对数判别法

正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。

判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。

一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。

二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。

三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。

四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。

五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。

这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。

同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。

摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。

级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。

级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。

基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。

本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。

本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。

最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。

关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。

函数项级数一致收敛的比较判别法与对数判别法摘 要：函数项级数在级数理论中占有重要地位，研究函数项级数的一致收敛性至关重要。

本文将通过已有结论发现判断函数项级数一致收敛性的一些新的判别法。

(1)比较判别法：对已有结论做进一步的推广，得到比较判别法。

再结合确界知识得出比较判别法的极限形式。

另外，将函数项级数特殊化得出M 判别法。

在此基础上，将对比的级数换成具有相同的敛散性的级数，将M 判别法作进一步的推广。

(2)对数判别法：当比较判别法中的两级数均为正项级数时，不等式()()n n u x v x ≤的两边同时取对数可得到对数判别法。

而且，当级数()n v x ∑取特殊的级数1pn ∑时，可将对数判别法特殊化，得到新的判别法。

关键词：函数项级数 ；一致收敛；比较判别法 ；对数判别法The Comparison criterion and logarithm criterion of theuniform convergence of Functions SeriesAbstract: Functional Series plays an important role in the series theory, it ’s very important to study the uniform convergence of Functions Series. This article will found some new criterion about the uniform convergence of Functions Series through the some results that already founded Series.(1) Comparison criterion : Made the results that already know more further promotion in order to get new criterion. Combined with knowledge obtained supremum,get the limit form of Comparison Tests. In addition, made Functional Series special to get M criterion. On this basis, comparison of the series will be replaced with series of the same convergence and divergence , let the M criterion gets further promotion. (2) Logarithm criterion: When the two series in the comparison criterion are both in positive terms, made a logarithm transform on the both sides of the inequality()()n n u x v x ≤ on the same time, then we get logarithm criterion. Moreover, when theseries()n v x ∑ be replaced by a special series logarithm criterion specialization ,and will get a new identification method.Keywords: Functions Series ；Uniform convergence ；Comparison criterion ；Logarithm criterion引言目前关于数项级数敛散性的研究很多，也已经得到了很多有价值的成果。

级数收敛的判别方法级数理论在数学分析中占有很重要的一席之地,而级数理论中,研究无穷级数的收敛性则相当的重要。

仅由收敛原理来判别级数的敛散性,在实际问题中,往往是不可行的。

本文中,主要介绍了比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,拉阿比判别法,对数判别法,双比值判别法,高斯判别法,柯西积分判别法,对于常用的判别法,本文对其有效性做了简单的比较,从而能够使读者更加深入的了解和熟悉各种判别法的使用范围。

标签：级数收敛发散判别法有效性1 级数的收敛性及其基本性质我们知道,一系列无穷多个数u1,u2,u3,…un,…,写成和式u1+u2+u3+…+un…就称为无穷级数,记为un,且若级数un的部分和数列{Sn}收敛于有限值S,即则称级数un收敛,记为,un=S,也称此值S为级数的和数。

若部分和数列{Sn}发散,则称un发散。

研究无穷级数的收敛问题,首先我们给出大家熟悉的收敛级数的一些基本性质[1]:性质1 若级数un收敛,a为任意常数,则aun亦收敛,且有aun=aun。

性质2 若两个级数un和vn都收敛,则(un±vn)也收敛,且有(un±vn)=un±vn。

性质 3 一个收敛级数un,对其任意项加括号后所成级数(u1+u2+…ui )+(ui +1+…ui )+…仍为收敛,且其和不变。

性质4 (收敛的必要条件)若级数un收敛,则un→0(n→∞)。

以上是收敛级数的一些最基本的性质,要指出的是,在实际问题中仅利用收敛原理来判断级数的收敛性,往往是相当困难的,所以在级数的理论中还必须建立一系列的判别法,利用它们就可以简便地来判别相当广泛的一类级数的收敛性,建立和总结这些判别法,就是本文的中心任务。

2 正项级数的收敛性判别一般的数项级数,它的各项可以是正数,负数或零。

现在我们讨论各项都是正数或零的级数,这种级数称为正项级数。

本文将就正项级数的收敛判别方法做一总结,若级数un=u1+u2+…+un…是一个正项级数(uk>0),它的部分和数列{sn}是一个单调增加的数列,即s1≤s2≤…≤sk≤…。

正项级数比值对数判别法作者：张运波周华军李顺龙来源：《中国科技纵横》2010年第15期摘要: 在正项级数敛散性的判别法中,达朗贝尔判别法是最简单又最常用的判别法之一,针对其中失效的情形,教材中通常采用拉贝判别法判别,在这里,通过对比值取对数,巧用麦克劳林级数展开式给出了一种不同于拉贝判别法,即比值对数判别法,该方法在判定某些正项级数敛散性时优于拉贝判别法.关键词:正项级数;敛散性;达朗贝尔判别法作者简介:张运波(1986.9-),男,四川达州人,大学本科学历,内江师范学院在读学生,研究方向:物理学;周华军、李顺龙,内江师范学院一引言对于正项级数敛散性的判定,高等数学教材中通常给出了比较判别法,比较法的极限形式,达朗贝尔判别法,柯西判别法,拉贝判别法及高斯判别法.然而,针对达朗贝尔判别法失效的情形,通常采用拉贝判别法,为此,不少学者探究出新的方法 ,但对于通项中含有因子及探讨通项中含有的正项级数敛散性时,拉贝判别法不易施行.就这类情况,本文给出了一种新的判别法,即比值对数判别法,该方法避开了求极限等繁琐过程,应用更为方便.二引理和主要结果引理 -级数的敛散性引理设为正项级数,若存在正整数 ,当时,有则(1) 若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散.定理1设为正项级数,满足则(1) 当时,级数收敛;(2) 当时,级数发散.证明:(1)当时,由 ,有因为 ,所以 ,使 ,不妨令 ,则所以 .即对充分大的 ,有由引理1知级数收敛,再由引理2就能得到级数收敛.(2)同理,由 ,有因为 ,则则 .即对充分大的 ,有由引理1知级数发散,再由引理2得级数发散.综上,定理1得证.三应用例1. 判定正项级数的敛散性.解:因为达朗贝尔判别法失效.方法一,用拉贝判别法解..由于因为 ,所以原级数收敛.方法二,采用定理1解.由于因为 ,所以级数收敛.例2.讨论级数收敛的充分条件.解:因为于此,采用拉贝判别法难以施行.采用本文定理1得:则当时,级数是收敛.所以,级数收敛的充分条件为 .从以上两例可见,定理1在判断有些正项级数敛散性时的应用中是方便可行的,且避免了拉贝判别法中求极限的繁琐过程,还弥补了拉贝判别法难以施行的正项级数敛散性的辨别.但是本文给出的方法仍存在不足,针对a=1时,定理1未给出合理的验证方法,如调和级数用此法将无法判别其敛散性.参考文献1.凌国英,关于达朗贝尔判别法.[J]湖州师范学院学报,2003.Vol.25 11-15.2.姬小龙,王锐利,正项级数的Gauss指标判别法.[J]数学的实践与认识 Vol. 38 No.11.207-209.3.高等数学.第二册/四川大学数学系高等数学教研室编[M].北京:高等教育出版社,1996.4.李成章,黄玉民.数学分析(上)[M].北京:科学出版社,1999.5.钱伟懿,正向级数敛散性的一种判别方法.[J]渤海大学学报,2008.Vol.29 No.2. 155-1576.B.Ⅱ.吉米多维奇数学分析习题集题解(4)/费定晖编-2版-济南:山东科学技术出版社,1999.9。

对数级数收敛的判断方法对数级数是形如$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^nn}$的级数，其中$a_n$ 是正数。

判断这种类型的级数是否收敛，有以下几种方法： 1. 比较法若存在正数 $c$ 和 $N$，使得对于 $ngeq N$，有$frac{a_n}{ln^n n}leqfrac{c}{n}$，则$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^n n}$ 收敛。

证明：由于 $frac{a_n}{ln^n n}leqfrac{c}{n}$，所以$frac{a_n}{ln^n n}$ 的级数收敛，即$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^n n}$ 收敛。

2. 积分法若存在正数 $N$，使得 $int_{N}^{infty}frac{1}{xln^2x}mathrm{d}x$ 收敛，则$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^n n}$ 收敛。

证明：由于 $frac{1}{xln^2 x}$ 是连续的正函数，且$frac{a_n}{ln^n n}$ 是单调递减的正数数列，所以由比较积分法可得结论。

3. Cauchy判别法若存在正数 $N$，使得$limsuplimits_{nrightarrowinfty}sqrt[n]{a_n}ln N<1$，则$sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{ln^n n}$ 收敛。

证明：由于$limsuplimits_{nrightarrowinfty}sqrt[n]{a_n}ln N<1$，所以存在正数 $s$，使得 $sqrt[n]{a_n}leqfrac{s}{ln n}$ 对于充分大的$n$ 成立。

由于 $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{nln n}$ 是发散的，所以 $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{s}{nln^2 n}$ 也是发散的。

数全等三角形对数技巧摘要：1.引言：全等三角形对数技巧的重要性2.全等三角形的判定方法及其在对数中的应用3.具体技巧：如何利用全等三角形解决对数问题4.例题解析：全等三角形对数问题的经典案例5.总结：全等三角形对数技巧的关键点和注意事项正文：在全等三角形的问题中，对数技巧起着至关重要的作用。

掌握这一技巧，可以极大地提高解题效率。

下面我们将详细介绍全等三角形对数技巧的各个方面。

首先，我们要了解全等三角形的判定方法。

常见的判定方法有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）等。

这些判定方法可以应用于全等三角形在对数问题中的解决。

全等三角形在对数问题中的应用主要体现在以下几个方面：1.利用全等三角形的判定方法，可以快速判断两个三角形是否全等，从而简化问题。

2.根据全等三角形的性质，可以得到对应边和对应角的关系，进一步解决对数问题。

3.在对数问题中，全等三角形可以作为一种桥梁，将复杂的问题转化为简单的计算。

接下来，我们来看看具体如何利用全等三角形解决对数问题。

【例题解析】题目：已知三角形ABC和DEF为全等三角形，求证：log_3(BC) =log_5(EF)。

解析：由于三角形ABC和DEF为全等三角形，根据全等三角形的判定方法，我们可以得到对应边的关系：BC = EF。

因此，log_3(BC) = log_3(EF)。

又因为log_3(EF) = log_5(EF)，所以log_3(BC) = log_5(EF)。

得证。

通过这个例子，我们可以看到全等三角形对数问题的解决起到了关键作用。

最后，我们来总结一下全等三角形对数技巧的关键点和注意事项：1.熟练掌握全等三角形的判定方法，提高对全等三角形的识别能力。

2.利用全等三角形的性质，得到对应边和对应角的关系，简化对数问题。

3.在解决对数问题时，注意寻找全等三角形的条件，以便利用全等三角形性质。

4.熟练掌握对数的基本运算和性质，提高对数问题的解决能力。