2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-3-4 平面向量共线的坐标表示

基础巩固一、选择题1．向量的夹角θ的范围是()A．0°≤θ<180°B．0°≤θ≤180°C．0°<θ<180°D．0°<θ≤180°[答案] B2．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2－2e1D．e2和e1＋e2[答案] B[解析]因为B中－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)，所以为平行向量，不能作为一组基底．3．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A．e1、e2一定平行B．e1、e2的模相等C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[答案] D[解析]由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C才正确．4．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ [答案] B[解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．5．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )A ．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对C ．若有实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2不一定存在[答案] C[解析] 选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1、e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1、λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确．6．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小为( )A.π6B.56πC.π3D.23π[答案] D[解析] 如图，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴a 、b 、c 的模构成一个直角三角形，且θ＝π6，所以可推知a 与b 的夹角为2π3.故选D.二、填空题7．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a 、b 为基底表示向量AM →＝______________.[答案] b ＋12a[解析] AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a . 8．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝________.[答案] －2[解析] ∵a ∥b ，则2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)． 又∵e 1、e 2不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λk ，－1＝λ.解得：⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－2. 三、解答题9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →、AC →表示AD →.[解析] ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是DA →、BC →的中点，且DCAB ＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式DC →、BC →、MN →.[解析] 如图所示，∵AB →＝e 2，且DCAB ＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2，又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 ∴BC →＝－AB →－CD →－DA → ＝－AB →＋DC →＋AD → ＝－e 2＋k e 2＋e 1 ＝e 1＋(k －1)e 2.而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1k＋1＝2e2。

∵A→B与A→D不共线，
λ－μ＝0， ∴1－μ－12λ＝0
，∴μλ＝＝2323，.
∴B→E＝μB→D＝23B→D.
∴E为BD(靠近D)的一个三等分点．
同理可证，C与AB中点的连线和BD的交点也为BD(靠近B)
的一个三等分点．
综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等 分此平行四边形的一条对角线．
B看作向量a，观察向量
→ AD
的方向、长度与a的方向、长度之
间有何关系？向量D→A的方向、长度和向量a的方向、长度之间
有何关系？
容易看出，A→D＝a＋a＋a，且|A→D|＝3|a|，A→D与a同向，所
以
→ AD
＝3a， D→A
＝(－a)＋(－a)＋(－a)，且|
→ DA
|＝3|a|，
→ DA
与a
反向，所以
规律总结：在上述证明过程中，由
→ AB
与
→ AD
不共线及(λ
－μ)
A→D ＝(1－μ－
1 2
λ)
→ AB
，知必有(λ－μ)
→ AD
＝(1－μ－
1 2
λ)
→ AB
＝
0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量
共线的条件解题的方法．
如图，O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三
因为
AB →
与
AC →
是单位向量，
|AB| |AC|
所以点 P 在∠BAC 的角平分线上，
所以点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
探索延拓创新
命题方向 4 共线向量与三点共线问题
设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A、B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 与 a＋kb 共线．

[错解]
由题意，得 O→D
、
O→B 共线，故存在λ，使
O→D ＝λ
解得xy＝＝－－12
第二章 2.3 2.3.4
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新课引入
第二章 2.3 2.3.4
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贝贝与晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次 经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问 从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
第二章 2.3 2.3.4
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探索延拓创新 命题方向2 根据点的位置求参数
已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及O→P＝O→A＋tA→B. (1)t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？ (2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
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[分析] (1)将O→P用坐标表示，根据坐标系性质可得． (2)只需由O→A＝P→B求出t或无解即可．
第二章 2.3 2.3.4
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[解析] (1)O→P＝O→A＋tA→B＝(1＋3t,2＋3t)， 若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，即t＝－23； 若点P在y轴上，只需1＋3t＝0，即t＝－13； 若点P在第二象限，则需12＋＋33tt<>00，， 解得－23<t<－13.
与OB交点P的坐标． [分析] 由直线AC与OB的交点为P知A、C、P三点共线，

3．已知点 A、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量 p 的
坐标为(2k－1,7)，且 p∥A→B，则 k 的值为( )
A．－190
9 B.10
C．－1190
19 D.10
[答案] D
第二章 2.4 2.4.1
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新课引入 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴 人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴 地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现 刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难 道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功 ≠成功．
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课堂典例讲练
第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
第二章 2.4 2.4.1
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[解析] 由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为 60°，得 m·n＝12. ∵|a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n2 ＝ 4m2＋4m·n＋n2＝ 7. |b|＝ 2n－3m2＝ 4n2－12m·n＋9m2＝ 7. 所以 a·b＝(2m＋n)·(2n－3m) ＝m·n－6m2＋2n2＝－72， 设 a、b 的夹角为 θ，得 cosθ＝－772＝－12. 所以 a、b 的夹角为 120°.