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第二十四章圆单元要点分析教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和圆相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离⇔d>r 1+r 2；外切⇔d=r 1+r 2；相交⇔│r 2-r 1│<d<r 1+r 2；内切⇔d=│r 1-r 2│；内含⇔d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2360n R π及其运用这两个公式进行计算．13．圆锥的侧面积和全面积的计算．教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用．11．n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2360n R π的公式的应用． 12．圆锥侧面展开图的理解．教学关键1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．单元课时划分本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：24．1 圆 3课时24．2 与圆有关的位置关系 4课时24．3 正多边形和圆 1课时24．4 弧长和扇形面积2课时教学活动、习题课、小结3课时。
人教版九年级数学上册教案：第24章章末复习章末复习一、复习导入1.导入课题：本节课对全章的知识作一回顾，梳理其知识脉络，熟悉其知识构架，进一步澄清那些易混点，易错点，同时对本章中的一些常用辅助线和常见分类作一整理.2.复习目标：（1）梳理全章知识点，能画出它的知识结构框图.（2）总结解题方法，提升解题能力.3.复习重、难点：重点：圆的有关性质和直线与圆的位置关系.难点：综合应用知识解决问题的能力.二、分层复习1.复习指导：（1）复习内容：教材第78页到第122页的内容.(2)复习时间：10分钟.（3）复习方法：翻阅教材，分类归纳、整理.（4）复习参考提纲：②常规辅助线.a.与弦有关：垂直于弦的直径.b.已知直径：垂直于直径的弦.c.证切线：有明确公共点，连接圆心与公共点；无明确公共点，过圆心作切线的垂线段.d.已知切线：垂直于切线且过切点的半径.③圆中的分类讨论（各举一例和同桌交流）.a.点和圆的位置关系：点到圆的最近距离和最远距离问题.b.圆的轴对称性：求圆的两平行弦的距离;求有公共端点的两弦夹角.c.弦所对的圆周角.d.与三角形的外心有关的计算.2.自主复习：学生结合复习指导进行复习.3.互助复习：（1）师助生：①明了学情：关注学生提纲中三个方面的整理情况.②差异指导：根据学情进行分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正.4.强化：小组展示复习成果，教师总结归纳.1.复习指导：（1）复习内容：典例剖析，考点跟踪.(2)复习时间：10分钟.（3）复习方法：相互交流研讨.（4）复习参考提纲：①如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为（A ）A.8cmB. 91cmC.6cmD.2cm②如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8cm，AB＝10cm，求OA的长.连接OC. ∵AB与⊙O相切于点C，∴∠ACO=90°.又∵OA=OB,∴AB=5cm.AC=CB=12在Rt△AOC中，22162541（cm）.OA OC AC=+=+=③如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度考虑）∵A 在圆外，B 在圆上，∴∠PAQ<∠PBQ.∴让乙射门好.④如图，⊙O 的直径AB ＝12cm ，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C.设AD ＝x ，BC ＝y ，求y 与x 的函数关系式.∵AD 、BC 与⊙O 相切.∴AD⊥AB,BC ⊥AB.∴AD ∥BC.过D 作DF ⊥BC 于点F,则四边形ABFD 为矩形.∴DF=AB=12cm.FC=BC-AD=y-x .又∵DC 与⊙O 相切，∴AD=DE,BC=CE. ∴CD=DE+CE=AD+BC=y+x .在Rt △DFC 中，DFFC DC +=222.即()()y x y x +-=+22212. 得x y=36.2.自主复习：学生结合复习提纲进行复习.3.互助复习:（1）师助生：①明了学情：观察学生如何分析找思路.②差异指导：根据学情适时点拨、引导.（2）生助生：相互交流沟通.4.强化：单元典型例题与对应练习题.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有何新的感知？掌握了哪些解题技能和方法？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组协作状况，学习的方法及效果等.(2)纸笔评价：课题评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：本节课通过学习归纳本章内容，以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，此外，又通过两个有关切线的例题，加强对重点知识的训练，使学生能在全面掌握知识点前提下，又能抓住重点.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B等于（D）A.15°B.40°C.75°D.35°2.(10分)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠C＝（B）A.70°B.55°C.110°D.140°3.(10分)以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（C）A. 不能构成三角形B. 这个三角形是等腰三角形C. 这个三角形是直角三角形D. 这个三角形是钝角三角形4.(10分)一个圆锥的侧面积是底面积的32倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（C）A.120°B.180°C.240°D.300°5.（10分）如图所示，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于点A、B,点C是AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E,若△PDE的周长为12，则PA的长为6 .6.(10分) 如图，AC CB，D，E分别是半径OA，OB的中点.求证:CD＝CE.证明：连接OC.∵AC CB，∴∠COD=∠COE.∵D、E分别是半径OA、OB的中点，∴OD=OE=12OA=12OB.又OC=OC，∴△COD≌△COE.∴CD=CE.7.(10分)在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度.解：过O作OD⊥AB,交AB于点C，交⊙O于点D，则AC＝12AB＝300mm.连接OA.设CD＝x mm,则OC＝（325-x）mm.在Rt△AOC中，OC2+AC2=OA2，即(325-x)2+3002=3252.解得x=200.即CD=200mm.答：油的最大深度为125mm.二、综合应用（20分）8.(10分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O 上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB.证明：连接OC.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.又∵DC是⊙O的切线,∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴AD∥CO.∴∠DAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAB.9.(10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为D.求证：DE为⊙O 的切线.证明：连接OE,AE.∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=90°.又∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=90°-∠DAE=∠DEA.∴∠DEA=∠C,又∵OE=OA,∴∠EAO=∠AEO∴∠DEO=∠DEA+∠AEO=∠C+∠EAO=90°.又DE过点E，∴DE为⊙O的切线.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB＝4 cm，求阴影部分的面积.解：连接FO1⊥AB于点M.∴AB与⊙O相切，∴O1F⊥CD.又AB∥CD,∴O1F⊥CD.∴四边形FO1OM是矩形.∴O1F=OM.又∵OM⊥AB,∴MB=1AB=2cm.2连接OB,在Rt△BMO中，OM2+MB2=OB2,即O1F2+MB2=OB2.。
第24章《圆的复习》教学设计一、内容和内容解析1．内容对本章内容进行梳理总结建立知识体系，综合应用本章知识解决问题．2．内容解析圆是继三角形、四边形等基本图形后的又一个重要内容，在生活中有着广泛的应用．圆是平面几何中最基本的图形之一，在几何中有着重要的地位．在本章内容的学习过程中，需要学生通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等方法发现图形的性质．同时，还要注意体会通过“推理”获得数学结论的方法，培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力．本课的教学重点：复习与圆有关的知识，建立本章知识结构．二、目标和目标解析1．目标(1)复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识体系，体会利用圆的知识综合解决问题的思路和方法．(2)进一步发展推理能力，能够具备有条理地思考和表达的能力．2．目标解析达成目标(1)的标志是：通过复习本章的主要内容，理解圆的有关知识，体会用圆的知识解决问题的思路和方法等．并能结合知识体系的构建过程，研究几何问题的一般思路和方法．达成目标(2)的标志是：学生能够在较复杂的问题情境中应用本章所学的图形的性质和判定方法进行推理，解决问题．三、教学问题诊断分析学生在前面具体内容的学习中已经接触过应用本章所学习的知识进行推理，这就要学生在复习课中既要对所学的知识能够重新回忆出来，又要在原有的基础上进行知识的建构，建立起不同知识之间的内在联系，从而建立起本章的知识结构，形成知识体系．本节课教学难点：本章知识点间的内在联系，知识体系的建构．四、教学过程设计1．知识梳理问题1 同学们我们整理一下本章所学的主要知识，请大家说一说能发现它们之间的联系吗？师生活动：教师组织学生说出本章的知识结构图，然后展示部分学生画的知识结构图，并请这些学生简要说明自己所画知识结构图．最后，教师出示课本上的知识结构图．设计意图：教师展示本章的知识结构图，主要是让他们自己能够主动建构本章的知识结构，形成知识体系，这有利于提高学生对本章知识的整体把握．然后，教师出示本章知识结构，主要是帮助学生形成正确的、全面的知识结构．通过这样方式，突破本节课的难点．二、主要定理：问题2 在圆的这一章我们学了一些定理，下面我们一起回顾一下：1、在同圆或等圆中，相等的圆心角，等弧，等弦之间的关系是什么？2、垂径定理的主要内容是什么？推论？注意什么？2、圆周角定理内容是什么？3、点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系呢？4、圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？．师生活动：教师出示问题，引导学生回顾本章所学的内容，梳理本章知识．学生先独立思考这些问题，然后，教师与其他学生一起交流，设计意图：通过4个问题，让学生对本章的知识点做一个梳理，为下一步建立本章的知识结构体系做好铺垫．三、基本运用：典型例题(2017年牡丹江中考）问题1、如图，在⊙O中，弧AC=弧CB，CD ⊥OA于D,CE ⊥OB于E，求证：AD=BE证明：∵AC=BC,∴∠AOC= ∠BOC.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠CDO= ∠CEO=90°∵CO=CO∴△COD≌△COE∴DO=EO∵AO=BO∴AD=BE师生活动：学生独立完成，教师请学生上台讲解自己的解题思路和做法，其他同学补充．教师强调解题格式，展示学生中书写规范的．最后教师引导学生总结本题所用数学知识和思想方法．设计意图：通过本题，学生要会详细的证明过程.例：如图所示，OB为⊙O的半径，弦CD⊥OB于点E,且与AB相较于点F,点C是弧AB的中点，求证：CF=BF证明：∵CD ⊥OB,OB为⊙O的半径∴BD=BC∵C为弧AB的中点，∴弧AC=弧∴AC=BD∴ ∠ABC= ∠BCD;∴CF=BF变式：.已知，如图，AB是⊙O的直径，C为AE 的中点，CD⊥AB于D，交AE于F。
24．1.1 圆时间：年月日课型: 新授教学目标1．知识与技能1.了解圆的有关概念，并灵活运用圆的概念解决一些实际问题．2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.2.过程与方法通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画圆的过程，多角度体会和认识圆.3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望教学重点圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念的理解教学难点圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念的区别与联系.教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程的有关性质，用圆的知识解决一些实际问题(一)圆的概念1．有关圆的图片欣赏2.用圆规画圆根据画圆的过程给出圆的描述性定义，及圆心、半径的概念，强调“在一个平面内”.根据圆的定义可知“圆”指的是“圆周”而非“圆面”.3.圆的表示方法和读法4.从集合角度对圆刻画○3.车轮为什么做成圆形的？ （二）弦、弧、半圆、等圆、等弧的概念1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；2.经过圆心的弦叫做直径，如图中线段AB ；3.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧， “以A 、C 为端点的弧记作AC ，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧（如图所示 AC 叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示 CAB 或BCA ）叫做劣弧4.能够重合的圆叫等圆.半径相等的圆是等圆，等圆的半径一定相等5.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧6.直径与弦的区别与联系是什么？ 、课堂训练完成课本80页练习补充：1.以点O 为圆心画圆可以画 个圆，以4㎝为半径画圆可以画 个圆2.下列说法错误的有（ ）○1经过P 点的圆有无数个；○2以P 为圆心的圆有无数个；○3半径为3㎝且过P 点的圆有无数个；○4以P 为圆心，半径为3㎝的圆有无数个； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.一个点到圆的最小距离是4，最大距离是9，则圆的半径是（ ）A.5或13B.6.5C.2.5D. 2.5或6.54.判断：○1直径不是弦，弦不是直径；○2直径是圆中最长的弦； ○3圆上任意两点间的部分叫弧；一条弦 5.如右图，在⊙O 中，点A,O,D 以及点B,O,C 分别在同一条直线上，则图中弦的条数是（ ）A.2条B.3条C.4条D.5条B A CO ⌒1.圆的定义：○1.描述性；○2.集合定义2.弦、弧、半圆、等圆、等弧的概念3.直径与弦的区别与联系作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做.24.1.2 垂直于弦的直径时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.2.过程与方法1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望教学重点垂径定理及其运用教学难点发现并证明垂径定理教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计一、导语直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径二、探究新知沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.（二）、垂径定理1.如何说明图24.1-7是轴对称图形？2.你能用不同方法说明图中的线段相等，弧相等吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 即：直径CD 垂直于弦AB 则CD 平分弦AB ，并且平分弦AB 所对的两条弧．推理验证：可以连结OA 、•OB ，证其与AE 、BE 构成的两个全等三角形，进一步得到不同的等量关系分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？ 即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧 垂径定理推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？垂径定理的进一步推广思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来归纳：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的两个条件，就可以得到另外三个结论（三）、垂径定理、推论的应用完成课本赵州桥问题分析：1.根据桥的实物图画出的几何图形应是怎样的？2.结合所画图形思考：圆的半径r 、弦心距d 、弦长a,弓形高h 有怎样的数量关系？3.在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径，作为辅助线，这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来，得到圆的半径r 、弦心距d 、弦长a 的一半之间的关系式2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a d r完成课本88页练习1. 垂径定理和推论及它们的应用2. 垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题3.圆中常作辅助线：半径、过圆心的弦的垂线段作业设计作业：课本94页 1，95页 9，12补充：已知：在半径为5㎝的⊙O 中，两条平行弦AB,CD 分别长8㎝，6㎝.求两条平行弦间的距离24.1.3弧、弦、圆心角时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念2. 掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用.2.过程与方法通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望教学重点在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．教学难点探索定理和推导及其应用．教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计 一、导语这节课我们继续研究圆的性质，请同学们完成下题．1.已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形．2.圆是中心对称图形吗？将圆旋转任意角度后会出现什么情况？我们学过的二、探究新知一）、圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．（二）、圆心角、弧、弦之间的关系定理1.按下列要求作图并回答问题如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ‵OB ‵的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？综合1、2，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？4.定理拓展：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等吗？ ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等吗？综上得到在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等．综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．（三）、定理应用1.课本例12.如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？得到： 在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2.在等圆中相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•则它们所对应的其余各组量都分别相等，及它们的应用．作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做.24.1.4圆周角定理时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论．2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．3.体会分类思想.2.过程与方法设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理．教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题二、探究新知（一）、圆周角定义问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角分析定义：○1圆周角需要满足两个条件；○2圆周角与圆心角的区别（二）、圆周角定理及其推论1.结合圆周角的概念通过度量思考问题：○1一条弧所对的圆周角有多少个？②同弧所对的圆周角的度数有何关系？2.分情况进行几何证明①当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图⑴所示，那么∠ABC=1∠AOC吗？2②当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图⑵，那么∠ABC=1∠AOC吗？2如图⑶，∠ABC=1∠AOC吗？可得到：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．2根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等.得到:同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．于是，在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其它各组量都分别相等.半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，运用上述定理有什么新的结论？推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（三）圆内接多边形与多边形的内接圆1.圆内接多边形与多边形的内接圆的定义如何区别两个定义？（前者是特殊的多边形后者是特殊的圆）这条性质的题设和结论分别是什么？怎样证明？四）定理应用三、课堂训练完成课本86页练习四、小结归纳1．圆周角的概念及定理和推论2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质3. 应用本节定理解决相关问题．作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做.24.2.1点与圆的位置关系时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.理解点与圆的位置关系并掌握其运用2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及反证法的证明思想.2.过程与方法学生通过自主探索和交流合作的过程，经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．从三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些相关问题．3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望，发展实践能力与创新精神.教学重点点和圆的位置关系，过不在同一直线上的三点作圆的方法，运用反证法进行推理论证.教学难点过不在同一条直线上的三点作圆，反证法的证明思路．教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计有好多知识，这节课开始我们来学习与圆有关的位置关系在圆外取一点呢？圆内呢？．得到：圆上的点到圆心的距离都等于半径；圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径.即点与圆的位置关系有三种：点在圆内；点在圆上；点在圆外设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d点P在圆外⇒d>r；点P在圆上⇒d=r；点P在圆内⇒d<r反之，d>r⇒点P在圆外；d=r⇒点P在圆上；d<r⇒点P在圆内．综合可得：设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r（二）确定圆的条件1.作图经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？①作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？②作圆,使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?③作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？分析：一个圆的圆心只确定它的位置，半径只确定它的大小，如果它的圆心和半径都确定了，那么这个圆的大小和位置就唯一确定了由③可知：①不在同一直线上的三个点确定一个圆．②经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．③外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心2.反证法l 2l 1P思考：经过同一条直线上的三个点能不能作出一个圆？证明：如图，假设过同一直线l 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线1l 上，又在线段BC 的垂直平分线2l 上，•即点P 为1l 与2l 的交点，而1l ⊥l ，2l ⊥l ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆． 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．（三）应用1.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．2.如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何问题代数方法解(数形结合法)． 三、课堂训练四、小结归纳2.不在同一直线上的三个点确定一个圆．3.三角形外接圆和三角形外心的概念．4.反证法的证明原理．作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做.24.2.2直线与圆的位置关系时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.知道直线和圆相交、相切、相离的定义.2.根据定义来判断直线和圆的位置关系，会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线.3.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置.2.过程与方法让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，得到“圆心到直线的距离和半径之间的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，揭示直线和圆的位置关系，实现位置关系和数量关系的结合.．3.情感态度与价值观让学生感受到实际生活中存在的直线和圆的三种位置关系，通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，进一步强化对分类和归纳的思想的认识，把实际的问题抽象成数学模型.教学重点直线和圆的三种位置关系教学难点直线和圆的三种位置关系的应用教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计一、导语我们都知道，点和圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．那么直线和圆的位置关系又怎样呢？二、探究新知（一）直线和圆的位置关系定义1.大家也许看过日出，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，和地平线的关系体现了直线和圆的几种位置关系．2.在纸片上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上推移硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？请做完实验后把你的发现互相交流一下，把结论告诉老师？在实验中我们看到，直线与圆的公共点最少时没有，最多时有两个，在移动过程中发现直线与圆的公共点有时只有一个，即直线与圆的位置关系有三种：①如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离．②如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．③如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交．此时这条直线叫做圆的割线点与圆的位置关系有三种，我们可以用点与半径的大小关系来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系也有三种（相离、相切、相交），那么能否用某种数量关系来描述直线与圆的位置关系呢？（二）直线和圆的位置关系定理1. 如何确定圆心到直线的距离？2.如图：⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d，如何用d和r之间的大小关系来判断直线与圆的位置关系?分析：当圆心O到直线l的距离d大于半径r时，直线上的所有点到圆心的距离都大于半径r，说明直线l在圆的外部，与圆没有公共点，因此当d＞r时，直线与圆的位置关系是相离.反之，如果已知直线l与⊙O相离，则d＞r．即：d＞r直线与圆相离，同理可知，d＝r直线与圆相切．d＜r直线与圆相交．（三）应用例1 在△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，(1)若以C为圆心，4 cm 长为半径画⊙C，则⊙C与AB的位置关系怎样？(2)若要使AB与⊙C相切，则⊙C的半径应当是多少？(3)若要以AC为直径画⊙O，则⊙O与AB、BC的位置关系分别怎样？分析：判断⊙C与AB的位置关系应求出点C到AB的距离CD的长，然后再与半径作比较，即可求出⊙C与AB的位置关系．而要求CD 的长，可利用 △ABC 的面积，但应首先 判断 △ABC 为直角三角形？例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与线段AB 有两个交点，若AC ＝3，BC ＝4，求半径r 的取值范围例3 如图，△ABO 中，OC ⊥AB 于C ，∠AOC ＝∠B ，AC ＝16cm ，BC ＝4cm ，⊙O 的半径为8cm ，AB 是⊙O 的切线吗？试说明．三、课堂训练完成课本94页练习 四、小结归纳 直线和圆的位置关系相交 相切 相离 公共点个数2 1 0 圆心到直线的距离与半径的关系d ＜r d ＝r d ＞r 公共点的名称交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无板 书 设 计作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做..课题直线与圆有三种位置关系例1 例2 例3 归纳24.2.3圆与圆的位置关系时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念.2.理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用．2.过程与方法通过复习直线和圆的位置关系和几何操作，迁移到圆与圆之间的五种位置关系并运用它们解决一些具体的问题．3.情感态度与价值观让学生感受到实际生活中存在的圆与圆之间的五种位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
（1）两圆外离⇔d>R+r ；（2）两圆外切⇔d>R+r（3）两圆相交⇔R-r<d<R+r（4）两圆内切⇔d=R-r ；（5）两圆内含⇔d<R-r 。
四、典型例题例1．如图，⊙1O 与⊙2O 内切，它们的半径分别为3和1，过1O 作⊙2O 的切线，切点为A,则1O A 的长为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．5思路分析：连结12O O ，2O A ，得到直角三角形12O O A ，再利用勾股定理求1O A 的长。
解：∵1O A 与⊙2O 相切， ∴2O A ⊥1O A ，且2O A =1。
∵⊙1O 与⊙2O 内切， ∴12O O =3-1=2在12Rt O O A ∆中，22221122213O A O O O A =-=-= ∴13O A =故选C 。
小结：连结过切点的半径2O A 和两圆的圆心距12O O ，构造直角三角形达到解题目的，在圆中，有关半径、弦长、弦心距之间的计算，常用的处理方法是利用半径、半弦长、弦心距组成直角三角形，再结合勾股定理求解。
例2．如图，已知等腰ABC ∆，以腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于P,PE ⊥AC,垂足为E 。
求证：PE 是⊙O 的切线。
思路分析：要正PE 是⊙O 的切线，已知PE 与⊙O 有交点P ，所以只要连结OP 垂直于PE 即可。
证明：连结OP 。
∵AB=AC,∴∠B=∠C∵OB=OP,∴∠B=∠OPB∵∠OPB=∠C,∴OP ∥AC∵PE ⊥AC,∴OP ⊥PE∴PE 是⊙O 的切线。
小结：在证明直线和圆相切时，若已知直线经过圆上一点，常连结这点和圆心的半径，再证所作半径与这条直线垂直。
例3．已知点P 到⊙O 的最短距离是3cm ，最长距离是9 cm ，求⊙O 半径。
思路分析：由题意知P 点在不在圆上，那么应有两种情况：P 点在圆内或P 点在圆外。
解：（1）当点P 在圆内时，如图35-3，3PA cm =，9PB cm =，则12AB PB PA cm =+= ∴⊙O 的半径是6cm 。
第24单元圆复习教案一、教学目标(一)知识与技能：复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识体系，体会利用圆的知识综合解决问题的思路和方法.(二)过程与方法：经历系统地归纳总结本章的知识内容，学会整理归纳知识的方法，使其条理化、系统化.(三)情感态度与价值观：通过师生共同活动，使学生在交流和反思的过程中建立本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感.二、教学重点、难点重点：垂径定理、圆周角定理、切线的性质和判定.难点：综合运用所学知识解决问题.三、教学过程知识梳理一、与圆有关的概念1.圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2.弦：连接圆上任意两点的线段.3.直径：经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.4.劣弧：小于半圆周的圆弧.5.优弧：大于半圆周的圆弧.6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.7.圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交.8.圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交.9.外接圆、内接正多边形：将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.10.三角形的外接圆外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.11.三角形的内切圆内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.12.正多边形的相关概念正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.二、与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r.2.直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r.三、圆的基本性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.2.有关圆心角、弧、弦的性质在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四、圆的有关定理及其推论1.垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.2.圆周角定理(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.3.与切线相关的定理(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.五、圆的有关计算1.弧长公式180R n l π= 2.扇形面积公式S 扇形=3602R n π或S 扇形=lR 21 3.弓形面积公式：弓形面积＝扇形面积±三角形的面积4.圆锥的侧面积(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形.(2)如果圆锥母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr .(3)圆锥的侧面积为πrl .(4)圆锥的全面积为πr 2+πrl .5.圆内接正多边形的计算正n 边形的中心角：n360 设正多边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r .2222R r a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛，周长：l =na ，面积：S=21lr 考点讲练考点一 圆周角定理例1 在图1中，BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，若∠D ＝36°，则∠BAD 的度数是( )A.72°B.54°C.45°D.36°图1 图2 图3针对训练1.如图2，四边形ABCD 为⊙O 的内接正方形，点P 为劣弧BC 上的任意一点(不与B ，C 重合)，则∠BPC 的度数是_____.2.如图3，线段AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于____.考点二 垂径定理例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为____mm.例3 △ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，⊙O 的半径为2，O 到BC 的距离为1.(1)求BC 的长；(2)求∠BAC 的度数.解：(1)①当△ABC 为锐角三角形时，如图1所示.过A 作AD ⊥BC ，由题意得到AD 过圆心O ，连接OB.∵ OD=1，OB=2∴ 在R t △OBD 中，由勾股定理得：322=-=OD OB BD∴ BC=2BD=32②当△ABC 为钝角三角形时，如图2所示.过A 作AD ⊥BC ，由题意得到AD 延长线过圆心O ，连接OB.∵ OD=1，OB=2∴ 在R t △OBD 中，由勾股定理得：322=-=OD OB BD∴ BC=2BD=32故综合①②，BC 的长为32.(2)图1中，∵ OD=1，OB=2，∴ ∠OBD=30°∴ ∠BOD=60°，∴ ∠BAD=30°，∴ ∠BAC=2∠BAD=60°图2中，∵ OD=1，OB=2，∴ ∠OBD=30°∴ ∠BOD=60°，∴ ∠BAD=60°∴∠BAC=2∠BAD=120°故∠BAC的度数为60°或120°.针对训练3.如图1，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AC，BC，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的长度等于_____.4.如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝2，C，D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96°和36°，动点P是AB上的任意一点，则PC＋PD的最小值是_____.图1 图2考点三与圆有关的位置关系例4 如图，O为正方形对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径.(1)证明：过点O作ON⊥CD于N，连接OM.∵BC与⊙O相切于点M，∴OM⊥BC∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上∴AC是∠BCD的角平分线∴ON=OM∴CD与⊙O相切(2)解：∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=2设⊙O的半径为r，则OC=2-r又易知△OMC是等腰直角三角形∴由勾股定理得r2+r2=(2-r)2解得r1=2-2，r2=-2-2(舍去)∴⊙O的半径为2-2方法总结1.证切线时添加辅助线的解题方法有两种：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.2.设未知数，通常利用勾股定理建立方程.针对训练5.⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是( )A.点A在⊙O内部B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外部D.点A不在⊙O上6.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么_______秒钟后⊙P与直线CD相切.7.如图，⊙O的弦AD＝4，BD＝8，AD⊥BD，C是BD延长线上一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线.证明：连接AB∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°∴AB为⊙O的直径在R t△ACD和R t△ABD中，由勾股定理得：AC2=CD2+AD2=22+42=20AB2=BD2+AD2=82+42=80∵BC2=(CD+BD)2=(2+8)2=100∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°∴ AC 是⊙O 的切线考点四 圆中的计算问题例5 如图所示，⊙O 的内接正方形ABCD 内有一条折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，已知AE ＝6，EF ＝8，FC ＝10，求图中阴影部分的面积.解：延长AE 与⊙O 相交于点G ，连接CG ，AC.∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠B=90°∴ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠G=90°∵ AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，∴ ∠FEG=∠F=∠G=90°∴ 四边形EFCG 是矩形，∴ EG=FC=10，CG=EF=8∴ AG=AE+EG=6+10=16由勾股定理得：588162222=+=+=CG AG AC∴ ⊙O 的半径为54∴ S 阴影=S ⊙O -S 正方形ABCD=π•(54)2- 21•(58)2 =80π-160针对训练 8.(1)一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为______.(2)若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_______.9.如图，已知C ，D 是以AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径OA ＝6，∠COD ＝120°，则图中阴影部分的面积等于______.能力提升10.如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3.点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ，过点F 作FG ⊥BE 于点G.(1)若E 是CD 的中点时，求证：FG 是⊙O 的切线.(2)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由.(1)证明：连接OF、EF∵AE是⊙O的直径，∴∠AFE=90°∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，AB=CD∴四边形ADEF是矩形，∴AF=DE∴AB-AF=CD-DE，即CE=BF∵E是CD的中点，∴F是AB的中点∴OF是△ABE的中位线∴OF∥BE∵FG⊥BE∴FG⊥OF∴FG是⊙O的切线(2)解：若BE能与⊙O相切∵AE是⊙O的直径∴AE⊥BE，即∠AEB=90°设DE=x，则EC=5-x由勾股定理得：AE2+BE2=AB2即(9+x2)+[(5-x)2+9]=25整理得x2-5x+9=0∵b2-4ac=25-36=-11<0∴该方程无实数根∴点E不存在，BE不能与⊙O相切.。
第24章圆一、复习目标1、认识圆的相关看法，探究并理解垂径定理，探究并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理，探究并理解圆周角和圆心角的关系定理．2、探究并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的地点关系：认识切线的看法，?探究切线与过切点的直径之间的关系，能判断一条直线能否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．3、进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的相关计算．4、娴熟掌握弧长和扇形面积公式及其余们的应用；?理解圆锥的侧面睁开图并娴熟掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．二、课时安排2三、复习重难点1.理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的地点关系：认识切线的看法，?探究切线与过切点的直径之间的关系，能判断一条直线能否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．2.掌握弧长和扇形面积公式及其余们的应用；?理解圆锥的侧面睁开图并娴熟掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．四、教课过程〔一〕知识梳理1、圆的相关看法：2、圆的对称性：1〕圆是轴对称图形，其对称轴是随意一条过圆心的直线。
2〕圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
3、垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的弧。
推论：1〕均分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，而且均分弦所对的弧。
2〕弦的垂直垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧。
3〕均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧。
4〕圆的两条平行弦所夹的弧相等。
4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
5、圆周角：1〕定义：极点在圆上，而且两边都和圆订交的角叫圆周角。
（2〕定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3〕推论：①圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
③直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。
第二十四章圆24．1圆的有关性质24．1.1圆经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念．重点经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念．难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义．活动1创设情境，引出课题1．多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体．2．提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？活动2动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆．教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大小分别由什么决定？教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定．1．从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．2．小组讨论下面的两个问题：问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？3．小组代表发言，教师点评总结，形成新概念．(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形上的每个点，都满足这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上．) 活动3学以致用，巩固概念1．教材第81页练习第1题．2．教材第80页例1.多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O的距离相等．活动4自学教材，辨析概念1．自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：(1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆．(2)圆上任意两点间的线段叫做弧．(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍．(4)长度相等的两条弧是等弧．(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．)(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．2．指出图中所有的弦和弧．活动5达标检测，反馈新知教材第81页练习第2，3题．活动6课堂小结，作业布置课堂小结1．圆、弦、弧、等圆、等弧的概念．要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区别和联系．等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据．2．证明几点在同一圆上的方法．3．集合思想．作业布置1．以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆．2．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上．答案：1.略；2.证明OA＝OB＝OC＝OD即可．24．1.2垂直于弦的直径理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．重点垂径定理及其运用．难点探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．一、复习引入①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ； ③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB ；④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A ，C 为端点的弧记作“AC ︵”，读作“圆弧AC”或“弧AC ”．大于半圆的弧(如图所示ABC ︵)叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示AC ︵或BC ︵)叫做劣弧．⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 二、探索新知(学生活动)请同学按要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD⊥AB，垂足为M.(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． (老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.(2)AM ＝BM ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB ︵及ADB ︵. 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB ，且CD⊥AB 垂足为M. 求证：AM ＝BM ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.分析：要证AM ＝BM ，只要证AM ，BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA ，OB 或AC ，BC 即可．证明：如图，连接OA ，OB ，则OA ＝OB ， 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中， ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ， ∴AM ＝BM ，∴点A 和点B 关于CD 对称，∵⊙O 关于直径CD 对称，∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC ︵与BC ︵重合，AD ︵与BD ︵重合． ∴AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.进一步，我们还可以得到结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (本题的证明作为课后练习)例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．分析：要求当洪水到来时，水面宽MN ＝32 m 是否需要采取紧急措施，只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R.解：不需要采取紧急措施，设OA ＝R ，在Rt △AOC 中，AC ＝30，CD ＝18， R 2＝302＋(R －18)2， R 2＝900＋R 2－36R ＋324， 解得R ＝34(m )，连接OM ，设DE ＝x ，在Rt △MOE 中，ME ＝16， 342＝162＋(34－x)2， 162＋342－68x ＋x 2＝342，x 2－68x ＋256＝0， 解得x 1＝4，x 2＝64(不合题意，舍去)， ∴DE ＝4，∴不需采取紧急措施．三、课堂小结(学生归纳，老师点评) 垂径定理及其推论以及它们的应用． 四、作业布置1．垂径定理推论的证明．2．教材第89，90页 习题第8，9，10题．24．1.3 弧、弦、圆心角1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算．重点圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用． 难点从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系．活动1动手操作，得出性质及概念1．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′.2．将⊙O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？3．在⊙O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教师补充完善圆心角的概念．如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．活动2继续操作，探索定理及推论1．在⊙O′中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A′O′B′，连接AB，A′B′，将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与O′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流．2．学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来．5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．活动3学以致用，巩固定理1．教材第84页例3.多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等．鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想．活动4达标检测，反馈新知教材第85页练习第1，2题．活动5课堂小结，作业布置课堂小结1．圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，以及其应用．3．数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想． 作业布置1．如果两个圆心角相等，那么( ) A ．这两个圆心角所对的弦相等 B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC∥DE，若弦BE ＝3，求弦CE 的长．3．如图，在⊙O 中，C ，D 是直径AB 上两点，且AC ＝BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．(1)求证：AM ︵＝BN ︵；(2)若C ，D 分别为OA ，OB 中点，则AM ︵＝MN ︵＝BN ︵成立吗？答案：1.D ；2.3；3.(1)连接OM ，ON ，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出AM ︵＝BN ︵；(2)成立．24.1.4圆周角(2课时)第1课时圆周角的概念和圆周角定理1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．重点圆周角的概念和圆周角定理．难点用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．活动1复习类比，引入概念1．用几何画板显示圆心角．2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．3．总结圆周角概念．(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图．学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．活动2观察猜想，寻找规律1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．活动3动手画图，证明定理1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评．5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．活动4达标检测，反馈新知1．教材第88页练习第1题．2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.3．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.答案：1.略；2.120°；3.120°.活动5课堂小结，作业布置课堂小结1．圆周角概念及定理．2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．作业布置教材第88页练习第4题，教材第89页习题第5题．第2课时圆周角定理推论和圆内接多边形1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明． 2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆． 3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．重点圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用． 难点圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．活动1 温习旧知1．圆周角定理的内容是什么？2．如图，若BC ︵的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A ＝________.3．如图，四边形ABCD 中，∠B 与∠1互补，AD 的延长线与DC 所夹的∠2＝60°，则∠1＝________，∠B ＝________.4．判断正误：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；( )(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．( ) 答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略 活动2 探索圆周角定理的“推论” 1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A ，C 为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC ，∠ADC ，∠AEC 的大小关系如何？为什么？让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？2．教师引导学生观察下图，BC 是⊙O 的直径．请问：BC 所对的圆周角∠BAC 是锐角、直角还是钝角？让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC 是直角．教师追问理由．3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？4．师生共同解决教材第87页例4.活动3探索圆内接四边形的性质1．教师给学生介绍以下基本概念：圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．2．要求学生画一画，想一想：在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B，∠C，∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形对角互补．4．课件展示练习：(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝________；若∠B＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠D＝________，∠B＝________；(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)都有．活动4巩固练习1．教材第88页练习第5题．2．圆的内接梯形一定是________梯形．3．若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1答案：1.略；2.等腰；3.B.活动5课堂小结与作业布置课堂小结本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算．作业布置教材第89～91页习题第5，6，13，14，17题．24.2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论．接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题．重点点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点讲授反证法的证明思路．一、复习引入(学生活动)请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．(老师点评)(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．(2)圆规：一个定点，一个定长画圆．(3)都等于半径．(4)经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，则有：点P在圆外⇒d>r；点P在圆上⇒d＝r；点P在圆内⇒d<r；反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接着研究确定圆的条件：(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使该圆经过已知点A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？(老师在黑板上演示)(1)无数多个圆，如图(1)所示．(2)连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示．(3)作法：①连接AB，BC；②分别作线段AB，BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图(3)所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过A，B，C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．即不在同一直线上的三个点确定一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1，又在线段BC的垂直平分线l2，即点P为l1与l2交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．作法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段； (2)作两线段的中垂线，相交于一点O. 则O 就为所求的圆心．图略． 三、巩固练习教材第95页 练习1，2，3. 四、课堂小结(学生总结，老师点评) 本节课应掌握：1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念． 4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用． 五、作业布置教材第101，102页 习题1，7，8.24．2.2 直线和圆的位置关系(3课时) 第1课时 直线和圆的三种位置关系(1)了解直线和圆的位置关系的有关概念．(2)理解设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d<r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d>r.重点理解直线和圆的三种位置关系． 难点由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．一、复习引入(老师口问，学生口答，老师并在黑板上板书)同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d.则有：点P在圆外⇔d>r，如图(a)所示；点P在圆上⇔d＝r，如图(b)所示；点P在圆内⇔d<r，如图(c)所示．二、探索新知前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线l呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？(学生活动)固定一个圆，把三角尺的边缘移动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？(老师口问，学生口答)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．(老师板书)如图所示：如图(a)，直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图(b)，直线l和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图(c)，直线l和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．我们知道，点到直线l的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到l的距离的三种情况．(学生分组活动)：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评：直线l和⊙O相交⇔d<r，如图(a)所示；直线l和⊙O相切⇔d＝r，如图(b)所示；直线l和⊙O相离⇔d>r，如图(c)所示．例1 如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？解：(1)如图，过C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt △ABC 中， BC ＝82－42＝4 3. ∴CD ＝43×48＝23，因此，当半径为2 3 cm 时，AB 与⊙C 相切．(2)由(1)可知，圆心C 到直线AB 的距离d ＝2 3 cm ，所以 当r ＝2时，d>r ，⊙C 与直线AB 相离； 当r ＝4时，d<r ，⊙C 与直线AB 相交． 三、巩固练习教材第96页 练习 四、课堂小结(学生归纳，总结发言，老师点评) 本节课应掌握：1．直线和圆相交(割线)、直线和圆相切(切线、切点)、直线和圆相离等概念． 2．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d 则有： 直线l 和⊙O 相交⇔d<r ； 直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ； 直线l 和⊙O 相离⇔d>r. 五、作业布置教材第101页 习题第2题．。
第24单元圆复习教案【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点12n A A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识例1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理例2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．例3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．N MO C BAyxOABDC（第3题）类型三、与圆有关的位置关系例4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O 与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.类型四、圆中有关的计算例5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．类型五、圆与其他知识的综合运用例6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是AB圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.11/ 11。
