高考数学一轮复习第2章第9讲函数模型及其应用讲义理含解析

考点二 已知函数模型解决实际问题
【例 1】 (2022·湖北期末)2020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出 现并很快地传染开来(已有证据表明 2019 年 10 月、11 月国外已经存在新冠肺炎病毒)，对 人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗 击、防控新冠肺炎，疫情早在 3 月底已经得到了非常好的控制(累计病亡人数 3869 人)．疫 情期间医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为 100 万元，每生 产 x 万件，需另投入流动成本为 W(x)万元，在年产量不足 19 万件时，W(x)＝23x2＋x万元； 在年产量大于或等于 19 万件时，W(x)＝26x＋40x0－320万元．每件产品售价为 25 元．通 过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．几种常见的函数模型
Hale Waihona Puke 函数模型函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a、b、c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
【解析】 由题意可得 2x＋y＝20，∴y＝20－2x，由 y>0，得 x<10，又在三角形中， 两边之和大于第三边，得 2x>y，∴20＝2x＋y<4x，∴x>5，故 f(x)＝20－2x(5<x<10)．
易错点睛：(1)对三种函数增长速度的理解不深致误． (2)注意实际问题中函数的定义域．
课堂考点突破
3．某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年增加 p%， 则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为( B )

解析
[由题悟法]
解决分段函数模型问题的 3 个注意点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给 出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间 的关系，应构建分段函数模型求解； (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、 不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最 小者)．
解析
[由题悟法] 二次函数模型问题的 3 个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决， 但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用 待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
[即时应用]
A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核 电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距 离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与 供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度， B 城供电量为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？
[即时应用]
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则 给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服

第九节函数模型及其应用1．几类函数模型2．三种函数模型的性质❶对勾函数y ＝x ＋axa ＞在－∞，－a ]和[a ，＋上单调递增，在[－a ，和，a ]上单调递减.当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ；当 x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型． (3)幂函数模型y ＝x n(n ＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；当n 值较大(n ＞1)时，增长较快.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )(3)不存在x0，使ax0＜x n0＜log a x0.( )(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a ＞0)的增长速度．( )(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、选填题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )AC．指数函数模型D．对数函数模型解析：选A 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过________小时．解析：设需经过t小时，由题意知24t＝4 096，即16t＝4 096，解得t＝3.答案：34．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：18考点一 应用所给函数模型解决实际问题[师生共研过关][典例精析]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．[解析] 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2 ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．[答案] 3.75[解题技法]求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．[过关训练]1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B x －A ，x ＞A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12x －，x ＞5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元解析：选D 设毛利润为L (p )元， 则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0,30)时，L′(p)＞0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)＜0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.考点二构建函数模型解决实际问题[全析考法过关][分类例析]类型(一) 构建一、二次函数模型[例1] 某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05x22＝－0.05x22＋10x2－40＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．又0≤x1≤200，x1∈N，∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．(y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m.易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．[个性点拨]解决一、二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题． 类型(二) 构建指数函数、对数函数模型[例2] (1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年(2)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200，则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200，∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C.(2)由已知得192＝e b，① 48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b＝e 33k ·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.[答案] (1)C (2)C [个性点拨]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．类型(三) 构建y ＝ax ＋b x的函数模型[例3] 某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[解] 设该场x (x ∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元)．从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300x＝3x ，即x＝10时，y 有最小值．故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[个性点拨]应用函数f (x )＝ax ＋b x模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．(3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．类型(四) 构建分段函数模型[例4] 某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z.当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －x ≤6，x ∈，－3x 2＋68x －＜x ≤20，x ∈(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． [个性点拨]解决分段函数模型问题的3个注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.[共性归纳]建立函数模型解应用题的4步骤[过关训练]1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析：选A 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2， 化简得k 2－k 1＝15.当t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10(元)．2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：给出以下3b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型． 解：(1)将(3,1)，(5,2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－12，∴y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y ＝ab x(a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，∴y ＝24·()2x＝2-32x .当x ＝9时，y ＝2-932＝8，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝log a ＋b ，2＝log a＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴y ＝log 2(x －1)．当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．(2)令log2(x－1)≥6，则x≥65.∵年利润665＜10%，∴该企业要考虑转型．[课时跟踪检测]1．某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )A．118元B．105元C．106元D．108元解析：选D 设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.3．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D 假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P 不符合这个条件，故C 选项错误；经判断点Q 符合函数图象，故D 选项正确，选D.4．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x 25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)] 解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x 25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.5．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋x y×50%，故年销售收入为z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30y ＋4y ×150%＋x y ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 6．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.247．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4.化简得x －6×0.9x ＝0.令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．答案：48.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ， 所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x ＜6)， 由y ＝18x ＋3x 2≤10.5，解得3≤x ≤4. 因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]．答案：[3,4]9.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD， 所以x －48－y ＝42， 所以y ＝－12x ＋10， 定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， 所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数) .记y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为多少时，y 取得最小值？最小值是多少万元？解：(1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C (0)＝k 100＝24，得k ＝2 400，所以y ＝15× 2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x (x ≥0)． (2)因为y ＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)，即x ＝55时取等号， 所以当x 为55时，y 取得最小值，最小值为57.5万元．11．[选做题]某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 815m －m ，1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝px x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x ＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 815m －m ，1≤m ≤30，480， m ＞30，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.。

第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。