5.2.1 三角函数的概念(1)

5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)． 三角函数定义定义域 名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1：求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.。

5.2.1三角函数的概念【教学目标】1．能用三角函数的定义进行计算．2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．3．会利用诱导公式一进行有关计算．【要点梳理】1．任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．(3)要明确sin x是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．【思考诊断】1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？[答案]sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×【课堂探究】题型一任意角的三角函数的定义及其应用【典例1】(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路导引]利用三角函数的定义求解．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125. (2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. [答案] (1)－1213 513 －125(2)见解析 [名师提醒]求任意角的三角函数值的2种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．[针对训练]1．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( )A.12B.32C.22 D ．－22[解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝－112＋(－1)2＝－22. [答案] D2．已知角α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________. [解析] ∵α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y ， ∴⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34，又∵y <0，∴y ＝－32. ∴sin α＝－32，tan α＝3，sin αtan α＝－32×3＝－32. [答案] －32题型二 三角函数在各象限的符号问题【典例2】 判断下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3. [思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．[解] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.(2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0， 又因为－2π3是第三象限角，所以tan ⎝⎛⎭⎫－2π3>0，所以cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3<0. [名师提醒]判断三角函数值正负的2个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上．[针对训练]3．设θ是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则角θ2为第________象限角． [解析] 因为θ是第三象限角，所以π＋2k π<θ<32π＋2k π，k ∈Z ， 所以π2＋k π<θ2<34π＋k π，k ∈Z ，所以角θ2为第二、四象限角． 又因为⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2<0，所以θ2为第四象限角． [答案] 四题型三 诱导公式一的应用【典例3】 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解．[解] (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. [名师提醒](1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．(2)熟记一些特殊角的三角函数值．[针对训练]4．计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 【课堂小结】1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．公式一的理解(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的作用利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.【随堂巩固】1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵x ＝－4，y ＝3，∴r ＝(－4)2＋32＝5，∴cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D. [答案] D2．sin ⎝⎛⎭⎫－35π6的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫－35π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π6＝sin π6＝12，∴选A. [答案] A3．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或第四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案] C4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝________. [解析] ∵cos α＝－45<0，∴α角应为第二或第三象限角， 又∵y ＝－6<0，∴α为第三象限角，∴m <0 又∵－45＝m m 2＋(－6)2，∴m ＝－8. [答案] －85．求值：tan405°－sin450°＋cos750°.[解] tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32。

《三角函数的概念》教学设计5.2.1 三角函数的概念（第一课时）一、教材分析：三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础。

传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数。

锐角三角函数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映；任意角三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画。

如果以锐角三角函数为基础进行推广，那么三角函数概念发生发展过程的完整性将受到破坏。

因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景，构建从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后再进行考察。

一般地，概念的形成应按“事实—概念”的路径，即学生要经历“情境——共性归纳——定义———辨析———简单应用” 的过程。

二、目标和目标解析1.目标（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系。

（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，提高数学抽象素养。

2.目标解析（1）学生能如了解前面所学幂函数、指数函数、对数函数的现实背景一样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始””变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在周而复始变化现象中的代表性。

（2）学生在经历“”周期现象——圆周运动——单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆上的点P以A为起点作旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念；能根据定义求出定角的三角函数值。

教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义三、学情分析前面已学函数的概念，在对幂函数、指数函数、对数函数的学习中，初步理解了研究函数的基本思路、方法，这些认知准备对于分析“周而复始””变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用。

5.2.1 三角函数的概念在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结yx＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．公式一1．sin(－315°)的值是( ) A ．－22 B ．－12 C.22 D.12C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22.] 2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝________.32 [sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＋sin α的值为________． 3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12， 故cos α＋sin α＝3＋12.] 三角函数的定义及应用 [探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变．【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，则sin θ＋tan θ的值为________．(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路点拨] (1)依据余弦函数定义列方程求x → 依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ(2)判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α(1)310＋3010或310－3010 [因为r ＝x 2＋9，cos θ＝x r ，所以1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10. 又y ＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝310＋3010.当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝310－3010.](2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)， 则r ＝12＋(－3)2＝2， 所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用【例2】 (1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限． (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C [因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)[解] ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．－2＜a ≤3 [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角．]诱导公式一的应用 【例3】 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54. 利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值. 3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. [解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 25π·tan 0＝sin π6＋0＝12. 1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．1．思考辨析(1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝yr，且y 越大，sin α的值越大．( )(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( )[提示] (1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝y r.但y 变化时，sin α是定值． (3)正确．(4)错误．终边落在y 轴上的角的正切函数值不存在．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为( ) A ．1 B ．－1 C.22D ．－22B [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝________.－15 [设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )， 则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )， 由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.]4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4.[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.。

5.2.1 三角函数的概念（第1课时）【学习目标】1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．【教材知识梳理】一．利用单位圆定义任意角的三角函数在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以 为半径的圆为单位圆． 前提 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R ，它的终边与 交于点P (x ，y )，那么：定义 正弦把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作 ，即y ＝ 余弦把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作 ，即x ＝ 正切单位圆上点P 的纵坐标与横坐标的比值y x为函数值的函数叫做α的正切函数，记作 ，即y x ＝ (x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．正弦函数y ＝sin x ，定义域为 ；余弦函数y ＝cos x ，定义域为 ；正切函数y ＝tan x ，定义域为 .α的终边上任意一点的坐标定义三角函数推广到一般情况：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P (异于原点)，其坐标为(x ，y )，且OP ＝r ＝ x 2＋y 2 (r ＞0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0). 注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P (x ，y )所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．二．三角函数值在各象限的符号三角函数值的符号变化规律可概括为“ ”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )(2)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )(3)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．( )(4)若α是第二象限角，且(,)P x y 是其终边与单位圆的交点，则cos x α=-．（ ）(5)由三角函数的定义，可知1≤sinα≤1.（ ）【教材例题变式】【源于P179例2】例1 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，求sin α，cos α，tan α的值．(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【源于P178例1】例2 .利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1)2π； (2)4π-； (3)34π， (4)73π． 【源于P180例3】例3 .对于sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>与⑥tan 0θ<，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第一象限角的充要条件是_____；（2）角θ为第二象限角的充要条件是_____； （3）角θ为第三象限角的充要条件是_____；（4）角θ为第四象限角的充要条件是______.【源于P181例4】例4 .确定下列三角函数值的符号：①sin 156°；②cos 165π；③cos(－450°)；④tan )817(π-；⑤sin )34(π-；⑥tan 556°. 【教材拓展延伸】例5．（1）已知θ是第二象限角，试判断()()tan sin tan cos θθ的符号．（2）若()()sin cos cos sin 0θθ<，求θ的终边的位置．【课外作业】基础过关：1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ）A ．45B ．35C ．35D ．45- 2．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 3．点()cos2023,tan8A ︒在平面直角坐标系中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．BC ． D5．已知角θ的终边经过点1,2P ⎛- ⎝⎭，则角θ可以为（ ） A ．76π B ．23π C ．43π D ．53π 6．（多选）已知点()(),20P m m m -≠是角α终边上一点，则（ ）A ．tan 2αB ．cos αC ．sin cos 0αα<D ．sin cos 0αα> 7．若点(4,)P a -在角240°的终边上，则实数a 的值是__________.8．点P 从点()10A ，出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是___________.9．已知角α的终边落在直线3y x =-上，求2sin 3cos αα+的值.能力提升：10.设角θ是第一象限角，且满足cos=cos 22θθ-，则2θ的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．（多选）函数y sin cos tan sin cos tan x x x x x x =++的值可能为（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．1 D ．﹣112．（多选）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（ ）A ．sin(100°)B ．cos(220°)C ．tan(10)D ．cos013．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．14．已知角α的终边上一点P 与点()1,2A -关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称，则sin sin αβ+=______．15．已知角α的终边上有一点)1Pa +，a ∈R ． (1)若60α=︒，求实数a 的值．(2)若cos 0α>且tan 0α<，求实数a 的取值范围．16．如图所示，滚珠P ，Q 同时从点(2,0)A 出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠P ，Q 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠P ，Q 各自滚动的路程．。