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结构力学第11章_结构的稳定计算

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第十一章结构的稳定计算§11-1 两类稳定问题概述
§11-2 有限自由度体系的稳定
——静力法和能量法§11-3 无限自由度体系的稳定
——静力法
§11-4 无限自由度体系的稳定
——能量法
§11-1 概述
强度验算
刚度验算
稳定验算结构设计必不可少。

——某些时候是必须的薄壁结构
高强材料结构（如钢结构）
主要受压的结构等
而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算
的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。

强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的
结构的计算简图来分析的；
§11-1 两类稳定问题概述
一、结构平衡状态的分类——根据结构受任意微小外界干扰后，能否恢复到原始平衡状态，将平衡状态分为如下三类：•稳定平衡状态——若外界干扰消除后结构能完全恢复到原
始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。

•不稳定平衡状态——若外界干扰消除后结构不能恢复到原
始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的。

•随遇平衡状态——经抽象简化，可能出现结构受干扰后在任何位置保持平衡的现象，此现象称为“随遇平衡状态”。

§11-1 两类稳定问题概述
二、失稳的概念及分类
失稳：结构在荷载作用下其原始平衡状态可能由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定
性、简称“失稳”。

结构失稳的分类：根据结构失稳前后变形性质是否改变，可将失稳问题分为：
•分支点失稳——失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变。

在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在
偏离后新的位置平衡，即平衡具有二重性。

•极值点失稳——失稳前后变形性质没有发生变化，力－位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅
速增长，导致结构压溃。

P ＜P cr
1.分支点失稳
柱单纯受压、
无弯曲变形——失稳前后平衡状态的变形性质发生变化P ＞P cr
P =P cr 柱可在偏离原始平衡位置附近的任一位置上保持平衡。

柱的压弯变
形继续增大
直至破坏。

稳定平衡
不稳定平衡
小挠度理论
P Δ
P cr 大挠度理论
分支点分支点失稳的P-Δ曲线
以分支点为界，原始平衡状态可分为稳
定平衡状态和不稳定平衡状态。

分支点上存在平衡形式的两重性
三、稳定自由度
P ∞=EI ϕ
1个自由度∞=EI 2个自由度无限自由度
稳定自由度——体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的
独立几何参数的数目。

P
P EI y 1
y 2
——静力法和能量法
稳定计算的中心问题是确定临界荷载。

完善体系分支点失稳分析有静力法和能量法。

静力法是从分支点上具有平衡的二重性出发，对新的平衡状态建立静力平衡条件，从而求得临界荷载。

能量法是对新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条件，依据临界点系统总势能为驻值，进而求得临界荷载。

P
P
稳定方程
kl kl
P cr 697.0=∴失稳形态
——静力法和能量法
静力法求临界荷载分析步骤：
1、设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡
状态）；
2、由分支点上平衡的两重性出发，对新的平衡状态建立静力
平衡方程，由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方程”；
3、解特征方程，从而求得临界荷载。

——静力法和能量法
与材料力学压杆稳定问题一样，结构分支点失稳问题临界状态的能量特征为：体系总势能E P 取驻值。

定义：体系应变能U 加外力势能U P 称为“体系总势能”，记作E P 。

弹性结构的稳定能量准则
定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称
为“外力势能”，记作U P 。

——静力法和能量法
能量法求临界荷载分析步骤：
1. 设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平
衡状态）；
2. 计算体系本身的应变能U、荷载势能U P，从而获得体系的
=U+U P；
总势能E
P
3. 由总势能的驻值条件建立以能量形式表示的平衡方程；
4. 由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方程”；
5. 解特征方程，从而求得临界荷载。

P cr
的分析方法
1k δ
P cr
3
3l
EI k
P 0
x P cr
l EI
y。

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结构力学稳定计算

结构力学稳定计算


2 k Fp 3l
1k 3
1 k
3 0 2 k Fp 3l
解得：
Fpcr1
1 3
kl
,
Fpcr2 kl
位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态
问题：荷载大于临界荷载时位移y1,y2也只有0解
16.3 有限自由度体系的稳定—能量法
总势能驻值原理(stationary principle of total potential energy) 体系静稳定平衡条件：
单自由度体系静力法求临界荷载（P216）
x
Δ Fp
B
θ
A y
MAB= kθ
l
解：设转角，位移 l
平衡方程： M A 0 Fpl M AB 0
M AB k 代入得： Fpl k 0
有非0解的条件
Fp
k l
临界荷载：
Fpcr
k l
问题：荷载大于临界荷载时角位移也只有0解
单自由度体系静力法求临界荷载例
对于完善体系的分支点失稳，无论采用小挠度理 论，还是大挠度理论，所得临界荷载值是相同的。
16.3 有限自由度体系的稳定—静力法
讨论分支点失稳问题，按小挠度理论求临界荷载
1、静力法
计算思路 假定体系处于微变形的临界状态，列出相应的平衡方程， 进而求解临界荷载。
计算步骤 （1）确定基本未知位移，取隔离体、建立静力平衡方程。 （2）建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方 程)。 （3）求解稳定方程的临界荷载。 （4）求解稳定方程的特征向量, 绘失稳形式图(buckling mode)。
了性质上的突变，带有突然性。
临界状态
P
P>Pc r
分支点
《结构力学》教学大纲

《结构力学》教学大纲

《结构力学》教学大纲大纲说明课程代码：5125015总学时：80学时(讲课76学时，上机4学时)总学分：5学分课程类别：必修适用专业：土木工程专业（本科）预修要求：高等数学、理论力学、材料力学课程的性质、目的、任务：结构力学是土木工程专业的一门主要的技术基础课。

它的任务是在学习理论力学和材料力学的基础上，了解和掌握杆件结构的计算原理和方法，熟悉各类结构的受力特点和性能，培养结构分析和计算的能力，为学习有关专业课程和解决生产实践中的结构力学问题打好基础。

通过学习，使学生掌握平面杆件结构的组成分析、静定结构和超静定结构的内力和位移的计算分析方法。

课程教学的基本要求：本课程的学习中，要密切联系实际，培养学生正确的分析问题的方法，注意正确理解掌握基本概念和基本方法。

考虑到课程性质，建议采用多媒体教学手段。

计算机应用是本课程的重要组成部分，在教学中应予以充分重视。

大纲的使用说明：本大纲适用于土木工程本科专业80课时的结构力学课程使用，可根据具体的课时情况作适当的增删。

大纲正文第一章绪论学时：2学时（讲课2学时）本章讲授要点：结构力学的研究对象和任务；平面杆件结构和荷载的分类；结构计算简图概念及确定计算简图的原则。

重点：结构力学的研究对象和任务；结构计算简图概念及确定计算简图的原则。

难点：确定计算简图第一节结构力学的研究对象和任务第二节结构的计算简图第三节平面杆件结构和荷载的分类第四节结构力学的学习方法习题：3题第二章平面体系的几何组成分析学时：4学时（讲课3学时，习题1学时）本章讲授要点：几何不变体系的基本组成规律；对体系几何组成的分析和判定；静定结构和超静定结构的几何组成特征。

重点：运用无多余约束的几何不变体系的三个简单组成规则分析一般体系的几何组成。

难点：三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况。

第一节概述第二节几何不变体系组成规则及体系分析举例习题：6题第三章静定结构的内力计算学时：10学时（讲课8学时，习题2学时）本章讲授要点：梁、刚架的内力计算及内力图的绘制；多跨静定梁、静定平面刚架、三铰拱、受弯杆件与桁架杆件组合结构的内力计算；结点法和截面法计算静定平面架内力；三铰拱的受力特点，内力图特征，合理拱轴概念及静定结构的基本特征。

第十一章 结构的稳定计算

第十一章 结构的稳定计算


§11-3无限自由度体系的稳定分析
1、静力法
FP
y

B
FP FR
B
k
B k y
x
l
A
A
x
FR y A cosx B sin x x FP
特征方程
FP EI
2
式中的待定常数A、B和未知反力FR可由边界条件确定。
l 3 EI tanl l
kl 3
上式为一个超越方程，事先给定k值，讨论三种情形下的解：
FP B FQ
FP B FQ
FPcr B
B
B
B
A
A
A
A
稳定平衡状态 随遇平衡状态或中性平衡状态 不稳定平衡状态 临界状态 失稳
根据失稳前后结构变形性质（即平衡构形和平衡路径的 性质）是否改变，结构的失稳现象可分为如下两类： （1）分支点失稳
FP
FP
Ⅰ(不稳定)
l/2
Ⅱ(大挠度理论) C Ⅱ(小挠度理论) C
y
§11-2有限自由度体系的稳定分析
1、静力法
FP B
FP B R1
λ
B
y
FP R1
k
EI=∞

l
B
B
A
A
A
静力法求解多自由度体系临界荷载 的步骤如下：
（1）设定新的平衡形式； （2）建立新平衡位置的平衡方程； （3）由临界状态平衡的二重性建立特征方程； （4）求荷载特征值，最小者即为临界荷载Fpcr。
2
FP U P FP 2
l

n
l 0
y dx
2
2
FP 2
ai i ( x) dx 0 i 1
结构力学课件 结构的稳定计算

结构力学课件 结构的稳定计算

如薄壁结构与厚壁结构相比高强度材料的结构与低强度材料的结构砖石结构混凝土结构相比主要受压的结构与主要受拉的结构相比容易丧失稳定稳定验算对这些结构显得更为重结构力学结构力学第十一章第十一章结构的稳定计算结构的稳定计算44一结构的三种平衡状态结构的三种平衡状态从稳定性角度考察
第十二章 结构的稳定计算
§12-1 两类稳定问题概述 §12-2 两类稳定问题计算简例 §12-3 有限自由度体系的稳定 有限自由度体系的稳定——静力法和能量法 静力法和能量法 无限自由度体系的稳定——静力法 §12-4 无限自由度体系的稳定 静力法 无限自由度体系的稳定——能量法 §12-5 无限自由度体系的稳定 能量法
即：在分支点B上 原始平衡路径I和新平 衡路径II同时并存，出 现平衡形式的二重性， 原始平衡路径I由稳定 平衡转为不稳定平衡， 出现稳定性的转变。
(b) FP I(不稳定) C D B D′ A I(稳定) O II(大挠度理论) II(小挠度理论)
FP1
∆
9
制作：周书敬 郭延华
《结构力学》第十一章 结构力学》
FP I(不稳定) C D B D′ A I(稳定) O II(大挠度理论) II(小挠度理论)
FP1
∆
制作：周书敬 郭延华
8
《结构力学》第十一章 结构力学》
结构的稳定计算
(4) 分支点 分支点：两条平衡路径I和II的交点称为分支点。 分支点的意义：分支点B将原始平衡路径I分为两段： OB段上的点属于稳定平衡。BC段上的点属于不稳定平 衡。
制作：周书敬 郭延华 7
FP1
《结构力学》第十一章 结构力学》
结构的稳定计算
与此相应，在图b中有两条不同的FP-∆ 曲线：原始 当FP2>FPcr=π2EI/l2时，原始的平衡形式不再是唯一 平衡路径I(BC)和第二条平衡路径II(根据大挠度理论， 的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可 处于弯曲形式的平衡状态。亦即是说：这时存在两种形 由曲线BD表示；如果采用小挠度理论进行近似计算， 则曲线BD退化为水平直线BD′)。 式的平衡状态。 所 以 ， 当 即：若压杆受到 可以看出：这时 (b) FP2>FPcr=π2EI/l2 时 ， 原始平衡状态(C点)是 干扰而弯曲，则当干 在原始的平衡路径I上， 扰消失后，压杆并不 不稳定的。 能回到C点的原始平 点C对应的平衡状态 衡状态，而是继续弯 是不稳定的。 曲，直到D点对应的 弯曲形式的平衡状态 为止。