平方差完全平方定律(培优)

平方差完全平方公式•选择题（共1小题）二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _5. (1999?内江)配方：X 2+4X +=(X + ) 2 配方：x 2-x+ =(x-1) 22三.解答题(共小题) 5.计算：(1)(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c )6 .计算：1232 - 124 X 122 .7 .计算：2004 2tfi)4 2- 2005X20038. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ).9 .运用乘法公式计算.(1) (x+y ) 2-(x -y ) 2;(2) (x+y - 2) (x - y+2);(3) X ；(4) .10 .化简：(m+n - 2) ( m+n+2).11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m )12 .计算(1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b );(2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4).13 .计算：20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12.14 .利用乘法公式计算：◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c )② 472 - 94 X 27+272.1. (1999?烟台) F 列代数式I ，比逹,普，其中整式有（ A . 1个B . 2个 C. 3个 D. 4个项式.15 .已知：x 2 - y 2=20, x+y=4,求 x - y 的值. ______________________16 .观察下列各式：(x - 1) (x+1) =x 2 - 1； (x - 1) (x 2+x+1) =x 3- 1 ； (x - 1) (x 3+x 2+x+1) =x 4- 1 …(1) _______________________________________________________________________________ 根据上面各式的规律得：(x - 1) (x m -1+x m -2+x m -3+…+x+1) = ______________________________________________________ ；(其中n 为正整数)；(2) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足x 丄=3，则x 2丄的值为 ___________________________20 . （2007?天水）若a 2 - 2a+仁0.求代数式 /+~丄^的值.21 . （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax 2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a 2±2ab+b 2= （a ± b ） 2.例如：（x - 1） 2+3、（x - 2） 2+2X 、（*X -2） 2疔x 2是x 2 - 2x+4的三种不同形式的配方（即"余项”分别是常数项、 一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1） 比照上面的例子，写出 x 2- 4x+2三种不同形式的配方；（2） 将a 2+ab+b 2配方（至少两种形式）;（3） 已知 a 2+b 2+c 2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22 . (2004?太原)已知实数 a 、b 满足(a+b ) 2=1, (a - b ) 2=25,求 a 2+b 2+ab 的值.2 +，223 . (2001?宁夏)设 a - b=- 2，求 一的值.24 .已知(x+y ) 2=49, (x - y ) 2=1，求下列各式的值：(1) x 2+y 2; (2) xy .25 .已知x+丄=4,求x --------- 的值.26 .已知：x+y=3, xy=2，求 x 2+y 2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a 2+b 2, (a - b ) 2 的值.28 .若 x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求 x 2+xy+y 2 的值.18.门讨）⑴肖〔吟）（吟）（1+盘）29 -宀11x+1=0，求x2+；的值•求下列各式的值: (1)(2)平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题（共1小题）1 . （1999?烟台）下列代数式2x2+x- 2,齢21? F3 2 _ n卩十卩，其中整式有3 2VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点：整式.分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断.解答：解：整式有X2+x-2竺共22八个. 故选B.点评：主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法.多项式是若干个单项式的和，有加减法.二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3X+5是二次三项式.考点：多项式.专题：计算题.分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解.解答：解：由题意可知，多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为：二，点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.3. （2010?毕节地区）写出含有字母x, y的四次单项式科•（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和••• x3y, x2y2, xy3等都是四次单项式. 解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2,x3y, xy3 等都符合题意（答案不唯—A）.点评：考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.4. （2004?南平）把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x考点：多项式．分析：按照x 的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幕排列是x3+2x2—3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题(共26 小题)5．计算：(1)(x—y) (x+y) (x2+y2)(2)(a—2b+c) ( a+2b- c)考点：平方差公式；完全平方公式．分析：(1) (x—y)与(x+y)结合，可运用平方差公式，其结果再与(x2+y2)相结合，再次利用平方差公式计算；( 2 )先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：( 1 )( x—y)( x+y)( x2+y2)，=( x2—y2)( x2+y2)，=x4—y4；( 2)( a—2b+c) ( a+2b—c)，2—( 2b—c)2，=a=a2—4b2+4bc—点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：(a+b) (a- b) =a2- b2.完全平方公式：(a± b)2=a2± 2ab+b2.6 •计算：1232- 124 X 122 .考点：平方差公式.分析：先把124 X 122 写成(123+1)X(123- 1), 利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可.解答：解：1232- 124X 122,=1232-(123+1) (123-1),=1232-( 1232 -12),=1.点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.7 •计算：2004 20042- 2005X2003考点：平方差公式.分析：观察可得：2005=2004+1 ,2003=2004 - 1, 将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解答：解：2004 12004 2 - 2005 X 2003200420042 - (2004+13 X (2004-1)20042004 2 - 2004 2+1=2004.点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的.8. (x- 2y+z) (-x+2y+z).考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为[Z+(x- 2y) ][z -(x-2y)]，再运用平方差公式计算.解答：解：(x- 2y+z) (-x+2y+z), =[Z+ (x-2y) ][z -(x- 2y)], =£- ( x-2y )2, =£-( x2- 4xy+4y ),=z2- Y+4xy - 4y2.点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量.9 •运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x；(4).考点：平方差公式．专题：计算题．分析：(1) (x+y) 2-(x-y) 2可以利用平方差公式进行计算；( 2)( x+y- 2 )(x- y+2)转化成[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；(3 )x可以转化成( 80-)( 80+)的形式，利用平方差公式计算；(4)可以转化为( 20-) 2进行简便计算．解答：解：(1) (x+y)2-( x- y) 2=( x+y+x- y)( x+y- x+y)，=4xy；(2)( x+y- 2)(x- y+2)，=[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]，=x2-y2+4y- 4；(3 )x,=(80-)(80+)，=；( 4) =( 20-)2=400 - 2 X 20X + ,点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便.10 .化简：(m+n- 2)(m+n+2).考点：平方差公式.分析：把(m+n)看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是- 2 与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.解答：解：( m+n- 2)( m+n+2 )，=( m+n) 2- 22，22=m +n +2mn- 4. 点评：本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式( a+b)( a - b) =a2- b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.11. (x - 2y - m) (x—2y+m)考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把x- 2y 当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可.解答：解：( x- 2y- m )(x- 2y+m)，=( x- 2y) 2- m2，2- 4xy+4y2-=x2.m点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算(1)(a—b+c—d) (c—a - d - b);(2) (x+2y) (x—2y) (x4—8x2/+l6y4) •考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：( 1 )原式=([ c—b—d) +a][( c—b—d)—a] =( c—b—d) 2—a2 =c2+b2+d2+2bd—2bc—2cd—a2，(2 )T x4—8x2y2+16y4=( x2—4y2) 2•••原式=(x2—4y2)( x2—4y2)2=( x2—4y2) 3=( x2) 3—3( x2) 2( 4y2) +3x2?(4y2) 2—( 4y2)3=x6—12x4y2+48x2y4—64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13 ．计算：20082—20072+20062—20052+ (22)12.考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=( 20082—20072)+(20062-20052) + …+(22- 12),=( 2008+2007 )( 2008 - 2007) +( 2006+2005)( 2006- 2005) +(2+1)(2- 1)，=2008+2007+20 06+2005+… +2+1，=2017036．本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1 ，所有两数的和组成自然数求和．14 ．利用乘法公式计算：◎ ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c)②472- 94 X 27+272.点评：考点：平方差公式；完全平方公式.分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94 写成2X 47 后，可用完全平方公式计算.解答：解：①原式=[a -( 3b- 2c)][a+( 3b - 2c) ]=a2 -( 3b- 2c)2=9b2+12bc-4c2；②原式=472- 2X 47X 27+272=(47- 27)2=400.点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键.①把(3b - 2c) 看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2X 47是利用完全平方公式的关键.15 .已知：x2- y2=20, x+y=4,求x - y 的值. _5考点：平方差公式.分析：本题是平方差公式的应用.解答：解：a2- b2=(a+b) (a- b), x2- y2= (x+y) ( x -y) =20 把x+y=4代入求得x- y=5.点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x- y的值，为5.16 .观察下列各式：(x- 1) (x+1) =x2- 1；(x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ； (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 …(1)根据上面各式的规律得：(x- 1) (x m-1+x m-2+x m-3+…+x+1) = x m- 1 ；(其中n为正整数)；(2)根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.考点：平方差公式.分析：(1 )认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空；(2 )先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+ …+x°= (x n+1- 1 ) + ( x- 1 ),从而得出1+2+22+…+268+269= (?69+1-1) r2-1), 再进行计算即可.解答：解：(1) ( x- 1 )(x m-1+x m-2+x m- 3+…+x2+x+1) =x m-1;(2 )根据上面的式子可得：2 31+x+x +x + …+宀(x n+1- 1 ) 十(X- 1 ),••• 1+2+22+…+268+269= (269+1-1)-( 2 - 1)=270- 1 .点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22- 1) ( 22+1) (24+1) = (24- 1) (24+1) =28- 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)・・・(364+1).考点：平方差公式.分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算.解答：解：原式J (3-1) (3+1)(32+1) (34+1)(38+1)(364+1), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),丄(34- 1)1(34+1) (38+1)(364+1),丄(38- 1)1(38+1)(364+1),二(364- 1 )(364+1), (8分)=1(3128-=(31). ( 10 分) 本题主要考查了平方差公式，关键在于把(3+1)化简为(3 - 1) (3+1)的形式，点评:考点：专题：分析：平方差公式.计算题.由平方差公式，（1+2）（1 -丄）2 =1 —2寺（1-解答: 丄22--,依此类推，从而得出结果.解：原式=（1 - 丄22(1 +18.)(1=1(1 + ；）考点： 完全平方公式.专题： 计算题.分析： 将x+ —=3两边平方, 然后移项即可得出答案.解答： 解：由题意得，1 o x+—=3,两边平方得：«+2+ ：=9,故 x 2+ ° =7.X 故答案为：7.点评： 此题考查了完 全平方公式的知识，掌握完全点评: （1+二）24-■）.1210-■）210=1-本题考查了平 方差公式的反 复应用，是基础 知识要熟练掌 握.(1+(1+(1+(1+19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足二=3,则x 2+ °的值为 7平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题.20 . （2007?天水）若a2- 2a+仁0.求代数式/+~岂的值•考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值.解答：解：由a2-2a+1=0 得（a -1）2=0,••• a=1;把a=1代入a4+—^=1+1=2故答案为：2.点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a 的值，是解决本题的关键.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a± b）2.例如：（x- 1）2+3、（x-2）2+2X、（丄x-2）2芒x2是x2- 2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2 4一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;（3）已知a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.考点：完全平方公式.专题：阅读型.分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2-4x+2 和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3 )通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值. 解答：解：(1)X2- 4x+2的三种配方分别为：2- 4x+2= (x -x2) 2- 2,X2 - 4x+2=(x+ . '：) 2(2, f+4) x,x2- 4x+2= C Zx-:'：)2-x2;(2)a2+ab+b2=(a+b) 2- ab,2 2a +ab+b =(F r(3)a2+b2+c2-ab - 3b -2c+4,=(a2- ab+丄b2)(4+ (上b2- 3b+3)+ (c2- 2c+1),+ (c2- 2c+1),=(a-亍b)2〒(b-2) 2+ (c- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,c- 1=0,即a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评：本题考查了根据完全平方公式：a2± 2ab+b2=(a ± b) 2进行配方的能力.22 . (2004?太原)已知实数a、b 满足(a+b) 2=1, (a- b) 2=25,求a2+b2+ab 的值.考点：完全平方公式.分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab 转化为完全平方式(a+b) 2和ab的形式，即可求值.解答：解：•••( a+b)2=1, ( a- b)2=25,.a2+b2+2ab=1 , a2+b2-2ab=25..4ab= - 24,ab= - 6, .a2+b2+ab=(a+b) 2- ab=1 -(-6) =7.点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解.23 . (2001?宁夏)设a- b=- 2，求* 严-命的值.考点：完全平方公式.分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a -b= - 2代入计算即可.解答：解：原式/ + b2- 2ab =2G-b):1 2•/ a - b_- 2 ,•••原式_(-2〉2_ 2=2 .本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用.24 .已知(x+y) 2=49, (x- y) 2=1，求下列各式的值: (1) x2+y2; (2) xy.考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式把（x+y） 2 和（x- y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值.解答：解：由题意知：(x+y)2_x2+y2+2xy_49①，(x- y) 2_x2+y2 -2xy_1 ②，①+②得：(x+y)2+ (x-y) 2,_x2+y2+2xy+x2+y2-2xy,_2 (x2+y2),_49+1,_50,•-x2+y2_25；①-②得：4xy_(x+y) 2-( x-y) 2=49 -1_48,• xy_12.点评:点评：25 .已知考点：分析：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键.x+-^4,求X-丄的值.解答:完全平方公式. 把已知条件两边平方求出x2+ ；的值，再X根据完全平方公式整理成（X -丄）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算.解：•••二4,X••• x2+ - =142 ，(x-—)X2=12,点评：26 .已知考点：--x -二= .\本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键.x+y=3, xy=2,求x2+y2的值.完全平方公式.分析：利用完全平方公式巧妙转化即可.解答：解：••• x+y=3,••• x2+y2+2xy=9,••• xy=2,• - x2+y2=9 -2xy=9 - 4=5.点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力.27.已知a+b=3, ab=2，求a2+b2, (a- b) 2的值.考点：完全平方公式.分析：先把a+b=3两边平方, 然后代入数据计算即可求出a2+b2的值,根据完全平方公式把( a- b) 2展开, 再代入数据求解即可.解答：解：T a+b=3,• a2+2ab+b2=9,T ab=2,•-a2+b2=9 - 2 x 2=5；•(a-b) 2=a2- 2ab+b2=5- 2 x 2=1.点评：本题主要考查完全平方公式, 熟记公式结构是解题的关键, 整体代入思想的利用使计算更加简便.28 .若x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求x2+xy+y2的值.考点：完全平方公式.专题：整体思想.分析：先根据多项式乘多项式的法则把( x+2)(y+2)展开并解答：点评：29. x2考点：分析：代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值.解：•••( x+2)(y+2) =5,••• xy+2 (x+y)+4=5,••• x+y=2,• xy=- 3, 二x2+xy+y2=(x+y) 2- xy=22 -(-3) =7. 本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键.—11x+1=0, 求x2解答: 完全平方公式. 先把x2-11x+1=0两边同除x (由题意可知X M 0),得到x+二=11,然后把该式子两边平方即可得到/+ ;的值.X 解：••• X M 0 ,• X+ 二亠，X(x+—) 2=121,本题考查了完全平方公式，关点评:键是知道隐含 条件 X M 0, x 2- 11X + 1=0两边同 除X 得到 X+二=11，利用 X 和丄互为倒数乘 积是1,利用完 全平方公式来 进行解题.完全平方公式. 本题是完全平 方公式的应用， 两数的平方和， 再加上或减去 它们积的2倍， 就构成了一个 完全平方式.使 分式中含有 x 十！的形式，代 入求值. 解:（ 1） /宀 X =（X -丄）2 - 2， X =42 - 2， =14;2 30 .已+， (1)y H ；X(2)2 X I + x求下列各式的值: 14+1' 考点：分析：解答:一15'本题主要考查完全点评:平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点.。

平方差公式和完全平方公式复习题一、1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．(x+1）（1+x ）B ．（12a+b ）（b —12a ） C ．(—a+b)（a-b ） D ．（x 2—y ）(x+y 2）2．下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）(3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b)=4a 2－b 2;③（3－x ）（x+3）=x 2－9;④（－x+y)·（x+y)=－（x －y ）(x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－54.│5x-2y │·│2y-5x │的结果是（ ）A ．25x 2—4y 2B ．25x 2-20xy+4y 2C ．25x 2+20xy+4y 2D ．—25x 2+20xy —4y 2二、计算：1.(—2x —y ）(2x —y) 2、（y —x)(-x —y ） 3.（-2x+y ）（2x+y) 4。

(4a —1）（—4a —1）5。

（-p 2+q)（—p 2-q ）; 6。

(—x+2y ）2； 7.（—2x —12y ）2． 8.（a+b)2－(a －b ）2 9。

（12x+3）2-（12x-3)2 10．（－3x 2+2y 2)（______)=9x 4－4y 4． 11、（a+b ）（a —b)(a 2+b 2） 12、(a+2）(a —2)（a 2+4） 13、（x — 12)（x 2+ 14）(x+ 12） 三、1.若22)2(4+=++x k x x ,求k 值. 2.若k x x ++22是完全平方式，求k 值3．若（x —5）2=x 2+kx+25,则k=（ ）A ．5B ．—5C ．10D ．—104．如果x 2+4x+k 2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（ )A ．4B ．2C ．-2D ．±25、如果x 2+kx+9恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（ ）A ．6B ．—4C ．3D ．±6四．1.若a —b=2，a-c=1，则（2a-b —c ）2+（c-a)2的值为（ ）A ．10B ．9C ．2D ．12．若a 2+2a=1，则（a+1）2=_________．五．1.a 2+b 2=(a+b)2+______=（a-b ）2+________．2．已知a+1a =3，则a 2+21a的值是 。

平方差公式和完全平方公式因式分解平方差公式和完全平方公式是数学中常用的因式分解方法，它们在解题过程中起到了十分重要的作用。

本文将为大家详细介绍这两个公式，帮助大家理解其原理和应用。

首先，我们来了解一下平方差公式。

平方差公式的表达形式为a² - b² = (a + b)(a - b)。

简言之，它告诉我们两个平方数相减的结果可以因式分解为两个因数的乘积：一个因数是两个平方数的和，另一个因数是两个平方数的差。

这个公式可以极大地简化计算，特别是在解方程或因式分解的题目中，往往能起到事半功倍的效果。

那么，我们来看一个应用平方差公式的例子。

假设我们需要将x² - 4x + 4进行因式分解。

我们可以使用平方差公式进行分解，将x² - 4x + 4看作是(a - b)²的形式，其中a为x，b为2。

根据平方差公式，我们可以得到(x - 2)²，也就是x² - 4x + 4的因式分解形式。

通过应用平方差公式，我们可以将一个多项式快速分解为一对平方数的差的乘积。

接下来，我们将介绍完全平方公式。

完全平方公式的表达形式为a² + 2ab + b² = (a + b)²。

它告诉我们一个二次多项式可以因式分解为两个相同的因数的平方。

与平方差公式类似，完全平方公式也可以在解题过程中提供方便。

我们来看一个应用完全平方公式的例子。

假设我们需要将x² + 6x + 9进行因式分解。

根据完全平方公式，我们可以将x² + 6x + 9看作是(a + b)²的形式，其中a为x，b为3。

带入完全平方公式，我们可以得到(x + 3)²，也就是x² + 6x + 9的因式分解形式。

通过应用完全平方公式，我们可以迅速将二次多项式转化为平方的形式。

在实际应用中，平方差公式和完全平方公式可以帮助我们进行因式分解，并简化问题的求解过程。

实用标准文案平方差完全平方公式一．选择题（共1小题）2+x﹣，），，其中整式有（1．（1999?烟台）下列代数式，x 3个个4个C．D．A．1个B．2二．填空题（共3小题）2 _________ 项式．是_________ 次﹣2．（2011?湛江）多项式2x3x+5 ．（答案不唯一，只要写出一个），y的四次单项式_________ 3．（2010?毕节地区）写出含有字母x12222）内江）配方：32 _________ ．按x的降幂排列是．（42004?南平）把多项式2x﹣3x+xx+4x+___=(x+___）配方：x-x+ ___=(x-19995．（?226小题）三．解答题（共5．计算：22）x+y（1）（x﹣y）（x+y）（c）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣2 6．计算：123﹣124×122．7．计算：．x+2y+z）．．（x﹣2y+z）（﹣89．运用乘法公式计算．22﹣（）；x﹣y（1）（x+y）y+2）；﹣）（2（x+y﹣2）（x 80.2；79.8（3）×2 19.9（4）．10．化简：（．m+n+2）m+n﹣2）（x﹣2y+m）（2y11．（x﹣﹣m）．计算12 ﹣d﹣）；ba）﹣1（）（ab+c﹣d（c﹣4224（2）（+16y8xx（﹣y）．﹣（x+2y）x2y）222222 1+2+﹣2007200813．计算：﹣+20062005…﹣．．利用乘法公式计算：14 ﹣a+3b（2c））3b+2c﹣①（a22 94﹣47②27+27×．文档．22的值．_________ x﹣y =2015．已知：x﹣y，x+y=4，求433222 1﹣…+x+x+1）=x）（x+x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x（16．观察下列各式：（x﹣1）x+1）=x﹣1；（x﹣13m﹣1m﹣2m﹣；；_________ （其中n为正整数））根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x+x+x+…+x+1）= （16968234的值．…+2+2 （2）根据这一规律，计算1+2+2+2+2+ ．先观察下面的解题过程，然后解答问题：1742）．（题目：化简（2+1）2+1）（2+18442424224﹣1）（2+1）=2﹣1．=）（2+1）（2+1=（2﹣1）（2+1）（2+1）（2）=（解：（2+1）2+1）（2+1）（2﹣1）（2+164248 +1）．3+1）（3+1）…（问题：化简（3+1）（3+1）（3．18．2的值为+ _________ ．．19（2012?黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2的值．．求代数式?天水）若a﹣2a+1=0（20．20072配（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．阅读材料：．（2009?佛山）把形如ax+bx+c 的二次三项式21222．（a±2ab+b=a±b）方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即22222的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2x+4﹣x（例如：x﹣1）+3、（﹣2）+2x、（x2）+x是x﹣一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：2三种不同形式的配方；x﹣4x+21（）比照上面的例子，写出22 +ab+b配方（至少两种形式）；（2）将a222 3b﹣2c+4=0a+b+c的值．，求﹣+b（3）已知a+c﹣ab2222的值．+b）b=25，求a+ab（a+ba（22．2004?太原）已知实数、b满足（）=1，a﹣的值．，求2a（23．2001?宁夏）设﹣b=﹣22 =1，求下列各式的值：）﹣=4924．已知（x+y），（xy22．）；（2xy+y）（1x﹣，求x+25．已知=4x的值．22，求，．已知：26x+y=3xy=2x+y的值．222 27的值．）b﹣（+b，求ab=2，．已知a+b=3a，a22（），且（x+y=2．若28x+2，求=5）+xy+yx的值．y+2 菁优网?2010-201322的值．+11x+1=0，求x ﹣29．x，求下列各式的值：30．已；（1））．2（菁优网?2010-2013平方差完全平方公式参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）2），?，其中整式有（烟台）下列代数式，x+x ﹣，（1．1999 个．3D．B． A 1个．2个4个C整式．考点：解决本题关键分析：是搞清整式的紧扣概念概念，作出判断．2解答：+x解：整式有x2，﹣共个．故选B．主要考查了整点评：式的有关概要能准确的念．分清什么是整整式是有理式．在式的一部分，有理式中可以乘，包含加，减，但除四种运算，在整式中除式不能含有字单项式和多母．项式统称为整单项式是字式．母和数的乘积，没有只有乘法，多项式加减法．是若干个单项有加减式的和，法．二．填空题（共3小题）2三项式．次是湛江）多项式（2011?2x﹣3x+5 二．2多项式．：考点计算题．专题：根据单项式的分析：菁优网?2010-2013系数和次数的定义，多项式的定义求解．解：由题意可解答：22x知，多项式二次﹣3x+5是三项式．故答案为：二，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．223．（2010?毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式xy ．（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数3，y的指数和∴x322等都是xyy，x 四次单项式．根据四次单解：解答：项式的定义，3322xy，yxy，x等都符合题意（答案不唯．一）点评：考查了单项式的次数的概只要两个字念．母的指数的和的单项式等于4 都符合要求．22334．（2004?南平）把多项式2x﹣3x+x按x的降幂排列是x+2x﹣3x ．菁优网?2010-2013考点：多项式．分析：按照x的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幂32﹣+2x排列是x3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题（共26小题）5．计算：22）+y））（x+y（x（1）（x﹣y（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）考点：平方差公式；完全平方公式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再22）相结+y与（x合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：（1）（x﹣y）22），+y （x+y）（x22）y﹣=（x22），（x+y44；y=x ﹣（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），22，）2b﹣（﹣=ac22+4bc﹣=a﹣4b2．c点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．菁优网?2010-2013平方差公式：（a+b）（a﹣b）22．完全平﹣=ab方公式：（a±b）222．±=a2ab+b2﹣124×123122．6．计算：考点：平方差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．2解答：﹣124解：123×122，2﹣（123+1）=123（123﹣1），22123﹣（=1232），﹣1=1．点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．．计算：．7考点：平方差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．解答：解：，=菁优网?2010-2013，=，．=2004本题考查平方点评：差公式的实际注意要构运用，造成公式的结利用公构形式，式达到简化运算的目的．．x+2y+z））（x﹣2y+z（﹣8．平方差公式．：考点计算题．：专题[z+把原式化为分析：﹣][z2y）（x﹣，再）2y]（x﹣运用平方差公式计算．）﹣2y+z 解：（x解答：），（﹣x+2y+z ﹣（x=[z+﹣﹣（x2y）][z ]，2y）22 2y）=z，﹣（x﹣22﹣﹣（=zx2）4xy+4y，22﹣=z+4xy ﹣x2．4y本题考查了平点评：整体方差公式，思想的利用是利用公式的关注意运用公键，式计算会减少运算量．9．运用乘法公式计算．22；﹣（x﹣y）1（）（x+y））；﹣2（x+y﹣）（xy+2）（2 ×80.2；79.83（）菁优网?2010-20132．19.9 （4）考点：平方差公式．专题：计算题．2分析：﹣x+y）1）（（2可以y）（x﹣利用平方差公式进行计算；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完（3）79.8×80.2可以转化成（80﹣0.2）（80+0.2）的形式，利用平方差公式计算；2可以19.94）（转化为（20﹣2进行简便）0.1计算．解答：解：（1）（x+y）22=y）﹣（x﹣（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），=4xy；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，22+4y﹣4﹣y；=x（3）79.8×80.2，=（80﹣0.2）（80+0.2），=6399.96；2=（20（4）19.92=400﹣）20.1﹣×20×0.1+0.01，=396.01．菁优网?2010-2013点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．解答：解：（m+n﹣2）（m+n+2），22，2m+n）﹣=（22+2mn﹣4+n．=m点评：本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）22b）=a﹣（a﹣b计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．解答：解：（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），22，﹣m）﹣（=x2y菁优网?2010-201322﹣﹣4xy+4y=x2 m．点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；4224）．+16y2y）（x﹣8xy（2）（x+2y）（x﹣平方差公式．考点：计算题．专题：根据平方差公分析：式以及完全平方公式即可解答本题．）原式（1解答：解：）db=[（c﹣﹣）d+a][（c﹣b﹣a]﹣2）d﹣b﹣=（c2 a﹣222﹣+2bd+b+d=c2，﹣a2bc﹣2cd4﹣x2）∵（2422x（+16y=8xy22 4y）﹣2﹣（x∴原式=222）﹣4y4y）（x3222 4y）（x﹣=232）x﹣3（=（x）?222+3x4y）（222）4y﹣（（4y）36﹣=x4224﹣+48xy12xy6 64y．本题考查了平点评：方差公式以及完全平方公式难度适的运用，中．22222213．计算：2008﹣2007+2006﹣2005+…+2﹣1．考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用菁优网?2010-2013自然数求和公式解题．2解答：2008（解：原式=2）+﹣20072﹣2006（222（+…2005+）2），1 ﹣=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），=2008+2007+2006+2005+…+2+1，=2017036．点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）22．94×②4727+27﹣考点：平方差公式；完全平方公式．分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94写成2×47后，可用完全平方公式计算．解答：解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2﹣（]=a）3b2c﹣2c）22+12bc﹣=9b2；4c2﹣=472②原式2=27+27×47×菁优网?2010-2013（47﹣27）2=400．本题考查了平点评：方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．①把（3b﹣2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键．2215．已知：x﹣y=20，x+y=4，求x﹣y的值．5考点：平方差公式．分析：本题是平方差公式的应用．22解答：解：a﹣b=（a+b）（a﹣b），22xx+y）（x﹣y=（=20﹣y）代入求把x+y=4 y=5．得x﹣运用平方差公点评：关键式计算时，要找相同项和其结果相反项，是相同项的平方减去相反项的平方．把代入求得x+y=4 5．﹣y的值，为x42332216．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x+x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x+x+x+1）=x﹣1…m﹣1m﹣2m﹣3m（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x+x+x+…+x+1）= x﹣1 ；（其中n为正整数）；2346869（2）根据这一规律，计算1+2+2+2+2+…+2+2 的值．考点：平方差公式．分析：（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；菁优网?2010-2013（2）先根据上面的式子可得：23…+x+1+x+x n+1n）﹣1+x=（x，从1）÷（x﹣而得出2…+1+2+269+169682（+2+2=，）（2﹣1﹣1）÷再进行计算即可．解答：x﹣1）解：（1）（﹣﹣1m﹣2mm+x+x （x m23=x+x+1）+…+x 1；﹣）根据上面（2的式子可得：32…1+x+x+x+n+1n）﹣1+x=（x ，）÷（x﹣12…∴1+2+2+69+168692+2=（+2）﹣11﹣）÷（270．=2﹣1本题考查了平点评：认真方差公式，根据观察各式，指数的变化情况总结规律是解题的关键．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：24）．+1）（2+12题目：化简（2+1）（8442422424﹣1．）（2+1）=22+1﹣1）（2）（2+1）=（﹣1=（（）（22（解：2+1）（+1）（+1）=2﹣1（2+1）2+1）2+1）（264248．3+1）…（+1）（）（3+1）3+1）（3问题：化简（3+1平方差公式．考点：整式根据题意，分析：的第一个因式可以根据平方差公式进行化然后再和后简，面的因式进行运算．解答：3=解：原式（﹣1）（3+1）42）（3+1+1（3）648，3+1））+1（3（菁优网?2010-2013（4分）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）64+1）3，（4﹣1（3）=48+1）（3（3+1）64+1），（3 8﹣13）=（864+1），+1（）（3364﹣1）=（364+1），（8分）（3128﹣（3=1）．（10分）点评：本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，．．18平方差公式．考点：计算题．专题：由平方差公式，分析：）（1﹣（1+）﹣，（1=1﹣=11+（）），依此类﹣从而得出结推，果．﹣（解：原式=1解答：）1+）（）（1+）（1+菁优网?2010-20131+（））﹣=（1）（1+）1+（（）1+）1﹣=（）（1+1+（））1=（﹣1+）（=1﹣．本题考查了平点评：方差公式的反是基础复应用，知识要熟练掌握．2的值为7 x+．（19．2012?黄冈）已知实数x满足=3x+，则完全平方公式．：考点计算题．专题：分析：将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．解：由题意得，解答：=3，x+两边平方得：2=9x+2+，2=7．故x+故答案为：7．此题考查了完点评：全平方公式的知识，掌握完全菁优网?2010-2013平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．2的值．．求代数式﹣2a+1=0 20．（2007?天水）若a完全平方公式．：考点根据完全平方分析：公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．2解答：﹣a解：由﹣a2a+1=0得（2）=0，1 ∴a=1；代入把a=1=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了完灵全平方公式，活运用完全平a方公式先求出是解决本的值，题的关键．221．（2009?佛山）阅读材料：把形如ax+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配222方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a±2ab+b=（a±b）．22222的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、﹣2x+4x是x+2x+3、（x﹣2）、+（x ﹣2））（例如：x﹣1 一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：2 4x+2三种不同形式的配方；﹣（1）比照上面的例子，写出x22；）将（2a+ab+b配方（至少两种形式）222 a+b+c的值．3b﹣2c+4=0，求aba（3）已知+b+c﹣﹣考点：完全平方公式．阅读型．：专题）本题）分析：（1（2考查对完全平方公式的灵活由题应用能力，中所给的已知2﹣材料可得x22+ab+ba4x+2和的配方也可分菁优网?2010-2013别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．2解答：﹣x4x+2解：（1）的三种配方分别为：2﹣4x+2=（xx﹣2﹣2，2）2﹣x4x+2=2﹣x+（）2+4）x，（2（x﹣4x+2=x22；﹣x﹣）22=）a+ab+b（22﹣ab，（a+b）22=a+ab+b22；b）+b（a+222﹣+c3）a+b（ab﹣3b﹣2c+4，22）aab+﹣b=（2﹣3b+3）（b+2﹣2c+1），c+（22）﹣b=（aab+2﹣4b+4b）+（2﹣2c+1），+（c2+（﹣b）=（ab2+（c﹣1）﹣2）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．点评：本题考查了根据完全平方公菁优网?2010-201322=2ab+b式：a±2进行）a±b（配方的能力．2222的值．a+b+ab（满足（a+b）=1，a﹣b）=25，求a22．（2004?太原）已知实数、b 完全平方公式．考点：先由已知条件分析：展开完全平方的值，式求出ab22转+b+ab再将a化为完全平方2ab和式（a+b）即可求的形式，值．2解答：，=1a+b）解：∵（2，）=25（a﹣b22，+b+2ab=1∴a22 2ab=25．a+b﹣，24∴4ab=﹣，ab=﹣622+ab=+b∴a2ab=1a+b（）﹣）=7．﹣（﹣6点评：本题考查了完利全平方公式，用完全平方公式展开后建立再整体方程组，代入求解．，求的值．﹣2 2001（?宁夏）设a﹣b=23．完全平方公式．考点：对所求式子通分析：分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．解：原式解答：==，菁优网?2010-2013∵a﹣b=﹣2，∴原式==2．本题考查了完点评：全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．2224．已知（x+y）=49，（x﹣y）=1，求下列各式的值：22（1）x+y；（2）xy．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方2）x+y公式把（2展）﹣y和（x然后相加即开，22的x可求出+y相减即可求值，出xy的值．解答：解：由题意知：）（x+y222+2xy=49+y=x ①，222+y=x（x﹣y）2xy=1﹣②，）①+②得：（x+y22，y）（+x﹣222+y+2xy+x=x+y2 2xy﹣，22），=2（x+y =49+1，=50，22 =25；∴x+y4xy=①﹣②得：2x （x+y）﹣（2﹣=49y）﹣1=48，．∴xy=12点评：本题考查了完灵全平方公式，活运用完全平熟记公方公式，式是解题的关键．菁优网?2010-2013﹣的值．x x+=4，求25．已知考点：完全平方公式．分析：把已知条件两边平方求出2+的值，再x根据完全平方公式整理成（x2的形式并﹣）代入数据计算，然后进行开方运算．解答：解：∵，∴，2+=14，∴x﹣）∵（x22+=x﹣2=12，∴x﹣=．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．22的值．x +y26．已知：x+y=3，xy=2，求考点：完全平方公式．分析：利用完全平方公式巧妙转化即可．解答：解：∵x+y=3，22+2xy=9，x∴+y∵xy=2，菁优网?2010-201322﹣x+y=9∴﹣4=5．2xy=9点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．22227．已知a+b=3，ab=2，求a+b，（a﹣b）的值．考点：完全平方公式．分析：先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可22的值，a+b求出根据完全平方）﹣b 公式把（a2展开，再代入数据求解即可．解：∵a+b=3，解答：22，∴a+2ab+b=9 ，∵ab=222×﹣2∴a+b=9 2=5；22=ab）∴（a﹣22﹣﹣2ab+b=5 ．×2=1点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．2228．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x+xy+y的值．考点：完全平方公式．专题：整体思想．分析：先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出22 x+xy+y的值．菁优网?2010-2013解答：解：∵（x+2）（y+2）=5，∴xy+2（x+y）+4=5，∵x+y=2，∴xy=﹣3，22=x+xy+y∴22xy=2）﹣（x+y﹣（﹣3）=7．点评：本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键．22+的值．，求x．29x ﹣11x+1=0完全平方公式．考点：2分析：﹣先把x两边同11x+1=0（由题意可x除，得到）x≠0知然后把，x+=11该式子两边平方即可得到2的值．x+ 0，解答：解：∵x≠x+∴，2，x+）（=121∴2，+2+x2．∴x+本题考查了完点评：关全平方公式，键是知道隐含2x≠0，条件x两边11x+1=0﹣得到同除x x，利用x+=11菁优网?2010-2013互为倒数乘和，利用完积是1全平方公式来进行解．已30，求下列各式的值：；（1）2．）（完全平方公式．考点：本题是完全平分析：方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去倍，2它们积的就构成了一个使完全平方式．分式中含有代的形式，入求值．解答：）解：（1，2，﹣2=（x）﹣2，﹣2=4 ；=14）（2，，=．=本题主要考查点评：完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全并利平方公式，菁优网?2010-2013 用好乘积二倍项不含字母是常数的特点．菁优网?2010-2013菁优网?2010-2013。

完全平方公式变形的应用培优
1.变形一：平方差公式
将完全平方公式中的等式两边移项，可以得到平方差公式：
(a+b)²-a²=2ab；
(a-b)²-a²=-2ab
这些公式可以用于解决一些二次方程的求解问题，也可以用于快速计
算一些算术运算，如：(42)²-40²=(42+40)(42-40)=82*2=164
2.变形二：立方差公式
(a+b)³-a³=3a²b+3ab²+b³；
(a-b)³-a³=-3a²b+3ab²-b³
这些公式可以用于解决一些立方方程的求解问题和立方运算问题，如：(a+b)³=(a+b)(a+b)²
1.应用一：平方求和公式
1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
2.应用二：定积分计算
∫(x²+2x+1)dx=∫(x+1)²dx=(1/3)(x+1)³+C
3.应用三：因式分解
x²+6x+9=(x+3)²
以上是完全平方公式变形的一些应用示例，从中可以看出完全平方公式变形在代数学习中的重要性。

通过灵活运用完全平方公式变形，可以解决一些复杂的方程和计算问题，提高解题能力和计算效率。

因此，学生在数学学习中一定要熟练掌握完全平方公式的变形和应用。

完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。

例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。

例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。

6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。

7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。

平方差公式与完全平方公式提高训练一、平方差公式x_1x_2=c/ax_1+x_2=-b/a其中，a、b、c为方程的系数。

平方差公式可以帮助我们在解二次方程时，通过已知的一根求出另一根。

它的推导基于第二个根是解得方程ax^2+bx+c=0的一个根，记为x_2、那么我们可以将二次方程表示为(x-x_2)(x-x_1)=0，展开：x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。

比较系数即可得到平方差公式。

举例来说，假设有一个二次方程x^2-5x+6=0，我们可以使用平方差公式来解题。

根据平方差公式，我们可以得到：x_1x_2=6/1=6x_1+x_2=-(-5)/1=5因此，方程的两个根分别为2和3二、完全平方公式完全平方公式是指对于一个一次方程x^2+2ax+a^2=b，可以转变为(x+a)^2=b的形式。

完全平方公式可以帮助我们在解一次方程时，简化计算。

它的推导基于二次方程与一次方程的关系：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它有两个相等的根x_1=x_2=x，那么x也是对应的一次方程bx+c=0的一个解。

举例来说，假设有一个一次方程x^2+6x+9=25，我们可以使用完全平方公式来解题。

根据完全平方公式，我们可以得到：(x+3)^2=25因此，方程的解为x=-3±√25总结：平方差公式和完全平方公式是高中数学中非常基础和重要的概念，它们在解二次方程和一次方程时非常有用。

通过掌握和熟练应用这两个公式，我们可以简化计算，提高解题效率。

因此，在数学学习中，我们要加强对这两个公式的理解和应用。

乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

平方差公式和完全平方公式在数学中，平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式，它们在代数中的运用频繁，能够帮助我们简化计算和解决问题。

本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。

一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。

具体表达如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中，a、b为任意实数。

平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差，以及解决一些与平方差相关的问题。

例如，考虑以下例子：例1：计算 16^2 - 9^2 的值。

根据平方差公式，我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。

进一步计算可得= 25 × 7= 175因此，16^2 - 9^2 的值为 175。

平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。

通过将平方差公式进行变形，可以将复杂的表达式进行简化。

二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。

具体表达如下：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中，a、b为任意实数。

完全平方公式的应用范围广泛，涉及到二次函数、方程、因式分解等等。

以下是一些例子：例2：将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。

我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式，其中 a = x，b = -3。

这样，我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。

例3：解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地，我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。

根据完全平方公式，这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。

因此，方程的解为 x = -3。

总结：平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用，能够帮助我们简化计算和解决问题。

我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。

熟练掌握平方差公式和完全平方公式，对理解和应用代数知识都有很大帮助。

平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)平方差公式与完全平方公式是初中阶段学习中十分重要的数学知识，而它们的组合运算也是十分常见的。

本文将介绍平方差公式与完全平方公式，探讨它们的组合运算，以及为什么能够达到预期效果。

一、平方差公式平方差公式是指：$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。

它的形式可能比较简单，但是应用起来却十分广泛。

例如，当我们需要求出两个数的平方和与平方差时，便可以通过平方差公式来解决。

如果要求$(a+b)^2+(a-b)^2$，那么我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2+(a-b)^2$中，得到$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$。

同理，如果要求$(a+b)^2-(a-b)^2$，我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2-(a-b)^2$中，得到 $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。

二、完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式相信大家都非常熟悉，因为在代数式的展开中，非常经常会用到这个公式。

例如，如果要展开$(x+3)^2$，那么我们就可以利用完全平方公式，得到$(x+3)^2=x^2+6x+9$。

三、平方差公式和完全平方公式的组合运算平方差公式和完全平方公式在实际运用中往往也会相互组合，来求解一些更加复杂的数学问题。

例如，如果我们要求$(a+b+c)^2$，那么我们就可以先算出$(a+b)^2$和$c^2$，再通过平方差公式来得到$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2(a+b)\timesc$$$$=a^2+2ab+b^2+c^2+2ac+2bc$$同样地，如果我们要求$(a-b)^2-(c-d)^2$，那么我们可以先用完全平方公式算出$(a-b)^2$和$(c-d)^2$，再用平方差公式来得到$$(a-b)^2-(c-d)^2=(a-b+c-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a+c-b-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a^2-2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)$$综上所述，平方差公式与完全平方公式的组合运算非常灵活，而且可以帮助我们解决许多数学问题。