《学考优化指导》2018-2019高一数学(人教A版)必修4课件：第一章 三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系

2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边 与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？ 解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因 为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值， 其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过 程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角 转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应 采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号 对单调性的影响．

题型四
易错辨析
易错点 不清楚 f(x+T)表达的意义致错
π
【例 4】 利用定义求 f(x)=sin 2- 6 的最小正周期.
π
错解:∵f(x+2π)=sin 2( + 2π)=sin
π
2- + 4π
6
= sin
π
26
6
= (),
∴T=2π 是 f(x)的最小正周期.
错因分析:错解中求的不是最小正周期.
正周期是2π.
(3)正弦函数和余弦函数的周期性,实质是由终边相同的角所具有的
周期性所决定的.
知识拓展函数y=Asin(ωx+φ)+b,y=Acos(ωx+φ)+b(ω>0)的最小正周期
2π
T=
.

第六页，编辑于星期日：点 四十四分。
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第1课时 周期函数
1
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证明:令x-2=t,则x=t+2,
于是由f(x+2)=f(x-2),得
f(t)=f[(t+2)+2]=f(t+4).
∴f(t)=f(t+4).∴f(x+4)=f(x).
∴函数y=f(x)是周期函数,4是一个周期.
反思通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时,只需找
到一个非零常数T,满足对定义域内任意x总有f(x+T)=f(x)成立即可.
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数f(x)=C(C为

(4)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如， 常数函数 f(x)＝c，任一个正实数都是它的周期，因而不 存在最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在 图象上，正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴 对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对 称图象．
显然有 f(－x)＝f(x)恒成立． 所以函数 f(x)＝ 2sin2x＋52π为偶函数． (2)函数定义域为 R. f(－x)＝lg(－sin x＋ 1＋sin2x)＝
lg
1
＝－lg(sin x＋ 1＋sin2x)＝－
sin x＋ 1＋sin2x
f(x)，
所以函数 f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2x)为奇函数．
为 2π，y＝cos 2x＋2 的最小正周期为π，y＝cos 3x－1 2π
的最小正周期为 3 ，所以选 C. 答案：C
(2)①法一：y＝sin2x＋π3 ＝sin2x＋π3 ＋2π＝ sin2（x＋π）＋π3 ，所以最小正周期为π. 法二：因为 y＝sin2x＋π3 ，其中 ω＝2， 所以 T＝2|2π| ＝π.
[变式训练] f(x)是以 2π为周期的奇函数，若 f－π2
＝1，则 f5π 2 的值为(
)
π
π
A．1 B．－1 C. 2 D．－ 2
解析：因为 f(x)是以 2π为周期的奇函数， 所以 f－π2 ＝－fπ2 ＝1，
所以 fπ2 ＝－1， f5π2 ＝f2π＋π2 ＝fπ2 ＝－1. 答案：B
周期函数，若 f(x)的最小正周期为π，且当 x∈0，π2 时，
f(x)＝sin x，则 f5π3 等于(
)

[解析] (1)由于 A 中元素 3 在对应关系 f 作用下其与 3 的差的绝对值为 0，而 0∉ B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数 个元素与之对应，故不是映射． (3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一一个元素与之对应， 符合映射定义，是映射． (4)是映射，因为 A 中每一个元素在 f：x→y＝12x 作用下对应的元素构成的集合 C ＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．
③f(x)＝2xx2，＋x3≤，11.≤x≤5，
④f(x)＝xx2－＋13，，xx≥<05，.
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
解析： 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同
①√ 的对应关系．
② × 当 x＝2 时，f(2)＝3 或 4，故不是函数． ③ × 当 x＝1 时，f(1)＝5 或 1，故不是函数．
解析：(2)(4)是从 A 到 B 的映射，因为对于集合 A 中的任何一个元素，按照对应 法则，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应． (1)不是从 A 到 B 的映射．因为 A 中的元素 1 在 B 中有－1 和 1 两个元素与之对 应；(3)不是从 A 到 B 的映射，因为 A 中的元素 0 在 B 中没有元素与之对应．
探究三 映射的概念 [典例 4] 判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射： (1)A＝N＋，B＝N＋，对应关系 f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f“作圆的内接矩形”； (3)A＝{高一一班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系 f：每个男生对应自己的 身高； (4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y＝12x.