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换个角度看复利计息公式

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各位 读 者 换 个角度 ， 另 外 一 个视 角重 新 看一 看 这 个 问题 ， 就其 中的 不 妥之 处 ， 评指 教 。 沿 并 批 我 们 先 看 看 公 式 的 推 导
二 、 式 的 推 导 公
商俊科 和李炜 两文 （ 下称 “ 文 ” “ 文 ” 都 是 从 假 定 年 利 率 为 常 量 ｒ 始 ， 假 定 以 年 为 高 、李 ） 开 并 单 位 计 算 时 间 ， 导 出 ｔ 后 本 （ ） 的 计 算 公 式 推 年 息 Ａ（ ）： Ａ １＋ ｒ ｆ （ ） 再 假 定 把 一 年 均 分 为 ｍ 等 份 计 息 ， 期 的 利 率 为 ｒｍ， 是 ｔ 后 的本 息 总 额 为 每 ／ 于 年 Ａ（ ）＝ Ａ １＋ ｒ ｍ ） （ ／ 最 后 令 ｍ— ｏ 得 到 ｏ
摘
一
要 ： 文 从 微 分 方 程 出 发 ， 出 了连 续 复 计 息 情 繁 下 的 资 垒 增 长 方 程 ， 谊 方 程 的 建 立 提 供 了 奉 导 为
个新 视 角 ． 示 了三 ， 揭 卜资 金 增 长 方 程 的 内 在 联 系 ＝
关 键 词 ： 垒 增 长 方 程 ； 计 息 ； 计 息 ； 续 复 计 息 资 复 单 连
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换 个 角 度 看 复 利 计 息 公 式
文 章 编 号 ：０ ２ １ ６ （０ ２ ０ — ０ ４ — ０ ｌ０ ～ ５ ６ ２０ ）２ ０ ５ ４
４ ５
换 个 角 度 看 复 利 计 息 公 式
蒋 情 恩
（ 兴 文 理 学 院 外 语 系 ， 江 绍 绍 浙 ３２０ ） １ ０ ０
ｄＡ
ｆ ； ｒ Ａ
（） ９
我们姑 且称 （ ） ９ 为资金 生长 的微 分 方程 。分离变量 解此 微分方 程 ， 令 初始值 Ａ Ｏ ＝ ， 并 （ ） 我们
不 难 得 到 Ａ （ ）＝ Ａ０ ｔ ｅ （０ １）
模 型 （０ 就 是 资 金 长 生 方 程 。 这 个 数 学 模 型 早 在 １ ９ １） ７ ８年 ， 由人 １ 学 家 马 尔 萨 斯 提 出 ， 过 就 ３ 不
Ａ（ ）＝ Ａ （） ３
（） １
（） ２
黄 秀 清 和 王 立 新 文 通 过 生 长 函 数 的 直 观 推 导 ， 到 了 “ 金 率生 长 函 数 的两 种 表 现 形 式 ” 得 资
ｆｆ （ ）＝ （ ． ｆ）
Ａ（ Ａ。， ） ＝ Ａ。 ， ｔ （ ）
（） ４
（ ５）
然 后 ， 过 两 个 变 换 ， 令 ７ ｆ 一１ ａ ｎ ｆ） ｆ＝ ， 别 代 人 （ ） （ ） 得 到 经 即 ＝ ＿ ， ＝ｉ （． ，＿ 分 ４ 、５ 就
ｆ（ ）＝ （ ｔ １＋ ｙ） （ ６）
ｆ ｆ （ ）＝
（） ７
Ａ（ ， ） Ａ。 ｔ
Ａ０
（） ８
于是 ， 王文就 认 为通 过求极 限的方 法 得 出资 金生 长公 式 是“ 蛇 添足 ” 黄 画 。而 藏认 为高 李
人 口 、 物 以 及 细 胞 ／ 菌 的 繁 殖 增 长 不 能 很 好 地 用 该 方 程 刻 划 但 是 ， 金 放 人 银 行 是 不 会 生 细 资 生 老 病 死 的 其增 长 用 此 方 程 描 写 恰 到好 处 。 下 面 我 们 讨 论 三 篇 论 文 关 于 资 金 生 长 方 程 讨 论 中的一些 欠妥 当之处 。
三 、 手 资 金 生 长 方 程 讨 论 中 的 一 些 问 题 关
（ ） 程 自身 有 问题 吗 ？ 一 方 高文认为 连续 计息公 式有 问题 ， 即资 金 生 长 方 程 有 问 题 。 我 以为 ， 程 没 有 问 题 ， 高 人 口 的 增 长 ， 不 是 资 金 的增 长 ， 此 该 方 程 也 叫 马 尔 萨 斯 方 程 。后 来 ， 而 因 生 物 学 界 用 这 一 方 程 描 写 生 物 种 群 的 增 长 和 细 胞 ／ 菌 的 繁 殖 。 由 于死 亡 和 其 他 因 素 的 制 约 ， 细
中 固分 类 号 ：８０ ４ Ｆ ３ ．８ 文 献 标 识 码 ： Ａ
１ 引 言 、
有 关 复 利 计 息 问题 ， 银 行 业 务 中一 个 非 常 重 要 的 概 念 ， 是 我 们 日常 生 活 中 的 一 个 常 见 是 也 概 念 。 正 因 为 这 个 概 念 的 基 本 和 重 要 ， 期 《 理 统 计 与 管 理 》 后 刊 载 三 篇 论 文 。 ， 论 近 数 先 讨 复 利 计 息 的 数 学 模 型及 其 意 义 。 笔 者 读后 ， 些 想 法 ， 提 出 来 ， 三 篇 文 章 的 作 者 商 榷 ， 请 有 兹 和 也
年 变 换 很 难 看 出 来 。 这 种 方 法 ， 于 没 有 极 限 知 识 的 学 生 用 是 投 有 办 法 中 的 办 法 。 而 对 于 学 对
过 极 限 的 学 生 ， 好 舍 近 求 远 ， 易求 难 。 用 极 限 ， 方 法 上 高 了一 级 ， 法 上 也 简 单 了 很 多 。 不 舍 在 做
收 藕 日 期 ： ０ １—０ ２０ ２—０ ８
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数 理 统计 与 管 理
２ １卷
２期
２０ ０ ２年 ３月
两 文 介 绍 的方 法 倒 更 为 简 单 明 了 。 而 黄 王 文 中 的 方 法 比 较 复 杂 。 如 果 不 知 最 终 表 达 式 ， 几 那
关 于 复 利 连 续 计 息 的公 式 ， 们 还 可 以 从 更 高 一 个 层 次 上 直 接 导 出 。 只要 学 生 学 过 最 基 本 的 我 微 积 分 学 （ 括 最 简 单 的 常 微 分方 程 ） 以 下 这 种 方 法 可 能 最 为 直 接 、 便 。 包 ， 简 设 有 本 金 为 ， 在 给 定 时 段 内 的瞬 时 利 率 为 ｒ 那 么 ， 金 的 增 长 速 度 可 表 示 为 且 ， 资

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欧拉公式的推导

欧拉公式的推导


03
欧拉公式的证明
利用三角函数的性质进行证明
总结词
利用三角函数的周期性和对称性，通 过一系列的等式变换，推导出欧拉公 式。
详细描述
首先，利用三角函数的周期性和对称 性，将角函数转化为指数形式。然 后，通过一系列的等式变换，将指数 形式转化为欧拉公式。
利用复数的性质进行证明
总结词
利用复数的共轭和模的性质，通过代数运算 和等式变换，推导出欧拉公式。
快速傅里叶变换（FFT）
欧拉公式在快速傅里叶变换算法中有重要应用， 该算法用于信号处理和频谱分析等领域。
加密算法的实现
欧拉公式可以用于实现一些加密算法，例如 RSA公钥加密算法。
并行计算中的向量旋转
在并行计算中，欧拉公式可以用于实现向量的旋转操作，提高计算效率。
THANKS
感谢观看
欧拉公式的应用场景
01
在物理学中，欧拉公式被广泛应用于波动方程、电磁学、量子 力学等领域。
02
在工程学中，欧拉公式被用于信号处理、控制系统等领域。
在金融学中，欧拉公式被用于计算复利、评估风险等。
03
02
欧拉公式的推导过程
利用三角函数的性质进行推导
总结词
利用三角函数的周期性和对称性，通过一系列的恒等变换，推导出欧拉公式。
04
欧拉公式的变种和推广
欧拉恒等式
总结词
欧拉恒等式是数学中一个重要的恒等式，它 表示三角函数和指数函数之间的关系。
详细描述
欧拉恒等式是数学中一个重要的恒等式，它 表示三角函数和指数函数之间的关系。这个 恒等式在数学分析、复变函数、微分方程等 领域有着广泛的应用。通过欧拉恒等式，我 们可以将三角函数转化为指数函数，从而简
工程经济公式

工程经济公式

一、时间价值的计算（一）利息与利率。

1、基本概念利息（I）作为衡量资金价值的绝对尺度；利率（i）作为衡量价值的相对尺度。

2、利息的计算（1）单利，即“利不生利”。

n期末单利本利和F=P+I=P+P×i×n=P×（1+i×n）例1：某公司以单利方式借款100万元，利率为10%，期间不还本付息，在第5年末一次性偿还本息，则第5年末该公司应偿还本息多少？（2）复利，即“利生利、利滚利”。

第t期末利息I=第（t—1）期末本利和×i。

（二）资金的等值计算。

1、一次支付的情形（2）终值计算，即已知现值（P）求终值（F）。

F＝P（1＋i）n例：某公司借款1000万元，按复利计息，年利率i=10%，问5年后一次性换本付息需支付多少？(2)现值计算，即已知终值（F）求现值（P）。

P＝F（1＋i）－n例：某公司希望5年后拥有2000万资金，年利率10%，按复利计息，试问现在需一次存款多少？2、等额支付情形（1）终值计算（已知F 求A ）。

（讲课时演算一遍）公式为：()ii AF n11-+= 例：若在10年内，每年年末存入银行2000万元，年利率8%，按复利计息，则第10年末本利和为多少？【注】 ：①终值计算遵循的原则是：年初对年初，年末对年末。

上例如改成：若在10年，每年年初存入银行2000万元，年利率8%，按复利计息，则第10年末本利和为多少？②()ii A F n11-+= 的逆运算，已知F 求A 。

()11-+=ni iFA例：若想在第5年年末获得2000万元，年利率为10%，按复利计息，则每年需等额存款多少？（2）现值计算（已知A 求P ）。

（讲课时推导一遍）由将()ii A F n11-+=代入 P ＝F （1＋i ）－n 可得：()()()nnni i i A i F P +-+=+=-1111 例：若想在5年内每年末收回本利和1000万元，年利率为10%，按复利计息，试问一开始需投资多少？【注】：现值计算的逆运算，即已知P 求A 。

资金时间价值讲义 练习

资金时间价值讲义 练习

我们常喜欢用“利上滚利”来形容某项投资获利快速，报酬惊人。

进行理财规划时，了解复利的运作和计算是相当重要的。

比方说拿1000元买年报酬率20%的股票，若一切顺利，大约3年半的时间，1000元就变成2000元。

造就这样惊人的效果，除了选对投资工具之外，复利的时间乘数效果，更是这其中的奥妙所在。

通常人们可以利用各种复利表来获得结果，但是复利表虽然好用，却不可能始终带在身边，遇到需要计算复利报酬时该怎么办呢？这里有个简单的“72法则”可以解决问题。

所谓“72法则”，就是以1%的复利来计息，经过72年以后，你的本金就会变成原来的一倍。

这个法则好用的地方在于它能以一推十。

例如，利用5%年报酬率的投资工具，经过14.4年（72/5）本金就能翻一番；利用12%的投资工具，则要6年左右（72/12）。

因此，如果你手中有1万元，运用了报酬率15%的投资工具，经过约4.8年，1万元就会变成2万元；同样的道理，若是你希望在10年内将50万元变成100万元，应该找到至少报酬率7.2%以上的投资工具才能达成目标。

记住简单的72法则，虽然没有查表那么精确，但很管用啊1．例：某人现要出国，出国期限为10年。

在出国期间，其每年年末需支付1万元的房屋物业管理等费用，已知银行利率为2％，求现在需要向银行存入多少？答案：P＝A×（P/A,I,N）＝1×（P/A,2％,10）＝8.9826互为倒数关系期数、系数变动关系复利终值系数与复利现值系数偿债基金系数与年金终值系数资本回收系数与年金现值系数预付年金终值系数与普通年金终值系数：期数+1，系数-1预付年金现值系数与普通年金现值系数：期数-1，系数+1偿债基金：假设某企业有一笔四年后到期的借款，金额为1000万元，如果存款的年复利率是10％，求建立的偿债基金是多少。

答案：F＝A×（F/A,I,N）1000＝A×（F/A,10％,4）A＝1000÷（F/A,10％,4）＝10÷4.6410＝2.1547（1）即付年金：终值计算、现值计算、系数间的关系2例：每期期初存入1万元，年利率为10％，终值为多少？方法一、在0时点之前虚设一期，假设其起点为0′，于是可以将这一系列收付款项看成是0′～2之间的普通年金，将年金折现到第二年年末，然后再将第二年末的终值折到第三年年末。

等值计算的例子

等值计算的例子

i (1 + i )n - 1
(1 + i )n 1 i (1 + i )n
i (1 + i )n (1 + i )n 1
等额分 付系列
A P A F
A =F(A/F, i, n)
P= A(P/A, i, n)
A =P(A/P, i, n)
1 (1 + i )n 1 n i i
解： 单利计息法公式：F前3年＝P(1＋ i n) 复利计息法公式：F后4年＝P(1＋ i)n
F=10000(1+10%×3)(1+10%)4
=19033元
最后可收回本利和是19033元。
名义利率和实际利率
计息周期——一年内计算利息周期的次数，用m来表
示。计息周期有年、半年、季、月、周、日等。 实际利率——将计息周期实际发生的利率称为计息周 期实际利率，用 i来表示。 名义利率——计息周期的实际利率乘以每年计息周期 数就得到名义利率，用 r来表示。 实际利率 i =(1 + r／m)m -1
影响资金等值的因素有三个：
资金额大小；资金发生的时间；利率 将一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等 值金额，这一过程叫资金等值计算。
资金等值换算的几个重要概念：
贴现与贴现率——把将来某一时点处资金金额折算成
现在时点的等值金额称为贴现或折现。贴现时所 用的利率称贴现率或折现率，用 i 表示。
练习：有一家小饭店要转让，合同期为8年，预 计年净收益20万元，若投资者要求的年收益率为 20％，问投资者最多愿意出多少价格接手小饭店？
A=20 i=20%
0
P=?
：P＝A×(P／A，i ，n) =20 × (P／A，20% ，8) = 20 ×3.837 =76．74（万元）