最新基本不等式求最值练习精华选辑左

基本不等式—最值问题1．已知1x >，则41x x +-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6 2．设,x y R +∈,且191x y +=,则x y +的最小值为（ ） A ．6 B ．12 C ．14D ．16 3．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则3x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．10D ．84．若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞ B ．()[),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．()4,2-5．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值是( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8 6．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（ ）A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定7．已知正数,a b 满足10ab =，则2+a b 的最小值是 ( )A. B. C. D.8．若0,0a b >>，223ab a b ++=，则2a b +的最小值是( )A ．1B ．32 C D ． 29．若实数x,y 满足x 2y 2+x 2+y 2=8，则x 2+y 2的取值范围为________.10．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是_________.11．函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为________. 12．已知直线1ax by +=经过点()1,2，则24a b +的最小值为_________.13．已知0,0,2=32,x y x y xy >>+-，则2x y +的最小值为_________.14．已知不等式240x mx ++>对一切[]1,3x ∈恒成立，则实数m 的取值范围为________．15．若对任意0x >，都有241x a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 16．若,0a b >，且3ab a b =++，求（1）ab 的取值范围；（2）a b +的取值范围.再接再厉题组17．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y ++的最小值为_________. 18．设0,1a b >>，若4121a b a b +=+-，则的最小值为_________. 19．ABC ∆中， ()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，若4b c +=，则a 的取值范围是_______.20．2241sin cos x x+的最小值为_________. 21．已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则111a b c ++的最小值是________． 22．在ABC △中，π3B =，若ABC △3，则ABC △周长的最小值为_________． 23．△ABC 三边a,b,c ，满足a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，则三角形ABC 是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.直角三角形24．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意12,[0,)x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且对于任意的[1,3]t ∈，都有2()(2)0f mt t f m -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 勇攀高峰题组25．若0x >，0y >，21x y +=，则2xy x y+的最大值为_________. 26．已知,0x y >，33122x y +=++，则2x y +的最小值为_________. 27．设01x <<，a ，b 都为大于零的常数，则221a b x x+-的最小值为（ ）。

ʏ喻 芳利用不等式求最值的实质是a b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b >0),a b ɤa +b 22ɤa 2+b22(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )㊂A.2 B .4C .6D .8(2)已知0<x <1,则函数f (x )=x 3(1-x 3)的最大值为㊂(1)由x >0,y >0,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2y 2z 2=8(当且仅当x =y =z =1时等号成立)㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3)ɤx 3+1-x322=14,当且仅当x 3=1-x 3,即x =312时等号成立㊂故所求的最大值为14㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值㊂(2)若x ȡ72,则f (x )=x 2-6x +10x -3有( )㊂A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2(1)由x <54,可得5-4x >0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3=-5-4x +15-4x+3ɤ-2(5-4x )ˑ15-4x+3=1,当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时等号成立,所以y 的最大值为1㊂(2)由x ȡ72,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2+1x -3=(x -3)+1x -3ȡ2(x -3)ˑ1x -3=2,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立,所以f (x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2+b x +ck x +m的分式函数求最值,可化为y =m g (x )+Ag (x)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂题型三:常数代换法求最值例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3,81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则1p +2+1q +1的最小值为( )㊂A.23B .53C .74D .95由p ,q 为正实数,p +q =3,可知p +2+q +1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+1q +1 ㊃p +26+q +16 =13+16p +2q +1+q +1p +2 ȡ13+16ˑ2p +2q +1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =1,q =2时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件最值问题㊂题型四:消元法求最值例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则当x yz 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为㊂正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则z =x 2-3x y+4y 2,所以x y z =x yx 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x -3=1,当且仅当x =2y 时等号成立,所以x yzm a x=1,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2㊂所以1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121y -12+12ɤ12,所以1x +12y -1z的最大值为12㊂感悟:解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂题型五:换元法求最值例5 若正数a ,b 满足2a +b =1,则a 2-2a +b2-b的最小值是㊂设u =2-2a ,v =2-b ,则a =2-u2,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-12uu +2-vv=1u +2v -32=13(u +v )1u +2v-32=13㊃3+v u +2u v-32ȡ133+2v u ㊃2uv-32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2=2u 2,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂感悟:换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值㊂题型六:构建不等式求最值例6 (1)已知正实数x ,y 满足x y =x +y +8,则x +y 的最小值为㊂(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =8,则x y 的最大值为㊂(1)由正实数x ,y ,可得(x +y )2=x 2+y 2+2x y ȡ4x y(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ(x +y )24,即(x +y )2-4(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

基本不等式求最值练习一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

利用基本不等式求最值提高训练方法总结：1、创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．2、常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．(1)a ＋≥2(a>0，且a ∈R)，当且仅当a ＝1时“＝”成立．1a(2)＋≥2(a>0，b>0，a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．b a a b(3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用对勾函数单调性法．一般地函数y ＝ax ＋，当a>0，b>0b x时函数在[－，0)，(0, ]上是减函数，在(－∞，－)，( ，＋∞)上是增函数；当a<0，b<0时，可b a b a b a b a作如下变形：y ＝－[(－ax)＋(－)]来解决最值问题．b x1、。

且且且且)0(22>+=x x x y 2、。

且且且且)210)(21(21)(<<-=x x x x f 3、。

.)2(4122且且且且>-+=x x x y 4、的最小值。

)1(11462->+++=x x x x y 5、的最大值。

)2(2122<-+-=x x x x y 6、设，求得最小值.0>>b a )(112b a a ab a -++7、且且且且且且且且y x y x R y x lg lg ,2052,,+=+∈+8、..)(log ,2,124lg 且且且且且且且且ab a a b =>9、已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　C )1a 1bab A ．2 B ．2 C ．4 D ．52解析：因为＋＋2≥2＋2＝2(＋)≥4，当且仅当＝，且＝，1a 1b ab 1ab ab 1ab ab 1a 1b 1abab 即a ＝b 时，取“＝”号．10、已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则＋的最小值是(　D )1x 1yA ．2B ．433C ．2＋ D ．4＋233解析：lg2x ＋3y ＝lg2，所以x ＋3y ＝1，而＋＝(＋)(x ＋3y)＝4＋＋≥4＋2.1x 1y 1x 1y x y 3y x311、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋)(y ＋)的最小值为________．1x 1y解一：因为对a>0，恒有a ＋≥2，从而z ＝(x ＋)(y ＋)≥4，所以z 的最小值是4.1a 1x 1y解二：z ＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z 的最小值是2(－1)．2＋x 2y 2－2xy xy 2xy 2xy ·xy 22【错因分析】　错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】　z ＝(x ＋)(y ＋)＝xy ＋＋＋＝xy ＋＋＝＋xy －2，1x 1y 1xy y x x y 1xy x ＋y 2－2xy xy 2xy 令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤()2＝，由f(t)＝t ＋在(0，]上单调递减，故当t ＝时， f(t)＝t ＋有最小值x ＋y 2142t 14142t，所以当x ＝y ＝时z 有最小值.33412254应用基本不等式解决实际问题(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答．1、围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【分析】　(1)首先明确总费用y ＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y 与x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．【解】　(1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝，360x所以y ＝225x ＋－360(x>2)．3602x(2)∵x>2，∴225x ＋≥2＝10800.3602x225×3602∴y ＝225x ＋－360≥10440.当且仅当225x ＝时，等号成立．3602x 3602x即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．2、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如上图）。

第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。

过关练05 利用基本不等式求最值一、单选题1．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,a b 满足41a b +=，则11a b +的（ ）A ．最大值为9B ．最小值为9C ．最大值为8D ．最小值为8【解析】因为正实数,a b 满足41a b +=， 所以()11114552944a aa b a b a b b b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b =，即123a b ==取等号， 所以11a b+的最小值为9，无最大值. 故选：B2．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134 B ．94C ．74D ．95【解析】∵2m n +=， ∴()()114m n +++=，即11144m ++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++ ()11521414n m m n ++≥⋅++94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .3．（2022·云南红河·高一期末）函数()()210x x f x x x++=>的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】当0x >时，()21111213x x f x x x x x x++==++≥⋅=， 当且仅当1x =时，等号成立，故()f x 的最小值为3. 故选：B.4．（2022·四川乐山·高一期末）小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为225m 的矩形菜园，墙长为18m ，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考23 1.7≈≈）（ ） A ．28mB ．42mC ．14mD ．21m【解析】设矩形的长、宽分别为x m(x ≤18 )，y m ，篱笆的长为l m ，则2l x y =+，且25xy =， 则22210214()=+≥=≈l x y xy m ，当且仅当27=≈x y (m)，符合题意， 即长、宽分别略为7m 、3.5m 时，篱笆的最短长度为214(m)l x y =+=， 故选：C ．5．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ） A ．6B ．8C ．14D ．16【解析】因为8ab =，所以()222216a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---.因为a b >，所以0a b ->，所以16162()8a b a b a b a b -+≥-⋅=--，即28a b a b+≥-， 当且仅当4a b -=时，等号成立，故222a b a b+--的最小值是6. 故选：A6．（2022·陕西·长安一中高一期末）当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2-∞，B ．[)2+∞，C ．[)3+∞，D ．(]3-∞，【解析】当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立， 11a x x ∴≤+-对1x >均成立． 由于111121311x x x x +=-++≥+=--， 当且仅当2x =时取等号， 故11x x +-的最小值等于3， 3a ∴≤，则实数a 的取值范围是(]3-∞，． 故选：D ．7．（2022·河南焦作·高一期末）已知0x >，0y >，且x +2y =2，则2x xy+的最小值为（ ）A ．322-B ．32C ．32D ．322+【解析】()2211122233222x x x yy x x y xy xy y x x y ⎛⎫⎛⎫+++==⨯+⨯⨯+=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2x yy x=，即2x =时取等号，故2x xy+的最小值为322+故选：D8．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解析】1x >-，∴函数4(1)12(1)144413111y x x x x x x =+=++-≥+⨯=-=+++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号． 因此函数41y x x =++的最小值为3． 故选：A ．9．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知a ＞0，b ∈R ，若0x >时，关于x 的不等式()2(1)40ax x bx -+-≥恒成立，则4b a+的最小值是（ ） A ．4 B ．23C ．42D ．3【解析】设()1f x ax =-，2()4g x x bx =+- 因为0a >，所以当10x a<<时，()10f x ax =-<， 当1x a>时，()10f x ax =->， 根据不等式()()2140ax x bx -+-≥可知21040ax x bx -≤⎧⎨+-≤⎩或21040ax x bx -≥⎧⎨+-≥⎩ 对于2()4g x x bx =+-，必有211()=+-4=0b g a a a 即14b a a=-则当0a >时，41433(4)4243b a a a a a a a a+=-+=+≥⨯=当且仅当3a = 所以，2b a+的最小值为3故选:D.10．（2022·四川内江·高一期末（理））已知正实数a 、b 满足11m a b +=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+【解析】因为,a b 为正实数， 11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12abab 1224abab，当1ab ab =，即1ab =时等号成立， 此时有1b a=， 又因为11m a b+=，所以1am a，由基本不等式可知12a a+≥（1a =时等号成立）， 所以2m ≥. 故选：B.11．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9B ．16C ．49D ．81【解析】由题意得332727ab a b ab =++≥，得)627930ab ab ab ab -=≥，9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立． 故选：D12．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知0a >，0b >，2a b +=，则211a b a b+++的最小值为（ ） A ．43B ．73C ．52D ．3【解析】因为2a b +=，所以2b a =-，则21221121111111a b a a a a b a b a b a b++-++=+=+=++++++， 因为()1111111114122233331111b a b a a b a b a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当11b a a b +=+，即13,22a b ==时，取等号， 所以211a b a b+++的最小值为73.故选：B.13．（2022·四川绵阳·高一期末）若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{}41m m -<< B ．{1m m <-或}4m > C ．{}14m m -<< D ．{0m m <或}3m >【解析】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦()16114202941x y x y ⎡+≥+⋅=⎢+⎢⎣， 当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<，即 ()()410m m -+<，解得14-<<m . 故选：C.二、多选题14．（2022·福建龙岩·高一期末）设0,0a b >>，且231a b+=，则下列不等式成立的是（ ）A ．3b >B ．24ab ≤C ．224912a b +≥ D ．2743a b +≤+【解析】对于选项A ，因为0,0a b >>，且231a b+=，则231a b=-， 由0a >，则231b>-，即310b->，解得3b >，故A 正确， 对于选项B ，因为0,0a b >>，所以12323a b a b +=≥⋅2123a b ==时取等号，此时612ab ≤，解得24ab ≥，故B 错误； 对于选项C ，0,0a b >>，且231a b +=，则2249121a b ab ++=，即2249121a b ab+=-，由选项B 可得：22491212111112422a b ab +=-≥-=-=，当且仅当2123a b ==时取等号，故C 正确； 选项D ：因为()23262622772743b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭，当且仅当26=b aa b时取等号，故D 错误. 故选：AC ．15．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知,0,260x y x y xy >++-=，则（ ） A ．xy 2B ．2x y +的最小值为4 C ．x y +的最小值为423- D ．22(2)(1)x y +++的最小值为1【解析】由,0,2622x y x y xy xy >+=-≥32200202xy xy xy xy ≤⇒<<≤，当且仅当2,1x y ==时等号.故A错，()()()222112,0,262622228x y x y x y x y x y x y ++⎛⎫>⋅=-+≤⇒-+≤ ⎪⎝⎭， 进而可得：()()21224024x y x y x y +++-≥⇒+≥，当且仅当2,1x y ==取等号，故B 正确， 令x y m +=，则0m >，所以y m x =-，故260x y xy ++-=可化为2()()60x m x x m x +-+--=，整理得2(1)620x m x m +-+-=，由0∆，得2(1)4(62)0m m --⨯-，即26230m m +-，解得423m -或423m --（舍去），C 正确，D ，22(2)(1)2(2)(1)2(22)16x y x y xy x y +++++=+++=，当且仅当222,221x y ==时等号成立，D 错误故选：BC ．16．（2022·福建·福州三中高一期末）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为42【解析】对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确． 对于B ：由0a >，0b >，122a b ab =+≥18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-， 所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b <<+，故C 错误； 对于D ：11222212332a b a b b a b a a b a b a b a b+++=+=+++≥+⋅=+ 当且仅当2b a a b =，即22b -=21a =时取等号，故D 错误； 故选：AB17．（2022·广西玉林·高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称2a b+为正数a ，b 的算术平均数，ab a ，b (0,0)2a bab a b +≤>>叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）A ．若1ab =，则2a b +≥B ．若110,0,1>>+=a b a b，则a b +的最小值为42C ．若0,0,21a b a b >>+=，则1142a b+≥ D ．若实数a ，b 满足0,0,4a b a b >>+=，则2222+++a b a b 的最小值为2 【解析】对于A ，若1,1a b =-=-，则22+=-<a b ，A 错误； 对于B ，∵0,0a b >>，∴0a b >，0ba>， ∴11()2224⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭a b a b a b a b a b b a b a（当且仅当a bb a=，即a b =时取等号），即a b +的最小值为4，B 错误； 对于C ，∵,(0,)a b ∈+∞，∴0a b >，0ba>，又21a b +=， 111122(2)22242222⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭b a b aa b a b a b a b a b （当且仅当22b a a b =，即122b a ==时取等号），C 正确； 对于D ，令22,22+=>+=>a m b n ，则8m n +=，∴222(2)22-+=+++a b m a b m 22(2)44443232822-=+++-=+=≥=+⎛⎫⎪⎝⎭n m n n m n m n mn m n （当且仅当4m n ==时取等号），即2222+++a b a b 的最小值是2．D 正确． 故选：CD18．（2022·湖南邵阳·高一期末）已知0x >，0y >，且21x y +=，若21+-mxyx y m ≤对任意的0x >，0y >恒成立，则实数m 的可能取值为（ ）A ．12B ．98C ．3D ．1716【解析】0,0x y >>， 212211mxy m x y x y m m xy y x+∴≤+⇔≤=+--， 即min121mm y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭，()1212222225529x y x y x y y x y x y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当22x y y x =，即13x y ==时，等号成立， 即91m m ≤-，9890011m m m m --≤⇔≤-- 解得：98m ≥或1m <， 选项中满足条件的有ABC. 故选：ABC.三、填空题19．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知1a b +=，若0a >且0b >，则ab 的最大值为___________.【解析】因为0a >且0b >，1a b ab +=≥ 当且仅当1a b ==时取等号， 所以14ab ≤， 所以ab 的最大值为14.故答案为：14.20．（2022·江苏淮安·高一期末）已知实数x ，y >0，且11y x =-，则12x y +的最小值是________．【解析】∵x ，y >0，且11y x=-，∴11y x+=， ∴11112223223x x y xy y y x xy⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当12xy xy =，即21,21x y =+=时取等号， ∴12x y+的最小值是223， 故答案为：22321．（2022·四川广安·高一期末（理））已知正实数m ，n 满足21m n +=，则42n m n++的最小值为__________．【解析】因为()42428282288216n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++⨯= ⎪⎝⎭≥， 当且仅当82n m m n =，即1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以4242117n m n m n++=++≥． 故答案为：1722．（2022·广西百色·高一期末）若0a >，0b >，21a b +=，则211a b++的最小值为____________. 【解析】2121441=1(2)5529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122a b ==时等号成立） 则211a b++的最小值为9 故答案为：923．（2022·河南安阳·高一期末）0a >，0b >，且111a b +=，则b a a +的最小值为______.【解析】解法一：因为111a b+=所以111123b b b a a a a a a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当2a b ==时等号成立. 解法二：设1x a=，1y b =，则1x y +=，所以11213b x x x y x ya a y x y x y x ++=+=+=++≥+= 当且仅当12x y ==时等号成立. 故答案为：324．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知0a >，0b >，且122243a b +=+-，则2a b +的最小值为________.【解析】∵0a >，0b >，且122243a b +=+-，∴[]31222(2)(4)2(2)(4)224a b a b a b a b ⎛⎫+=++-=⨯++-+ ⎪+-⎝⎭()344(2)3444122242b a a b -+⎡⎤=⨯++≥⨯+=⎢⎥+-⎣⎦， 当且仅当44(2)24b a a b -+=+-，即14a =，172b =时取等号， 故2a b +的最小值为12． 故答案为：12．四、解答题25．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知集合(){}121212,1,0,0D x x x x x x =+=>>． (1)设12u x x =，求u 的取值范围；(2)对任意()12,x x D ∈，证明：12121194x x x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】（1）解：若12u x x =，又121x x =+，则()21211111u x x x x x x ==-=-+，101x <<，所以211y x x =-+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当112x =时，211y x x =-+取得最大值14， 故u 的取值范围为10,4⎛⎤⎥⎝⎦．（2）证明：121212121221111x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212121212121212112x x x x x x x x x x x x x x -+-++=+=+1292+24x x u =+=≤，当且仅当1212x x ==时取等号． 26．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知3x >，求43x x +-的最小值； （2）已知,x y 是正实数，且1x y +=，求13x y +的最小值．【解析】（1）∵3x >，即30x ->， ()443333x x x x ∴+=+-+--()4334373x x ≥⨯-=+=-， 当且仅当433x x =--，即5x =时取等号， ∴43x x +-的最小值为7． ()2x ，y R +∈，()131333442423y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3y x =，即312x -=，332y -=时取等号． ∴13x y+的最小值为423+． 27．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y 212x =-200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【解析】（1）由题意可知：()21200800003006002y x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：8000080000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=， 当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立， ∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）该单位每月的获利：()221110020080000(300)3500022f x x x x x ⎛⎫=--+=--- ⎪⎝⎭，因300600x ≤≤，函数()f x 在区间[]300,600上单调递减，从而得当300x =时，函数()f x 取得最大值，即()max ()30035000f x f ==-， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.28．（2022·河北保定·高一期末）如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽2m ，苗圃与通道之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积25000m ，求栅栏总长的最小值；(2)若苗圃带通道占地总面积为25000m ，求苗圃面积的最大值．【解析】（1）设苗圃的两边长分别为a ，b （如图），则5000ab =，222200a b ab +≥=，当且仅当5000,2,ab a b =⎧⎨=⎩即50,100a b =⎧⎨=⎩时取“=”，故栅栏总长的最小值为200米．（2）()()2450004249920a b ab a b ++=⇒++-=， 而4282a b ab ab +≥=4249920ab ab +≤， ab t =，则24249920t t +-≤，因式分解为(5224820t t +-≤，解得522482t -≤≤482ab ≤4608ab ≤，当且仅当2,482b a ab =⎧⎪⎨=⎪⎩4896a b =⎧⎨=⎩时取“=”，故苗圃面积的最大值为4608平方米．29．（2022·云南红河·高一期末）某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3x -与1t +成反比例，当年促销费用0=t 万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． (1)求x 关于t 的函数；(2)将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数； (3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 【解析】（1）由题意：3x -与1t +成反比例，所以设3(0)1kx k t -=≠+， 将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2，所以23(0)1x t t =-≥+. （2）当年生产x (万件)时，年生产成本为：232332(3)31x t +=-++，当销售x (万件)时，年销售收入为：21150%32(3)312t t ⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦+，由题意，生产x 万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，所以212150%32(3)332(3)3121y t t t t ⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦+即：298352(1)t t y t -++=≥+（t 0）.（3）由（2）有：229835(21)100(1)64=2(1)2(1)t t t t t y t t -++++-++=-++ 13250()21t t +=-++ 因为0t ≥，所以13221621t t ++≥+13221t t +=+，即7t =时，等号成立.所以，13250()502164221t y t +=-+≤-+，即max =42y .所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．。

一题多解之利用基本不等式求最值用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键。

例、已知正数a,b 满足311=+b a ，求b a +的取值范围。

思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用311=+b a 将ba +中的b 用a 表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对311=+b a 变形，获得b a +与ab 的关系，然后利用解不等式消去ab 建立b a +的不等式求解.解析：方法一：由311=+b a 得ab b a 3=+，13-=∴a a b ，由于a>0,b>0，可得31>a ，于是 )31(913113-++=-+=+a a a a a b a 3432)31(91)31(232)31(9131=+-⨯-≥+-+-=a a a a ， 当)31(9131-=-a a ，即32=a 时取等号，b a +∴的取值范围是),34[+∞令t ta a a g +-=33)(2，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⨯--≥⨯-=∆+-=0)31(31323034)3(33)(22g t t t t ta a a g解得34≥t ， 所以b a +的取值范围是),34[+∞ 运用基本不等式求最值的技巧： 1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一 个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后， 在运用基本不等式。

2、妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常 数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本 不等式求最值. 针对性练习：1.已知a ＞0,b ＞0,131,a b+=则a+2b 的最小值为( ) (A)726+(B)23 (C)723+ (D)14 解析：选A.()133a 2b a 2b a 2b ()16726,a b b a+=++=+++≥+Q ∴a+2b 的最小值为72 6.+ 2.若-4＜x ＜1，则2x 2x 2f (x)2x 2-+=-( ) (A)有最小值1 (B)有最大值1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-13.已知0＜x ＜1，则4y lgx lgx=+的最大值为_________. 解析：∵0＜x ＜1，∴lgx ＜0，-lgx ＞0. ()4y lgx ()244lgx∴-=-+-≥=，即y ≤-4. 当且仅当41lgx x lgx 100-=-=，即时等号成立，故y max =-4. 4.已知函数2x 2y (x 2).x x 1+=-++＞ (1)求1y 的取值范围； (2)当x 为何值时，y 取何最大值？5.已知a>0,b>0，a+b=2,则14a b+的最小值是( )(A)72(B)4 (C)92(D)5解析：选C.由已知可得14a b1412a b()2a b2a b2b2a++=⋅+=+++≥52a b922b2a2+⋅=，当且仅当24a b33==，时取等号，即14a b+的最小值是92.6.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+1ab的最小值为( )(A)2 (B)4 (C)174(D)227.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为( )(A)5 (B)7 (C)8 (D)9解析：选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，因此m2,n1,(m2)(2n2)8.>⎧⎪>⎨⎪--=⎩于是4n1.m2=+-所以444m n m1m232(m2)37.m2m2m2+=++=-++≥-=---g当且仅当4m2,m2-=-即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.。

利用基本不等式求最值一.含单变量的最值问题1.基础题：1.已知0<x<13, 则x(1－3x)的最大值为.2.若f(x)=x+1x−2(x>2), 则f(x)的最小值为.变式2.若f(x)=x+2x−3x−2(x>2), 则f(x)的最小值为.3.设x＞−1, 求y=x2+7x+10x+1的最小值.变式3.若x＞0, 则y=2xx2+1的最大值为.4.若0<x<1,则f(x)=1x +41−x的最小值是.变式4.若0<x<1,则f(x)=1x +4x1−x的最小值是.【小结】常用方法技巧：配凑、添项、拆项、取倒等.【答案】1. 1122. 4 变式2. 63. 9 变式3. 14. 9 变式4. 5【练习】1.若－1<a<0，则不等式2a −11+a的最大值为.2.若x∈(0,1), 则1x +2x1−x的最小值是( )A. 2√2B. 1+2√2C. 2+2√2D. 3+2√23.若x＞−1, 则y=(x+10)(x+2)x+1的最小值为.【答案】1. －3－2√2 2. B 3. 162.综合题：1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4 ，S10=110，则S n+64a n的最小值是（）A. 7B.152C.172D.82.若关于x的不等式2x2−4x+5x−1≥m在(1,+∞)上恒成立，则m的取值范围为（）A. (－∞,2√6] B.(－∞,2√2] C. (－∞,2√3] D. [2,+∞)变式：若存在x∈(1,+∞)使得不等式2x 2−4x+5x−1<m的解集非空，则m的取值范围为（）A. (2√6,+∞)B. (2√2,+∞)C.( 2√3,+∞)D. (2,+∞)3.已知f(x)=x2−mx+2m−4 (m∈R). 当x>2时，不等式f(x)≥−1恒成立，求m的取值范围.【答案】1. C 2. A 变式. A 3. (－∞,6]二.含双变量的最值问题1.基础题：1.已知x ＞0, y ＞0, x+y+2xy －4=0，求x+y 的最小值及xy 的最大值. 变式1：已知x ＞0, y ＞0, x+y －2xy =0，求x+y 的最小值及xy 的最小值.2.若x+3y －2=0, 则3x +27y +1的最小值 .3.已知a ＞0, b ＞0, a+b ＝2, 求y = 1a +4b 的最小值. 变式3：正实数a,b 满足a+b ＝2, 求ab 4a+b 的最大值.【小结】常用方法技巧：消元、配凑、变形、1的代换、添项、取倒等. 【答案】1. 2；1 变式1. 2；1 2. 7 3. 92 变式3. 29【练习】1.已知正实数x , y 满足x+4y －xy =0，求x+y 的最小值是 ；xy 的最小值是 .2.若log 2 x+log 4 y =1, 则x 2+y 的最小值是( )A. 2B. 2√3C. 4D. 2√2 3.在等差数列{a n }中，若a 1－a q = a p －a 5，则2p +12q 的最小值是 .【答案】1. 9；16 2. C 3. 34 2.综合题：1.已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n =4a 22，则2m +12n 的最小值为( ) A. 34 B.12 C. 13 D. 16 2.若正实数a,b 满足 1a+1b ＝1,则4a−1+16b−1的最小值为( )A. 16B. 25C. 36D. 49 3.在等比数列{a n }中，若a 3a 6 =a p a q ，则1p+9q 的最小值为 .变式：已知92是p 和q 的等差中项，且实数p,q 均为正数，则1p+9q的最小值为 .4.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c , ∠ABC = 23π,∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a+c 的最小值为 .5. 若正实数a,b 满足 12a+b +1a+2b ＝1,则a+b 的最小值为 . 【答案】1. A 2. A 3. 2514 变式.1694. 95. 43 三、连用不等式求最值1.若实数a,b 满足ab ＞0，则a 2+4b 2+1ab 的最小值为( C )A. 8B. 6C. 4D. 22.若a ＞0, b ＞0, 且a 2+4b 2=(ab)2,则a 4+16b 4的最小值是 128 .四、综合训练1. (2019天津卷) 设x ＞0, y ＞0，x+2y=5，则√xy的最小值为 4√3 .2.(2020南阳期中)已知x ＞0, y ＞0, 1x +2y ＝1, 若2x+y ≥k 2+k +2恒成立,求k 的取值范围. [－3,2] 变式：已知x ＞0, y ＞0, 1x+2y ＝1, 若2x+y ＜k 2+k +2有解,求k 的取值范围. (－∞,−3]∪(2,+∞)3. (2018天津卷)已知a,b ∈R,且a －3b +6=0,则2a +18b 的最小值为 14.变式2：正实数a,b 满足a+b =4,求1a+1+1b+3的最小值. 124.已知x ＞0, y ＞0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +13y 的最小值是（ C ） A.2 B. 2√2 C.4 D. 2√35.已知直线mx －y+n =0过点(2,1)，且m 、n 为正数, 则2m +1n 的最小值是 9 ，mn 的最大值是 18 . 6.若直线2ax －by +2=0(a ＞0, b ＞0)被圆x 2+y 2+2x －4y +1=0截得的弦长为4,则1a +1b 的最小值是 4 . 7.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1),OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b,0)(a ＞0, b ＞0,O 为坐标原点).若A 、B 、C 三点共线，则2a+1b的最小值是（ D ）A.4B. 92 C.8 D.98.已知x , y 满足{x ≥2y ≥2 x +y ≤8, z =x a +yb(a ≥b >0)的最大值为2,则a+b 的最小值为( D )A. 4+2√3B. 4+2√2C.9D. 8 9.已知x+y =1x+9y +6(x >0,y >0),则x+y 的最小值为( C )A. 6B. 7C. 8D. 9 10.若正实数a,b 满足 1a+2b＝1,则2a−1+1b−2的最小值为 2 .11.若不等式1a−b +1b−c +λc−a >0对于任意的a ＞b ＞c 恒成立，则实数λ的取值范围是( A ) A. (－∞,4) B.(－∞,4] C. (4,+∞) D. [4,+∞) 12.已知f (x )=|lgx |,若0<a<b ，且f (a )=f (b ), 则a+b 的范围是( C )A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (2,+∞)D. [2,+∞) 13.在△ABC 中，若tanAtanB =4, 求tan (A －B )的最大值. 3414.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对于任意p , q ∈N *, 都有a p+q =a p ·a q ，则S n−1·(S n−1+2)+256a n(n∈N *，n ≥2)取得最小值时，n =( D )A. 1B. 2C. 3D. 415.已知等比数列{a n }中，a 2=1，则其前3项的和S 3的取值范围是( D )A. (－∞,−1]B. (－∞,0)∪(1,+∞)C. [3,+∞)D. (－∞,−1]∪[3,+∞)16.在等比数列{a n }中，若a 2017 a 2019 a 2021= a 2017 + a 2019 + a 2021，则a 2019的取值范围是 (－∞,−√3]∪[√3,+∞) .17.设a ＞0, b ＞0.若2是2a 与2b 的等比中项，则ab −√ab 的取值范围是( C ) A. [－12,0] B. (－12,0) C. [－14,0] D. (－14,0)18.已知正实数x,y 满足x > y , x 3y +xy 3=4+2x 2y 2,则x + y 的最小值为 2√2 ,此时y = √2－1 .(第一空3分，第二空2分)19.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2018=√22，则1a2017+2a2019的最小值为 4 .。

第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②叫做正数a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y+=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（ ） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x ++=>；（2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A B C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()+∞B ．(-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（ ）A0 B ．有最大值为2491，最小值为0 CD ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（ ） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。

利用基本不等式求最值的6种基本方法-------------------------------------题型一直接法求最值-------------------------------------1.已知x>0,y>0，且x+y=12，则xy的最大值为()A.16B.25C.36D.49【答案】Cl【变式1-1】设x>0，y>0，且xy=4，求1x+1y的最小值是()A.1B.2C.-1D.-2【答案】Al【变式1-2】若0<x<8，则x8-x的最大值为()A.9B.16C.49D.64【答案】Bl【变式1-3】已知0<x<2，则y=x4-x2的最大值为()A.2B.4C.5D.6【答案】A-------------------------------------题型二配凑法求最值-------------------------------------2.若x>3，则函数f(x)=x+2x-3的最小值为()A.22B.-22C.22+3D.-22+3【答案】Cl【变式2-1】设y=1x+12-x，x∈1,2，则y的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】Bl【变式2-2】若正实数a,b满足a+12b+1=4，则a+2b+1的最小值为()A.2B.3C.103D.4【答案】Bl【变式2-3】已知正数a,b满足a+5b2a+b=36，则a+2b的最小值为()A.16B.12C.8D.4【答案】D-------------------------------------题型三消元法求最值-------------------------------------3.实数x ,y 满足x +y =-1,x >0，则x -yx的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】Cl 【变式3-1】已知正数x ，y 满足x =21-y ，则xy 的最大值为()l A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B l 【变式3-2】设y >0，xy +2y =2，则z =4x +2y 的最小值为()A.0B.1C.2D.4【答案】Al 【变式3-3】负实数x ，y 满足x +y =-2，则x -1y 的最小值为()A.1B.0C.-1D.-4【答案】Bl 【变式3-4】已知正实数x ，y 满足x 2+y 22=1，则x 1+y 2的最大值是.【答案】324/342-------------------------------------题型四乘“1”法求最值-------------------------------------4.已知正实数a ,b 满足4a +b =18，则1a +1b的最小值为.【答案】12l 【变式4-1】已知正数m 、n ，满足2m +3n -mn =0，则2m +3n 的最小值为.【答案】24l 【变式4-2】已知a >0，b >0，a +b =1，则ab2a +3b的最大值为．【答案】5-26l 【变式4-3】已知正数a ，b 满足a +2b =6，则1a +2+2b +1的最小值为()A.78B.109C.910D.89【答案】C-------------------------------------题型五双换元法求最值-------------------------------------5.若实数x 、y 满足xy >0，则y x +y +2x4x +y 的最大值为()A.3-27B.910C.2-223D.3-2【答案】Cl 【变式5-1】若x >0，y >0，且1x +1+1x +2y=1，则4x +2y 的最小值为()A.4B.43C.1+23D.4+23【答案】Cl 【变式5-2】设x ，y 是正实数，且x +y =1，则xx +2+y y +1的最大值是.【答案】5-224l 【变式5-3】已知正数x ,y 满足1x +2y +12x +y=1，则x +y 的最小值为.【答案】43l 【变式5-4】已知x >1，y >1，则(y +1)2x -1+(x +1)2y -1最小值为．【答案】16-------------------------------------题型六构造不等式法求最值-------------------------------------6.若a >0，b >0，a +b +ab =3，则a +b 的最小值为()A.1B.3C.2D.3【答案】Cl 【变式6-1】已知a >0,b >0，且a +2b =2ab +4，则a +2b 的最大值为()A.433B.233C.3D.4【答案】Al 【变式6-2】若x ,y 满足x 2+y 2=1+xy ，则x 2+y 2的最大值是.【答案】2l 【变式6-3】已知x >0，y >0，若x +3y +4xy =6，则x +3y 的最小值为.【答案】3l 【变式6-4】已知正数x ,y 满足x +y -xy +3=0，则xy 的最小值为．【答案】9。

基本不等式求最值小练习→ 基本方程求解最值小练习基本方程求解最值小练引言本练旨在帮助学生熟练掌握基本方程求解最值的方法和技巧。

通过练，学生可以提高对基本不等式的理解和灵活运用能力。

练一考虑以下方程：$$3x - 2y = 6$$请问在满足上述方程的条件下，$4x + 2y$ 的最大值和最小值分别是多少？解答一首先，将第一个方程转化为关于 $y$ 的表达式：$$y = \frac{3x - 6}{2}$$然后，将上述表达式代入目标式 $4x + 2y$：$$4x + 2\left(\frac{3x - 6}{2}\right) = 7x - 6$$由此可见，$4x + 2y$ 可以简化为 $7x - 6$。

要找到在满足 $3x - 2y = 6$ 的条件下 $7x - 6$ 的最大值和最小值，我们需要解决以下两个问题：1. 找到满足 $3x - 2y = 6$ 的解集；2. 在解集中找到 $7x - 6$ 的最大值和最小值。

解集为：$D = \left\{(x, y) \mid x \in \mathbb{R}, y = \frac{3x - 6}{2}\right\}$为了找到 $7x - 6$ 的最大值和最小值，我们可以应用导数的概念。

首先，求出 $7x - 6$ 的导数：$$\frac{d}{dx}(7x - 6) = 7$$可见，导数为常数。

由于导数为正数，所以函数 $7x - 6$ 在$D$ 上是单调递增的。

因此，$7x - 6$ 的最大值出现在无穷大，最小值出现在无穷小。

综上所述，满足条件 $3x - 2y = 6$ 时，$4x + 2y$ 的最大值是无穷大，最小值是无穷小。

练二考虑以下方程组：\begin{align*}x + 2y &= 5 \\2x + 3y &= 7 \\\end{align*}请问在满足上述方程组的条件下，$3x - 4y$ 的最大值和最小值分别是多少？解答二我们可以使用消元法来解决这个方程组。