高中数学必修2教案-2.2.4平面与平面平行的性质

2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.4 平面与平面平行的性质整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.三维目标1.通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理.2.熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.重点难点教学重点:平面与平面平行的判定与性质.教学难点:平面与平面平行的判定.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与地面平行时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件.思路2.(事例导入)三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的判定问题.推进新课新知探究提出问题①回忆空间两平面的位置关系.②欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？③找出恰当空间模型加以说明.④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.⑤应用面面平行的判定定理应注意什么？⑥利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？⑦回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里？⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题①引导学生回忆两平面的位置关系.问题②面面平行可转化为线面平行.问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题④引导学生进行语言转换.问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件.问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.问题⑦注意平行与异面的区别.问题⑧引导学生进行语言转换.问题⑨作辅助面.问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质.讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1②由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行.图2例如：AA′⊂平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行.图3例如：AA′⊂平面AA′D′D,EF⊂平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行.图4例如：A′C′⊂平面A′B′C′D′,B′D′⊂平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直线A′C′与直线B′D′相交.可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.④两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为：若a⊂α，b⊂α，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.图形语言为：如图5,图5⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：(Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面;(Ⅱ)这两条直线必须相交.尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.⑥如图6,借助长方体模型，我们看到，B′D′所在的平面A′C′与平面AC平行，所以B′D′与平面AC没有公共点.也就是说，B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.图6⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.因为，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B′D′作平面BDD′B′与平面AC相交于直线BD，那么直线B′D′与直线BD平行.如图7.图7⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂b a γβγαβα//a ∥b.两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图8.图8⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.” 应用示例思路1例1 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，如图9,求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1.图9活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.证明：∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴D 1C 1∥A 1B 1,D 1C 1=A 1B 1. 又∵AB ∥A 1B 1,AB=A 1B 1, ∴D 1C 1∥AB,D 1C 1=AB.∴四边形ABC 1D 1为平行四边形. ∴AD 1∥BC 1.又AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. 同理，BD ∥平面AB 1D 1.又BD∩BC 1=B ，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1. 变式训练如图10,在正方体ABCD —EFGH 中，M 、N 、P 、Q 、R 分别是EH 、EF 、BC 、CD 、AD 的中点，求证：平面MNA ∥平面PQG.图10证明：∵M 、N 、P 、Q 、R 分别是EH 、EF 、BC 、CD 、AD 的中点，∴MN ∥HF,PQ ∥BD.∵BD ∥HF, ∴MN ∥PQ.∵PR ∥GH,PR=GH;MH ∥AR,MH=AR,∴四边形RPGH 为平行四边形，四边形ARHM 为平行四边形.∴AM ∥RH,RH ∥PG.∴AM ∥PG .∵MN ∥PQ,MN ⊄平面PQG ,PQ ⊂平面PQG ,∴MN ∥平面PQG. 同理可证，AM ∥平面PQG .又直线AM 与直线MN 相交， ∴平面MNA ∥平面PQG .点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.例2 证明两个平面平行的性质定理.解：如图11,已知平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a ∥b.图11证明：∵平面α∥平面β,∴平面α和平面β没有公共点. 又a ⊂α，b ⊂β,∴直线a 、b 没有公共点. 又∵α∩γ=a ，β∩γ=b, ∴a ⊂γ，b ⊂γ.∴a ∥b. 变式训练如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.证明：如图12，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a 、c 、e 和b 、d 、f,图12γαγγγββα//////////////////////⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⇒⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒b f b a e a f d e c d b c a .点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.知能训练已知：a 、b 是异面直线，a ⊂平面α,b ⊂平面β，a ∥β，b ∥α. 求证：α∥β.证明：如图13,在b 上任取点P ，显然P ∉a.于是a 和点P 确定平面γ，且γ与β有公共点P.图13设γ∩β=a′，∵a ∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.这样β内相交直线a′和b 都平行于α，∴α∥β. 拓展提升1.如图14，两条异面直线AB 、CD 与三个平行平面α、β、γ分别相交于A 、E 、B 及C 、F 、D ，又AD 、BC 与平面的交点为H 、G.图14求证：EHFG 为平行四边形.证明：⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βαβα//EG ABC AC ABC 平面平面⇒AC ∥EG.同理,AC ∥HF.⎭⎬⎫HF AC EG AC ////⇒EG ∥HF.同理,EH ∥FG .故EHFG 是平行四边形.课堂小结知识总结：利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行.方法总结：见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节是“转化思想”的典型素材. 作业课本习题2.2 A 组7、8.设计感想面面关系是直线与平面关系中比较复杂的关系，它是学生学习的一个难点，也是高考考查的重点，因此它在立体几何中占有比较重要的地位.本节选用了大量的经典习题作为素材，对于学生学好面面平行的判定与性质一定会有很大的帮助，本节的引入也别具一格，相信这是一节大家喜欢的精彩课例.。