高中数学人教版必修2 2.2.3 直线与平面平行的性质 教案(系列五)

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珍贵文档 2.2.3直线与平面平行的性质

2.2.4平面与平面平行的性质

●三维目标

1．知识与技能

(1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用，掌握两个平面平行的性质定理及其应用．

(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”平行的转化，进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力．

2．过程与方法

学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用．

3．情感、态度与价值观

(1)在推理和证明过程中，提高探究能力，逐渐养成严谨的科学态度．

(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，培养审美情趣．

(3)进一步渗透等价转化的思想．

●重点难点

重点：两个性质定理及其应用．

难点：两个性质定理的探索过程及应用．

重难点突破：以教材中的“思考”为切入点，引出直线和平面平行的性质定理及平面和平面平行的性质定理．接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出两个性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理．最后可通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点．

●教学建议

本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成相互统一的，故教学时，可采用引导发现法，采用以思导学的方式，从回顾两个判定定理出发，把探索两个性质定理的问题转移到线与线及线与面位置关系的问题上，然后教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，

注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明，最后通过典例训练使学生体会线与面之间的互化关系，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力． 专业文档

珍贵文档 ●教学流程

创设问题情境，引出问题：如何判断线面平行与面面平行有哪些性质？⇒引导学生借助实物体，通过观察、想象、思考，得出线面平行与面面平行的性质定理.⇒通过引导学生回答所提问题理解线面平行与面面平行的性质定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与平面的平行的性质定理.

⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面与平面平行的性质定理.⇒

课标解读

1.理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)

2.能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点)

3.能用直线与平面、平面与平面的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)

直线与平面平行的性质

【问题导思】

1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？

【提示】 不是．

2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？

【提示】 若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．

直线与平面平行的性质定理

(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

(2)符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)图形语言：如图所示．

图2－2－13

(4)作用：证明两直线平行．

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珍贵文档 平面与平面平行的性质

【问题导思】

观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.

1．平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

【提示】 是的．

2．若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？

【提示】 不一定．

3．过BC的平面交面A1B1C1D1于EF，EF与BC什么关系？

【提示】 平行．

平面与平面平行的性质定理

(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

(3)图形语言：如图所示．

(4)作用：证明两直线平行.

图2－2－14

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线面平行的性质定理的应用

求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

【思路探究】 先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．

【自主解答】 已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.

求证：a∥l.

证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，

∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，

∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.

又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.

又∵a∥b，∴a∥l.

线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．

若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．

【解】 已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.

证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，

∴a∥β，

又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，

∴a∥b∥l. 专业文档

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面面平行的性质定理的应用

如图2－2－15，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

图2－2－15

【思路探究】 先证平面AA′B′B∥平面DD′C′C，再证AB∥CD，同理证明BC∥AD，进而证明ABCD为平行四边形．

【自主解答】 在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，

∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，

∴A′B′∥平面C′D′DC.

同理A′A∥平面C′D′DC.

又A′A∩A′B′＝A′，

∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.

∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，

平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，

∴AB∥CD.

同理AD∥BC.

∴四边形ABCD是平行四边形．

1．利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．

2．面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面专业文档

珍贵文档 及面面平行的相互转化．

如图2－2－16，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.

(1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．

图2－2－16

【解】 (1)∵PB∩PD＝P，

∴直线PB和PD确定一个平面γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.

又α∥β，∴AC∥BD.

(2)由(1)得AC∥BD，

∴PAAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154(cm)，

∴PD＝PC＋CD＝274(cm).

平行关系的综合应用

图2－2－17

如图2－2－17，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.

(2)求PQ的长． 专业文档

珍贵文档 (3)求证：EF∥平面BB1D1D.

【思路探究】 (1)证明PQ∥CD1―→PQ∥平面DCC1D1或取AD的中点G―→证平面PGQ∥平面DCC1D1―→PQ∥平面DCC1D1

(2)利用PQ＝12D1C求解．

(3)取B1D1的中点O1―→证明BEFO1为平行四边形―→EF∥平面BB1D1D或取B1C1的中点E1―→证明平面EE1F∥平面BB1D1D―→EF∥平面BB1D1D

【自主解答】 (1)证明：法一 如图，连接AC、CD1.

∵P、Q分别是AD1、AC的中点，

∴PQ∥CD1.

又PQ⊄平面DCC1D1，

CD1⊂平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1.

法二 取AD的中点G，连接PG、GQ，

则有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，

∴平面PGQ∥平面DCC1D1.

又PQ⊂平面PGQ，

∴PQ∥平面DCC1D1.

(2)由(1)易知PQ＝12D1C＝22a.

(3)证明：法一 取B1D1的中点O1，

连接FO1，BO1，则有FO1綊12B1C1.

又BE綊12B1C1，∴BE綊FO1.

∴四边形BEFO1为平行四边形，∴EF∥BO1，

又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，

∴EF∥平面BB1D1D. 专业文档

珍贵文档 法二 取B1C1的中点E1，连接EE1、FE1，

则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，

∴平面EE1F∥平面BB1D1D.

又EF⊂平面EE1F，

∴EF∥平面BB1D1D.

1．证明线面平行的三种常用方法：

(1)定义法．

(2)线面平行的判定．

(3)面面平行的性质．

2．线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，其示意图为：

直线与直线平行直线与平面平行的判定直线与平面平行的性质直线与平面平行平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质平面与平平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质面平行

如图2－2－18所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．

图2－2－18

【证明】 取D1D的中点G，连接EG，GC，

∵E是A1A的中点，G是D1D的中点，∴EG綊AD.

由正方体性质知AD綊BC，

∴EG綊BC，

∴四边形EGCB是平行四边形，∴EB∥GC.①

又∵G，F分别是D1D，C1C的中点，∴D1G綊FC，