2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=A．[-4,+∞）B．（-2, +∞）C．[-4,1] D．(-2,1]2．已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A．5-5i B．7-5i C．5+5i D．7+5i3．若α∈R，则“α=0”是“sinα<cosα”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．设m．n是两条不同的直线，α．β是两个不同的平面，A．若m∥α，n∥α,则m∥n B．若m∥α，m∥β,则α∥βC．若m∥n，m⊥α,则n⊥α D．若m∥α，α⊥β,则m⊥β5．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm36．函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．已知a．b．c∈R，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则A．a>0,4a+b=0 B．a<0,4a+b=0 C．a>0,2a+b=0 D．a<0,2a+b=08．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像9．如图F1．F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A．B分别是C1．C2在第二．四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是1A ．2 B ．3 C ．32 D ．6210．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：若正数a ．b ．c ．d 满足ab ≥4,c+d ≤4,则A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥2 非选择题部分（共100分） 注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（浙江卷）选择题部分一、选择题1．设集合S＝{x|x>－2|，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T等于()A．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞)C．[－4,1] D．(－2,1]答案 D解析S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}．由数轴可知：S∩T＝{x|－2<x≤1}＝(－2,1]．故选D.2．已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)等于()A．5－5i B．7－5i C．5＋5i D．7＋5i答案 C解析(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.故选C.3．若α∈R，则“α＝0”是“sin α<cos α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝0可以推出sin α<cos α，所以“α＝0”是“sin α<cos α”的充分条件；由sin α<cos α推不出α＝0，所以“α＝0”不是“sin α<cos α”的必要条件．故选A.4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案 C解析两条平行线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．故选C.5．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3 答案 B 解析将三视图还原成直观图，如图， 是去掉一个角的长方体．V ＝3×6×6－13×⎝⎛⎭⎫12×3×4×4＝100. 故选B.6．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 答案 A解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以最小正周期为π，振幅为1. 故选A.7．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0 答案 C解析 由f (0)＝f (4)知，f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为－b a ＝2.∴2a ＋b ＝0.又0和1在同一个单调区间内，且f (0)>f (1)， ∴y ＝f (x )在(－∞，2)内为减函数．∴a >0.故选C.8. 已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B. 9. 如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 |F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.10．设a ，b ∈R ＋，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b . 若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2答案 C解析 这个题目属于新定义型问题． 由a 、b ∈R ＋，且ab ≥4，所以a 、b 中一定有一个值大于或等于2. ∴a ∨b ≥2.同理c ∧d ≤2.故选C.非选择题部分二、填空题11．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝______. 答案 10解析 f (x )＝x －1且f (a )＝3，即a －1＝3， ∴a ＝10.12．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________． 答案 15解析 基本事件总数为：15.构成事件的基本事件为：3. ∴P ＝315＝15.13．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 答案 4 5解析 圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0的标准方程为：(x －3)2＋(y －4)2＝25. 圆心坐标为(3,4)，半径为5. 圆心(3,4)到直线y ＝2x ＋3的距离 d ＝|2×3－4＋3|5＝ 5.∴弦长l ＝252－(5)2＝4 5.14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．答案 95解析 当k ＝5时，输出S .此时，S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝2－15＝95.15．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x －2y ＋4≥02x －y －4≤0画出可行域如图，由z ＝kx ＋y 即y ＝－kx ＋z 的最大值为12，知 直线y ＝－kx ＋12必过点(4,4)． ∴k ＝2.16．设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab ＝________. 答案 －1解析 当x ＝0时，得0≤b ≤1，当x ＝1时，得a ＋b ＝0，∴a ＝－b ∈[－1,0]． 当x ≥0时，x 4－x 3＋ax ＋b ＝x 4－x 3＋ax －a ＝x 3(x －1)＋a (x －1)＝(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2 ①当x ＝1时，a ∈R .②当x >1时，a ≤x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54恒成立． 则a ≤－1.③当0≤x <1时，a ≥x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54恒成立．则a ≥－1. 综上知：a ＝－1.∴b ＝1.可以验证当x ≥0时，0≤x 4－x 3－x ＋1恒成立． ∴ab ＝－1.17．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________． 答案 2解析 ①当x ＝0时，|x ||b |＝0；②当x ≠0时， |b |2＝(x e 1＋y e 2)2 ＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2＋y 2＋3xy ∴|x ||b |＝|x |x 2＋y 2＋3xy ＝1⎝⎛⎭⎫y x 2＋3⎝⎛⎭⎫y x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≤2.由①②知|x ||b |的最大值为2.三、解答题18．在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733.19．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.20. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC的值． (1)证明 设点O 为AC 、BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ，且AC ∩P A ＝A . 所以BD ⊥平面APC . (2)连结OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ， 则DG 在平面APC 内的射影为OG ， 所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角． 由题意得OG ＝12P A ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2 3. 所以OC ＝12AC ＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3) 连结OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ， 所以PC ⊥OG .在Rt △P AC 中，得PC ＝15. 所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.21. 已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6， 所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a . 当a >1时，比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 1<a ≤3，a 2(3－a )， a >3.当a <－1时，得g (a )＝3a －1.综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为 g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1， a <－1，0， 1<a ≤3，a 2(3－a )， a >3.22．已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N | ＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝82k 2＋1|4k －3|. 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34. 当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时， |MN |的最小值是852.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=A、[-4,+∞）B、（-2, +∞）C、[-4,1]D、(-2,1]2、已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A、5-5iB、7-5iC、5+5iD、7+5i3、若αR，则“α=0”是“sinα<cosα”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A、若m∥α，n∥α,则m∥nB、若m∥α，m∥β,则α∥βC、若m∥n，m⊥α,则n⊥αD、若m∥α，α⊥β,则m⊥β5、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A、108cm3B、100 cm3C、92cm3D、84cm36、函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是A、π，1B、π，2C、2π，1D、2π，27、已知a、b、c R，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则A、a>0,4a+b=0B、a<0,4a+b=0C、a>0,2a+b=0D、a<0,2a+b=08、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是9、如图F1、F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A、 2B、 3C、32D、6210、设a，bR，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨若正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,则（第9题图）A 、a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B 、a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C 、a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D 、a ∨b ≥2,c ∨d ≥2非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
4 侧视图22013年浙江文数试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合S ＝{x |x ＞﹣2}，T ＝{x |﹣4≤x ≤1}，则S ∩T ＝A ．[﹣4，+∞)B ．(﹣2，+∞)C ．[﹣4，1]D ．(﹣2，1] 【答案】D【解析】画出如右数轴即可的答案：S ∩T ＝(﹣2，1]． 2、已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i 【答案】C【解析】(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝6＋5i －1＝5＋5i ． 3、若α∈R ，则“α＝0”是“sin α＜cos α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】α＝0时，sin α＜cos α；α＝π6时，sin α＜cos α．故选A ．4、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 【答案】C【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m ⊥n 或m 与n 相交或m 与n 异面．B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交．D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β或m β．故选C ． 5、已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示， 则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3 【答案】B【解析】作出如下立体图．该图是由长方体截去一个三第1题答图棱锥所得．体积为：6×6×3－(4×4×12 )×3×13＝100 cm 3．6、函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 【答案】A【解析】f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x ＝12 sin2 x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3 )，T ＝2π|ω|＝π，A ＝1． 7、已知a 、b 、c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若f (0)＝f (4)＞f (1)，则 A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0 D ．a ＜0，2a ＋b ＝0 【答案】A【解析】 f (0)＝f (4)，对称轴：x ＝﹣b2a ＝2，4a ＋b ＝0，f (4)＞f (1)，表明离对称轴越远值越大，故a ＞0．8、已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x ) 的图像如右图所示，则该函数的图像是【答案】B【解析】观察其导函数y ＝f ′(x )的图像易得，x 从﹣1到1，其导数值为正，即斜率都大于0，函数y ＝f (x )应为递增函数；x 从﹣1到0，其导数值增大，即函数y ＝f (x )斜率增大；x 从0到1，其导数值减小，即函数y ＝f (x )斜率减小．对应答案易得选B ．第5题答图9、如图F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共 点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 A ．2 B ．3 C ．32 D ．62【答案】D【解析】c 2＝3，F 1(﹣ 3，0)，F 2(3，0)，设C 2：x 2a 2－y 2b2＝1，A (m ，n )．a 2＋b 2＝3……①．若四边形AF 1BF 2为矩形，则：AF 1⊥AF 2，即：22141m n ⎧+=⎪⎪=-，解得：283m =，213n =．代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得：8a 2－1b 2＝3……②．联立①②得：a 2＝2，b 2＝1，e ＝ 1＋(b a )2＝62． 10、设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝ a ，a ≤b b ，a ＞b a ∨b ＝ b ，a ≤b a ，a ＞b若正数a 、b 、c 、d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 【答案】C【解析】采取特例法是解决本题的最好方法．如，令a ＝1，b ＝4，a ∧b ＝1，排除AB 选项；令c ＝0，d ＝1，c ∨d ＝1，排除C 选项；故选C ． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、已知函数f (x )＝x －1，若f (a ) ＝3，则实数a ＝___________． 【答案】10【解析】f (a ) ＝a －1，a －1＝9，a ＝10．12、从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于_________．【答案】15【解析】P ＝3×26×5 ＝15． 13、直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于_________． 【答案】4 5【解析】圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3，4)，r ＝5，d ＝|2×3－4＋3|22＋12 ＝ 5 ．弦长为：r 2－d 2 ＝4 5 ．14、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________． 【答案】95【解析】S ＝32 ，k ＝2；S ＝53 ，k ＝3；S ＝74 ，k ＝4；S ＝95，k ＝5，跳出程序．15、设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k ＝________． 【答案】2【解析】由题得：21+2224x y x y x ≥⎧⎪⎪≤⎨⎪≥-⎪⎩，作出可行域如右所示：目标函数：设y ＝﹣kx ＋z ，z 的最大值肯定是过点B (4，4)时的截距，代入得：4＝﹣4k ＋12，则k ＝2． 16、设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于______________． 【答案】－1【解析】观察当x ＝1时，0≤1－1＋a ＋b ≤0，即a ＋b ＝0， b ＝﹣a ．……(※)，代入得：04第15题答图≤x 4－x 3＋ax ﹣a ≤(x 2－1)2，即：0≤(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2，下面研究x ≥1时情况：当x ≥1时，x －1≥0，x 3＋a ≥0，a ≥﹣x 3，由恒成立条件知：a ≥﹣1．……①．(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2，即：x 3＋a ≤x 3＋x 2－x －1，即：a ≤x 2－x －1，由恒成立条件知：a ≤﹣1．……②．综合①②知a ＝﹣1，代回(※) 知b ＝1．故：ab ＝﹣1．17、设e 1、e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x 、y ∈R ．若e 1、e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于_______． 【答案】2【解析】由余弦定理易得：|b |2＝x 2＋y 2－2xy cos 5π6＝x 2＋y 2＋ 3 xy ，当x ＝0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|b |2| x |2＝222x y x +＝21y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214y x ⎛++ ⎝⎭≥14 ，故：|x ||b |≤2，则|x ||b |的最大值等于2．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)2sin sin sin a ba B A B==由及正弦定理，得sin A =A 因为是锐角，所以π3A =．(Ⅱ)2222cos a b c bc A=+-由余弦定理，得 2236b c bc +-=．8b c +=又，所以283bc =． 1sin 2S bc A =由三角形面积公式，3ABC ∆得的面积为．19、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ；(Ⅱ) 若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |． 解：(Ⅰ) 由题意得23125(22)a a a ⋅=+，即2340d d --=．故14d d =-=或．所以11N 46N n n a n n a n n **=-+∈=+∈，或，．(Ⅱ){}0()111n n n a n S d d a n <=-=-+设数列的前项和为．因为，由Ⅰ得，．则11n ≤当时，212312122n n a a a a S n n ++++==-+ ．12n ≥当时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+ ． 综上所述，2123212111221211101222n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪++++=⎨⎪-+≥⎪⎩ ，，，．20、如图，在在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°，G 为 线段PC 上的点． (Ⅰ)证明：BD ⊥面P AC ；(Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与P AC 所成的角的正切值；(Ⅲ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值． 证：(Ⅰ)O AC BD 设点为，的交点．AB BC AD CD BD AC ==由，，得是线段的中垂线． O AC BD AC ⊥所以为的中点，．PA ABCD BD ABCD ⊥⊂又因为平面，平面， 所以PA BD⊥所以BD APC ⊥平面．(Ⅱ) ()OG OD APC DG APC OG ⊥连结．由Ⅰ可知平面，则在平面内的射影为，OCG DG APC ∠所以是与平面所成的角． 由题意得12OG PA == ABC ∆在中，AC = 所以12OC AC == O第20题答图OCD ∆在直角中，2OD ==．OCD ∆在直角中，tan OD OGD OG ∠==DG APC 所以与平面 (Ⅲ) OG PC BGD OG BGD PC OG ⊥⊂⊥连结．因为平面，平面，所以．PAC PC ∆=在直角中，得 所以AC OC GC PC ⋅== 从而PG =所以32PG GC =．21、已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ．(Ⅰ)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (Ⅱ)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0，|2a |]上的最小值． 解：(Ⅰ) 21()6126a f x x x '==-+当时，，所以(2)6f '=．(2)4f =又因为，所以切线方程为68y x =-．(Ⅱ) ()()[02]g a f x a 记为在闭区间，上的最小值．2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--．()0f x '=令，得到121x x a ==，．1a >当时，2(0)0()(3)f f a a a ==-比较和的大小可得2013()(3)3a g a a a a <≤⎧=⎨->⎩，，，．1a <-当时，得()31g a a =-． ()[02]f x a 综上所述，在闭区间，上的最小值为2311()013(3)3a a g a a a a a -<-⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩，，，，，．22、已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1）．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．解：(Ⅰ) 2C 2(0)x py p =>由题意可设抛物线的方程为，则12p =， C 所以抛物线的方程为24x y =．(Ⅱ) 1122()()A x y B x y AB 设，，，，直线的方程为1y kx =+．214y kx y x y=+⎧⎨=⎩由，消去，整理得2440x kx --=，所以121244x x k x x +==，．从而12x x -=由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，， M 解得点的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---．N 同理点的横坐标284N x x =-． 所以284M NMN x x =-=--== 34304t k t t k +-=≠=令，，则． 0t >当，MN => 0t <当，MN =25433t k MN =-=-综上所述，，即，。
