2019届甘肃兰州市九年级中考模拟数学试卷【含答案及解析】

甘肃省2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．下列实数是无理数的是（ ）A．﹣2 B．C．D．【知识考点】算术平方根；无理数．【思路分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．【解题过程】解：＝3，则由无理数的定义可知，属于无理数的是．故选：D．2．若α＝70°，则α的补角的度数是（ ）A．130° B．110° C．30° D．20°【知识考点】余角和补角．【思路分析】根据补角的定义，两个角的和是180°即可求解．【解题过程】解：α的补角是：180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．故选：B．3．若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）A．2B．3 C．3D．4【知识考点】算术平方根．【思路分析】根据算术平方根的定义解答．【解题过程】解：∵正方形的面积是12，∴它的边长是＝2．故选：A．【总结归纳】本题考查了算术平方根，解题的关键是利用了正方形的性质和算术平方根的定义．4．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图矩形判断即可．【解题过程】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．5．下列各式中计算结果为x6的是（ ）A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．x12÷x2【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．【解题过程】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A 选项不符合题意；同理选项B不符合题意；x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；故选：C．6．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）A．1.24米B．1.38米C．1.42米D．1.62米【知识考点】黄金分割．【思路分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．【解题过程】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．7．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0【知识考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．【思路分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．【解题过程】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（ ）A．90° B．100° C．120° D．150°【知识考点】全等图形；菱形的性质；解直角三角形的应用．【思路分析】连结AE，根据全等的性质可得AC＝20cm，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ACB是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解．【解题过程】解：连结AE，∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，∴AC＝20cm，∵菱形的边长AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠DAB＝120°．故选：C．9．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（ ）A．2B．C．2D．【知识考点】圆周角定理．【思路分析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根据勾股定理即可得结论．【解题过程】解：∵点D在⊙O上且平分，∴，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2，∵点D在⊙O上，且平分，∴DC＝BD．Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．10．如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P 从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（ ）A．4B．4 C．3D．2【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE ＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2，∴x2+（2x）2＝（2）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4，故选：A．二、填空题11．如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作 元．【知识考点】正数和负数．【思路分析】根据盈利为正，亏损为负，可以将亏损50元表示出来，本题得以解决．【解题过程】解：∵盈利100元记作+100元，∴亏损50元记作﹣50元，故答案为：﹣50．12．分解因式：a2+a＝ ．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】直接提取公因式分解因式得出即可．【解题过程】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．13．暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价： 元暑假八折优惠，现价：160元【知识考点】一元一次方程的应用．【思路分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解题过程】解：设广告牌上的原价为x元，依题意，得：0.8x＝160，解得：x＝200．故答案为：200．【总结归纳】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．要使分式有意义，x需满足的条件是 ．【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x﹣1≠0．【解题过程】解：当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1，故答案为x≠1．15．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有 个．【知识考点】利用频率估计概率．【思路分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【解题过程】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，∵假设有x个红球，∴＝0.85，解得：x＝17，经检验x＝17是分式方程的解，∴口袋中红球约有17个．故答案为：17．16．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，），则点E的坐标为 ．【知识考点】坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】利用平移的性质解决问题即可．【解题过程】解：∵A（3，），D（6，），∴点A向右平移3个单位得到D，∵B（4，0），∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），故答案为（7，0）．17．若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为　cm （结果保留π）．【知识考点】弧长的计算；扇形面积的计算．【思路分析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积＝lR，即可得出弧长．【解题过程】解：设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得；＝，解得：R＝1，∵扇形的面积＝lR＝，解得：l＝π．故答案为：．18．已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是 ．【知识考点】规律型：数字的变化类；二次根式的性质与化简．【思路分析】直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．【解题过程】解：当x＜4时，原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，当x＝1时，原式＝7；当x＝2时，原式＝5；当x＝3时，原式＝3；当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：7+5+3+1+1+…+1＝15+1×2017＝2032．故答案为：2032．三、解答题（一）19．计算：（2﹣）（2+）+tan60°﹣（π﹣2）0．【知识考点】平方差公式；零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用乘法公式以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：原式＝4﹣3+﹣1＝．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：21．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【知识考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【思路分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF 和AC的数量关系及位置关系．【解题过程】解：（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，∴点E是AD的中点，∵点F是CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴线段EF和AC的数量关系为：EF＝AC，位置关系为：EF∥AC．22．图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝﹣﹣铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志．在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑．某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．α的度数β的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高度测量数据31°42°5米 1.5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG ﹣FG ＝DF ＝5列方程求出BG 即可．【解题过程】解：如图，延长DF 与AB 交于点G ，设BG ＝x 米，在Rt △BFG 中，FG ＝＝，在Rt△BDG中，DG＝＝，由DG﹣FG＝DF得，﹣＝5，解得，x＝9，∴AB＝AG+BG＝1.5+9＝10.5（米），答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5米．23．2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”只有1种，因此可求出概率；（2）列表法表示所有可能出现的结果，进而求出概率．【解题过程】解：（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”的概率是；（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种，∴P（选择A、D）＝＝．四、解答题（二）24．习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”．兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”．近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片．如图是根据兰州市环境保护局公布的2013～2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：（1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天；（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天；（3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上．试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．【思路分析】（1）根据折线统计图可得2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加的天数；（2）先将这七年的全年空气质量优良天数从小到大排列，即可得中位数；（3）根据表格数据利用加权平均数公式即可求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）用80%×366即可得兰州市空气质量能达标的优良天数．【解题过程】解：（1）∵296﹣270＝26，∴2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；故答案为：26；（2）∵这七年的全年空气质量优良天数分别为：213，233，250，254，270，296，313，∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254天；故答案为：254；（3）∵＝（213+233+250+254+270+296+313）≈261（天），则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为261天；（4）∵全年空气质量优良天数比率达80%以上．∴366×80%＝292.8≈293（天），则兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标．25．通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：x…012345…y…632 1.5 1.21…（1）当x＝ 时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），并画出函数图象；（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ．【知识考点】函数值；函数的图象；函数的表示方法．【思路分析】（1）观察函数的自变量x与函数值y的部分对应值表可得当x＝3时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），即可画出函数图象；（3）观察画出的图象，即可写出这个函数的一条性质．【解题过程】解：（1）当x＝3时，y＝1.5；故答案为：3；（2）函数图象如图所示：（3）观察画出的图象，这个函数的一条性质：函数值y随x的增大而减小．故答案为：函数值y随x的增大而减小．26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再由等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．【解题过程】解：（1）连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°；（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE，即2r＝r+2，∴r＝2，故⊙O的半径为2．27．（8分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．【思路分析】（1）想办法证明∠MAE＝∠MAN＝45°，根据SAS证明三角形全等即可．（2）设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM+DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2+CN2，∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得，x＝6或﹣1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC ＝8OB，则OA＝4，OB＝，确定点A、B、C的坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．【解题过程】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，设P（x，x2+﹣2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．。

兰州市2019年中考试题数学（A）注意事项：1.本试卷满分150 分，考试用时120 分钟。

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。

1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。

（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。

从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。

2.反比例函数的图像在（）。

（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到k的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k小于0 时，图象位于第二、四象限，本题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。

3.已知△ABC ∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）。

（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。

4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。

（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。

5.一元二次方程的根的情况（）。

（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。

6.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD／DB＝2／3，则AE／EC＝（）。

{来源}2019年甘肃兰州中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}{标题}2019年甘肃省兰州市中考数学试卷考试时间：分钟 满分：分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，合计48分． {题目}1．（2019年兰州T 1）2019-的相反数是A ．20191B ．2019C ．－2019D ．20191-{答案}B{解析}本题考查了相反数，a 的相反数为－a ，－2019的相反数是2019．因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2．（2019年兰州T 2）如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1＝80°，则∠2＝A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°bb{答案}D{解析}本题考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∵a ∥b ，∴∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠3，∠1＝80°，∴∠2＝100°，因此本题选D ． {分值}4{章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:两直线平行同旁内角互补} {考点:对顶角、邻补角} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3．（2019年兰州T 3）计算：312-=A ．3B ．23C ． 3D ．43{答案}A{解析}本题考查了二次根式的化简及二次根式的加减，因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-16-3]二次根式的加减}{考点:同类二次根式}{考点:二次根式的加减法}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}4．（2019年兰州T4）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是{答案}C{解析}本题考查了中心对称和轴对称的概念，A选项既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项既不是中心对称也不是轴对称图形，C选项是中心对称也是轴对称图形，D选项只是轴对称图形，因此本题选C．{分值}4{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}{考点:中心对称图形}{考点:轴对称图形}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019年兰州T5）1=x是关于x的一元二次方程022=++baxx的解，则2a＋4b＝A．－2 B．－3 C．－1 D．－6{答案}A{解析}本题考查了方程的解的概念，把x＝1代入，得到120a b++=，得到21a b+=-，则2a＋4b ＝2(a＋2b)＝－2，因此本题选A．{分值}4{章节:[1-21-1]一元二次方程}{考点:一元二次方程的解}{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}6．（2019年兰州T6）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝A．110°B．120°C．135°D．140°DOA BC{答案}D{解析}本题考查了圆内角四边形的性质，圆的内角四边形的对角互补，∵四边形ABCD内接于⊙O ，则∠A ＋∠C ＝180°，∵∠A ＝40°，∴∠C ＝140°．因此本题选D ． {分值}4{章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆内接四边形的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}7．（2019年兰州T 7）化简：21211a a a +-=++A ．1-aB ．1+aC ．11+-a a D ．11+a {答案}A{解析}本题考查了同分母分式加减法，同分母分式相加，分母不变，分子相加减． 221211111a a a a a a +--==-+++因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:最简分式}{考点:两个分式的加减}{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}{题目}8．（2019年兰州T 8）已知△ABC ∽△A ʹB ʹC ʹ，AB ＝8，A ʹB ʹ＝6，则BCB C''＝A ．2B ．34C ． 3D ．916 {答案}B{解析}本题考查了相似三角形的性质，∵△ABC ∽△A ʹB ʹC ʹ，∴8463AB BC A B B C ==='''' ，因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:相似三角形的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}9．（2019年兰州T 9）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为 A ．⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165 B ．⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156 C ．⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165 D ．⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 54156{答案}C{解析}本题考查了二元一次方程组的应用，五只雀，六只燕共重一斤，得到5x ＋6y ＝1，互换一只，恰好一样重，得到：4x ＋y ＝5y ＋x ，因此本题选C ． {分值}4{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}{考点:二元一次方程组的应用} {类别:数学文化}{类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}10．（2019年兰州T 10）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （－3，5），B （－4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（1，4）D ．（4，1）{答案}B{解析}本题考查了坐标系中的平移，A （－3，5）平移到A 1（3，3），说明点A 向右平移了6个单位，向下平移了2个单位，故点B （－4，3）向右平移6个单位，向下平移2个单位得到B 1的坐标为（2，1），因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-7-4] 用坐标表示平移} {考点:坐标系内图形的平移} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}11．（2019年兰州T 11）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线2)1(2++-=x y 上，则下列结论正确的是A ．212y y >>B ．122y y >>C ．221>>y yD ．212>>y y{答案}A{解析}本题考查了二次函数的增减性，a ＝－1＜0，函数2)1(2++-=x y 有最大值，对称轴x ＝－1，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，1＜2，∴2＞y 1＞y 2，因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-22-1-3]二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质} {考点:求二次函数的函数值}{考点:二次函数y=a(x+h)2的图象} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}12．（2019年兰州T 12）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM ＝A ．21 B ．22 C 1 D 1{答案}D{解析}本题考查了全等三角形、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，在正方形ABCD 中国，AC ⊥BD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD ，由折叠可知：DC ＝DE ，∠DFE ＝∠DFC ，∴∠ODM ＝∠OCE ，∴△ODM ≌△OCE ，∴OE ＝OM ，由DC ＝2，得到OD ＝1，∴OM ＝OE ＝DE －DO ＝1- ，因此本题选D ． {分值}4{章节:[1-18-2-3] 正方形}{考点:全等三角形的判定ASA ,AAS } {考点:等角对等边} {考点:勾股定理} {考点:正方形的性质}{考点:正方形有关的综合题} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共4小题，每小题4 分，合计16分．{题目}13．（2019年兰州T 13）因式分解：=++a a a 232 ．{答案}2(1)a a +{解析}本题考查了因式分解，因式分解的步骤：一提公因式；二套用公式，3222(1)a a a a a ++=+． {分值}4{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－完全平方式} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}14．（2019年兰州T 14）在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B = ．{答案}70°{解析}本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和等于180°，∵AB =AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，故∠B ＝70°． {分值}4{章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {考点:三角形内角和定理} {考点:等边对等角} {类别:常考题} {难度:1-最简单{题目}15．（2019年兰州T 15）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数)0(>=k xky 的图象上，6=OABC S 矩形，则k = ．{答案}6{解析}本题考查了反比例函数k 的几何意义，OABC S k =矩形，∴k ＝6． {分值}4{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的几何意义} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}{题目}16．（2019年兰州T 16）如图，矩形ABCD ，∠BAC =60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于21MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE =1，则矩形ABCD 的面积等于 ．CD{答案}{解析}本题考查了矩形的性质、勾股定理以及直角三角形30°角所对直角边是斜边的一半，由∠BAC ＝60°，AP 是∠BAC 的平分线，则∠BAP ＝∠CAP ＝30°，BE ＝1，则AE ＝2，ABAE ＝CE ，∴BC ＝3，故S ＝． {分值}4{章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:含°角的直角三角形} {考点:勾股定理的应用} {考点:等角对等边} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 小题，合计分．{题目}17．（2019年兰州T 17）计算：︒--++--45tan )2()13(|2|2{解析}本题考查了绝对值、零指数、特殊值三角函数，负数的绝对值是它的相反数，任何非零数的零次方都等于1，tan45°＝1． {答案}解： 原式＝2－1＋4－1＝4 {分值}5{章节:[1-28-2-1]特殊角} {难度:2-简单}{类别:常考题}{类别:易错题} {考点:绝对值的性质} {考点:零次幂}{考点:乘方运算法则}{考点:特殊角的三角函数值}{题目}18．（2019年兰州T 18）化简：)1)(1(2)21(-++-a a a a{解析}本题考查了单项式乘以多项式、平方差公式以及整式的加减，单项式乘以多项式法则：单项式乘以多项式的每一项，再把所得结果相加，平方差公式即两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差．{答案}解： 原式＝2222(1)a a a -+- ＝2a - {分值}5{章节:[1-14-2]乘法公式} {难度:2-简单}{类别:常考题}{类别:易错题} {考点:单项式乘以多项式} {考点:平方差公式} {考点:合并同类项}{题目}19．（2019年兰州T 19）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x{解析}本题考查了解不等式组，分别求解两个不等式的解集．{答案}解： 由①得：x ＜6； 由②得：x ＞2 ∴2＜x ＜6 {分值}5{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:2-简单}{类别:常考题}{类别:易错题} {考点:解一元一次不等式组}{题目}20．（2019年兰州T 20）如图，AB =DE ，BF =EC ，∠B =∠E ，求证：AC ∥DF ．DBEA{解析}本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定．要证AC ∥DF ，只需∠ACB ＝∠DFE ，即证△ABC ≌△DEF ．{答案}证明：∵ BF =EC∴BF ＋FC ＝EC ＋FC 即BC ＝EF在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF ∴∠ACB ＝∠DFE ∴：AC ∥DF {分值}6{章节:[1-12-2]三角形全等的判定} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:内错角相等两直线平行} {考点:全等三角形的判定SAS } {考点:全等三角形的性质}{题目}21．（2019年兰州T 21）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用1A ，2A ，3A ，4A 表示）； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用1B ，2B ，3B 表示）. （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.{解析}本题考查了树状图或列表法求概率．{答案}解： （1）小明参加决赛抽取题目的所有可能结果：共12种．（2）小明参加决赛抽取题目是成语题目的结果有A 2B 1和A 4B 1两种结果，故P （小明参加决赛抽取题目是成语题目）＝21=126． {分值}6{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:2-简单}{类别:常考题}{类别:易错题} {考点:两步事件放回}{题目}22．（2019年兰州T 22）如图，AC =8，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D ，依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O ． （1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长．AC{解析}本题考查了菱形的性质与判定，（1）四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直且互相平分，由AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5，四边形ABCD 是菱形．（2）由菱形的性质可知：OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，在Rt △AOD 中，OA ＝4，AD ＝5，从而OD ＝3，故BD ＝6．{答案}解：（1）由作图可知： AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5， ∴四边形ANCD 是菱形（2）∵四边形ABCD 是菱形∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD在Rt △AOD 中，∠AOD ＝90°，OA ＝4，AD ＝5 ∴OA ＝3， ∴BD ＝6．{分值}7{章节:[1-18-2-2]菱形} {难度:2-简单}{类别:常考题} {考点:菱形的性质} {考点:菱形的判定} {考点:勾股定理}{题目}23．（2019年兰州T 23）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，OC =2，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，OA ． （1）求反比例函数)0(≠=k xky 的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标．{解析}本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，（1）等边三角形的性质．由等边△OCB ，OC ＝2，可求得B 点坐标（－1OCB，四边形ACBO 的面积为ACO 的面积为，从而求得A 点坐标为（12{答案}解： （1）作BD ⊥x 轴，在等边△OBC 中，OC ＝OB ＝BC ＝2， ∴OD ＝CD ＝1，∴BD ∴B （－1把B（－1ky x=中，得 k ＝∴反比例函数解析式是yx=； （2）在等边△OBC 中，OC ＝2， ∴OBCS=∵ACBO S =四边形∴OACS =即12OC AE ⋅⋅=∴AE ＝∴A 点的纵坐标为，∴A （12{分值}7{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:3-中等难度}{类别:常考题}{类别:易错题} {考点:等边三角形的性质} {考点:勾股定理}{考点:反比例函数的解析式} {考点:双曲线与几何图形的综合}{题目}24．（2019年兰州T 24）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据：表一表二表三（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x ＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85 根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.{解析}本题考查了统计量，平均数、中位数、方差、极差各个统计量所描述数据的特征．{答案}解：（1）根据中位数的定义，首先将数据进行排序：80， 82，83，85，85，85，85，87，87，88，25个数据中帝13个数据是中位数，所以中位数是80；（2）八年级1班成绩要好，理由：平均数：1班高于2班，众数：1班高于2班，中位数：1班高于2班，极差：1班小于2班，方差：1班小于2班．{分值}7{章节:[1-20-2-1]方差}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:中位数}{考点:众数}{考点:极差}{考点:方差}{考点:数据分析综合题}{题目}25．（2019年兰州T25）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）.窗户的高度AB=2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）{解析}本题考查了从实际问题建立模型，解直角三角形．在Rt △ACD 中，tan ∠ADC ＝ACCD＝4.49，得到AC ＝4.49x ，在Rt △BCD 中，tan ∠BDC ＝BCCD＝0.59，得到BC ＝0.59x ，由AB ＝AC －BC ＝2，即可求得．{答案}解：设CD ＝x 米，在Rt △ACD 中，tan ∠ADC ＝ACCD＝tan77.44°＝4.49， ∴AC ＝4.49x ， 在Rt △BCD 中，tan ∠BDC ＝BCCD＝tan30.56°＝0.59 ∴BC ＝0.59x∴AB ＝AC －BC ＝4.49x －0.59x ＝2 解得：x ≈0.5答：遮阳棚CD 的长为0.5米． {分值}7{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}{考点:解直角三角形}{题目}26．（2019年兰州T 26）如图，在△ABC 中，AB =AC =6cm ，BC =8cm ，点D 为BC 的中点，BE =DE ，将∠BDE 绕点D 顺时针旋转α度（︒≤≤830α），角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为x cm ，M ，N 两点间的距离为y cm ．DCB小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B ，M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x ，y ），并画出函数y 关于x 的图象．（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势： ． （4）解决问题：当MN =2BM 时，BM 的长度大约是 cm.（保留两位小数）．{解析}本题考查了利用函数图像解决几何问题，考查学生的动手操作能力、考查学生学习经验．{答案}解：（1）3.00；103（2）（3）y的趋势在增大（4）结合图象：图象与y＝2x的交点BM的值为1.33或4.00{分值}9{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}{难度:3-中等难度}{类别:思想方法} {类别:易错题}{类别:发现探究}{考点:函数的图象}{考点:动点问题的函数图象}{题目}27．（2019年兰州T27）通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题.【模型呈现】如右图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点B作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE，我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：EB【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过AD作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：2=⋅．FG GO GBD{解析}本题考查了圆的切线的判定，直角三角形的两锐角互余．（1）要证AD是⊙O的切线，只需要证明∠DAB＝90°即可．（2）要证2FG GO GB=⋅，只需证明△FGO∽△BGF即可．{答案}解：（1）∵∠ACB＝90°∴∠B＋∠BAC＝90°∵∠B＝∠DAE∴∠DAE＋∠BAC＝90°∴∠DAB＝90°∴OA⊥AD∴AD是⊙O的切线；（2）作OH⊥AC于点H，O为AB中点，∴OH是三角形ABC的中位线，∴OH＝1，∴DE∥OH，且DE＝OH∴四边形OHED为平行四边形∵∠OHE＝90°∴四边形OHED为矩形．∴EC∥OD∴∠ACF＝∠CFO∵∠ACF＝∠ABF∴∠GFO＝∠GBF∴△GFO∽△GBF∴FG GB GO FG=即：2FG GO GB=⋅D{分值}10{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {难度:4-较高难度}{类别:思想方法}{{考点:直角三角形两锐角互余} {考点:切线的判定} {考点:圆与相似的综合} {考点:几何综合}{题目}28．（2019年兰州T 28）二次函数22++=bx ax y 的图象交x 轴于点A （－1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22++=bx ax y 的表达式； （2）连接BD ，当t =23时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标； （4）当t =45时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC +∠OAC =90°，求点Q 的坐标．{解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数中的面积、直角三角形的存在性问题．（1）根据待定系数法，由A 、B 两点坐标即可求解析式；（2）当t ＝32时，求得M 的坐标，进而进一步求得N 、D 的坐标；（3）由PB ＝PC ，且PB ⊥PC 构造“K 型”，求得P 点坐标，进而求得D 点坐标；（4）由题意知，三角形ABC 为直角三角形，∠CAO ＋∠ABC ＝90°，要求∠AQC ＋∠CAO ＝90°，所以只要∠AQC ＝∠ABC 即可，根据同弧所对的圆周角相等，Q 点为以AB 为直径的圆与MN 的交点．{答案}解：（1）将 A （－1，0），B （4，0）代入22++=bx ax y 中，得到 2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴二次函数的表达式为213222y x x =-++；（2）当t ＝32时，AM ＝3， ∴M （2,0）求D ：当x ＝2时，y ＝3，∴D （2,3） 求BC ：设BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 直线过B 、C 两点， ∴240b k b =⎧⎨+=⎩∴122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴122y x =-+求N ：当x ＝2时，y ＝1，N （2，1） ∴DN ＝2，BM ＝2， ∴S △DNB ＝2（3）如图，作PF ⊥OC 于点F ，作BE ⊥PF 交PF 延长线于点E ，显然四边形OBEF 是矩形，根据模型显然△PFC ≌△BEP ，从而FC ＝PE ，PF ＝BE ，∴BE ＝2＋CF ，而EF ＝4＝2＋FC ＋FC ，得FC ＝1，∴P （3,3） 当x ＝3时，y ＝2，∴D （3,2）同理求得P （1，－1），∴D （1,3） ∴D 点坐标为（1,3）或（3,2）（4）当t ＝45时，M 坐标为（3,02），AB 为直径作圆交直线MN 于点Q ，根据题意显然△ABC 为直角三角形，∴∠CAB＋∠ABC＝90°，∵∠AQC＝∠ABC，∴∠AQC+∠OAC=90°，∴Q（35,22）同理可求Q（35,22 ）{分值}12{章节:[1-24-1-1]圆}{难度:4-较高难度}{类别:发现探究}{考点:二次函数与圆的综合}{考点:二次函数中讨论直角三角形} {考点:二次函数中讨论等腰三角形} {考点:代数综合}{考点:等腰直角三角形}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}。

2019年兰州市中考数学试题（解析版）（满分150分，时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1. －2019的相反数是（ ）A.20191 B. 2019 C. －2019 D. －20191【答案】B ．【解析】－（－2019）＝20192.如图，直线a,b 被直线c 所截，a ∥b, ∠1＝∠800， 则∠2＝（ ）A. 1300.B. 1200.C. 1100.D. 1000. 【答案】D ．【解析】∵∠1＝800，∴∠1的对顶角为800，又∵ a ∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补， ∴∠2＝1800－800＝1000，3. 计算：12－3＝ （ ）A.3 . B. 23. C. 3 . D. 43 .【答案】A ．【解析】12－3＝23－3＝3. 4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】C ．【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A 、B ，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形重合的图形排除D.5. x ＝1是关于的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝（ ）A. －2 .B. －3 .C. 4 .D. －6. 【答案】A ．【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.第2题图6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝400，则∠C ＝（ ）A. 1100.B. 1200.C. 1350.D. 1400.【答案】D ．【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400，∴∠C ＝1800－400＝1400，7. 化简：12112+-++a a a ＝ （ ） A. a －1 . B. a+1 . C.11+-a a . D. 11+a . 【答案】A ． 【解析】12112+-++a a a ＝1212+-+a a ＝1)1)(1(+-+a a a ＝a －1 .8.已知△ABC ∽△A′B′C′, AB ＝8，A ’B ’＝6， 则''C B BC＝ （ ） A. 2 . B. 34 . C. 3 . D. 916.【答案】B ．【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′,∴''B A AB ＝''C B BC又∵AB ＝8，A ’B ’＝6， ∴''CB BC ＝34. 故选B.9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程为 （ ） A. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165 B.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156 C. ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165 D. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 54156 【答案】C ．【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y ＝5y+x,10. 如图，平面直角坐标系xoy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （－3，5），B （－4，3），A 1（3，3）.则点B 1坐标为（ ）A. （1，2）B. （2，1）C. （1，4）D. （4，1） 【答案】B ．【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A （－3，5）到A 1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B （－4，3）平移后B 1（2，1）. 故选B.11. 已知,点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2> y 1> y 2B. 2 > y 2 > y 1C. y 1> y 2>2D. y 2 > y 1>2 【答案】A ．【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y 随x 的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y 1> y 2 . 故选A. 12. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M,则DM ＝（ ）A.21B. 22C.3－1 D. 2－1【答案】D ．【解析】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，∵ 正方形的边长为2， ∴OD ＝1, OC ＝1, OQ ＝DQ ＝22,由折叠可知，∠EDF ＝∠CDF. 又∵AC ⊥BD, ∴OM ＝PM, 设OM ＝PM ＝x ∵OQ ⊥CD ，MP ⊥CD∴∠OQC ＝∠MPC ＝900， ∠PCM ＝∠QCO, ∴△CMP ∽△COQ∴OQ MP ＝COCM, 即1122xx -=， 解得x ＝2－1∴OM ＝PM ＝2－1.故选D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a 3 +2 a 2+ a ＝___________.【答案】a （a +1）2．【解析】a 3 +2 a 2+ a ＝a （a 2 +2 a + 1）＝a （a + 1）2.14. 在△ABC 中，AB ＝AC, ∠A ＝400，则∠B ＝___________. 【答案】700．【解析】∵AB ＝AC, ∠A ＝400， ∴∠B ＝∠C ＝700.15. 如图， 矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝xk（x>0）的图象上，S 矩形OABC＝6，则k ＝___________.【答案】6．【解析】|k |＝S 矩形OABC ＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k ＝6.16. 如图， 矩形ABCD, ∠BAC ＝600. 以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB 、AC 于点M 、N 两点，再分别以点M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于___________.【答案】33．【解析】 由题可知AP 是∠BAC 的角平分线∵∠BAC ＝600∴∠BAE ＝∠EAC ＝300 ∴AE ＝2 BE ＝2.∴AB ＝3∴∠AEB ＝600又∵∠AEB ＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC ＝∠ECA ＝300 ∴AE ＝EC ＝2 ∴BC ＝3∴S 矩形ABCD ＝33．三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（3+1）0+（－2）2－tan450 . 【答案】4．【解析】解：原式＝2－1+4－1＝4.18.(本题5分) 化简：a (1－2a )+2(a +1)(a －1)【答案】a －2．【解析】解：a (1－2a )+2(a +1)(a －1)＝a －2a 2+2a 2－2 ＝a －2.19.（本题5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x【答案】2<x<6．【解析】 解：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x由①得：x<6由②得：x>2所以原不等式组的解集为：2<x<6.20. （本题6分）如图，AB ＝DE, BF ＝EC. ∠B ＝∠E. 求证：AC ∥DF.【答案】AC ∥DF.【解析】证明：∵BF ＝EC∴BF+CF ＝EC+CF ∴BC ＝EF在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴△ABC ≌△DEF (SAS) ∴∠ACB ＝∠EFD ∴AC ∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A 1,A 2,A 3,A 4表示）; 第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B 1,B 2,B 3表示）.①② ① ②第20题图（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.【答案】解：（1）12种．（2）61. 【解析】（1）解：二 一 B 1 B 2 B 3 A 1 A 1B 1 A 1B 2 A 1B 3 A 2 A 2B 1 A 2B 2 A 2B 3 A 3 A 3B 1 A 3B 2 A 3B 3 A 4A 4B 1A 4B 2A 4B 3（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目) ＝122＝61.22.（本题7分）如图， AC ＝8,分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B 和D ，依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O.（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长. 【答案】（1）菱形， （2）BD ＝6．【解析】 证明：（1）由图可知，BD 垂直平分AC ，且AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5,所以四边形ABCD 是菱形.（2）∵AC ＝8, BD ⊥AC 且BD 平分AC ，∴OA ＝OC ＝4∴在Rt △AOB 中，OB ＝22OA AB -＝2245-＝3,∴BD ＝2 OB ＝2×3＝6 ∴BD 的长为6.23. （本题7分）如图， 在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B ，OC ＝2,点A 在反比例函数图象上，连接AC 、AO. （1）求反比例函数y ＝xk（k ≠0）的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.【答案】（1）y ＝x3； （2）A （21，23）【解析】 解：（1）∵ OC ＝2,∴OM ＝1, BM ＝3, ∴点B(－1 ，－3 )， ∴ k ＝(－1) ×（－3 ) ＝3,∴y ＝x3. （2）∵S ACBO ＝33， S ACBO ＝S △AOC + S △BOC∵S △BOC ＝43OC 2＝3, ∴3+ S △AOC ＝33， ∴S △AOC ＝23. ∵OC ＝2 ∴21×OC×AN ＝23 ∴AN ＝23 设A （t ，23） ∴23t ＝3∴t ＝21 ∴A （21，23）.25 （本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下： 问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC 的遮阳篷CD. 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC ＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC ＝30.560）；窗户的高度AB ＝2m. 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59, Sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22, tan77.440≈4.49）.【答案】0.5m ．【解析：在Rt △BCD 中，∠BCD ＝900，∠BDC ＝30.560，∵tan ∠BDC ＝CDBC, ∴BC ＝CD ⋅tan ∠BDC,在Rt △ACD 中，∠ACD ＝900，∠ADC ＝77.440， ∵tan ∠ADC ＝CDAC, ∴AC ＝CD ⋅tan ∠ADC, ∵AC －BC ＝AB,∴CD ⋅tan ∠ADC －CD ⋅tan ∠BDC ＝2 即 CD ⋅tan77.440－CD ⋅tan30.560＝2 （4.49－0.59）CD ＝2 ∴CD ＝0.5答：遮阳篷CD 长为0.5m.26.（本题9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm,BC ＝8cm,点D 为BC 的中点，BE ＝DE.将∠BDE 绕点D 顺时针旋转a 度（00≤a ≤830）.角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点.设B 、M 两点间的距离为x cm ，M 、N 两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据B 、M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值： x/cm0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.5038 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ，y ）.并画出函数y 关于x 的图象：（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势__________. (4)解决问题：当MN ＝2BM 时，BM 的长度大约是_________cm （保留两位小数）.【答案】（1） x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50383.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10 y/cm32.88 2.81 2.69 2.67 2.803.153103.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87 （2）图略（描点可得）（3）随着自变量x 的不断增大，函数y 呈现先减小再增大的趋势. （4）4和1.33【解析】 （1）当x ＝0时，M 点与N 点分别和B 点E 点重合 MN ＝BE ＝3 当x ＝38时，假设DN 交CA 的延长线于点H ∵AB ＝AC, ∴∠B ＝∠C,又∵D 为BC 的中点， BE ＝DE.∴∠B ＝∠EDB, ED 为AC 边的中位线 根据旋转性质∠B ＝∠EDB ＝∠C ＝∠MDN, ∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB ＝∠MDB+∠MDN, ∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C ∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C, ∴△MDB ∽△DHC ∴BD CH ＝BMDC,∴4CH ＝384, CH ＝6＝AC 即A 点与H 点重合 ∴MN ＝6－BM ＝310. (2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）∵MN ＝2BM设BM ＝x ，MN ＝2x ，EN ＝3x －3 ， AN ＝6－3x ，∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质)∠NDB ＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C,∴△MDB ∽△DHC∴BD CH ＝BMDC , ∴4CH ＝x 4, ∴CH ＝x 16， HA ＝HC －AC ＝x 16－6 又∵△HAN ∽△DEN∴ED AH ＝NEAN , ∴3616-x ＝3336--x x , 解得： x 1＝4， x 2＝34≈1.33 答：BM 为4或1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如右图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900,将斜边AB 绕点A 顺时针旋转900得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE,进而得到AC ＝DE, BC ＝AE.我们把这个数学模型称为“K 型”推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝900, BC ＝2.将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定角度得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，∠DAE ＝∠ABC, DE ＝1,连接DO 交⊙O 于点F.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接FB ，求证：FG 2＝GO •GB.【答案】答案见解析．【解析】 （1）证明：∵∠DAE ＝∠ABC 且∠ABC+∠CAB ＝900,∴∠EAD+∠CAB ＝900,∴∠DAB ＝900,∵AO 为⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB ＝900,∵ AC ＝1， BC ＝2∴AB ＝5,由模型可知，△AED ≌△BCA,∴AD ＝5,∴AO ＝25, ∴DO ＝25, ∵AD AE ＝DO AD ＝AODE ＝552, ∴△AED ∽△DAO∴∠EAD ＝∠ADO∴AE ∥DO∴∠ACF ＝∠CFO ＝∠ABF∵∠FGO ＝∠BGF,∴△FGO ∽△BGF∴BG FG ＝FGGO ∴FG 2＝GO •GB.28.(本题12分)二次函数y ＝a x 2+bx+2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B。