最新人教版初中九年级上册数学《旋转作图与坐标系中的旋转变换》导学案

人教版初中数学九年级上册《旋转》全章节导学案1图形的旋转(1)1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念．2. 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用．难点：从生活中抽象出数学概念．(2分钟)请同学们完成下面各题．(1)将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．,第(1)小题图),第(2)小题图)(2)如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.(3)①圆是轴对称图形吗？②等腰三角形呢？③你还能指出其他的吗？答：(1)①是；(2)②是；(3)③等腰梯形、长方形、正多边形等．点拨精讲：(1)平移的有关概念及性质；(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质；(3)什么叫轴对称图形．一、自学指导．(10分钟)观察：让学生看转动的钟表和风车等．(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间点旋转)(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)问题：(1)从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)(2)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(60°)(3)以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)思考：在数学中如何定义旋转？归纳：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．下列物体的运动不是旋转的是(C)A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片2．下列现象中属于旋转的有__4__个．①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．3．如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC，它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是点__O__，旋转角是__∠AOD(或∠BOE)，经过旋转，点A转到__D__点，点C转到__F__点，点B转到__E__点，线段OA，OB，BC，AC分别转到OD，OE，EF，DF，∠A，∠B，∠C分别与∠D，∠E，∠F__是对应角．点拨精讲：旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？(2)请画出旋转中心和旋转角；(3)经过旋转，点A，B，C，D分别移到什么位置？解：(1)可以看做是由基本图案正方形ABCD通过旋转而得到的；(2)画图略；(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.点拨精讲：旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．2．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点__A__；旋转的度数是__45°__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为14，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由．点拨精讲：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S △OEE ′＝S △ODD ′，即说明△OEE′≌△ODD′.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．2．旋转的对应点及其它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)1图形的旋转(2)1．通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质．2．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形．重点：图形的旋转的基本性质及其应用．难点：利用旋转的性质解决相关问题．一、自学指导．(10分钟)动手操作：在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．(分组讨论)根据图回答下面问题：(一组推荐一人上台说明)1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？点拨精讲：(1)OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心距离相等．(2)∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．(3)△ABC和△A′B′C′形状相同且大小相等，即全等．归纳：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE ＝14，△ABF 是△ADE 的旋转图形．(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AF 的长度是多少？(4)如果连接EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以△AEF 是等腰直角三角形．解：(1)旋转中心是A 点；(2)∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的，∴B 是D 的对应点，∴∠DAB ＝90°就是旋转角；(3)∵AD ＝1，DE ＝14，∴AE ＝12＋（14）2＝174.∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点，∴AF ＝174；(4)∵∠EAF ＝90°(与旋转角相等)且AF ＝AE ，∴△EAF是等腰直角三角形．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．点拨精讲：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置．2．已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形．作法：1.连接OA；2．在逆时针方向作∠AOC＝100°，在OC上截取OA′＝OA；3．连接OB；4．在逆时针方向作∠BOD＝100°，在OD上截取OB′＝OB；5．连接A′B′.∴线段A′B′就是线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°后的对应线段．点拨精讲：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°.(1)此图能否旋转某一部分得到一个正方形？(2)若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由．(3)它的旋转角多大？并指出它们的对应点．解：(1)能；(2)由△BCQ绕B点旋转得到．理由：连接AB，易证四边形ABCD为正方形．再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.(3)90°.点C对应点A，点Q对应点P.2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B 对应点的位置，以及旋转后的三角形．解：(1)连接CD；(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．点拨精讲：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置．3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，∴AB＝AD，AK＝AM，且∠BAD＝∠KAM为旋转角且为90°，∴△ADM是以A为旋转中心，以∠BAD为旋转角，由△ABK旋转而成的．∴BK＝DM.点拨精讲：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．问题：对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？2．本节课要掌握：(1)旋转的基本性质．(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)1图形的旋转(3)1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．2. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．重点：用旋转的有关知识画图．难点：根据需要设计美丽图案．一、自学指导．(15分钟)1．学生独立完成作图题．如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形．点拨精讲：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形．1．旋转中心不变，改变旋转角．2．旋转角不变，改变旋转中心．我们可以设计成如下图美丽的图案．归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(2分钟)如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过__3__次旋转，每次旋转__120°__得到的．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图__⑤__．图①按顺时针方向至少旋转__180__度可得图③.2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是△ABC内的一点，且AP＝3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长．解：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形．所以PP′＝PA2＋P′A2＝32＋32＝3 2.解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向．解：△ACE旋转后能与△DCB完全重合．旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向．(也可看作△DCB 绕点C逆时针旋转60°得到△ACE)学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案．2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2. 1中心对称1. 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念．2. 掌握中心对称的基本性质．重点：中心对称的性质及初步应用．难点：中心对称与旋转之间的关系．一、自学指导．(10分钟)自学1：中心对称，对称中心，对称点等概念：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．自学2：中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．(2)如果是中心对称，那么A，B，C，D关于中心对称的对称点是哪些点．解：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D 点．(2)A，B，C，D关于中心D的对称点是A′，B′，C′，D′，这里的D′与D重合．2．如图，已知AD是△ABC的中线，作出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C，B为一对对应点，因此，只要再作出A关于D的对应点即可．解：(1)延长AD，且使AD＝DA′，因为C点关于D的中心对称点是B(C′)，A点关于中心D的对称点为A′.(2)连接A′B′，A′C′.则△A′B′D为所求作的三角形，如图所示．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称．(只保留作图痕迹，不要求写出作法)点拨精讲：(1)画法总结；(2)性质归纳．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，等边△ABC内有一点O，试说明：OA＋OB＞OC.解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B 的位置，则△AOC≌△AO′B.∴AO＝AO′，OC＝O′B.又∵∠OAO′＝60°，∴△AO′O为等边三角形．∴AO＝OO′.在△BOO′中，OO′＋OB＞BO′，即OA＋OB＞OC.点拨精讲：要证明OA＋OB＞OC，必然把OA，OB，OC转化在一个三角形内，应用两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA，OB，OC转化在一个三角形内．2．教材第66页练习．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．中心对称及对称中心的概念；2．关于中心对称的两个图形的性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2.2中心对称图形1. 掌握中心对称图形的定义．2. 准确判断某图形是否为中心对称图形．重点：中心对称图形的判断．难点：两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P66～67的内容．探究：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合．那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议．解：J.点拨精讲：这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？对称中心是什么？(出示课件图片)(1)平行四边形(2)矩形(3)菱形(4)正方形(5)正三角形(6)线段(7)角(8)等腰梯形解：常见的中心对称图形：线段(线段中点)、平行四边形(对角线交点)、矩形、菱形、正方形、圆(圆心)等．2．中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系．解：区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称．联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．英文大写字母中有哪些中心对称图形？答：(H，I，N，O，S，X，Z)．2．说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形？学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结．3．想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？点拨精讲：边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．4．课本第67页小练习2.点拨精讲：怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：将书本转180°，即倒过来后，看图形是否与原来一样．5．如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？点拨精讲：由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成的两部分面积相等．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．中心对称图形的定义．2．怎样准确判断某图形是否为中心对称图形．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2.3关于原点对称的点的坐标掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能够运用特征解决相关问题．重点：关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用．难点：关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P68的内容．思考：关于原点作中心对称时，(1)它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？(2)坐标与坐标之间符号又有什么特点？点拨精讲：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－2)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？解：A，B，C，D，E，F点关于原点O对称点分别为A′(3，－1)，B′(4，0)，C′(0，－3)，D′(－2，－2)，E′(－3，2)，F′(2，2)．这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数．2．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形．解：△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(－4，－1)，C(1，1)关于原点的对称点分别为A′(2，－2)，B′(4，1)，C′(－1，－1)，依次连接A′B′，B′C′，A′C′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′，如右图所示．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1.(1)在图中画出直线A1B1.(2)求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式．(3)是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y＝kx＋b(我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等)，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．点拨精讲：(1)只需画出A，B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1，B1，连接A1B1.(2)先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y＝kx代入求k.(3)要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加以说明．这一条直线是存在的，因为A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的坐标作A1，B1关于原点的对称点A2，B2，连接A2B2的直线就是我们所求的直线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．点拨精讲：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.2．教材P69的第1，2，3题．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)，及利用这些特点解决一些实际问题．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)3课题学习图案设计1．认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用．2. 利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案．重点：设计图案．难点：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P72内容，思考下列问题．(1)我们学过哪些图形变换？它们分别有何特征？(2)下列图形之间的变换分别属于什么变换？探究：(1)观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？(2)观察三种图形变换的过程，回答问题：①平移、旋转和轴对称变换的基本特征；②归纳三种图形变换的共性．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．分析图案的形成过程要注意些什么？分析图案的形成过程，应注意运用__平移、__轴对称__、__旋转__进行描述，只要合理就行．2．图案设计的关键是什么？选取简单的基本几何图形，然后通过不同的变换组合出美丽的图案．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)用平移、旋转或轴对称变换分析下图中各个图案，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？点拨精讲：将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，你能帮忙设计吗？点拨精讲：将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换，设计出和谐、丰富、美观的组合图案．2．下面花边中的图案，由圆弧、圆构成．仿照例图，请你为班级的板报设计一条花边，要求：(1)只要画出组成花边的一个图案；(2)以所给的图形为基础，用圆弧、圆或线段画出；(3)图案应有美感．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。

第2课时旋转作图1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果.2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.自学指导自学教材第61页.完成下列问题.1.回顾思考.(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2.学生独立完成作图题.如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形.要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系:①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.知识探究从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形.1.旋转中心不变，改变旋转角.2.旋转角不变，改变旋转中心.我们可以设计成如下图美丽的图案.因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案.活动1 小组讨论例1如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋转180度可得图③.例2如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是△ABC内的一点，且AP=3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长.依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′=AP=3，则△APP′是等腰直角三角形.所以PP′=. 解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等.活动2 跟踪训练如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向.△ACE旋转后能与△DCB完全重合. 旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向.(也可看做△DCB绕点C逆时针旋转60°得到△ACE)教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

数学活动——旋转与坐标一、活动导入1.导入课题:我们能用坐标表示轴对称变换、平移变换，也能用坐标表示中心对称，那么能不能用坐标表示旋转变换呢？这节课我们探索用坐标表示旋转角为90°的旋转变换.（板书课题）2.学习目标:(1)运用坐标探索中心对称与轴对称的关系.(2)探索点绕原点旋转90°的倍数角度的坐标变化规律.(3)通过活动，培养学生的数形结合和动手操作实践能力.3.学习重、难点:重点：运用坐标探索中心对称与轴对称的关系，探索点绕原点旋转90°的倍数角度的坐标变化规律.难点：探索点绕原点旋转90°的倍数角度的坐标变化规律.二、活动过程活动11.活动指导：（1）自学内容：教材第74页活动1.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：完成活动参考提纲.（4）自学参考提纲：①在下图中完成课本中的活动1.a.如果A(-3,2)，则B点坐标为(-3,-2) ，C点坐标为(3,-2) . A，C两点的坐标关系是坐标互为相反数，位置关系是关于原点中心对称.b.猜想：对于任意点A(x,y)，则B点坐标为(x,-y) ，C点坐标为(-x,-y). A，C两点的坐标关系是坐标互为相反数，位置关系是关于原点中心对称.c.对于任意点A(x,y)，先作A关于y轴的对称点B，再作B点关于x轴的对称点C，则A，C两点的坐标关系是坐标互为相反数，位置关系是关于原点中心对称.②对于任意点A(x,y)，先以x轴为对称轴作点A关于x轴的对称轴点A1，再以y轴为对称轴作A1于y轴的对称点A2，然后再以x轴为对称轴作A2关于x轴的对称点A3，以y轴为对称轴作A3关于y轴的对称点A4，…，如此继续，得到一系列点A1，A2，…，An，若An与A重合，则n 的最小值是多少？能从坐标的角度给予解释吗？n的最小值为4.因为A1与A关于x轴对称，A2与A1关于y轴对称，所以A2与A关于原点对称，同理A4与A2关于原点对称，所以A4与A重合，同理，A8与A重合，A12与A重合，…，所以，当n=4k(k为正整数)时，An与A重合，所以n的最小值为4.③如图，直线l1与l2相交，∠α=60°，点P在∠α内（不在l1、l2上）.小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称轴点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，…，如此继续，得到一系列点P1，P2，…，P n，若P n与P重合，则n 的最小值是多少？能运用旋转的知识给予解释吗？如图，若P n与P重合，n的最小值为6，因为P1是由P绕O点逆时针旋转2β得到，P2是由P1绕O点顺时针旋转120°+2β得到，P3是由P2绕O点顺时针旋转120°-2β得到，P4是由P3绕O点顺时针旋转2β得到，P5是由P4绕O点逆时针旋转120°+2β得到，P6是由P5绕O点逆时针旋转120°-2β得到，所以P6最终回到P，n的最小值为6.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会根据点与点的坐标的关系解释点与点的位置关系.②差异指导：对困难学生在用点与点的坐标的关系解释点与点的位置关系方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：作任意点P关于x轴(y轴)的对称点P1，再作所得对称点P1关于y轴(x轴)的对称点P2，则P与P2关于原点对称.活动21.活动指导:（1）自学范围：教材第74页活动2.（2）自学时间：10分钟.（3）自学要求：完成活动参考提纲.（4）自学参考提纲：①探索把点P(x，y)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标.a.把点P(5，0)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(0，-5)，(-5，0)，(0，5)，(5，0).b.把点P(0，5)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(5，0)，(0，-5)，(-5，0)，(0，5).c.把点P(4，5)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(5，-4)，(-4，-5)，(-5，4)，(4，5).d.猜想：把点P(x ，y)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(y ，-x )，(-x ，-y)，(-y ，x )，(x ，y).②仿照上述过程探索把点P(x ，y)绕原点分别逆时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(-y ，x )，(-x ，-y)，(y ，-x )，(x ，y).③已知△ABC 中，A(1，2),B(3，1),C(2,5)，请画出把△ABC 绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°后的图形. 2.自学:学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学： （1）师助生：①明了学情：明了学生是否会画旋转图形.②差异指导：对困难学生在画旋转图形方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：对旋转图形的三要素的认识，会画旋转图形. 三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价. （2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：通过让学生自主探究这两个活动，可开拓学生的思维，加深对本章知识的理解和运用，教学时，可根据实际情况对学生给予适当的指导，重点是培养学生分析问题解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.（20分）在平面直角坐标系中，A 点坐标为（3，4），将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（A ）A.（-4，3）B.（-3，4）C.（3，-4）D.（4，-3）2.（20分）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为(A)A. 322,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B. 322⎛ ⎝⎭C. 122⎛ ⎝⎭D. 122,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3.（20分）如图，已知△ABC的顶点坐标分别是A(-1，-1)，B(-4，-3),C(-4，-1)．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求作的图形.（2）如图，A1(-1，1).二、综合应用（20分）4.（20分）△ABC在方格中的位置如图所示.(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得A、B两点的坐标分别为A(2，-1)、B(1，-4),并求出C点的坐标；(2)作出△ABC关于横轴对称的△A1B1C1，再作出△ABC以坐标原点为旋转中心、旋转180°后的△A2B2C2，并写出C1，C2两点的坐标．解：（1）如图，C（3，-3）.（2）如图，C1(3，3)，C2(-3，3).三、拓展延伸（20分）5.（20分）如图，直线l1与l2相交，α=40°，点P在∠α内（不在l1、l2上）.小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称轴点P1，再以l2为对称轴作P1于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，…,如此继续，得到一系列点P1,P2，…，P n，若P n与P重合，则n的最小值是多少？能运用旋转的知识给予解释吗？解：根据题意，可作出示意图如图所示：设两直线交点为O，根据旋转的知识可得，作出的一系列点P1，P2，P3，…，P n都在以O为圆心，OP为半径的圆上.点P1可看成点P绕圆心O逆时针旋转2β得到的.P2可看成P1绕圆心O顺时针可看成P2绕圆心O顺旋转2（α+β）即80°+2β得到，此时，点共绕O顺时针旋转80°，P时针旋转2（2α+β）即160°+2β得到，此时，点共绕O逆时针旋转80°+2β，P4可看成P3绕圆心O顺时针旋转（240°+2β）得到，此时点共绕O顺时针旋转160°，P5可看成P4绕圆心O逆时针旋转（320°+2β）得到，此时点共绕O逆时针旋转160°+2β，…，依次类推，到P9时，共逆时针旋转320°+2β≠360°，没有回到原来的点P处，所以继续旋转，一直到P18，共顺时针旋转720°，此时回到原来的点P处，则n的最小值为18.。

图形的旋转 学习目标 1.了解图形旋转的概念； 2.理解并掌握图形旋转中的对应点、对应角、对应线段、旋转中心和旋转角度等基本概念；学生自主活动材料一.前置性自学1、把一个图形绕着某 转动一个 的图形变换叫做旋转，点O 叫做 ，转动的角叫做 。

2、（1）对应点到旋转中心的距离 ；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（3）旋转前、后的图形 ．3、如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB ，它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF ，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A 、B 分别移动到什么位置？4、从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（ ）．A ．20 B ．26°C ．30° D ．36°5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，•将△ABC 旋转到△A ′B ′C 的位置，其中A ′、B ′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A ′B ′上，直角边CA ′交AB 于D ，则旋转角等于（ ）．A ．70°B ．80°C ．60°D ．50°二.小组反馈6、如图，△ABC 绕C 点旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．7、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF 的长度是多少？（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？三合作探究8、如图，K 是正方形ABCD 内一点，以AK 为一边作正方形AKLM ，使L 、M•在AK 的同旁，连接BK 和DM ，试用旋转的思想说明线段BK 与DM 的关系．四.展示交流9、读下面材料：如图4，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置．如图5，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置． 第3题图 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图(4) (5) (6) (7)如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，•其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=12 AB．（1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，•使△ABE移到△ADF的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．五.拓展提升10、如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．六.当堂反馈1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，•则旋转角等于（）A．50° B．210° C．50°或210° D．130°2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上每一点移动的角度相同C．图形上可能存在不动的点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）4．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．5．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，•其中BD=_________．6．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，•∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+•DF•与EF的关系是________．教学反思第5题图第6题图。

九年级下数学NO ：1 主备人：银 波 审核人： 授课人： 第 周 星期 第 组 学生 预习评价： 整理评价23.1图形的旋转（1）一、学习目标：通过具体实例认识图形的旋转，理解“对应点到旋转中心的距离相等”以及“旋转前、后的图形全等”的基本性质。

二、学习重难点为：旋转及对应点的有关概念及其应用 三、学习过程 （一）、情景导入: 1、观察下列图片：(1)时钟上的秒针在不停的转动；(2)大风车的转动；(3)飞速转动的电风扇叶片；（1）这些运动有什么共同特征？（2）它们在运动过程中，形状、大小、位置是否发生变化？（二）自主学习： 1、旋转的概念：图1：在同一平面内，点A 绕着定点O 旋转某一角度得到点 ； 图2：在同一平面内，线段AB 绕着定点O 旋转某一角度得到线段 ； 图3：在同一平面内，三角形ABC 绕着定点O 旋转某一角度得到 。

把一个 绕着 内 转动一个 ，叫做图形的旋转， 叫做旋转中心， 叫做旋转角。

2、旋转的三要素：（1） ；（2） ；（3） 。

3、旋转的性质：（1）△ABO 绕点O 旋转得到△CDO ，则:点B 的对应点是________；线段OB 的对应线段是________；线段CD 的对应线段是________； ∠AOB 的对应角是________；∠B 的对应角是________； 旋转中心是________；旋转角是_________________。

（2）△ABC在旋转过程中，哪些发生了变化？AB= ；∠AOB= ；∠ABO= ；∠OAB= ；OA= ；OB= ；OC= ；∠AO C= 。

对应边：；对应角：；对应点到旋转中心的距离：；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于。

三、例题学习：1，△ABF是△ADE的旋转图形。

四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=4（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？四、课堂练习：如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么?（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？（3）旋转角是什么？（4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？（5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？五、课后练习：1、下列现象中属于旋转的有( )个①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动。

第二十三章旋转23.1图形的旋转第1课时旋转的概念与性质一、新课导入1.导入课题:运用课件欣赏日常生活中一些物体的旋转现象,观察旋转的过程,引入新课.2.学习目标:（1）了解生活中广泛存在的旋转现象,知道旋转是继平移、对称之后的又一种基本变换.（2）能结合图形指出什么是旋转中心、旋转角和对应点.（3）体会旋转的形成过程,并探究旋转的性质.3.学习重、难点:重点:旋转的有关概念和性质.难点:探究旋转的性质.二、分层学习1.自学指导:（1）自学内容:教材第59页的内容.（2）自学时间:5分钟.（3）自学方法:观察生活中物体的旋转现象,体会旋转过程,形成旋转概念的感性认识.（4）自学参考提纲:①把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度 ,叫做图形的旋转.②从课文中的思考实例可以看出:图形的旋转三要素是旋转中心 , 旋转方向 , 旋转角 .③如右图,点P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕B点顺时针方向旋转到△CBP′的位置时,其旋转中心是点B ,旋转角度为90° ,点A、B、P的对应点分别为 C、B、P′ .2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:（1）师助生:①明了学情:观察学生能否抓住旋转的要素.②差异指导:根据学情进行相应指导.（2）生助生:小组内相互交流、改正.4.强化:(1)旋转的三要素.(2)指出课本中风车的旋转中心、旋转角、旋转方向.(3)练习:①时钟的时针在不停地旋转,从上午6时到上午9时,时针旋转的角度是多少？从上午9时到上午10时呢？解:从上午6时到上午9时,时针旋转的角度为90°,从上午9时到上午10时,时针旋转的角度是30°.②如图,杠杆绕支点转动撬起重物,杠杆的旋转中心是点 O ,旋转角是∠AOA′ ,点A 的对应点是点A′．1.自学指导:（1）自学内容:教材第60页的“探究”——旋转的性质.（2）自学时间:6分钟.（3）自学方法:准备一块硬纸板、小刀和一张白纸,小组合作,通过操作、研讨,再总结归纳.（4）探究参考提纲:①按下列要求动手画图:在硬纸板上先挖一个三角形洞,再在三角形洞外挖一个小洞O（作为旋转中心）,把挖好洞的硬纸板放在白纸上,在白纸上描出挖掉的三角形图案（△ABC）,围绕旋转中心转动硬纸板,再描出挖掉的三角形图案（△A′B′C′）,移开硬纸板,用虚线连接OA、OA′、OB、OB′、OC、OC′.②OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′分别有何关系？分别相等 .③∠AOA′、∠BOB′、∠COC′之间有何关系？∠AOA′=∠BOB′=∠COC′ .④△ABC与△A′B′C′有何关系？△ABC≌△A′B′C′ .⑤观察你画的图形,还有不同的发现吗？AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.2.自学:学生可参考自学指导进行自学探究.3.助学:（1）师助生:①明了学情:看学生是否能在探究提纲的指导下,动手操作、实验,并归纳出相应结论.②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生:小组内相互交流、协作,共同探讨、归纳.4.强化:（1）归纳旋转的性质.（2）完成以下练习:①如图1,小明坐在秋千上,秋千旋转了80°.请在图中小明身上任意选一点P,利用旋转的性质,标出点P的对应点.②如图2,用左面的三角形经过怎样的旋转,可以得到右面的图形？解:分别绕点O顺时针旋转120°,240°.③找出图3中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角.解:点O就是旋转中心,旋转角就是∠POP′.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）:这节课你学到了哪些知识？自我感知有何不足？2.教师对学生的评价:（1）表现性评价:点评学生的主动参与情况、小组协作交流情况、学习效果及不足之处等.（2）纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:积极创设情境,激发学生学习的好奇心和求知欲.以“丰富的生活中的旋转”作为情境引入,这一活动的设计,极大地吸引了学生的注意力,引发了学生的好奇心和求知欲,接着,让学生说出它们的共同点,再让学生举一些旋转的例子,激发学生主动参与探究新知的兴趣.此外,本节课需要注意的地方:①教师在提问时需给学生充分思考的时间,帮助学生养成良好的思考、分析习惯；②如何将“创设情境”与教学有机地结合起来,更有效地为教学服务.问题情境的创设不能流于形式,而应更多地考虑学生的年龄特征、兴趣爱好,多从学生的角度来设计、创造.（时间:12分钟满分:100分）一、基础巩固（70分）1.(10分) 下列现象中属于旋转的有（D）①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．A．1个B．2个C．3个D．4个2.(10分) 如图,点A、B、C、D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为（C）A．30°B．45°C．90°D．135°第2题图第3题图3.(20分) 如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,且DE=1,△ABF是△ADE的旋转图形.旋转中心是点A ,旋转了 90 度,AF的长度是17,连接EF,则△AEF的形状是等腰直角三角形 .4.(10分) 如图,右边的小鸡是由左边的小鸡经过旋转得到的,旋转中心是点O.从图中量一量旋转角是多少度.解:旋转角为85°.5.(20分)下面两组图形分别是用左边的图形经过怎样的旋转得到右边的图形的？解:(1)绕中心顺时针旋转60°,120°,180°,240°,300°得到；(2)绕中心顺时针旋转90°,180°,270°得到.二、综合应用（20分）6.(10分) 如图,该图形围绕自己的旋转中心,按下列角度旋转后,不能与自身重合的是（B）A．72°B．108°C．144°D．216°第6题图第7题图7.(10分)把图中的五角星图案,绕着它的中心点O旋转,旋转角为多少度时,旋转后的五角星能与自身重合？解:旋转角为72°或144°或216°或288°时,旋转后的五角星能与自身重合.三、拓展延伸（10分）8.(10分)如图,△ABD、△AEC都是等边三角形,BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？解:BE=DC.理由:因为AB是由AD绕中心点A逆时针旋转60°得到,AE是由AC绕中心点A逆时针旋转60°得到,所以△ABE可看成是由△ADC绕中心点A逆时针旋转60°得到.根据旋转的性质得△ADC≌△ABE.所以BE=DC.23.1图形的旋转。

人教版九年级数学《旋转》全章导学案第1课时旋转的概念及性质知识点1：旋转的有关概念【例1】如图1－23－29－1，△AOB旋转到△A′OB′的位置. 若∠AOA′＝90°，则旋转中心是点O，旋转角是∠AOA′或∠BOB′，点A的对应点是点A′，线段AB的对应线段是A′B′，∠B的对应角是∠B′，∠BOB′＝90°.图1－23－29－1,1. 如图1－23－29－2，△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则：(1)线段AB的对应线段是A′B′，线段AC的对应线段是A′C，线段BC的对应线段是B′C；(2)∠A的对应角是∠A′，∠B的对应角是∠B′.图1－23－29－2知识点2：运用旋转的基本性质求角度和边长【例2】如图1－23－29－3，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB ＝40°，则∠AOD的度数为50°.图1－23－29－3,2. 如图1－23－29－4，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，△ABC绕着点B 逆时针旋转90°到△A′BC′的位置，则AA′的长为( A )图1－23－29－4A. 10 2B. 10C. 20D. 52知识点3：旋转基本性质的简单运用【例3】如图1－23－29－5，△ABC旋转后与△AED重合，且△ABE为等边三角形，那么：(1)旋转中心是点A；(2)旋转方向是顺时针；(3)旋转角是∠BAE或∠CAD；(4)AC的对应线段是AD，BC的对应线段是ED，∠ABC的对应角是∠AED；(5)连接CD，试判断△ACD的形状.图1－23－29－5解：(5)△ACD是等边三角形.,3. 如图1－23－29－6，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合.(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？图1－23－29－6解：(1)点A.(2)90°.(3)等腰直角三角形.A组4. 下列现象属于旋转的是( C )A. 摩托车在急刹车时向前滑动B. 飞机起飞后冲向空中的过程C. 幸运大转盘转动的过程D. 笔直的铁轨上飞驰而过的火车,5. 如图1－23－29－7，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为( A )图1－23－29－76. 如图1－23－29－8，将△ABC绕点O旋转得到△A′B′C′，且∠AOB＝30°，∠AOB′＝20°，则：图1－23－29－8(1)点B的对应点是点B′；(2)线段OB的对应线段是线段OB′；(3)∠AOB的对应角是∠A′OB′；(4)△ABC旋转的度数是50°.7. 如图1－23－29－9，△ABC绕旋转中心O逆时针旋转60°后到△A′B′C′的位置，则OA＝OA′，OB＝OB′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠AOA′＝∠COC′或∠BOB′＝60°.图1－23－29－9B组8. 如图1－23－29－10，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是( A )图1－23－29－10A . ∠AOCB . ∠AODC . ∠AOBD . ∠BOC,9. 如图1－23－29－11，将Rt △ABC 绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ，连接AA ′，∠1＝26°，则∠B 的度数是 71° .图1－23－29－11C 组10. 如图1－23－29－12，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形.若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，求∠B 的度数.图1－23－29－12解：由题意，得△AOB ≌△COD ， ∴OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COD.∴∠A ＝∠OCA ，∠AOC ＝∠BOD ＝40°.∴∠OCA ＝180°－40°2＝70°.∵∠AOD ＝90°， ∴∠BOC ＝10°.∵∠OCA ＝∠B ＋∠BOC ， ∴∠B ＝70°－10°＝60°.,11. 如图1－23－29－13，以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB ′C ′(点B ，C 的对应点分别为点B ′，C ′)，连接BB ′.若AC ′∥BB ′，求∠CAB ′的度数.图1－23－29－13解：∵∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB ＝AB′，∴∠AB′B ＝12×(180°－120°)＝30°.∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B ＝30°.∴∠CAB′＝∠CAC′－∠C′AB′＝120°－30°＝90°.第2课时 旋转的性质应用知识点1：求旋转角的度数【例1】如图1－23－30－1，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置.若∠A ＝15°，∠C ＝10°，点E ，B ，C 在一条直线上，则旋转角是 25 度，∠ABD ＝ 130 度.图1－23－30－1,1. 如图1－23－30－2，Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转到△COD 的位置.若∠BOC ＝127°，求旋转角的度数.图1－23－30－2解：旋转角的度数为37°.知识点2：旋转基本性质的简单应用【例2】如图1－23－30－3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°. 如果△ABC 经过旋转得到了△EBD ，那么：(1)旋转中心是 点B ； (2)旋转方向是 顺时针 ；(3)旋转角是 ∠CBD 或∠ABE ； (4)如果AC ＝5 cm ，∠ABC ＝30°， 那么BE ＝ 10 cm ，DB ＝ 5 3 cm ，ED ＝ 5 cm .图1－23－30－3,2. 如图1－23－30－4，△ABE和△ACD都是等边三角形，△AEC逆时针旋转一定角度后能与△ABD重合，EC与BD相交于点F.(1)旋转中心是点A，旋转角至少是60度；(2)求∠DFC的度数.图1－23－30－4解：(2)易证得△ABD≌AEC.∴∠ADB＝∠ACE.∴∠FDC＋∠FCD＝∠FDC＋∠ACD＋∠FCA＝∠ACD＋∠FDC＋∠ADB＝∠ACD＋∠ADC＝120°.∴∠DFC＝180°－120°＝60°.知识点3：旋转基本性质的综合应用【例3】如图1－23－30－5，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°.(1)△ACA′是等腰直角三角形；(2)求∠BAA′的度数.图1－23－30－5解：(2)∵AC＝A′C，∴∠CAA′＝∠CA′A＝45°.∴∠CA′B′＝∠CA′A－∠1＝20°.∴∠BAC＝20°，∠CB′A′＝70°.∴∠CAA′＝∠CB′A′－∠1＝45°.∴∠BAA′＝∠BAC＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°.,3. 如图1－23－30－6，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.(1)线段OA1的长是6，∠AOB1的度数是135°；(2)连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形.图1－23－30－6(2)证明：∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°，∴OA∥A1B1.又∵OA＝AB＝A1B1，∴四边形OAA1B1是平行四边形.A 组4. 如图1－23－30－7，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′位置，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，则三角板ABC 旋转的角度是( D )图1－23－30－7A . 60°B . 90°C . 120°D . 150° ,5. 如图1－23－30－8，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C. 若∠A ＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是( B )图1－23－30－8A . 90°B . 80°C . 50°D . 30° B 组6. 如图1－23－30－9，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB 上，连接BB ′，求∠BB ′C ′的度数.图1－23－30－9解：∵Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到Rt △AB′C′， ∴AB ＝AB′，∠BAB′＝40°.在△ABB′中，∠ABB′＝12×(180°－∠BAB′)＝12×(180°－40°)＝70°.∵∠AC′B′＝∠C ＝90°， ∴B′C′⊥AB. ∴∠BB′C′＝90°－∠ABB′＝90°－70°＝20°.,7. 如图1－23－30－10，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长.图1－23－30－10解：由旋转的性质，得AD＝AB.∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形.∴BD＝AB.∵AB＝2，BC＝3.6，∴CD＝BC－BD＝3.6－2＝1.6.C组8. 如图1－23－30－11，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD 绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED.若BC＝10，BD＝9，求△ADE的周长.图1－23－30－11解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BD＝BE，CD＝AE，∠DBE＝60°.∴△BDE是等边三角形.∴DE＝BD＝BE＝9.∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝10.∴△ADE的周长为AE＋AD＋DE＝CD＋AD＋DE＝AC＋BD＝10＋9＝19，即△ADE的周长为19. ,9. 如图1－23－30－12，已知P是正方形ABCD内一点，P A＝1，PB＝2，PC＝3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点.(1)求出PG的长度；(2)请你猜想△PGC的形状，并说明理由.图1－23－30－12解：(1)∵∠ABP＝∠CBG，∴∠PBG＝∠ABC＝90°.又∵BP＝BG，∴△PBG是等腰直角三角形.∴PG＝2PB＝2 2.(2)△PGC是直角三角形.理由如下：∵PG＝22，GC＝PA＝1，PC＝3，且(22)2＋12＝32，∴△PGC是直角三角形.第3课时图形的旋转作图知识点1：以图形上的某一点为旋转中心作图【例1】已知如图1－23－31－1，△ABC是等腰直角三角形，∠C为直角. 画出以点A 为旋转中心，逆时针旋转45°后的图形.图1－23－31－1答图23－31－1解：如答图23－31－1，△AB′C′即为所求.,1. 如图1－23－31－2，等边三角形ABC中有一点P，在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B.图1－23－31－2答图23－31－4解：如答图23－31－4，△AP1B即为所求.知识点2：以图形外的某一点为旋转中心作图【例2】如图1－23－31－3，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°.图1－23－31－3答图23－31－2解：如答图23－31－2，A′B′即为所求. ,2. 如图1－23－31－4，画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后的对应三角形.图1－23－31－4答图23－31－5解：如答图23－31－5，△A′B′C′即为所求.知识点3：网格中的旋转作图【例3】在如图1－23－31－5所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上. 画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1.图1－23－31－5答图23－31－3解：如答图23－31－3，△A1B1C1即为所求.3. 如图1－23－31－6，△ABC的顶点坐标分别为A(4,6)，B(5,2)，C(2,1)，如果将△ABC 绕点C按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C.(1)画出△A′B′C；(2)写出点A′和B′的坐标.图1－23－31－6答图23－31－6解：(1)如答图23－31－6，△A′B′C即为所求.(2)点A′的坐标为(－3,3)，点B′的坐标为(1,4).4. 如图1－23－31－7，画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′.图1－23－31－7答图23－31－7解：如答图23－31－7，△AB′C′即为所求.,5. 如图1－23－31－8，在6×6的方形网格中，有一个Rt△ABC，∠ACB＝90°，A，B，C三点都在格点上. 绕点C将△ABC顺时针旋转90°得到△A′B′C，在图中作出△A′B′C.图1－23－31－8答图23－31－8解：如答图23－31－8，△A′B′C即为所求.B组6. 如图1－23－31－9，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4).(1)请画出△ABC绕O点逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；(2)写出A1，B1，C1的坐标.图1－23－31－9答图23－31－96. 解：(1)如答图23－31－9，△A1B1C1即为所求.(2)A1(－1,1)，B1(－2,4)，C1(－4,3).,7. 如图1－23－31－10，已知A(－3，－3)，B(－2，－1)，C(－1，－2)是直角坐标平面上的三点. 画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的图形，并写出各顶点旋转后的坐标.图1－23－31－10解：图略，旋转后点A，B，C的对应点的坐标分别为(－3,3)，(－1,2)，(－2,1).C组8. 如图1－23－31－11，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝ 5.(1)以点B为旋转中心，将△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，请画出变换后的图形；(2)求点A和点A′之间的距离.图1－23－31－11答图23－31－10解：(1)如答图23－31－10，△A′BC′即为所求. (2)∵∠ABC ＝90°，BC ＝1，AC ＝5，∴AB ＝(5)2－12＝2.∵△ABC 沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′， ∴BA ＝BA′，∠ABA′＝90°. ∴△ABA ′为等腰直角三角形. ∴AA ′＝2AB ＝2 2.9. 如图1－23－31－12，已知四边形ABCD 四个顶点的坐标分别是A (－2,1)，B (0，－1)，C (3,2)，D (0,3)，(1)将四边形ABCD 绕原点O 顺时针旋转90°得四边形A 1B 1C 1D 1，画出四边形A 1B 1C 1D 1，并写出A 1，B 1，C 1，D 1的坐标；(2)直接写出四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1重叠部分的面积.图1－23－31－12答图23－31－11解：(1)如答图23－31－11，四边形A 1B 1C 1D 1即为所求，其中，A 1的坐标为(1,2)，B 1的坐标为(－1,0)，C 1的坐标为(2，－3)，D 1的坐标为(3,0).(2)四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1重叠部分的面积为3×3－2×12×2×2－2×12×1×1＝4.第4课时中心对称知识点1：中心对称的有关概念【例1】如图1－23－32－1，如果△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，那么：(1)△ABC绕点O旋转180°后能与△A′B′C′重合；(2)线段AA′，BB′，CC′都经过点O；(3)OA＝OA′，OB′＝OB，AC＝A′C′.图1－23－32－1,1. 下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( A )知识点2：中心对称的性质【例2】已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图1－23－32－2，则下列结论正确的是( D )图1－23－32－2A. AO＝BOB. 点A关于点O的对称点是点DC. BO＝EOD. 点D 在BO的延长线上,2. 如图1－23－32－3，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( D )图1－23－32－3A. AB＝A′B′，BC＝B′C′B. AB∥A′B′，BC∥B′C′C. S△ABC＝S△A′B′C′D. △ABC≌△A′OC′知识点3：中心对称的作图【例3】如图1－23－32－4，将△ABC绕着点B旋转180°得到△A2B2C2，画出图形△A2B2C2.图1－23－32－4略.,3. 如图1－23－32－5，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O 成中心对称.图1－23－32－5解：如答图23－32－1，△DEF即为所求.答图23－32－1A组4. 如图1－23－32－6，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是( B )图1－23－32－6A. ∠ABC＝∠A′B′C′B. ∠BOC＝∠B′A′C′C. AB＝A′B′D. OA＝OA′ ,5. 如图1－23－32－7所示四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有( C )图1－23－32－7A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组B组6. 如图1－23－32－8，已知△ABC与△DEF关于某点对称，则对称中心是( D )A. 点CB. 点DC. 线段BC的中点D. 线段FC的中点图1－23－32－8,7. 如图1－23－32－9，△ABC和△DEF关于点O成中心对称.(1)作出它们的对称中心O；(2)若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长.图1－23－32－9答图23－32－2解：(1)如答图23－32－2，点O 即为所求. (2)∵△ABC 和△DEF 关于点O 成中心对称， ∴△ABC ≌△DEF.∴AB ＝DE ＝6，AC ＝DF ＝5，BC ＝EF ＝4.∴△DEF 的周长为15. C 组8. 如图1－23－32－10，△ABO 与△CDO 关于点O 中心对称，点E ，F 在线段AC 上，且AF ＝CE ，求证：DF ＝BE .图1－23－32－10证明：∵△ABO 与△CDO 关于点O 中心对称， ∴BO ＝DO ，AO ＝CO. ∵AF ＝CE ，∴AO －AF ＝CO －CE. ∴FO ＝EO.在△FOD 和△EOB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DO BO EOB FOD EO FO∴△FOD ≌△EOB(SAS).∴DF ＝BE . ,9. 如图1－23－32－11，将一张直角三角形纸片ABC 沿中位线DE 剪开后在平面上将△BDE 绕着CB 的中点D 逆时针旋转180°，点E 到了点E ′位置，判断四边形ACE ′E 的形状并证明.图1－23－32－11解：四边形ACE′E 的形状是平行四边形. 证明如下：∵DE 是△ABC 的中线，∴DE ∥AC ，DE ＝12AC.∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，∴DE＝DE′.∴EE′＝2DE＝AC.∴四边形ACE′E的形状是平行四边形.第5课时中心对称图形知识点1：中心对称图形【例1】下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是( B ),1. 下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的，其中不是中心对称图形的是( B )知识点2：中心对称与中心对称图形【例2】下列说法错误的是( B )A. 成中心对称的两个图形全等B. 成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分C. 中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心D. 中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合,2. 如图1－23－33－1，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O作EF分别交AD，BC于点E，F. 下列结论：①点E和F，点B和D是关于中心O的对称点；②线段BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称.其中正确的有( D )图1－23－33－1A. 1个B. 2个C. 3个D. 5个知识点3：中心对称图形与轴对称图形【例3】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D ),3. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( C )A组4. 下列四个图形是中心对称图形的是( C ),5. 在下列这些汽车标识中，是中心对称图形的是( C )B组6. 北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是( D ),7. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用. 瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产. 下列“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B )C组8. 如图1－23－33－2是4×4的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形.图1－23－33－2解：如答图23－33－1.答图23－33－1,9. 如图1－23－33－3①所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图1－23－33－3②，则旋转的牌是方块5.图1－23－33－3第6课时关于原点对称的点的坐标知识点1：求关于原点对称的点的坐标【例1】在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标是( D )A. (1,2)B. (－1,2)C. (1，－2)D. (－1，－2),1. 已知点A(m,1)与点B(5，n)关于原点对称，则m和n的值为( D )A. m＝5，n＝－1B. m＝－5，n＝1C. m＝－1，n＝－5D. m＝－5，n＝－1知识点2：求图形中关于原点成中心对称的点的坐标【例2】如图1－23－34－1，▱ABCD的对角线的交点是原点，AD∥BC，D(3,2)，C(1.5，－2)，则A点的坐标为(－1.5,2)，B点的坐标为(－3，－2).图1－23－34－1,2. 如图1－23－34－2，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(4,2)，则点N的坐标为( A )图1－23－34－2A. (－4，－2)B. (－4,2)C. (－2,4)D. (2,4)知识点3：平面直角坐标系中的中心对称【例3】如图1－23－34－3，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上. 画出△ABC关于原点成中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标.图1－23－34－3解：图略.A′(4,0)，B′(3,3)，C′(1,3).,3. 如图1－23－34－4，△ABC在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－4，2)，C(－2，2).(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)线段BB1的长度为45.图1－23－34－4解：(1)图略.A 组4. 点P (2，－1)关于原点对称的点P ′的坐标是( A ) A. (－2,1) B. (－2，－1) C. (－1,2) D. (1，－2) ,5. 已知点A (a ，－1)与B (2，b )是关于原点O 的对称点，则( B ) A. a ＝－2，b ＝－1 B. a ＝－2，b ＝1 C. a ＝2，b ＝－1 D. a ＝2，b ＝16. 若点P 1(m ，－1)关于原点的对称点是P 2(2，n )，则m ＋n 的值是( B ) A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 ,7. 若点P (x ，－3)与点Q (4，y )关于原点对称，则xy 的值是( B ) A. 12 B. －12 C. 64 D. －64 B 组8. 若点A (a －2,3)和点B (－1,2b ＋2)关于原点对称，求a ，b 的值. 解：∵点A (a －2,3)和点B (－1,2b ＋2)关于原点对称， ∴a －2＝－(－1),3＝－(2b ＋2).解得a ＝3，b ＝－52. ,9. 已知点A (1－2x ，y －4)与点B (2y ＋1，x －1)关于原点对称，求y x . 解：由题意，得⎩⎨⎧--=-+-=-).1(4),12(21x y y x解得⎩⎨⎧==.2,3y x∴y x ＝23＝8.10. 如图1－23－34－5，已知△ABC 中，A (－3,3)，B (－4,1)，C (－2,2). (1)画出△ABC 关于坐标原点对称的△A 1B 1C 1； (2)写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标.图1－23－34－5解：(1)图略. (2)A 1(3，－3)， B 1(4，－1)，C 1(2，－2).,11. 如图1－23－34－6，在平面直角坐标系网格中，△ABC 的顶点都在格点上，点C 坐标(0，－1).(1)作出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1； (2)写出点A 1的坐标.图1－23－34－6解：(1)图略.(2)点A 1的坐标为(1，－2).C 组12. 设点A 与点B 关于x 轴对称，点A 与点C 关于y 轴对称，则点B 与点C( C ) A . 关于x 轴对称 B . 关于y 轴对称 C . 关于原点对称D . 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称,13. 已知点P(a ＋1,2a －3)关于原点的对称点在第二象限，则a 的取值范围是( B )A . a ＜－1B . －1＜a ＜32C. －32＜a＜1 D. a＞32第7课时课题学习图案设计知识点1：图案的形成【例1】下列图案可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是( B ),1. 图1－23－35－1所示的左侧3个图形中，能通过旋转得到右侧图形的有( B )图1－23－35－1A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③知识点2：图案的简单设计【例2】在如图1－23－35－2所示的方格纸中，选择标有序号1,2,3,4中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是4.图1－23－35－2,2. 要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形又是中心对称图形的花坛，下列图案不符合设计要求的是( D )知识点3：图案的综合设计【例3】如图1－23－35－3，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图1－23－35－3①中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：图1－23－35－3(1)这三个图案都具有以下特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形；(2)请在图1－23－35－3②中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图1－23－35－3①中所给出的图案相同.解：(2)略.,3. 李兵同学家买了新房，准备装修地面，为节约开支，购买了两种质量相同、颜色不同的残缺地砖，现已加工成如图1－23－35－4①的等腰直角三角形形状，李兵同学设计出如图1－23－35－4②所示的四种图案：图1－23－35－4(1)请问你喜欢哪种图案？并简述该图案的形成过程；(2)请你利用平移、旋转、轴对称等知识再设计一幅与上述不同的图案.解：(1)答图23－35－1最后一个图案的形成过程是：以同行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕大正方形的中心旋转180°得到.(2)如答图23－35－1. (答案不唯一)A组4. 在下面的四个设计图案中，可以看作是中心对称图形的是( C ),5. 三菱标志是一种常见的商标，如图1－23－35－5，你认为它是怎样设计的？( D )图1－23－35－5A. 用一个菱形平移得到的B. 用一个菱形经过两次旋转，每次旋转60°得到的C. 用一个菱形经过两次旋转，每次旋转90°得到的D. 用一个菱形经过两次旋转，每次旋转120°得到的B组6. 在俄罗斯方块的游戏中，已拼好的图案如图1－23－35－6，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失？( A )图1－23－35－6A. 顺时针旋转90°，向右平移B. 逆时针旋转90°，向右平移C. 顺时针旋转90°，向下平移D. 逆时针旋转90°，向下平移,7. 下列四个图形中，若以其中一部分作为基本图案，无论用旋转还是平移都不能得到的图形是( C )8. 如图1－23－35－7，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，旋转角度最小是72度.,9. 下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是( C )C组10. 如图1－23－35－8，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形). 若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种，请画出来.图1－23－35－8答图23－35－2,11. 在如图1－23－35－9的4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案. (每个4×4的方格内限画一种)要求：(1)5个小正方形必须相连(有公共边或公共顶点视为相连)；(2)将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形. (若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案)图1－23－35－9略.第8课时旋转单元复习课知识点1：旋转的相关概念及性质【例1】如图1－23－36－1，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′.若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是( B )图1－23－36－1A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°,1. 如图1－23－36－2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，若点B，D，E 在同一条直线上，∠BAC＝20°，则∠ADB的度数为( C )图1－23－36－2A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°知识点2：中心对称与中心对称图形【例2】如图1－23－36－3，△ABC绕点O旋转180°后得到△A1B1C1，下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等.其中正确的有( D )图1－23－36－3A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图1－23－36－4，下列图案均是名车的标志，在这些图案中，是中心对称图形的有( C )图1－23－36－4A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个知识点3：坐标与旋转变换【例3】如图1－23－36－5，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°.(1)画出旋转后的图形△A1B1C1；(2)点B1的坐标为(－2,4).图1－23－36－5解：(1)略.3. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图1－23－36－6，其中每个小正方形的边长为1个单位长度.(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；(2)△A1B1C1中顶点A1的坐标为(1，－2)，若P(a，b)为△ABC边上一点，则按照(1)中作图，点P对应的点P1的坐标为(－a，－b).图1－23－36－6解：(1)略.A组4. 下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人. 其中，属于旋转的是( A )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④,5. 在平面直角坐标系中，点A(5,6)关于原点对称的点的坐标是( C )A. (－5,6)B. (5，－6)C. (－5，－6)D. (－6，－5)6. 如图1－23－36－7，点A，B，C，D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为90°.图1－23－36－77. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( D )B组8. 如图1－23－36－8，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是( B )图1－23－36－8A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°,9. 如图1－23－36－9，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD 绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为( C )图1－23－36－9 A . 2 3B . 6C . 3 3D . 4 2C 组10. 如图1－23－36－10，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把Rt △ABC 绕着点B 逆时针旋转，得到Rt △DBE ，点E 在AB 上.(1)若∠BDA ＝70°，求∠BAC 的度数；(2)若BC ＝8，AC ＝6，求△ABD 中AD 边上的高的长.图1－23－36－10解：(1)由旋转性质知BD ＝BA ，∠CBA ＝∠EBD.∵∠BDA ＝70°，∴∠BAD ＝70°.∴∠ABD ＝∠ABC ＝40°.∵∠C ＝90°，∴∠BAC ＝50°.答图23－36－1(2)∵BC ＝8，AC ＝6，∠C ＝90°，∴AB ＝10.由旋转性质知△ABC ≌△DBE ，则BE ＝BC ＝8，DE ＝AC ＝6，∴AE ＝2.在Rt △ADE 中， AD ＝DE 2＋AE 2＝62＋22＝210.作BF ⊥AD 于点F ，如答图23－36－1.∵BA ＝BD ，∴AF ＝12AD ＝10，则BF ＝ BA 2－AF 2＝102－(10)2＝310.,11. 如图1－23－36－11，正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°. 将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .(1)求证：EF ＝FM ；(2)当AE ＝1时，求EF 的长.图1－23－36－11(1)证明：∵∠EDF ＝45°，∴∠ADE ＋∠FDC ＝45°.由旋转的性质可知，∠CDM ＝∠ADE ，DE ＝DM ，F ，C ，M三点共线，∴∠FDM ＝45°.∴∠FDM ＝∠EDF.在△EDF 和△MDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DF DF MDF EDF DM DE∴△EDF ≌△MDF(SAS ).∴EF ＝FM.(2)解：设EF ＝MF ＝x.∵AE ＝CM ＝1，BC ＝3，∴BM ＝BC ＋CM ＝3＋1＝4.∴BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x.∵EB ＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt △EBF 中，由勾股定理，得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x )2＝x 2. 解得x ＝2.5，则 EF ＝2.5.。

23.1.1 图形的旋转学习目标:1、理解旋转图形的特征并能初步应用．2、掌握图形旋转的基本作图。

重点: 图形的旋转的基本性质及其应用． 难点: 性质运用及基本作图。

学习过程: 一.温故知新:1.如图1，△ABC 是等边三角形,△ABP 旋转后能与△CBP ’重合,那么旋转中心是点 ；对应边是： ； 对应角是: ；旋转角是: ；旋转角等于 度；如果M 点是AP 的中点，那么旋转后M 点转到了什么位置？ .2.旋转的性质：对应点到旋转中心的距离____________;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_________；旋转前、后的图形_________。

3.如图1，AB= ，BP= ，∠ABC=∠ = 度。

4.如图2，△ABC 绕着点O 旋转到△ADE 的位置，则AO= ，BO= ，CO= ，∠AOD=∠ =∠ . 二. 新知导航：（阅读课本第60 页至62页的部分，完成以下问题.）1. 如图，△AOB 绕O 点旋转后，G 点是B 点的对应点， 作出△AOB 旋转后的三角形． 点拨：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．2.旋转作图的依据是 ，旋转作图一般步骤是：①明确题目要求，找出已知图形的各关键点。

②确定旋转的三要素:旋转中心、旋转角和旋转方向。

③作出各关键点的对应点：将各关键点分别与旋转中心连接，已旋转中心为顶点，以各关键点与旋转中心之间的线段为，向旋转方向作一个角等于旋转角，根据各对应点与旋转中心的连线相等得到各关键点的对应点。

④按原图形字母顺序顺次连接即可。

例1、 如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把AB C E DFO图2GABO图1△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。

2.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长 为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）画出ABC △绕点O 顺时针旋转90后的111A B C △三．课堂小结：谈谈本节课你有哪些收获？四．当堂检测1.如图1，△ABC 和△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形， BC 、DE 分别是底边，图中的△ABD 绕A 旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，•其中2.如图△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，如果AP ＝3， 那么△APQ 的面积是______________3.如图，∆ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，请画出∆ABD 绕点A 逆时 针旋转︒60后的三角形。

第2课时旋转作图1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．2．掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．自学教材第61页．完成下列问题．1．回顾思考．(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2．学生独立完成作图题．如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形．要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.知识探究从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形．1．旋转中心不变，改变旋转角．2．旋转角不变，改变旋转中心．我们可以设计成如图美丽的图案．因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案．活动1小组讨论例1如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤．图①按顺时针方向至少旋转180度可得图③.例2如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是△ABC内的一点，且AP＝3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长．解：依题意，AP绕点A旋转90°时，得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形．所以PP′＝PA2＋（AP′）2＝33＋32＝3 2.解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．活动2跟踪训练如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形．绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置．【合作探究】活动2跟踪训练图略．(1)连接CD；(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形.。

1九年级23.1 图形的旋转导学案（30）班级: 时间： 姓名： 评价【学习目标】 知识与技能了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题． 过程与方法感受生活中的几何，•通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用。

难点与关键：从活生生的数学中抽出概念。

一、创设情景时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是多少？二、探究新知像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图形的 ，点O 叫做 ，转动的角叫做 。

如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点P 和P ′叫做这个旋转的 。

练习：如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（ ）2. 如图，ABO ∆绕点O 旋转45°后得到DCO ∆， 则点B 的对应点是_____；线段OB 的对应线段是____； 线段AB 的对应线段是____；∠A 的对应角是_____；∠B 的对应角是_____；旋转中心是_____；旋转的角度是______. △AOB 的边OB 的中点M 的对应点在 。

探究2完成教材57页－－－－－－－探究归纳：1、对应点到旋转中心的距离 ；2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（任意一对对应点）3、旋转前后的图形 。

三、解释应用如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。

重新画一个图，把△ADE 逆时针旋转90°。

练习：下列现象中属于旋转的有（ ）个①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动。

A 、2B 、3C 、4D 、5四、当堂练习1.任意画一个△ABC ，作下列旋转：（1）以A 为中心，把这个三角形逆时针旋转40° （2）以B 为中心，把这个三角形顺时针旋60° （3）在三角形外取一点为中心，把这个三角形顺时针旋转120° （4）以AC 中点为中心，把这个三角形旋转180°ABO DC。