高三数学寒假作业 专题09 数列中求和问题(学)
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（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题09 数列中求和问题（学）
学一学------基础知识结论
1.公式法和分组求和法
(1)公式法
直接利用等差数列，等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前
n项和公式：
1
1
()1
(1)
22
n
n
n a a
S na n n d
+
==+-
②等比数列的前n项和公式：
1
11
,1
(1)
,1 11
n
n n
na q
S a a q a q
q
q q
=
⎧
⎪
=--
⎨
=≠⎪--
⎩
例1.（2012韶关）已知等差数列{}
n
a
满足123101
a a a a
++++=
L
，则有（）
A．11010
a a
+>
B．11010
a a
+<
C．11010
a a
+=
D．5151
a=【答案】C
【解析】
试题解析：因为
1101
101
()101
2
a a
S
+⨯
==
.所以1101
a a
+=
.故选C.
分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或渴求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
例2.（辽宁省抚顺一中2013届高三数学上学期第三次月考）
已知方程()()
22
220
x mx x nx
-+-+=
的四个根组成一个首项为
1
2的等比数列，则|m-n|=。
倒序相加法与并向求合法倒序相加法
如果一个数列{}
n
a
的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的
前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推倒的. 并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并向求和.
形如
(1)()
n
n
a f n
=-
类型，可采用两项合并求解.
例如，222222222222
10099989721(10099)(9897)(21) n
S=-+-+⋅⋅⋅+-=-+-+⋅⋅⋅+-
(10099)(9897)(21)5050
=++++⋅⋅⋅++=
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
例3.（2013湛江师院附中）已知数列{}
n
a
是等差数列，且35
5,9
a a
==
，n
S
是数列
{}
n
a
的前n项和．
(Ⅰ)求数列{}
n
a
的通项公式n
a
及前n项和n
S
；
(Ⅱ) 若数列{}
n
b
满足
1
1
n
n n
b
S S
+
=
⋅
，且n
T
是数列
{}
n
b
的前n项和，求n
b
与n
T
．
(Ⅱ)1
111
(1)1
n
n n
b
n n n n
S S
+
===-
++
⋅
Q
123
111111111
()()()()1.
122334111
n n
T b b b b
n
n n n n
=+++⋅⋅⋅+
=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=
+++
∴
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前==项和即可用此法来求，如等比数列的前==项和公式就是用此法推导的.
例4.（2009广州天河）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为122008
,,,,,
n
x x x x
L L
；
122008
,,,,,
n
y y y y
L L
（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式n x ；
（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；
的一个通项公式yn ，并证明你的结论;
（Ⅲ）求1122(,2008)n n n z x y x y x y x N n =+++∈*≤L ．
【答案】（Ⅰ）12(1)21(*,2008)
n x n n n N n =+-=-∈≤；（Ⅱ）n y =3n －1（*,2008n N n ∈≤）；（Ⅲ）12(1)33(*,2008)
n n z n n n N n +=-⋅+-∈≤
三个公式
（1）
111 (1)1 n n n n
=-
++
（2）
1111
() (21)(21)22121 n n n n
=-
-+-+
（3
1
1
n n n n
=+
++
学一学------方法规律技巧
一种思路
一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为特殊数列有关或具备莫种方法使用特点的形式，从而选择合适的方法求和.
两点提醒
在利用裂项相消法求和时应注意：
再把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项只差；
在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项.。
