抽象代数自选题
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自选题目：
1、设G 是一个群，证明：（1）在G 中，阶大于2的元素的个数一定是偶数；
（2）在G 中，阶等于2的元素的个数与G 的阶有相反的奇偶性。
2、证明：6阶交换群是循环群
3、设N G ≤，且[]:2,G N =证明N G 。
4、设M ，N 是群G 的正规子群，证明：
（1）MN NM =；
（2）MN 是G 的正规子群；
（3）若{}MN ,.M N e M N N ⋂=∀∈∈那么与同构，且mn=nm,m M,n
5、设p 是一个素数，G 是p 的方幂阶的群，试证G 的非正规子群的个数一定的p 的倍数。
6、证明148阶群G 不是单群。
7、设p 是素数，则2p 阶群G 是Abel 群。
8、设G 是2p q 阶群，p ，q 为不同素数。
证明：G 不是单群。
9、设1G ，2G 分别为1n ，2n 阶循环群，证明：1221G G n n ⇔ .
10、若群中元素a 的阶为m ，元素b 的阶为n ，则当ab ba =且(),1m n =时，有 ab mn =，即ab a b =.
11、设群中元素a 的阶为n ，证明()(),,s t a a s n t n =⇔=.
12、设H ，G 是群的两个正规子群，且二者的交为{}e ，证明：H 与G 中的元素相乘时可换.
13、设H 是包含在群G 的中心内的一个子群，证明：当G H 是循环群时，G 是交换群.
14、证明：3n ≥时2n -个3轮换()()()123,12412n 是n A 的一组生成元。
15、证明：同构意义下，6阶群只有6 与3S .
16、设p 为素数，证明：2
p 阶群G 为Abel 群.
17、若G 是由a , b 生成的群，且b ba 32a =e ，4,3==b a ，证明：G 为Abel 群。
18、设f ：G →H 是群同态，若g 是G 的一个有限阶元。
试证: f(g)的阶整除g 的阶。
19、证明：任意一个群G ，都不能被它的两个真子群覆盖。
20、设M ◁G , N ◁G 。
若M ∩N={e},证明：N M a ∈∈∀b ,,有.ba ab =
21、设G 是一个群，而u 是G 中任意一个固定的元素。
证明：G 对新运算aub b a = 也作成一个群。
22、证明：1）在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数。
2）偶数阶群中阶等于2 的元素的个数一定是奇数。
23、 证明：交换群中所有有限阶元素作成一个子群。
对非交换群如何？
24、 设K H ,分别是群G 的两个m 与n 阶子群，证明：若,1),(=n m ，则}.{e K H =⋂
25、设H 是群G 的一个子群，G a ∈，证明：,1G aHa ≤-且1-≅aHa H 。
26、证明：若群G 的n 阶子群有且只有一个，则此子群必为G 的正规子群。
27、()()()n S n 1,,13,12 =或()()()n n S n 1,,23,12-=
28、()互不相同k s r n k s r k s r A n ,,,,,1≤≤=
29、令G 是实数对（a,b ），a ≠0的集合，在G 上定义（a,b ）（c,d ）=(ac,ad+b)，试证G 是群。
30、设G 是一个群，a,b ∈G ，证明：k bab )(1-=1-bab ⇔.a a k
= 31、证明：任何群都不能是两个真子群的并。
32、试证4A 没有6阶子群。
33、设群G 作用在集合∑上，令t 表示∑在G 上的作用下的轨道个数，对任意g ∈G ，)(g f 表示∑在g 作用下的不动点个数。
试证：G t g f G
g =∑∈)(。
34、设n m ,是大于1的奇数，),(+⊕n m Z Z 是循环群。
35、一个有限群的每个元素的阶都有限.
36、假如a 和b 是一个群G 的两个元，并且ab=ba ，又假定m a =，n b =，且()1=m,n .证明：mn a,b =.
37、设f 是群G 到群G '的同态，G b a ∈,证明：()()f b f a b f a f ker ker =⇔=.
38、设G 是群，G '是交换群.f 是G 到G '的同态，且G N f ≤≤ker .证明:G N .
39、设H 是群G 的子集.证明：若关于H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则G H .
40、设P 是有限群G 的一个p -sylow 子群，又G H ，证明：若p 不能整除[]H G :，则H P ⊂.
41、设G 是群.G G j ≤,21,j = .21G G G =且G N .证明：21G N G N G
⨯=.
42、证明6阶群必存在一个3阶子群。
43、举例说明若错误！未找到引用源。
，不一定有错误！未找到引用源。
44、错误！未找到引用源。
，证明错误！未找到引用源。
45、错误！未找到引用源。
，证明错误！未找到引用源。
46、证明有限群G 有唯一Sylow p-子群L 的充要条件是错误！未找到引用源。
47、设错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，若存在错误！未找到引用源。
，使得错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
48、设错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
是单位元，则对任何错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，有错误！未找到引用源。
49、证明交换群的商群是交换群。
50、设错误！未找到引用源。
是循环群，错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的满同态，证明错误！未找到引用源。
也是循环群。
51、证明交换群错误！未找到引用源。
中所有有限阶的元素构成错误！未找到引用源。
的一个子群
52、当错误！未找到引用源。
时，试证n-2个3轮换错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，…,错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的生成元。
53、设错误！未找到引用源。
作用在集合错误！未找到引用源。
上，对任意错误！未找到引用源。
，若存在错误！未找到引用源。
使得错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
54、设错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
均为素数，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
证明：错误！未找到引用源。
是循环群。
55、设错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
是群，证明：错误！未找到引用源。
56、设m 、n 是大于1的奇数，),(+⊕n m Z Z 是循环群，证明（m ，n ）=1
57、证明：有理数加群Q +与非零有理数乘群Q *不同构.
58、设G 作用在集合∑上，对任意a ，b ∈∑，若存在g ∈∑使b ga =，g G g G b a 1-=。
换句话说，同一轨道中元素的固定子群彼此共轭。
59、设p 是一个素数，G 是p 的方幂阶的群。
试证G 的非正规子群的个数一定是p 的倍数。
60、试证200阶群G 一定含有一个正规的西罗子群。
61、证明；2
p 阶群必是交换群，其中P 是一个素数
62、凡200阶群都不是单群
63、指数为2的子群必是正规子群
64、设G 是n 阶群（P 是素数），证明：若n<p,则G 有p 阶正规子群
65、设H,K 是群G （未必有限）的两个p-子群。
且K ⊴G ，证明；HK 也是G 的一个p-子群
66、若群G 的n 阶子群有且只有一个, 则此子群必为G 的正规子群.
67、设G 为群, 又H G , 且():G H m =, 证明G 中任意元素a 都有m a H ∈. 68、若,a n 都是正整数且a 与n 互素，则()()1mod n a
n ϕ≡。
69、设G 是群，,H G K G ≤≤,且,a b G ∃∈，使aH bH =，证明：K H =
70、设G 是群,H 是G 的正规子群,n H G =]:[,证明:对于任意的G a ∈都有H a n ∈.
71、设G 和'G 分别是阶为m 和n 的有限循环群,证明:存在G 到'G 的满同态的充要条件是m n |.
A的所有sylow子群.
16、试求出4次交代群
4。
