x - 3) / 2。
通过以上步骤，我们成功地求解出了函数 f(x) = 2x + 3 的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。
这个例子展示了函数反函数求解的基本步骤。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个函数 g(x) = e^(2x + 1)，我们需要求解它的反函数。
对于指数函数的反函数求解，我们可以按照以下步骤进行：1. 将 g(x) = e^(2x + 1) 中的 x 和 g(x) 互换位置，得到 x = e^(2g(x) + 1)。
2. 将方程 x = e^(2g(x) + 1) 取对数，得到 ln(x) = 2g(x) + 1。
3. 将方程 ln(x) = 2g(x) + 1 中的 g(x) 表示为 x 的函数。
高中阶段的反函数
反函数是高中数学中一个重要的概念。
在数学中，如果一个函数的输入和输出可以通过某种规则互相转化，那么这个函数就有一个相应的反函数。
反函数用来描述一个函数的逆运算，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和特点。
在高中数学中，反函数是一个重要的概念，它涉及到函数的对称性、单调性、极值和零点等方面的问题。
反函数的求法可以通过交换自变量和因变量，或者利用反函数的定义式来得到。
反函数的性质和特点都可以通过具体的例子来进行说明。
例如，对于函数y = 2x + 1，它的反函数为x = (y - 1) / 2。
通过这个例子，我们可以看到反函数的输入和输出互换的特点，即原函数的自变量变成了反函数的因变量，原函数的因变量变成了反函数的自变量。
在高中数学中，反函数还涉及到复合函数的概念。
如果两个函数互为反函数，那么它们的复合函数就等于自己，即f(g(x)) = g(f(x)) = x。
这个性质可以帮助我们更好地理解反函数的逆运算和复合函数的概念。
总之，反函数是高中数学中一个重要的概念，它涉及到函数的对称性、单调性、极值和零点等方面的问题。
我们需要认真学习和掌握反函数的定义、求法和性质，以便更好地理解和应用函数的相关知识。
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反函数基本公式大全反函数基本公式大全：一、反三角函数公式:1、arcsin(-x)=-arcsinx2、arccos(-x)=π-arccosx3、arctan(-x)=-arctanx4、arccot(-x)=π-arccotx5、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx6、sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)7、当x∈〔—π/2,π/2〕时,有arcsin(sinx)=x8、当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x9、x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x10、x∈(0,π),arccot(cotx)=x11、x〉0,arctanx=arctan1/x,12、若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)二、高中数学反函数：1、反正弦函数：正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
2、反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]3、反正切函数：正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。
定义域R，值域(-π/2，π/2)。
4、反余切函数：余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。
定义域R，值域(0，π)。
高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。
故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ）A. y x x =+≥-()()113B. y x x =-+≥-()()113C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113故选（B ）。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型 例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。
在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。
一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。
如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。
这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。
一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。
即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。
2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。
3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。
二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。
下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。
具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。
2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。
具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。
3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。
具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。
高中数学反函数教案一、教学目标1. 理解函数与反函数的概念，能够求解反函数；2. 掌握反函数的性质和求解方法；3. 能够应用反函数解决相关问题。
二、教学重点1. 函数与反函数的概念；2. 反函数的求解方法；3. 反函数的性质。
三、教学内容1. 函数与反函数的概念- 函数的定义和表示：定义域、值域、映射关系；- 反函数的定义：对任意的y，存在唯一的x，使得f(x)=y，则称y关于x的函数为f的反函数，记为$f^{-1}$(y)。
2. 反函数的求解方法- 交换x和y的位置，并解出y，得到反函数表达式；- 注意判断反函数的存在性和唯一性。
3. 反函数的性质- 函数与反函数互为反函数；- 函数与反函数的图像关于y=x对称；- 反函数的定义域与原函数的值域相同，反函数的值域与原函数的定义域相同。
四、教学过程1. 导入：通过实例引入函数与反函数的概念，让学生理解反函数的概念。
2. 讲解：介绍函数与反函数的定义、求解方法和性质，引导学生掌握。
3. 练习：设计反函数的求解问题，让学生灵活运用反函数的概念来解决问题。
4. 总结：归纳反函数的概念和性质，让学生总结学习内容。
五、教学案例已知函数$f(x)=2x+1$，求其反函数。
解：设反函数为$y=f^{-1}(x)$，则有$y=2x+1$，交换x和y的位置可得$x=2y+1$，解出y 得$y=\frac{x-1}{2}$，因此，函数的反函数为$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$。
六、课堂练习1. 已知函数$f(x)=3x-2$，求其反函数；2. 若函数$g(x)$的反函数为$h(x)$，求$f(x)=\frac{1}{g(x)}$的反函数。
七、作业布置1. 完成课堂练习；2. 预习下节课内容，复习反函数的概念和性质。
八、教学反思本节课重点介绍了函数与反函数的概念、求解方法和性质，通过实例讲解和课堂练习，学生基本掌握了反函数的相关知识。
下节课将继续深入探讨反函数的应用和拓展，激发学生对数学的兴趣和探索欲望。
1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕.1.函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数 解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便.【例】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.1.函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是A.y =x 2－2x +2（x ＜1）B.y =x 2－2x +2（x ≥1）C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）2.记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于A.2B.－2C.3 D .－1 3.函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为A.y =2ln x （x ＞0）B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 4.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx-+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx-+11＞1. 当a ＞1时，原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0.∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）5.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）.（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0.∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数.小结：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）.1.求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪4 反函数·基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是[ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是y ＝－，那么另一个函数是x -1[ ]A ．y ＝x 2＋1(x ≤0)B ．y ＝x 2＋1(x ≥1)C ．y ＝x 2－1(x ≤0)D ．y ＝x 2－1(x ≥1)7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点[ ]A ．(a ，f -1(a))B ．(f -1(b)，b)C ．(f -1(a)，a)D ．(b ，f -1(b))8．设函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，则函数y ＝f(－x)的反函数是[ ]A ．y ＝g(－x)B ．y ＝－g(x)C ．y ＝－g(－x)D ．y ＝－g -1(x)(二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________， b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x 义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x---⎧⎨⎪⎩⎪--参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜．3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443比较两边对应项系数得，．a =14b =124y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2作业一、 选择题1、 已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(21)0(2x x x x y 的反函数是( ) A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x yC 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x yD 、()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ） A 、5 B 、5- C 、15 D 、3。
高中数学函数反函数图像分析函数与反函数是高中数学中的重要内容之一，它们在图像分析中起着重要的作用。
本文将通过具体的例题，分析函数与反函数的图像特点和相关考点，并给出解题技巧和使用指导。
一、函数与反函数的概念及性质函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
反函数则是函数的逆运算，即将函数的因变量的值映射回自变量的值。
函数和反函数是一对一对应关系，它们之间存在以下性质：1. 函数与反函数的定义域和值域互换；2. 函数与反函数的图像关于直线y=x对称；3. 函数与反函数的复合等于自变量；4. 函数与反函数的导数互为倒数。
这些性质在图像分析中起到重要的作用，帮助我们更好地理解函数与反函数的关系。
二、函数与反函数的图像特点1. 函数的图像特点函数的图像是自变量和因变量之间的对应关系在坐标系中的表示。
根据函数的不同表达形式，其图像有不同的特点。
例如，考虑函数y=x^2，它的图像是一个开口向上的抛物线。
通过分析函数的一阶导数和二阶导数，我们可以确定函数的增减性、极值点和凹凸性等特点。
这些特点在解题过程中非常重要，可以帮助我们确定函数的性质和图像的形状。
2. 反函数的图像特点反函数的图像是函数图像关于直线y=x对称得到的。
通过对函数图像的观察，我们可以得到反函数图像的一些特点。
例如，考虑函数y=x^2的反函数。
根据函数与反函数的对称性，反函数的图像是一个开口向下的抛物线。
通过对比函数和反函数的图像，我们可以发现它们关于直线y=x对称，这是反函数的一个重要特点。
三、具体例题分析下面通过具体的例题，来说明函数与反函数图像分析的方法和考点。
例题1：已知函数f(x)=2x+3，求它的反函数及其图像。
解析：首先，我们将函数f(x)=2x+3表示为y=2x+3的形式。
然后，将y和x互换得到x=2y+3，再解方程得到y=(x-3)/2，即为函数f(x)的反函数。
函数f(x)=2x+3的图像是一条斜率为2的直线，通过点(0,3)和(1,5)。
高中数学中的反函数与复合函数知识点总结高中数学是一门重要的学科，在学习过程中，我们会接触到许多数学概念和知识点。
其中，反函数和复合函数是数学中的重要概念之一。
本文将对高中数学中的反函数与复合函数知识点进行总结。
一、反函数1. 定义反函数是指在一个函数中，将自变量和因变量对调的过程。
例如，对于函数f(x)，若存在一个函数g(x)，使得g(f(x)) = x，并且f(g(x)) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数。
2. 判断反函数存在的条件为了判断一个函数是否存在反函数，可以使用水平线测试。
即，如果一条水平线与函数的图像相交于最多一个点，那么这个函数就有反函数存在。
3. 求反函数的方法为了求一个函数的反函数，可以按照以下步骤进行操作：- 将原函数的自变量和因变量互换位置，得到一个方程。
- 解这个方程，得到的解即为反函数。
4. 反函数的性质反函数和原函数具有以下性质：- 原函数和反函数的定义域和值域互换；- 原函数和反函数的图像关于y=x对称。
二、复合函数1. 定义复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过对函数进行多次组合运算得到新的函数。
对于函数f(x)和g(x)，它们的复合函数为f(g(x))。
2. 复合函数的表示复合函数的表示是通过将内部函数的输出作为外部函数的输入来实现的。
例如，f(g(x))表示将g(x)的输出作为f(x)的输入。
3. 复合函数的计算顺序计算复合函数时，需要按照从内到外的顺序进行运算。
即，先计算内部函数的值，然后将其作为外部函数的输入进行运算。
4. 复合函数的性质复合函数具有以下性质：- 复合函数的定义域由内部函数的定义域和外部函数的值域共同确定；- 复合函数的值域由内部函数的值域和外部函数的值域共同确定。
三、反函数与复合函数的关系1. 结合律对于反函数和复合函数，反函数的求解与复合函数的结合律相关。
即，对于函数f(x)和g(x)的反函数，有以下关系：- (f·g)⁻¹ = g⁻¹·f⁻¹2. 简化复合函数的求解在求解复合函数时，可以利用反函数的性质来简化运算。
所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。
通俗点即原函数：y=3x-1 反函数：。
由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。
就是将原函数反表示后，再写成函数形式。
例如：y=3x-1求此反函数。
可以这样做：原函数y=3x-1但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。
但是为什么此题有两解。
这是引发了定义域的问题。
从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。
所以，原函数定义域为反函数值域。
所以上题中“”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。
因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。
还有一种解决反函数问题的方法：求解法。
就是把函数方程x当未知数来解。
例如“”求反函数原方程:原方程解：所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。
在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知”遇此类问题时，不妨这样解。
填空或大题中还有此类题“已知，求实数a。
”有些同学初拿此题不知从何处下手。
其实只需写出，一切都可解开。
解：反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。
所以有些题可利用图象即数形结合求解。
如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是：A. (-f(a),a)B. (-f(a),-a)C. (-a,-f-1(a))D. (-a,-f-1(a))此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。
解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a)f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a))f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a).“设函数的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。
”此题关键在于反函数φ（x)。
多次反函数，可求解。
