2020年北京市朝阳一模测试数学试卷整体评析

北京市2020年海淀、朝阳、西城区高三数学一模考试题型分析小题部分：大题部分 一、圆锥曲线 海淀20题（14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>，1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,)B b ，△12A BA 的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M与直线2A B 交于点Q . 求证：△BPQ 为等腰三角形.特殊的图形（等腰三角形） 直线方程的设法（两种都可以）的选择影响做题速度，最后部分也可用斜率相加为0作出 。

这道题表示点的坐标是根本朝阳19题（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（Ⅱ）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.题目不难，但是计算量太大西城20题（15分）设椭圆E:x 22=1,直线l 1经过点M(m,0),直线l 2经过点N(n,0),直线l 1∥直线l 2,且直线l 1,l 2分别与椭圆E 相交于A,B 两点和C,D 两点.(Ⅰ)若M,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l 1⊥x 轴,求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线l 1的斜率存在且不为0,四边形ABCD 为平行四边形,求证:m +n =0; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD 能否为矩形,说明理由.特殊四边形问题两种思路（这个是利用边相等），证明是不是矩形是看看斜率是否为-1二、函数与导数 海淀20题已知函数()e x f x ax =+． （Ⅰ）当1a =-时，①求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； ②求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）求证：当(2a ∈-，0)时，曲线()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点． 导数部分:就是第二问，零点问题，但是题目不是直接做的，找了中介xe x+>1x x ->1ln 可以不用这个不等式 分别讨论 ⎩⎨⎧≥<<110x x 都可推导出1'e ()x g a xx =++>0 l (1)e n x g ax x x =++- 注意取点不是0,1 2，是1,e e，也就是有,ln x e x 和可以考虑一下这个朝阳20题已知函数()11e x x xf x -+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e xy =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x=的切线．导数部分 ： 零点问题，定义域不是有间断点，设计到取点（整数点，不行，就中间点） 切线方程问题 （在一点和过一点的切线方程问题） 等量代换西城19题（14分）设函数f(x)=alnx +x 2−(a +2)x,其中a ∈R.(Ⅰ)若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4,求a 的值;(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x ∈(1,e)时,f(x)>−e 2.导数部分：构造新函数 2()ln()224a a a f a a =--. ……………… 11分设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a a g f =，(1,e)2a∈. …… 12分所以()2ln 2g x x x '=-.三、概率部分海淀18题：超几何分布（14分）科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）.（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.朝阳18题：N 次独立重复事件（14分）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由.西城18题：超几何分布（14分）2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m 的最小值.(结论不要求证明)四、立体几何 朝阳17题（14分）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，平面11ACC A 平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB ，12AA ，25BC ．（Ⅰ）求证：1AB CC ；（Ⅱ）求二面角1DAC C 的余弦值；（Ⅲ）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F ，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由．海淀16题（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，13BC =，点E 为11A C 的中点.（Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的大小.西城16题（14分）如图,在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,底面ABCD 满足AD ∥BC ,且AB =AD =AA 1=2,BD =DC =2√2. (Ⅰ)求证:AB ⊥平面ADD 1A 1;(Ⅱ)求直线AB 与平面B 1CD 1所成角的正弦值.A BB 1ECC 1A 1DFECAB五、三角函数海淀17题（14分）三角函数，常规考试方法，就是自由选择，有点创新已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

∵S2=（6-2）×180°=4×180°=720°，
∴S1=1080°-720°=360°，
∴ =360°，
故答案为：360．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，掌握知识点是解题关键．
14.用一个 的值说明命题“若 为实数，则 ”是错误的，这个值可以是 _________．
【14题答案】
【分析】举出一个反例：a＝0，说明命题“若 为实数，则 ”是错误的即可．
【详解】解：由题意，得 ，所以这四个数中，相反数最大的是a．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴的知识、相反数的定义和实数的大小比较，属于基础题型，明确哪个数越大则其相反数就越小是解本题的关键．
4.一个不透明的袋中装有8个黄球， 个红球， 个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列 与 的关系一定正确的是（）
【详解】原式
，
当 时，原式 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
6.如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ， ， ，则 的长为（）
A.2.5B.4C.5D.10
【6题答案】
C
【分析】先根据垂径定理得出CE=DE=2，易得∠B=∠C，然后在Rt△ACE和Rt△BDE中分别利用∠C和∠B的正切求出AE与BE的长，进而可得答案．
乙返回办公室用了14-10=4（分钟），故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图象获取条件是解题关键．
16.某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：
乘坐缆车方式
乘坐缆车费用（单位：元/人）
往返
180
单程
100

2020年北京市朝阳区初三一模数学试卷一、单选题（共10小题）1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学计数法表示应为（）A．B．C．D．2．实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）A．与B．与C．与D．与3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（）A．B．C．D．4．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE的度数为（）A．40ºB．50ºC．60ºD．130º6．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m 7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示,设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为，，下列关系中完全正确的是（）A．=，＜B．=，＞C．＜，＜D．＞，＞8．如图，△内接于⊙，若⊙的半径为6，，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为（）A．（–2，–4）B．（–1，–4）C．（–2，4）D．（–4，–1）10．如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H 是AC边上一点，且°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CGB．线段AGC．线段AHD．线段CH二、填空题（共6小题）11.若二次根式有意义，则x的取值范围是____________．12.分解因式：____________．13.关于x的方程有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k=____________．14.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为____________．15.在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒．16.阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是____________．三、计算题（共1小题）17.计算：四、解答题（共12小题）18.已知，求的值．19.解不等式组并写出它的所有整数解．20.如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE = EF．求证：= 2∠1．21.台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2020年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF =∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．23.在平面直角坐标xOy中，直线与双曲线的一个交点为A（2，4），与y 轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．24.如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC=6，，求BC的长．25.人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2020年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%； 2020年底比2020年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2020年底比2020年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2020年达到8.0516万张，2020年达到10.938万张，2020年达到12万张．根据以上材料回答下列问题：（1）到2020年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；（2）选择统计表或统计图，将2020年––2020年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；（3）预测2020年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26.观察下列各等式：，，，……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：－3＝3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：－＝；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（0，–3），（2，–3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；（3）将（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1<a<3时，点Q 在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．28.在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C =30º，AC=2，∠APC=135º，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）29.在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（，0），对于线段AB和x轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若，在点,，中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．答案部分1.考点：科学记数法和近似数、有效数字试题解析：科学记数法是把一个数表示成 a×的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.所以264000=2.64 .故本题选C.答案：C2.考点：实数的相关概念试题解析：所以绝对值相等的两实数是a与d。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2020．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADACBCCD二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．解：原式 1321+32=+⨯- 3+3=．18．解：原不等式组为()21212x x x x -+⎧⎪⎨+⎪⎩＜，①＜． ②解不等式①得，4x ＜． 解不等式②得，1x ＞． ∴原不等式组的解集为1x ＜＜4．19．证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C . ∵ AD ⊥BC ， ∴∠ADB =90︒. ∴∠BAD +∠B =90︒. ∵DE ⊥AC ， ∴∠DEC =90︒. ∴∠CDE +∠C =90︒. ∴∠BAD =∠CDE .题号 9 101112 答案 x ≠2 ()222x +14＜ 题号 13 14 15 16 答案360答案不唯一， 如 a =0①②③2020．解：（1）由题意得, 221(1)404m m ∆=+-⨯＞．解得21->m . （2）答案不唯一，如：m =0.此时，方程为20x x +=． 解得1201x x ==-，．21．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B =∠ADC ．∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD=90°. ∵BE = DF ，∴△ABE ≌△ADF .∴AB =AD .∴四边形ABCD 是菱形．（2）解：由（1）知AD //BC .∴∠EAG =90°，∠G =∠CEG =30°. ∴EG =2AE =4．22．解：（1）3；（2）（3）31．23．（1）a =1；（2）①由题意可知图形G 是以O 为圆心，a 为半径的圆， AB ，AC ，BC 与⊙O 相切．∴∠ABM =∠NBM ．∵AB =3，AC =4，BC =5， ∴∠A =90°． ∵MN ⊥BC ，∴∠A =∠BNM =90°． ∴∠BMA =∠BMN ．②如图，设⊙O 与AC 的切点为D ，连接OD ，作OE ⊥MN 于点E ． ∴OD ⊥AC ． ∴OD = OE ． ∴OE 为⊙O 的半径． ∴MN 为⊙O 的切线．∴直线MN 与图形G 的公共点个数为1．24．解：（2）m =2；（3）（4）①直线2x =．②6．25．解：（1）B (-1，1)；（2）把1y =代入y x m =-+，得1x m =-．把1y =代入my x=，得x m =． ∴P (1m -，1)， Q (m ，1)． （3）10m -≤＜或12m ＜≤．26．解：（1）∵抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ，令0x =，得1y a =+． ∴A （0， a +1）．（2）由抛物线231y ax ax a =-++可知3322a x a -=-=． ∴抛物线的对称轴是直线32x =．（3）对于任意的实数a ，都有+1a a ＞． 可知点A 总在点N 的上方．令抛物线上的点C （-2，C y ）． ∴111C y a =+．①如图1，当a ＞0时，2C y a --＞． ∴点C 在点M 的上方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN 没有公共点． ②当a ＜0时，（ⅰ）如图2抛物线经过点M 时，=2C y a --．∴1=4a -．结合函数图象，可知抛物线与线段MN 恰有一个有 公共点M ．（ⅰ）当14a -＜＜0时，可知抛物线与线段MN 没有公共点．（ⅰ）如图3，当14a ＜-时，2C y a --＜．∴点C 在点M 的下方结合函数图象，可知抛物线与线段MN 恰有 一个有公共点．综上所述，a 的取值范围是14a -≤．27．解：（1）①补全图形，如图所示．②∠FBE = 45︒；图1图2图3（2）2DE AF=．证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，设DF与AB交于点G，根据题意可知，CD= CE，∠ECD =2α,∠ABC =∠BCD =∠CDA=∠DAB=90︒．∴∠EDC=90︒-α, CB= CE,∠BCE =90︒-2α．∴∠CBE =45︒+α,∠ADF=α．∴∠ABE =45︒-α．∵BF⊥DE,∴∠BFD=90︒．∵∠AGD =∠FGB，∴∠FBG =α．∴∠FBE =∠FEB =45︒．∴FB = FE ．∵AH⊥AF，∠BAD=90︒，∴∠HAB =∠F AD．∴△HAB≌△F AD．∴HB= FD, AH=AF．∴HF= DE,∠H =45︒．∴2HF AF=．∴2DE AF=．28．解：（1）(0,2)；（2）如图，设以O为圆心，AB为半径的圆与直线y=1在第二象限的交点为D，作DE垂直x 轴于点E,∴OD=2，DE=1．在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE=3．∴n的取值范围是n＜3-．（3）-4＜t≤-2或4323＜t≤2或t =0或t=433．。