复变函数1

由此说明：若 z 为实系数代数方程的一个根，则 z 也是。结论得证。 （4）若
a = 1, 则 ∀b ≠ a, 皆有
a −b =a 1 − ab
证明：根据已知条件，有 aa
= 1，因此：
a −b a−b a −b 1 = = = = a ，证毕。 1 − ab aa − ab a(a − b) a
100
（2） (1 + i )
+ (1 − i )100 = (2i )50 + ( −2i )50 = −2(2)50 = −251
（3）
(1 − 3i )(cosθ + i sin θ ) (1 − i )(cosθ − i sin θ )
2[cos( − ) + i sin( − )](cosθ + i sin θ ) 3 3
π
π
=
2[cos(− ) + i sin(− )][cos(−θ ) + i sin( −θ )] 4 4
π
π
= 2[cos(−
π
12
) + i sin(−
π
12
)](cos 2θ + i sin 2θ )
= 2[cos(2θ −
π
12
) + i sin(2θ −
π
12
)] = 2e
(2θ −
π
12
2 2 2 2 2
a + b − a b − 1 = (1 − a )( b − 1) < 0
因而
，
a − b < 1 − ab
2
2
，即
a −b < 1 ，结论得证。 1 − ab
7．设 数。
z ≤ 1, 试写出使 z n + a 达到最大的 z 的表达式，其中 n 为正整数， a 为复
zn + a ≤ zn + a ≤ 1+ a
（3） x
= t, y =
1 ，因而表示双曲线 xy = 1 t
11．证明复平面上的圆周方程可表示为 其中 a 为复常数， c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为： x 代入 x
2
z z + az + az + c = 0 ，
+ y 2 + Ax + By + c = 0 ，
=
z+z , 2
y=
z−z 2 2 2 ，并注意到 x + y = z = z z ，由此 2i
13．函数 w = 么曲线？ 解：对于 x
1 2 2 把 z 平面上的曲线 x = 1 和 x + y = 4 分别映成 w 平面中的什 z
= 1 ，其方程可表示为 z = 1 + yi ，代入映射函数中，得
w = u + iv =
因而映成的像曲线的方程为
1 1 1 − iy = = z 1 + iy 1 + y 2 u=
（6）
1+ i =
2(cos
π
+ i sin ) 4 4
π
i ⎧4 π 8 2 e , k =0 1 π 1 π ⎪ = 4 2[cos ( + 2kπ ) + i sin ( + 2kπ )] = ⎨ π 2 4 2 4 ⎪ − 4 2e 8 i , k = 1 ⎩
4． 设 z1
=
z 1+ i , z2 = 3 − i, 试用三角形式表示 z1 z2 与 1 z2 2
解： z1
= cos
π
4
+ i sin
π
, z2 = 2[cos(− ) + i sin(− )] ，所以 4 6 6
π
π
π π π π π π z1 z2 = 2[cos( − ) + i sin( − )] = 2(cos + i sin ) ， 4 6 4 6 12 12 z1 1 π π π π 1 5π 5π = [cos( + ) + i sin( + )] = (cos + i sin ) z2 2 4 6 4 6 2 12 12
θ
+ 2i sin cos 2 2 2
θ
θ
= 2sin [cos 2
（1） (
θ
π −θ
2
+ i sin
π −θ
] = 2sin e 2 2
100
θ
π −θ
2
i
3． 求下列各式的值：
3 − i )5
（2） (1 + i )
+ (1 − i )100
(1 − 3i )(cosθ + i sin θ ) （3） (1 − i )(cosθ − i sin θ )
解：首先，由复数的三角不等式有 在上面两个不等式都取等号时
，
z n + a 达到最大，为此，需要取 z n 与 a 同向且 a a
，
z n = 1，即 z n 应为 a 的单位化向量，由此， z n =
z=n
a a
8．试用 z1 , z2 , z3 来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时， z2 向或反向，即幅角应相差
zz + A
整理，得
z+z z−z +B + c = 0， 2 2i
zz +
A − Bi A + Bi z+ z+c =0 2 2
记
A + Bi A − Bi = a ，则 = a ，由此得到 2 2
z z + az + az + c = 0 ，结论得证。
12．证明：幅角主值函数 arg z 在原点及负实轴上不连续。 证明：首先， arg z 在原点无定义，因而不连续。
)i
(cos 5ϕ + i sin 5ϕ ) 2 （4） (cos3ϕ − i sin 3ϕ )3
= cos10ϕ + i sin10ϕ = cos19ϕ + i sin19ϕ cos( −9ϕ ) + i sin(−9ϕ )
3
（5）
i = 3 cos
π
2
+ i sin
π
2
⎧ 3 1 k =0 + i, ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ 3 1 1 π 1 π + i, k = 1 = cos ( + 2kπ ) + i sin ( + 2kπ ) = ⎨ − 3 2 3 2 2 2 ⎪ k =2 ⎪ −i , ⎪ ⎩
其中 t 为实参数。 10．下列参数方程表示什么曲线？（其中 t 为实参数） （1） z
= (1 + i )t
（2） z
= a cos t + ib sin t
（3） z
=t+
i t
解：只需化为实参数方程即可。 （1） x
= t , y = t ，因而表示直线 y = x
x2 y 2 （2） x = a cos t , y = b sin t ，因而表示椭圆 2 + 2 = 1 a b
3i
（3） r (sin θ （5）1 − cos θ
+ i cosθ ) (0 ≤ θ ≤ 2π )
（4） r (cos θ 解：（1） i
− i sin θ )
+ i sin θ
= cos
π
2
+ i sin
π
2
= e2
π
i
2 πi 2 2 3 （2） −1 + 3i = 2(cos π + i sin π ) = 2e 3 3
5． 解下列方程： （1） ( z
+ i )5 = 1
+ i = 5 1,
（2） z 由此
4
+ a4 = 0
( a > 0)
解：（1） z
z = 1−i = e
5
2 kπ i 5
− i ， ( k = 0,1, 2,3, 4)
（2） z
= 4 −a 4 = 4 4 (cos π + i sin π )
（3） r (sin θ （4） r (cos θ
+ i cosθ ) = r[cos( − θ ) + i sin( − θ )] = re 2 2 − i sin θ ) = r[cos(−θ ) + i sin(−θ )] = re −θ i
π
π
( −θ ) i 2
π
（5）1 − cos θ
+ i sin θ = 2sin 2
4
1 1 = a[cos (π + 2kπ ) + i sin (π + 2kπ )] ，当 k = 0,1, 2,3 时，对应的 4 4
个根分别为：
a a a a (1 + i ), (−1 + i ), (−1 − i ), (1 − i ) 2 2 2 2
6． 证明下列各题：（1）设 z
= x + iy, 则
（5）若
a < 1,
2
b < 1，则有
a −b <1 1 − ab
2 2
证明：
a − b = (a − b)(a − b) = a + b − ab − ab ，
2 2 2
1 − ab = (1 − ab)(1 − ab) = 1 + a b − ab − ab ，
因为
a < 1,