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微分方程的求解方法例题1. 基础概念简介在数学中，微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
它是很多科学领域的基础理论，包括物理、工程、经济等。
求解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界的现象。
常见的微分方程类型包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程仅涉及一个未知函数的变量和它的导数，而偏微分方程涉及多个未知函数和它们的偏导数。
2. 常见的求解方法2.1 分离变量法分离变量法适用于一阶常微分方程。
它的基本思想是将未知函数和它的导数分离到等式的两边，然后对两边积分。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x/y，我们可以将其改写为y dy = x dx。
将两边同时积分得到：∫y dy = ∫x dx解这两个积分后得到：y^2/2 = x^2/2 + C其中C为常数。
2.2 变量替换法变量替换法适用于一阶或高阶常微分方程。
它的思想是通过引入新的变量替换原方程，使得新方程容易求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + y = 0，我们可以引入新变量 v = y'，得到一阶常微分方程 v' + y = 0。
我们可以用分离变量法解得v = -y + C1，再对 v = y' 进一步积分得到 y = -x + C2*e^x，其中 C1 和 C2 是常数。
2.3 特征方程法特征方程法适用于线性常系数常微分方程。
它的基本思想是将未知函数假设为指数函数形式，然后根据方程的特征求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + 3y' + 2y = 0，我们可以假设 y= e^(rx)，其中 r 是未知常数。
将这个假设带入原方程得到特征方程r^2 + 3r + 2 = 0。
解这个特征方程得到 r1 = -1 和 r2 = -2。
因此，通解可以表示为 y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是常数。
2.4 数值方法数值方法适用于无法用解析方法求解的微分方程。
微分方程几种求解方法微分方程是数学中重要的概念之一，用于描述变量之间的函数关系。
求解微分方程是数学和工程中的常见问题。
根据问题的性质和条件，有多种方法可以用来求解微分方程，下面将介绍几种常见的求解方法。
1.变量分离法：变量分离法是求解一阶常微分方程的常用方法。
它的基本思想是将微分方程中的变量分离，然后进行积分。
具体步骤是将微分方程写成形式dy/dx=f(x)g(y)，然后将方程变换为g(y)dy=f(x)dx，再两边同时积分，即可得到方程的解。
这种方法适用于一阶常微分方程，如y'=f(x)。
2.齐次方程方法：齐次方程是指微分方程中不包含任意常数项的方程。
对于齐次方程可以使用变量代换法进行求解。
具体的步骤是将微分方程中y的函数形式换成u，然后进行代换，将微分方程变为可分离变量的形式。
然后用变量分离法来求解，最后再进行反代还原，得到原方程的解。
这种方法适用于一阶齐次常微分方程，如dy/dx=f(y/x)。
3.线性方程方法：线性微分方程是指微分方程中只有一阶导数，并且函数关系是线性的。
线性方程可以使用常数变易法或者待定系数法来进行求解。
常数变易法的基本思想是假设方程的解具有特定的形式，然后将其带入方程，通过确定待定的常数来求解。
待定系数法的基本思想是假设方程的解是一组形式已知的函数的线性组合，然后通过确定待定系数来求解。
这些方法适用于一阶线性常微分方程，如dy/dx+a(x)y=b(x)。
4.积分因子法：积分因子法是一种用于求解一阶非齐次线性常微分方程的方法。
它的基本思想是通过引入一个合适的因子，将一阶非齐次线性微分方程转化为恰当微分方程，从而利用变量分离法来求解。
具体步骤是先将非齐次方程写成标准形式dy/dx+p(x)y=q(x)，然后通过选择合适的积分因子μ(x)来将方程转为恰当微分方程（即满足(dμ(x)/dx)y+p(x)μ(x)=q(x)），再对该恰当微分方程进行积分，即可得到原方程的解。
常微分方程的数值解法1. 引言常微分方程是自变量只有一个的微分方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
由于常微分方程的解析解不易得到或难以求得，数值解法成为解决常微分方程问题的重要手段之一。
本文将介绍几种常用的常微分方程的数值解法。
2. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上假设解函数为线性函数，即通过给定的初始条件在每个子区间上构造切线；- 使用切线的斜率（即导数）逼近每个子区间上的解函数，并将其作为下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
3. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的一种改进，主要思想是利用两个切线的斜率的平均值来逼近每个子区间上的解函数。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上构造两个切线，分别通过给定的初始条件和通过欧拉方法得到的下一个初始条件；- 取两个切线的斜率的平均值，将其作为该子区间上解函数的斜率，并计算下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
4. 二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是一种更为精确的数值解法，其基本思想是通过近似计算解函数在每个子区间上的平均斜率。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上计算解函数的斜率，并以该斜率的平均值近似表示该子区间上解函数的斜率；- 利用该斜率近似值计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
5. 龙格-库塔法（四阶）龙格-库塔法是目前常用的数值解法之一，其精度较高。
四阶龙格-库塔法是其中较为常用的一种，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上进行多次迭代计算，得到该子区间上解函数的近似值；- 利用近似值计算每个子区间上的斜率，并以其加权平均值逼近解函数的斜率；- 计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程是一种重要的微分方程，它是一个双重阶的微分方程，包含一个高阶导数和一个一阶导数，可以用来描述物理过程中特定变量之间的变化。
它可以用来描述复杂系统的行为，从而为我们提供一种有效的解决方法。
二阶线性常微分方程的一般形式为：y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)，其中y是一个未知函数，P(x)和Q(x)是确定的函数，f(x)是给
定的函数。
二阶线性常微分方程的解法有多种，但是最常用的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种迭代法，它可以解决二阶线性常微分方程。
牛顿迭代法的基本思想是：将二阶线性常微分方程分解为两个一阶线性常微分方程，然后采用牛顿迭代法迭代求解。
牛顿迭代法的步骤如下：（1）确定初值，即设定y(x0)和
y'(x0)的初始值；（2）求解y'(x0)的值，即求解一阶线性常微
分方程；（3）求解y(x0)的值，即求解二阶线性常微分方程；（4）将求得的y(x0)和y'(x0)作为下一次迭代的初始值，重复
步骤（2）和（3），直到满足给定精度要求为止。
二阶线性常微分方程在工程学和物理学中都有着广泛的应用，例如，可以用它来模拟物理系统的运动，从而获得精确的解决方案；也可以用它来解决水利工程中的洪水问题，从而获得最优的解决方案。
总之，二阶线性常微分方程可以用来模拟各种复杂物理过程，牛顿迭代法是一种有效的解决方法，它可以帮助我们获得更准确的解决方案。
微分方程解法总结微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
解微分方程的方法繁多，但主要可以归纳为以下几种常见的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法、常系数线性齐次微分方程法、变量可分离的高阶微分方程法和常系数高阶线性齐次微分方程法等。
一、分离变量法分离变量法是解微分方程最基本的方法之一，适用于可以把方程中的变量分离开的情况。
其基本思想是将微分方程两边进行分离，将含有未知函数和其导数的项移到方程的一边，含有自变量的项移到另一边，并对两边同时进行积分。
最后，再通过反函数和常数的替换，得到完整的解。
二、齐次方程法齐次方程法适用于微分方程中，当未知函数和其导数之间的比值是关于自变量的函数时，可以通过引入新的变量进行转换，将微分方程转化为可分离变量或者常微分方程的形式。
三、一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解这类方程需要使用一阶线性常微分方程解的通解公式，即y=e^(-∫p(x)dx)*∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx。
通过对p(x)和q(x)的积分以及指数函数的运用，可以得到最终的解。
四、常系数线性齐次微分方程法常系数线性齐次微分方程可以表示为ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。
解这类方程需要使用特征根的方法。
通过假设y=e^(mx)的形式，将其带入方程中，并解出方程的特征根m1和m2，再根据数学推导，可以得到最终的通解。
五、变量可分离的高阶微分方程法变量可分离的高阶微分方程适用于可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的情况。
其基本思想是对微分方程两边进行合理的转化和变量替换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式，然后使用分离变量法进行求解。
六、常系数高阶线性齐次微分方程法常系数高阶线性齐次微分方程可以表示为ay^n + by^(n-1) + ... + cy = 0，其中a、b、c为常数。
常微分方程中的解析近似解法常微分方程（ODE）是解决许多问题的基础数学理论。
从物理领域的经典力学、电磁学到生物学中的生命过程，常微分方程在描述现实世界中的许多现象上都有着广泛的应用。
然而，由于许多常微分方程没有显式解，解析近似方法是其中一个重要的研究方向。
本文将介绍一些解析近似方法，以及它们如何在不同的ODE问题中应用。
1. 常微分方程的解析近似ODE通常被定义为一个形式为$f(x,y,y',...,y^{(n)})=0$的函数关系，其中$f$是一个已知的函数，$y$是未知函数，$y',...,y^{(n)}$是$y$的各微分阶。
在解决某些ODE问题时，解析方法是解决问题的首选方法之一。
解析方法的基本思想是通过一些简单的求导运算来确定$y$的解析表达式。
2. 马克西米安近似常微分方程中的解析近似方法可以分为两组：一组是基于非线性ODE所执行的，另一组是基于线性ODE所执行的。
马克西米安近似是一种非线性ODE近似的方法，它通常用于解决末端边界的问题。
该方法的基本思想是将$y$展开成一个级数，并将级数的每一项插入到原方程中，然后通过简单的计算找到每一项的系数。
最终，我们得到一个级数解析解$y=\sum c_n y_n$，其中$y_n$是$y$的单项表达式，并且$c_n$是它的相应系数。
马克西米安方法适用于很多的非线性ODE问题，尤其是一些弱非线性的ODE问题。
3. 零阶逼近另一种常见且简单的解析方法是零阶逼近法，它通常用于解决线性ODE问题。
该方法的基本思想是假设$y$的形式并将其标准化为一个简单的形式$y=Ae^{\lambda x}$。
将其代入ODE，我们可以得到$\lambda$的值，并进而推导出$y$的形式。
零阶逼近方法只能提供线性ODE的局部解，它通常用于解决上下文具有相对明确边界的机械工程应用，如模拟建筑物上的结构问题。
4. 奇异摄动法奇异摄动法是一种用于求解高阶线性ODE的解析方法。
pinns求解常微分方程
Pinns求解常微分方程是一种基于人工神经网络的求解方法。
它的基本思想是利用神经网络来逼近微分方程的解，通过优化网络参数来使得网络输出的解尽可能接近真实的解。
Pinns求解常微分方程的优点是可以处理非线性和高维度的微分方程，同时不需要对方程进行解析求解，具有较好的鲁棒性和通用性。
Pinns求解常微分方程的实现过程一般包括以下步骤：首先根据微分方程得到一个适当的损失函数，然后利用神经网络对该损失函数进行求解，最后通过反向传播算法来更新网络参数，不断迭代直至满足精度要求。
Pinns求解常微分方程已经在许多领域得到了广泛的应用，例如流体力学、量子力学、化学反应动力学等。
但是，由于神经网络的黑箱性质，Pinns求解常微分方程的解释性较差，因此在一些应用场景下需要谨慎使用。
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常微分方程的“变量分离法”思想在中学数学解题的应用举例广东梅县东山中学 张映林 514017[摘要]笔者在教学过程中, 发现很多有关恒成立、方程的根、不等式和关于二次函数等问题, 经常可以用“变量分离法”来解决. 本文通过实例, 讲述“变量分离法”的广泛应用.本文最后举出了几个“多变量分离”的相关的问题.[关键词]恒成立 根 变量分离法1.“变量分离法”的概念“变量分离法”可从常微分方程中得来. 在文[1]中, 给出定义: 形如()()dyf x y dxϕ=的方程, 称为变量分离方程, 其中(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数.如果当()0y ϕ≠, 可将方程改写成()()dyf x dx y ϕ=, 变量就“分离”了, 两边积分得到()()dyf x dx C y ϕ=+⎰⎰.这个思想可以直接转化为中学数学中使用的“变量分离法”.(变量分离法)将含有两个变量构成的方程(或者不等式), 经过变形, 把两个变量分属于式子的两边(比如: ()()f x a ϕ>), 然后再根据实际情况, 解决恒成立、不等式、方程的根等问题. 通常, 一个变量的范围是已知的, 另一个变量的范围是未知的.2.“变量分离法”几种题型和转化方法(1)不等式()(f x a ϕ≥恒成立⇔min ()()f x a ϕ≥（求解()f x 的最小值, 当然准确来说是下确界inf ()f x , 但是因为高中学生没有接触这个概念, 所以可以跟学生说类似于最小值）.(2)不等式()()f x a ϕ≤恒成立⇔max ()()f x a ϕ≤（求解()f x 的最大值, 同样地,准确来说是上确界sup ()f x ）.（而形如()()f x a ϕ>或()()f x a ϕ<等类似的问题可以用这种方法解决, 但要特别注意是否能够取到等号）(3) 方程()()f x a ϕ=有解⇔()a ϕ的取值范围()f x ⊆的值域（从而转化为求解()f x 的值域）.3. “变量分离法”举例3.1 “变量分离法”解决集合中的问题 例1 设集合2{|2240}A x x x m =-++=,(,0)B =-∞, 且A B ⋂至少有两个子集, 求实数m 的取值范围. (文[2])通常有2种解法: 一是分类讨论, 一是“正难则反”, 过程如下解法1: 因为A B ⋂至少有两个子集, 所以,2()2240f x x x m =-++=至少含有一个负根.可分三种情况讨论:①22240x x m -++=有一个正根, 一个负根, 于是(0)0f <, 解得2m <-;②有一个负根, 一个零根,于是, (0)0f =, 所 以2m =-, 经检验, 0x =或2x =, 不成立; 此时,方程()0f x =的两根为0x =与2x =,不符合题意.③二个负根(包括两个相等负根), 于是12120,20, 240, x x x x m ∆≥⎧⎪+=<⎨⎪=+>⎩ 此不等式组无解.综上, m 的取值范围是(,2)-∞-.解法2: (这种方法, 学生容易把全集看成是R )设集合2{|2240P x x x m =-++=无负根}, 由12120, 20,0, x x x x ∆≥⎧⎪+=≥⎨⎪≥⎩ 解, 得3[2,]2P =--,记{|U m =方程22240x x m -++=有实数根}3{|0}(,]2x =∆≥=-∞-于是m 的取值范围是(,2)U C P =-∞-. 如果我们使用“变量分离法”会很快捷地解决问题.解法3: 由22240x x m -++=, 得到212,02m x x x =-+-<,记21()2,02f x x x x =-+-<, 则m 应在()f x 的值域中. 于是, 213()(1)22f x x =---,则(),0y f x x =<的值域是(,2)-∞-, 故, m 的取值范围是(,2)-∞-.例2 已知集合1[,2]2P =, 函数22l o g (22)y a x x =-+的定义域是Q , (Ⅰ)若P Q ⋂≠∅, 求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若方程22log (22)2ax x -+=在1[,2]2内有解, 求实数a 的取值范围.解: (Ⅰ) 若P Q ⋂≠∅, 则关于x 的不等式2220ax x -+>在1[,2]2上有解,且222a x x>-+,令222t x x =-+, 即21112()22t x =--+, 因为1[,2]2x ∈, 所以, 1[4,]2t ∈-,故, 4a >-即实数a 的取值范围是(4,)-+∞.(Ⅱ)类似地可解得实数a 的取值范围是3[,12]2(答案略). 例3 集合22{(,)|(1)1}A x y x y =+-=和{(,)|0}B x y x y a =++≥, 若A B A ⋂=, 求实数a 的取值范围. (文[3])解: 由A B A ⋂=, 得A B ⊆, 于是, 若对任意的实数,x y 满足22(2)1x y +-=, 设cos x θ=,1sin y θ=+,则cos sin 10x y a a θθ++=+++≥恒成立, 即(cos sin 1)a θθ≥-++恒成立,设(cos sin 1)t θθ=-++,则(cos sin 1))14t πθθθ=-++=+-1≤(等号能够取到),故, 实数a的取值范围是1,)+∞.3.2 “变量分离法”解决函数的零点问题 例4 (2007年广东高考题文21理20)已知a 是实数, 函数2()223f x ax x a =+--, 如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点, 求实数a 的取值范围.分析: 高考中所附的答案是用一元二次方程根的分布通过分类讨论去解决, 这些方法过程长, 计算难度大, 容易出错. 如果使用“变量分离法”得到23221xa x -=-进行解决会很简单, 便捷.解: 由22230ax x a +--=得2(21)32x a x -=-,而2x =-或2x =不是此方程的根, 于是()f x 在[1,1]-上有零点等价于存在[1,1]x ∈-, 使得23221xa x -=-. 现求函数232,[1,1]21xy x x -=∈--的值域.令32t x =-,则[1,5]t ∈且3t ≠3t ≠且32tx -=,此时有 22372()162t y t t t==--+- 由[1,5]t ∈且3t ≠3t ≠得到7660t t ≤+-<或7062t t<+-≤,所以, 32y --≤或1y ≥. 故实数a 的取值范围是([1,)-∞⋃+∞. 例5 若关于xx m =+有两个不等的实根, 求实数m 的取值范围.解:x m =+得m x =,设y x =, 12x ≥-,则1y '=-=令0y '=, 解得而当2x =时, 2y =, 结合单调性和图像可得, 实数m 的取值范围是1[,1)2.例6 关于x 的方程4210xxa a +⋅++=有实根, 求实数a 的取值范围.(答案: (,2-∞-) 3.3 “变量分离法”在导数中的应用(主要是单调性)例7 若32()2f x x x ax =+++是R 上的单调增函数, 则实数a 的取值范围是解析: 由题意, 2()320f x x x a '=++≥即2(32)a x x ≥-+对于任意的x R ∈恒成立, 解得实数a 的取值范围是1[,)3+∞例8 若32()34f x x x ax =-+++是(,1]-∞上的单调减函数, 则实数a 的取值范围是 (答案: (,3]-∞-)3.4 “变量分离法”在不等式、恒成立等问题的应用这个在高考中是经常出现的题型: 比如: 2008高考中, 安徽理20(Ⅱ)、文20(Ⅱ),江苏14, 湖南理21(Ⅱ)等.例9 (2008江苏14)设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值.解: 若0=x , 则不论a 取何值, ()f x ≥0显然成立;当(0,1]x ∈时, ()331f x ax x =-+≥0可化为2331a x x ≥-, 设()2331g x x x=-, 则()()4312x g x x -'=, 所以()g x 在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增, 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4;当[)1,0x ∈-时, ()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -, ()()4312x g x x -'=0>, ()g x 在区间[)1,0-上单调递增, 因此()()ma 14n g x g =-=, 从而a ≤4, 综上a ＝4.例10 若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈恒成立, 则实数a 的取值范围是 解析: 由不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈恒成立, 得1a x x≥--对于一切1(0,)2x ∈恒成立, 解得实数a 的取值范围是5[,)2-+∞.4. “多变量分离法”以上的变量都是2个变量, 我们也有些时候会碰到3个或3个以上的变量的问题. 3个或3个以上的通常是一个移到一边, 其余在另外一边, 进行处理. 现举例如下例11若不等式()x a x y ++对一切正数,x y 恒成立, 求正数a 的取值范围.解:由()x a x y ++得,a ≥,而22x x yt x y++=≤=+ (当且仅当2x y =时, 取等号), 于是t 的最大值是2,故正数a 的取值范围是[2,)+∞.例12 （2009天津卷理）a b +<<10, 若关于x 的不等式2()x b ->2()ax 的解集中的整数恰有3个，则A. 01<<-aB. 10<<aC. 31<<aD. 63<<a解析：由2()x b -＞2()ax 得22()()[(1)][(1)]0x b ax a x b a x b --=--+->,它的解应在两根之间, 故有10a -<即1a >,而由a b +<<10得到110<+<a b, 不等式可化为11+<<--a bx a b , 所以, 22{|()()}{0,1,2}x x b ax ->=--,故213-<--≤-a b , )1(2)1(3--<-≤--a b a , 又a b +<<10, 解得31<<a . 选C.[参考文献] 1. 王高雄等. 常微分方程. 北京: 高等教育出版社,2005.11 2. 吴书林. 名师面对面·数学. 广州: 羊城晚报出版社, 2008.2 3. 苏文士. ︒360高考·理科数学. 广州: 羊城晚报出版社, 2009.5。
euler方法的原理摘要：1.Euler方法的定义和原理2.Euler方法的应用场景3.Euler方法的优缺点4.提高Euler方法收敛速度的方法5.总结正文：Euler方法是一种求解常微分方程初值问题的数值方法。
它的基本思想是将微分方程中的导数项用差分的形式表示，然后通过迭代公式逐步逼近解。
Euler方法在许多领域都有广泛的应用，如物理、工程、经济学等。
Euler方法的原理如下：对于常微分方程dy/dx = f(x, y)，我们可以将其离散化为差分方程dy[n+1]/dx = f(x[n+1], y[n+1])。
在此基础上，Euler方法通过以下迭代公式求解：y[n+1] = y[n] + h * f(x[n+1], y[n])其中，h为步长，x[n+1] = x[n] + h，y[n]为当前近似解。
Euler方法的应用场景主要包括：1.求解具有连续导数的微分方程，例如物理中的运动方程、电磁学方程等。
2.分析动态系统，如力学、生物学中的模型。
3.金融领域，如利率衍生品定价、风险管理等方面的计算。
Euler方法虽然简单易实现，但也存在一定的优缺点：优点：1.概念清晰，容易理解。
2.计算速度较快，适用于大规模计算。
缺点：1.收敛速度较慢，尤其在区间端点附近。
2.对于非线性方程，收敛性不易保证。
为了提高Euler方法的收敛速度，可以采用以下方法：1.减小步长h，使离散方程更接近原方程。
2.使用复合Euler方法，即在迭代过程中用更高阶的数值方法修正Euler方法。
总之，Euler方法作为一种基本的数值方法，在实际应用中具有重要意义。
常微分方程数值解算法常微分方程是在物理、经济、生物、环境科学等领域中最基本的数学工具之一。
为了解决实际问题，需要求解这些方程的解。
但是，大部分常微分方程是无法求得解析解的，因此需要通过数值方法来求解。
在数值方法中，其基本思想是将微分方程化为一个逐步求解的问题。
通过离散化得到一个差分方程，然后通过数值方法求解这个差分方程。
本文将就常微分方程的数值解算法进行介绍和探讨。
1.欧拉方法欧拉方法是最基本的一种常微分方程数值解方法。
它的基本思想是将微分方程化为差分方程。
欧拉方法是一种一阶的显式方法。
通过计算当前点处的斜率即可进行逼近。
如下所示：y(t + h) = y(t) + hf(t, y(t))其中，h是步长。
f(t, y)是微分方程右边的函数。
欧拉方法的由来是其是以欧拉为名的。
这种方法的优点是简单明了，易于理解。
但是，其与真实解的误差随着步长增大而增大，误差不精，计算速度较慢等缺点也使其并非一个完美的数值解方法。
2.改进的欧拉方法改进的欧拉方法被认为是欧拉方法的一个进化版。
它是二阶数值方法，明显优于欧拉方法。
其基本思想是通过步长的平均值h/2来进行逼近。
y(t + h) = y(t) + h[ f(t, y(t)) + f(t + h, y(t) + hf(t, y(t))/2) ]其优点是能够更准确地逼近微分方程的解，只比欧拉方法多计算一些，但是其步长的误差随着步长增大而减小，并且计算速度比欧拉方法稍快。
因此，改进的欧拉方法是比欧拉方法更好的方法，效果相对较好。
3.龙格库塔方法龙格库塔方法是一种经典的数值解方法。
对于非刚性的方程可以得到较为精确的数值解。
其算法思路是利用多阶段迭代的方式，求解一些重要的插值点，并利用插值点的结果来逼近方程的解。
其公式如下：y(t + h) = y(t) + (h/6)*(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)其中，k1 = f(t, y(t))k2 = f(t + h/2, y(t) + h/2k1)k3 = f(t + h/2, y(t) + h/2k2)k4 = f(t + h, y(t) + hk3)其优点是更精确，计算速度更快。
第四讲常微分方程的思想方法三、常微分方程的思想方法数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点, 它在认识活动中被反复运用, 带有普遍的指导意义, 是建立数学以及应用数学解决问题的指导思想。
数学方法是指提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等, 二者的紧密联系即数学思想方法。
由此可见, 数学思想方法是以具体的教学内容为载体, 又高于具体数学内容的一种指导思想和大范围普遍适用的方法, 是数学的灵魂.（1）挖掘、提炼和概括教材知识中的数学思想，实现由隐到显，体现规律性一般来说, 由于教材的编排必须考虑学科内容的内在联系及逻辑系统性，故数学思想只能从相关内容中去体现，具有隐形态。
知识教学虽然蕴含了思想方法，但是如果没有有意识地被数学思想方法作为教学对象，学生学习数学知识时并不一定注意到数学思想方法。
因此教师应当以数学知识为载体，有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想挖掘、提炼、概括出来，使之由隐形态变为显形态，使学生对由对数学知识、数学方法的朦胧感受、死记硬背转化为明晰的理解、掌握和灵活运用，最终完成对数学知识、数学方法的本质认识。
（2）抓住课程中知识发生的过程，及时强化数学思想数学知识的发现过程，实际上也是数学思想方法的发生过程，但对于学生来说，这种发现或发生过程，往往被教材浓缩，甚至隐去。
数学知识的教学是数学认识活动结果的教学，具有静态点型，重在记忆理解；数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，呈动态线型，重在思辨操作。
所谓数学活动过程是指：数学概念的形成过程，数学结论的推导过程，数学方法的思考过程，数学规律的被揭示过程，这些过程是数学思想的体现并受某种数学思想的指导，离开数学活动过程，思想方法也就无从谈起。
（3）把握知识的内在联系，注意数学思想方法的内在结构，使之系统化数学思想方法的教学与具体的数学知识的教学一样，只有成为系统，建立自己的结构，才能发挥它的整体效益。
同时，系统的数学思想体系是良好的数学观念形成的物质基础。
教材中的许多知识，从思想方法角度去分析，更容易把握其本质联系，是原来看似孤立和静止的知识点成为有机联系的动态的知识发展过程。
因此在教学过程中，应突出数学思想，把对方法的认识提升到数学思想运用的高度，这有利于沟通知识联系，把握方法本质，是学生从整体结构上，从更深层次上，从事物内在的本质联系上，去把握知识，形成系统、完成的知识结构。
（4）加强应用，内化数学思想应用数学知识解决问题的过程是诸多数学思想方法中和运用的过程。
一方面应把重点放作应用数学思想方法解决数学本身的问题；另一方面应该注意它的实际背景和应用，应用数学思想方法解决实际问题，逐渐将从数学知识挖掘出来的数学思想加以内化。
方程的思想方程，尤其是目的在于求出解的方程，最初是作为解决实际问题的数学模型出现的，即用来表达“数量关系”，这时方程思想的基本点。
常微分方程的思想方法是代数方程思想方法的发展，但其基本点是一致的，即把问题归结为求未知量。
用含未知量的式子建立等量关系，由此求得未知量。
方程的基础是平衡原理。
⏹模型化思想许多类型的常微分方程的发现都遵循这样的一个过程: (1) 在工程或自然科学研究中发现问题、提出问题; (2) 对实际问题进行分析, 提炼出数学模型, 建立目标函数的关系式, 提出相应的定解条件; (3) 求这个方程的解析解或数值解, 或对方程的形态进行分析; (4) 用所得的结果解释实际现象, 或对问题的发展变化趋势进行预测. 这个过程就是数学建模的过程. 数学建模思想是常微分方程发展史所反映出的最重要的数学思想. 常微分方程自诞生之日起, 就是模型化的产物.⏹抽象化思想“量”和“形”作为数学中抽象的材料, 在两个研究对象具有相同的量和形时, 便可使用相同的方法处理, 由此决定了数学抽象性. 此外, 概念和规律的抽象也决定了数学内容的抽象性. 数学的抽象化是从简单到到复杂的逐步深化的过程, 常微分方程的发展也是抽象化的过程, 通过抽象, 理论意义进一步增强.常微分方程的抽象化主要体现在两个方面, 一是研究领域的抽象化, 即从相平面到环面、到柱面、到一般的欧氏空间；从有限维欧氏空间到无穷维的Banach空间，到一般微分流形上，研究范围不断抽象；另一方面是研究对象的抽象化，从低阶方程到高阶方程、从线性方程到非线性方程、从一个方程到方程组、从自治系统到非自治系统。
⏹分类思想求解方程的分类；轨线的分类；⏹换元思想解Bernoulli方程、⏹化归的思想数学中的化归思想，是指在研究数学问题时，把未解决的问题通过某种转化过程归结到另一类已经解决或者相对更容易解决的问题中去，最终使原问题得到解决的一种思维方法。
化归思想方法的主要特点在于它具有很强的目的性、方向性和概括性，就是希望通过由已知到未知、由难到易、由繁到简的化归来达到解决问题的目的。
化归思想应用的关键在于如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转化。
化归的思想，从宏观上讲，它是数学家区别于一般科学家的分水岭，是发现问题、分析问题、解决问题，形成数学构想的方法论依据。
大致一门学科，一项思维的总体构思，小至一个基本问题的解决，无不由于化归思想的作用。
从微观上看，数学问题的解决过程就是不断发现问题、分析问题，将之归结为熟知问题的过程。
从常微分方程发展历程来看，化归是常微分方程的重要数学思想方法。
下面仅举几例，这几个例子都是用连续、变化的观点，有意识地将问题化繁为简，划归解决的，都符合“化难为易、化未知为已知、化繁为简的化归原则。
●一阶常微分方程初等解法用初等积分法求解一阶显方程，常用的处理方法有两种：一是以变量分离方程为基础，通过适当的变量代换，将非变量可分离方程转化为变量可分离方程来求解；二是以恰当方程为基础，选择适当的积分因子，将非恰当方程转化为恰当方程来求解。
● 高阶方程的降阶法对于高阶方程，常常选用适当的变量代换转化为低阶方程来解。
特别是对于线性齐次方程，若已知它的K 个线性无关解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低K 阶。
● 常系数线性齐次方程（组）的特征值法特征值法本质上是将求常系数线性微分方程（组）的解的问题转化为高等代数中的求代数方程的特征值问题（特征值、特征向量）加以解决，从而省去了积分运算。
待定系数法和幂级数解法的思想也是把积分运算化归为代数运算。
● 非齐次线性方程（组）的常数变易法在已知非齐次线性微分方程相应其次线性方程的基本解组的条件下，求解非齐次线性微分方程（组）的常数变易法，本质上是通过一个变量代换，将其转化为易于求解的方程（组）来求解。
● 一阶常微分方程的解的存在唯一性的证明首先将常微分方程的初值问题化归为等价积分方程的初值问题，而相应的积分方程的解的存在性又是通过逐次逼近法，进而将其化归为逐次逼近函数列的一致收敛问题来证明的。
利用逐次逼近法通常需要经过以下几步:(1) 初值问题等价于积分方程0()(,()),tt x t x f s x s ds =+⎰ 0.t t h-≤(2) 作等价积分方程的Picard 近似解序列{}()n t ϕ:00x ϕ=, 001()(,()),tk k t t x f s s ds ϕϕ-=+⎰ 0,t t h-≤ 1,.k =⋅⋅⋅(3) 证明近似解序列{}()n t ϕ在0t t h -≤上一致收敛.(4) 证明()lim ()n n t t ϕϕ→+∞=为积分方程的解, 从而是()的解. (5) 利用同一法证明解的唯一性.● 非线性系统的稳定性非线性系统的零解的问题性可以转化为线性系统进行研究。
例如： 考虑系统(,),xAx g t x =+ 其中(,0)0,(,)g t g t x =在0[,)n t R +∞⨯连续, 对x 足Lipschitz 条件, 且对t 一致的有 0(,)lim 0,x g t x x →=则当A 没有零实部的特征值时, 此系统的零解的稳定性与其线性化系统xAx 具有相同的稳定性.● Laplace 变换法首先通过作Laplace 变换，将线性非齐次常微分方程求解问题划归为以未知函数的Laplace 变换为未知变量的代数方程的求解问题，求得此代数方程的解后，再应用Laplace 反演变换将代数方程的解翻译成原常微分方程的解。
应用Laplace 变换法解方程，作为化归的一种情形，体现了RMI 原则（关系relationship 、映射mapping 、反演inversion 原则），充分利用了关系映射的确定性。
⏹ 数形结合的思想数形结合化抽象为具体、化深奥为浅显，可以生动形象地揭示问题的本质。
例如：常微分方程中的线素和线素场，对于不可积的方程，可依据线素场研究解的性质，从而构成了常微分方程近似解法和定性理论的基本思想。
研究自治系统引入相平面和轨线，又使解的研究易于积分曲线的研究。
数形结合的思想在常微分方程中得到了充分的应用。
⏹ 逼近的思想Euler 折线法、逐次逼近法、线性系统逼近非线性系统等。
参 考 文 献1. Kline M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Time, Oxford UniversityPress ,1990. 中译本：古今数学思想，上海科学技术出版社，2002.2. 亚历山大洛夫 A D. 数学-它的内容、方法和意义, 科学出版社，2001.3. 李文林. 数学史概论（第二版），高等教育出版社，北京，2004.。
