三角函数应用题

三角函数的应用题考点一: 锐角三角函数的定义及性质例1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝53，AB ＝4，则AD 的长为( ) A ．3 B ．316 C ．320 D ．516例2．直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为12，则k 的值为 .1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则cosA 的值为2.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC 的长为（ ） ° ° ° D.10cos50°考点二: 特殊角的三角函数值例3．计算：2102452(3.14)π---+-例4．化简2)130(tan - ＝（ ）A 、331- B 、13- C 、133- D 、13-1.计算：2.计算45tan 30cos 60sin -的值是 。

3．已知在△ABC 中，若2sin 1cos 02A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，求∠C 的度数。

考点三: 锐角三角函数的关系例6．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，则tanA ·cosA 的值是（ ）A 、35B 、45C 、925D 、16251．如果α是锐角，且22sin sin 541α+︒=，那么α的度数是（ ）A ．54°B ．46°C ．36°D ．26°2．已知∠A ＋∠B ＝90°，则下列各式中正确的是（ ）＝sinB ＝cosB ＝cosB ＝tanB[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB 的长。

[例2]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。

[例3]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的仰角为45°，求塔高AB。

三角函数应用题在数学中，三角函数是一类描述角和三角形之间关系的函数。

它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

今天我们就来看几个关于三角函数的实际应用题。

题目一：船长测量船到岸边的距离某船长在海上航行，他利用望远镜测量船到岸边的距离为450米，角度为30°。

请帮助船长计算船实际距离岸边的距离。

解题思路：根据三角函数中正弦函数的定义，正弦函数是对边与斜边的比值。

设实际距离为x，则sin30°=450/x，解得x=450/sin30°≈900米。

题目二：高楼顶部的钢丝张力某座高楼的屋顶有一根斜着的钢丝，已知钢丝与地面的夹角为60°，钢丝的长度为200米。

求钢丝的张力。

解题思路：根据三角函数中余弦函数的定义，余弦函数是邻边与斜边的比值。

设钢丝张力为T，则cos60°=邻边/200，解得邻边=200cos60°≈100米。

再根据正弦函数的定义，sin60°=钢丝张力/200，解得钢丝张力=200sin60°≈173.21牛顿。

题目三：天文测距天文学家利用角度差测量两颗星星间的距离，已知两颗星星的距离为400光年，夹角为20°。

根据此信息，求两颗星星间的实际距离。

解题思路：根据正切函数的定义，切线函数是对边与邻边的比值。

设实际距离为d，则tan20°=400/d，解得d=400/tan20°≈1152.32光年。

通过以上几个实际应用题，我们可以看到三角函数在解决各种实际问题中的重要性和实用性。

希望大家在学习三角函数的过程中能够灵活运用，将数学知识与实际应用相结合，更好地理解和掌握相关知识。

三角函数不仅仅是一堆抽象的公式，更是与我们的生活息息相关的数学工具。

愿大家在学习中取得更好的成绩！。

九年级三角函数应用题1.在某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度。

已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°。

求隧道AB的长度（3≈1.73）。

2.在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度。

如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上。

沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上。

请根据以上数据求这条河的宽度（参考数值：tan31°≈0.6）。

3.甲、乙两船同时从港口出发。

甲船以60海里/时的速度沿XXX方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行。

半小时后，甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点。

求乙船的速度。

4.港口B在港口A的西北方向。

上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行。

同时，一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行。

上午10时，轮船到达D处，同时快艇到达C处。

测得C处在D处的北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里。

求快艇每小时航行多少海里（结果精确到0.1海里/时，参考数据2≈1.41，3≈1.73）。

5.平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示。

量得角A为54°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD长为0.9m。

求铁板BC边被掩埋部分CD的长（结果精确到0.1m，参考数据sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38）。

6.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°。

使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm（结果精确到0.1cm，参考数据3≈1.732）。

三角函数的应用专项训练姓名：__________班级：__________评价：__________一、单选题（共8小题）1. 已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos等于( )A. －B. －C.D.2. 已知α∈，sinα＝，则tanα等于( )A. －B. 2C.D. －23. 若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝，则sinα－cosα的值为( )A. B. － C. D. －4. 函数f(x)＝(0<x<π)的大致图象是( )A. B. C. D.5. 为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度6. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )A. f(x)＝|cos 2x|B. f(x)＝|sin 2x|C. f(x)＝cos|x|D. f(x)＝sin|x|7. 已知函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R.若曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则y＝f(x)的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 3π8. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)的图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5二、多选题（共5小题）9. 函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. ω＝B. ω＝C. φ＝D. A＝510. 已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )A. 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称B. 函数y＝f(x)的图象关于点对称C. 函数y＝f(x)在上单调递减D. 该图象对应的函数解析式为f(x)＝2sin11. 将曲线y＝sin2x－sin(π－x)sin上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(x)的图象关于直线x＝对称B. g(x)在[0，π]上的值域为C. g(x)的图象关于点对称D. g(x)的图象可由y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到12. 函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则下列结论中正确的是( )A. f(x)的一个周期为－2πB. y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称C. x＝是f(x)的一个零点D. f(x)在上单调递减13. 对于函数f(x)＝给出下列四个命题，其中为真命题的是( )A. 该函数是以π为最小正周期的周期函数B. 当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1C. 该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称D. 当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤三、填空题（共4小题）14. y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－<θ<，则θ＝________.15. 设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.16. 要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向________平移________个单位长度．17. 在如图所示的矩形ABCD中，点E，P分别在边AB，BC上，以PE为折痕将△PEB翻折为△PEB′，点B′恰好落在边AD上，若sin∠EPB＝，AB＝2，则折痕PE的长为________．四、解答题（共4小题）18. 已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．19. 已知f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若θ∈，f＝，求sin的值．20. 如图为电流强度I与时间t的关系式I＝A sin(ωt＋φ)的图象．(1)试根据图象写出I＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝A sin(ωx＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么正整数ω的最小值是多少？21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知AB＝200米，BC＝400米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称．现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开．设∠BNM＝θ，两道栅栏的总长度L(θ)＝ME＋MN.(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数L(θ)的定义域；(2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．1. 【答案】A【解析】∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)．∵α是第四象限角，∴sinα＝－，∴cos＝cos＝－cos＝sinα＝－.2. 【答案】A【解析】因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－1-sin2α＝－＝－，所以tanα＝＝－.3. 【答案】C【解析】由诱导公式得sin(π－α)＋cosα＝sinα＋cosα＝，平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，则2sinαcosα＝－<0，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，又因为α∈(0，π)，所以sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝.4. 【答案】B【解析】因为f(x)＝，＝＝＝＝|cos x|，所以，其在(0，π)上的大致图象为B选项中的图象.5. 【答案】B【解析】将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin 的图象．6. 【答案】A【解析】选项A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故选项A正确；选项B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故选项B不正确；选项C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故选项C不正确；选项D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故选项D不正确．7. 【答案】D【解析】将函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R化简，可得f(x)＝sin.曲线y＝f(x)与直线y＝1相交，令f(x)＝1，则ωx＋＝＋2kπ或ωx＋＝＋2kπ，k∈Z.设距离最小的相邻交点的横坐标分别为x1，x2，∴－＝ω(x2－x1)，∴x2－x1＝＝，解得ω＝，∴y＝f(x)的最小正周期T＝＝3π.8. 【答案】B【解析】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.9. 【答案】ACD【解析】由函数的图象可得A＝5，周期T＝＝11－(－1)＝12，∴ω＝.再由“五点法”作图可得×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，∵0≤φ≤2π，∴φ＝.故选ACD.10. 【答案】ABC【解析】由函数的图象可得A＝2，由·＝－，得ω＝2.再由最值得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，得φ＝，得函数f(x)＝2sin，故选项D正确；当x＝－时，f(x)＝0，不是最值，故选项A错误；当x＝－时，f(x)＝－2，不等于零，故选项B错误；由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选项C错误.11. 【答案】ABD【解析】y＝sin2x－sin(π－x)sin＝＋sin x cos x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，∴g(x)＝sin＋，对于选项A，当x＝时，x－＝，∴g(x)关于直线x＝对称，故选项A正确；对于选项B，当x∈[0，π]时，x－∈，∴sin∈，∴g(x)∈，故选项B正确；对于选项C，当x＝时，x－＝0，g＝，∴g(x)关于点对称，故选项C错误；对于选项D，y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到y＝cos＋＝cos ＋＝sin＋＝g(x)的图象，故选项D正确．12. 【答案】ABC【解析】∵函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，∴f(x)＝sin＝sin，∴f(x)的一个周期为－2π，故选项A正确；∵y＝f(x)＝sin，∴y＝f(x)的图象的对称轴方程满足2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴当k＝－2时，y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故选项B正确；由f(x)＝sin＝0，得2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，∴x＝是f(x)的一个零点，故选项C正确；当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增，故选项D错误．13. 【答案】CD【解析】由题意知函数f(x)＝画出f(x)在x∈[0，2π]上的图象，如图所示，由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，故A选项错误；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故B选项错误；由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，故C选项正确；在2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤，故D选项正确.14. 【答案】－或【解析】函数y＝tan x图象的对称中心是，其中k∈Z，则令2x＋θ＝，k∈Z，其中x＝，即θ＝－，k∈Z.又－<θ<，所以当k＝1时，θ＝－.当k＝2时，θ＝，所以θ＝－或.15. 【答案】3＋【解析】由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为－<φ<，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.16. 【答案】左【解析】方法一：y＝sin＝cos＝cos＝cos.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．方法二：y＝cos 2x＝sin＝－sin＝－sin2，y＝sin＝－sin2.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．17. 【答案】【解析】根据题意，设BE＝m，由sin∠EPB＝，得PE＝3m，cos∠PEB＝，从而得到cos∠B′EA＝cos(π－2∠PEB)＝－cos 2∠PEB＝1－2cos2∠PEB＝，由翻折特点可得B′E＝BE＝m.又AE＝2－m，在Rt△B′AE中，cos∠B′EA＝＝，解得m＝，所以PE＝3m＝.18. 【答案】解(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝232cosx+12sinx＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝2π.(2)由已知得g(x)＝f＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴sin∈，∴g(x)＝2sin∈[－1,2]，∴函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.19. 【答案】解(1)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x＝(1＋2sin x cos x)－cos2x＝sin 2x－＋＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z,得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)得f＝sin＋＝sin＋＝cosθ＋＝，所以cosθ＝，因为θ∈，所以sinθ＝－√1−cos2θ1-cos2θ＝－，所以sin 2θ＝2sinθcosθ＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝－.20. 【答案】解(1)由题图知，A＝300，T＝－＝，∴ω＝＝100π.∵－＝－，∴φ＝＝，∴I＝300sin(t≥0)．(2)问题等价于T≤，即≤，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.21. 【答案】解(1)在矩形ABCD中，∵B，E关于MN对称，∠BNM＝θ，∴∠AME ＝2θ，∠MEN＝，且BM＝ME.在Rt△AEM中，AM＝ME cos 2θ＝BM cos 2θ.又∵AM＋BM＝200(米)，∴BM cos 2θ＋BM＝200，∴BM＝ME＝＝，∴Rt△EMN中，MN＝＝.∴L(θ)＝ME＋MN＝＋在Rt△BMN中，BN＝MN cosθ＝，∵0<BM<200,0<BN<400，∴函数L(θ)的定义域为.(2)L(θ)＝ME＋MN＝＋＝＝.令t＝sinθ，∵θ∈，∴t∈，令φ(t)＝－t2＋t＝－2＋，当t＝时，φ(t)取最大值，最大值为，此时θ＝，L(θ)取最小值．∴L(θ)的最小值为400 米，此时θ＝.第11页共11页。

高中三角函数经典例题50道1.求解三角形中角度的相关问题是高中数学学习中的重要内容。

例如，考虑正三角形ABC，已知∠A=60°，求∠B和∠C的大小。

2.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠C=60°，求∠B的大小。

3.若在直角三角形ABC中，∠A=30°，求∠C的大小。

4.在锐角三角形ABC中，已知边b=5，c=10，∠A=30°，求边a的长度。

5.在钝角三角形ABC中，边a=6，b=10，∠A=120°，求边c的长度。

6.若在任意三角形ABC中，边a=8，b=6，∠A=45°，求∠B的大小。

7.在直角三角形ABC中，边a=1，b=√3，求∠A和∠B 的大小。

8.若在锐角三角形ABC中，已知边a=5，b=7，求∠A 和∠B的大小。

9.在任意三角形ABC中，边a=10，b=15，∠A=30°，求∠B的大小。

10.若在直角三角形ABC中，边b=4，c=5，求∠A和∠C的大小。

11.在锐角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，∠A=60°，求∠C的大小。

12.若在任意三角形ABC中，边a=7，c=9，∠A=45°，求边b的长度。

的长度。

14.在锐角三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，求∠C的大小。

15.若在任意三角形ABC中，边a=12，b=16，求∠A和∠B的大小。

16.在直角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，求∠A和∠C的大小。

17.在锐角三角形ABC中，边a=5，b=8，∠C=60°，求边c的长度。

18.若在任意三角形ABC中，边a=7，b=10，∠B=30°，求边c的长度。

19.在直角三角形ABC中，边a=2，c=√5，求∠A和∠B的大小。

20.在锐角三角形ABC中，已知边b=3，c=4，∠A=45°，求∠C的大小。

21.若在任意三角形ABC中，边a=9，c=12，∠C=45°，求边b的长度。

第一章 直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用精选练习一、单选题1．（2022·江苏泰州·九年级期中）一条上山直道的坡度为17∶，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（ ）A ．700米B．米C．米D．2．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC 的顶端A 恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度AC 为3米，登高梯与地面的夹角ACB Ð为72o ，则书架第七层顶端离地面的高度AB 为（ ）A ．3sin 72°米B ．3sin 72o 米C ．3cos 72°米D ．3cos 72o米3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，小王在高台上的点A 处测得塔底点C 的俯角为α，塔顶点D 的仰角为β，已知塔的水平距离AB a =，则此时塔高CD 的长为（ ）A ．sin sin a a a b +B ．tan tan a a a b +C ．tan tan aa b +D ．tan tan tan tan a a b a b+【答案】B【分析】在Rt △ABD 和Rt ABC △中，利用锐角三角函数求出,BD BC ，即可求解．【详解】解：根据题意得：90ABD ABC Ð=Ð=°，在Rt △ABD 中，tan tan BD AB a b b ==，在Rt ABC △中，tan tan BC AB a a a ==，∴tan tan CD BD BC a a a b =+=+．即此时塔高CD 的长为tan tan a a a b +．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．4．（2022·山东济南·模拟预测）小明去爬山，在山脚A 看山顶D 的仰角30CAD Ð=°，小明在坡比为5:12的山坡上走1300米到达B 处，此时小明看山顶的仰角60DBF Ð=°，则山高CD 为（ ）米A ．(600-B ．()250C ．(350+D ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．5．（2022·河北石家庄·九年级期中）如图，一块矩形薄木板ABCD 斜靠在墙角MON 处（OM ON ^，点A ，B ，C ，D ，O ，M ，N 在同一平面内），已知AB m =，AD n =，ADO a Ð=，则点B 到ON 的距离等于（ ）A ．cos cos m n a a×+×B ．sin cos m n a a ×+×C ．cos sin m n a a×+×D ．sin sin m n a a×+×过点B 作BH ON ^于H ∴B 到ON 的距离是BH ∵OM ON ^，矩形ABCD ∴BAQ DAO DAO Ð+Ð=Ð∴ADO BAQ a Ð=Ð=，6．（2022·河北·石家庄市第四十二中学九年级期中）如图，沿AB 方向架桥BD ，以桥两端B D 、出发，修公路BC 和DC ，测得150ABC Ð=°，1800BC =m ，105BCD Ð=°，则公路DC 的长为（ ）A ．900mB ．mC ．mD ．1800m【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．二、填空题7．（2022·广西贵港·九年级期中）桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A 处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B 处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A ，B 两处的距离为12m ，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB 与绳子的夹角为53°，则绑重物的B 端与悬绑汲器的绳子之间的距离是_______m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：sin 530.8cos530.6tan 53 1.3°»°»°»，，）由题意得，在Rt ABC △∴sin BC AB BAC =Ðg ，∵12m AB BAC =Ð=，∴()120.89.6m BC »´=，故答案为：9.6．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形相关知识是解题的关键．8．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管36cm AC =，且上管AC 与立管AB 互相垂直，下管45cm BC =，座管AE 可以伸缩，点A B E ，，在同一条直线上，且75ABD Ð=°．若座管AE 伸长到18cm ，则座垫E 到后下叉BD 的距离为______cm ．（结果精确到1cm ，参考数据sin750.97°»，cos750.26°»，tan75 3.73°»）∵45cm BC =，36cm AC =，∴22245AB BC AC =-=-在Rt FBE V 中，sin EF EB =´故答案为：44．9．（2022·山东济南·九年级期中）如图，太阳光线与地面成30°的角，照射在小木棒AB 上，小木棒在地面上的投影CD 的长是8cm ，则小木棒AB 的长是______cm ．10．（2022·江苏苏州·九年级期中）一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需_____小时到达事故船C 处，(sin 530.8cos530.6°»°»，)【点睛】本题考查了解直角三角形的应用键．三、解答题11．（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级期中）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——明堂天堂．现已成为中外游客到洛阳旅游打卡的网红地、如图，天堂外观5层，内部9层，由建筑主体、台基和宝顶三部分组成．为测量天堂AB （左边较高的建筑物）的高度，几名中学生在天堂旁边明堂的台基E 处测得天堂建筑主体顶端C 处的仰角为22°，往前水平行进14米至F 处，测得天堂顶端点A 的仰角为30°，已知天堂宝顶AC 高188．米，明堂台基EF 距地面DB 的高DE 为10米，请计算天堂AB 的高的值．（结果精确到1米；参考数据：sin 220.37°»，cos 220.93°»，tan 220.40°» 1.73»）12．（2022·江苏苏州·九年级期中）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图（MN 是基座的高，MP 是主臂，PQ 是伸展臂）．已知基座高度MN 为0.5米，主臂MP长为α的范围是：060a °<£°，伸展臂伸展角β的范围是：45135b °££°．(1)如图3，当45a =°时，伸展臂PQ 恰好垂直并接触地面，伸展臂PQ 长为 米；(2)若（1）中PQ 长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距点N 水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）∵45a =°，∴PHM V 为等腰直角三角形，∴sin 3PH PM a ==∴45QPH Ð=°，∴sin 45 3.5QH PH PQ ==°=´∴7232MH MPPH =+=+一、填空题1．（2022·陕西汉中·九年级期末）某区域平面示意图如图所示，AB 和BC 是两条互相垂直的公路，800AB =米，甲勘测员在A 处测得点D 位于北偏东45°，乙勘测员在C 处测得点D 位于南偏东60°，300CD =米，则公路BC 的长为___________米．（结果保留根号）的面积为___________米2【分析】延长BA 交CD 于G 点，在Rt EFB D 中，根据锐角三角函数定义求出EF ，在Rt CGA V 中，根据锐角则3CG BF ==（米），由题意得：30EBF Ð=°，在Rt EFB D 中，tan BF EF =在Rt CGA V 中，AG CG =∴1AB CE EF AG =+-=+3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA OB ，，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，设太阳光线与地面的夹角为a ，测得2tan 3a ＝，8.5m 13m MC CD ＝，＝，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 _____m ．4．（2022·浙江温州·八年级期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示(单位：cm)且AF BE ∥，60BAF Ð=°，10BD =，箱盖开起过程中，点A ，C ，F 不随箱盖转动，点B ，D ，E 绕点A 沿逆时针方向转动90°，即90BAB ¢Ð=°分别到点B ¢，D ¢，E ¢的位置，气簧活塞杆CD 随之伸长CD ¢已知直线BE B E ¢¢^，CD CB ¢=，那么AB 的长为______cm ，CD ¢的长为______cm ．5．（2022·山东威海·九年级期中）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，a=，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无tan2MC=米，则河流的宽度CD为人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中100______．\ME AB==，AM BEÐ=，tan由已知可得：BAC a\80Ð==米，ACMME ABAM二、解答题6．（2022·山东东营·九年级期中）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．7．（2022·江苏苏州·九年级期中）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长50cm AB =，拉杆最大伸长距离30cm BC =，（点A 、B 、C 在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A e ，A e 与水平地面切于点D ，AE DN ∥，某一时刻，点B 距离水平地面40cm ，点C 距离水平地面61cm ．(1)求圆形滚轮的半径AD 的长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点C 距离水平地面66.6cm ，求此时拉杆箱与水平面AE 所成角CAE Ð的大小（精确到1°，参考数据：sin500.77°»，cos500.64°»，tan50 1.19°»）．【答案】(1)5cmAD =(2)50CAE °Ð=【分析】（1）作BH AF ^于点G ，交DM 于点H ，则ABG ACF ∽V V ，设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）根据题意求得CF 的长，在Rt ACF V 中，求得sin CAE Ð，即可求得CAE Ð的度数．【详解】（1）解：设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ，作BH AE ^于点G ，交DM 于点H ，则BG CF ∥，∴ABG ACF ∽V V ，∴BG AB CF AC=，即4050615030x x -=-+，8．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，水坝的横截面是梯形()DC AB ABCD ∥，迎水坡BC 的坡角a 为30°，背水坡AD 的坡度i 为1:1.2，坝项宽 2.5DC =米，坝高5米．求：(1)坝底宽AB 的长（结果保留根号）；(2)在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD 的坡度改为1:1.4，求横截面增加的面积（结果保留根号）。

三角函数的应用题第一阶梯[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB 的长。

解：∵∠DAC=90°由勾股定理，有CD 2=AD 2+AC 2∵AD=3，DC=5∴AC=4∵∠B=30° ∴AB=2AC∴AB=8[例2]如图，△ABC 中，∠B=90°，D 是BC 上一点，且AD=DC ，若tg ∠DAC=41,求tg ∠BAD 。

探索：已知tg∠DAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD 的正切值需要满足怎样的条件？ 点拨：由于已知中的tg ∠DAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D 点作AC 的垂线。

又要求∠BAD 的正切值应已知Rt△BAD 的三边长，或两条直角边AB 、BD 的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC 的条件。

由于AD=DC ，即∠C=∠DAC，这时也可把正切值直接移到Rt△ABC 中。

解答：过D 点作DE⊥AC 于E ，41DAC =∠tg且AE DEDAC =∠tg设DE=k ，则AE=4k ∵AD=DC,∴∠DAC=∠C，AE=EC∴AC=8k ∵41==BC AB tgC设AB=m ，BC=4m由勾股定理，有 AB 2+BC 2=AC 2∴k m 17178=k BC 171732=∴由勾股定理，有CD 2=DE 2+EC 2 k CD 17=∴k BD 171715=∴ 由正切定理，有.815=∠∴=∠BAD tg AB DB BAD tg[例3]如图，四边形ABCD 中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB 。

探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB 应放在什么图形中。

点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证△ABC 是Rt△，因此可求sinB 。

三角函数的应用题练习题(基础)题目1: 三角函数的高度应用某个人站在一座高楼的窗户旁，离地面的距离是20米。

该人仰望斜顶角度为30度的楼顶，试计算楼顶的高度是多少米？答案：首先，我们可以利用正弦函数来解决这个问题。

正弦函数定义为：sin(θ) = 对边/斜边。

按照这个定义，我们可以得到以下方程：sin(30度) = 对边/20米对方程进行求解，我们可以得到：对边 = 20米 * sin(30度)利用计算器，我们可以得到：对边 = 10米因此，楼顶的高度是10米。

题目2: 三角函数的距离应用一辆汽车正在沿着直路行驶。

从汽车起点到终点的直线距离为1000米。

汽车行驶的角度与直线路线的夹角为45度。

试计算汽车实际行驶的距离是多少米？答案：对于这个问题，我们可以使用余弦函数来求解。

余弦函数定义为：cos(θ) = 临边/斜边。

应用于这个问题，我们可以得到以下方程：cos(45度) = 临边/1000米对方程进行求解，我们可以得到：临边 = 1000米 * cos(45度)利用计算器，我们可以得到：临边 = 707.106米因此，汽车实际行驶的距离是707.106米。

题目3: 三角函数的速度应用一艘船以20米/秒的速度顺水行驶。

河流的流速为10米/秒，且方向与船垂直。

试计算船在水中实际的速度是多少米/秒？答案：对于这个问题，我们可以使用正切函数来求解。

正切函数定义为：tan(θ) = 对边/临边。

应用于这个问题，我们可以得到以下方程：tan(θ) = 10米/秒 / 20米/秒对方程进行求解，我们可以得到：tan(θ) = 0.5利用计算器，我们可以得到：θ = 26.565度因此，船在水中实际的速度是约为26.565米/秒。

一、三角函数的实际应用知识点拨一、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义边范围数量关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)余弦斜边的邻边A A ∠=cos cb A =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =BA sin cos =1cos sin 22=+A A 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A baA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot ab A =cot 0cot >A (∠A 为锐角)B A cot tan =B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数)1cot tan =⋅AA 二、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°αsin 02122231αcos 12322210αtan 03313不存在αcot 不存在31330三、常见术语：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

对边邻边AC(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l =。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi l α==。

例题演练一．选择题（共20小题）1．如图，为了测量旗杆AB 的高度，小明在点C 处放置了高度为2米的测角仪CD ，测得旗杆顶端点A 的仰角∠ADE ＝50.2°，然后他沿着坡度为i ＝的斜坡CF 走了20米到达点F ，再沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B ．则旗杆AB 的高度约为（ ）米．（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A ．8.48B ．14C ．18.8D ．30.8【解答】解：如图，延长AB 交水平线于M ，作FN ⊥CM 于N ，延长DE 交AM 于H ．:i h l=hlα在Rt△CFN中，∵＝，CF＝20米，∴FN＝BM＝12米，CN＝16米，∴DH＝CM＝16+8＝24米，在Rt△ADH中，AH＝DH•tan50.2＝24×1.2＝28.8米，∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM＝BM＝28.8+2﹣12＝18.8米，故选：C．2．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A 的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．90【解答】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，设DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝2x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，则DE＝30米，CE＝60米，设AB＝y米，则HE＝y米，∴DH＝y﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y，∴AH＝BE＝y+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，则≈0.4，解得，y＝90，∴高楼AB的高度为90米，故选：D．3．小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D 处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A ，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝130米，在Rt△DCR中，DR＝＝＝65（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈222.9，∴AB＝222.9（米），故选：B．4．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．24【解答】解：根据题意可知：∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2米，∴DN＝2米，CN＝4.8米，设DG⊥AB，垂足为G，在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣（DN﹣EF）＝AB﹣1.2，又DG＝NH＝CN+HC＝4.8+AH＝4.8+AB+0.8＝AB+5.6，∴tan∠ADG＝，∴×（5.6+AB）≈AB﹣1.2，解得AB＝21.6（米），答：碧津塔AB的高约为21.6米．故选：B．5．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B 之间的距离约为（ ）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米【解答】解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．6．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米【解答】解：如图，延长AB交过点D的水平面于F，作CE⊥DF于E，由题意得：CD＝26米，BC＝EF＝9米，BF＝CE，在Rt△CDE中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CE＝10米，ED＝24米，在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，FD＝EF+ED＝33米，∠ADF＝52°，∴AF＝FD•tan52°≈33×1.28＝42.24（米），∴AB＝AF﹣BF＝42.24﹣10≈32.2（米）；即建筑物AB的高度为32.2米；故选：D．7．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故选：B．8．小明和好朋友一起去三亚旅游，他们租住的酒店AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡CD上，酒店AB高为129米．某天，小明在酒店顶楼的海景房A处向外看风景，发现酒店前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线上的点D的距离CD为260米，雕像C与酒店AB的水平距离为36米，他站在A处还看到远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线上的点D的距离ED的长大约为（ ）米．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．276【解答】解：如图，延长AB交ED的延长线于G，过C作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F，则四边形CFGH是矩形，∴HG＝CF＝36（米），FG＝CH，在Rt△CDH中，CD＝260米，CH：DH＝1：2.4，∴CH＝100（米），DH＝240（米），在Rt△BCF中，CF＝36米，BF：CF＝1：2.4，∴BF＝15（米），FG＝CH＝100（米），∴DG＝DH+HG＝276（米），AG＝AB+BF+FG＝244（米），∵tan27°＝≈0.5，即≈，解得：DE≈212（米），故选：B．9．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）A．18.3米B．19.3米C．20米D．21.2米【解答】解：连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，如图：则DF＝BG，BF＝DG＝AD+AG，∵AB＝斜坡AB的坡度i＝0.75＝，∴设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝20+4x+20＝40+4x （m），由题意得：∠EBF＝37°，∠ECF＝22°，∵tan∠BEF＝＝，tan∠ECF＝＝，∴EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），∴0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），解得：x＝，∴DF＝BG＝3x＝（m），EF＝0.40（40+4x）＝（m），∴DE＝DF+EF＝+≈19.3（m）；故选：B．10．小李同学想测量广场科技楼CD的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼AB的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为45°．再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为61°，然后从楼底B点经过4米长的平台BF到达楼梯F点，沿着坡度为i＝1：2.4的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点A、B、C、D、E 、F在同一平面内，智慧楼AB和科技楼CD与水平方向垂直）．已知智慧楼AB的高为24米，则科技楼CD的高约为（ ）米．（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87．cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）A．54.0B．56.4C．56.5D．56.6【解答】解：作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，FG⊥DE于点G，则四边形AMNB，四边形NDGF是矩形．在Rt△FEG中，FG：EG＝1：2.4，设FG＝5x，则EG＝12x，∴FN＝DG＝12x+20，AB＝24米，AM＝BN＝（24+12x）米，∵∠CAM＝45°，∴AM＝CM＝（24+12x）米，∴CN＝CM+MN＝（48+12x）米，∵∠CBN＝61°，∴tan∠CBN＝＝，∴x＝，∴CD＝CM+MN+DN＝24+12x+24+5x＝24+17×+24＝56.5（米）．故选：C．11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头顶正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD 走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米【解答】解：如图所示：延长AC和FE交于点G，过点B作BM⊥FE于点M，作DH⊥AG于点H，得矩形ABMG、DHEG，设DH＝x，则HC＝2x，BM＝AG＝160+120+2x＝280+2x．EG＝DH＝x，∵∠FAG＝45°，∠FGA＝90°，∴∠AFG＝45°，∴FG＝AG，EF＝FG﹣EG＝AG﹣EG＝280+2x﹣x＝280+x，∴FM＝FG﹣MG＝280+2x﹣146＝134+2x，在Rt△FBM中，tan31°＝，即＝0.6，解得x＝42.5，则EF＝280+x＝322.5．故选：B．12．如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i＝3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cos18°≈0.95，tan18°≈）A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD⊥BC于点D，∵扶梯AB的坡度i＝3：4，∴，设BC＝3x米，则AC＝4x米，∵AP＝8米，QP＝1.5米，∴DQ＝（4x+8）米，BD＝（3x﹣1.5）米，∵∠BQD＝18°，tan∠BQD＝，tan18°≈，∴≈，解得x＝2.5，∴BC＝3x＝7.5，∵点B到顶部的距离是2.3米，∴点C到顶部的距离是2.3+7.5＝9.8（米），即点P到顶部的距离是9.8米，故选：B．13．如图，在某山坡前有一电视塔．小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为（ ）m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）A．59.8B．58.8C．53.7D．57.9【解答】解：如图，作DC⊥EP延长线于点C，作DF⊥ME于点F，作PH⊥DF于点H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，∵山坡坡度i＝DC：CP＝1：2.4，PD＝39，设DC＝5x，则CP＝12x，根据勾股定理，得（5x）2+（12x）2＝392，解得x＝3，则DC＝15，CP＝36，∴DH＝CP＝36，FE＝DC＝15，设MF＝y，则ME＝MF+FE＝y+15，在Rt△DMF中，∠MDF＝30°，∴DF＝y，在Rt△MPE中，∠MPE＝60°，∴PE＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝36，解得y＝7.5+18，∴ME＝MF+EF＝7.5+18+15≈53.7（m）．答：电视塔的高度ME约为53.7米．故选：C．14．如图，万达广场主楼楼顶立有广告牌DE，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌DE＝15米，则该主楼AD的高度约为（ ）（结果精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．80m B．85m C．89m D．90m【解答】解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝50米，∴BG＝30（米），AF＝CG＝40（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝53°，∴EF＝tan53°•CF＝1.3x（米），∵DE＝15米，∴1.3x﹣x＝15，∴x＝50，∴DF＝50米，∴AD＝AF+DF＝40+50＝90（米），故选：D．15．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i＝：1，若大树CD的高为8米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）（ ）A．18B．19C．20D．21【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，∵∠DBC＝60°、CD＝8，∴BD＝＝＝16，∵AB的坡度i＝tan∠ABQ＝，∴∠ABQ＝∠EAB＝60°，∴∠ABD＝60°，∴PD＝BD sin∠ABD＝16×＝8，BP＝BD cos∠ABD＝16×＝8，∵∠EAD＝15°，∴∠DAP＝∠BAE﹣∠EAD＝45°，∴PA＝PD＝8，则AB＝AP+BP＝8+8，∴AQ＝AB cos∠ABQ＝（8+8）×＝4+12≈19，故选：B．16．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D、E在同一水平地面上，A、B、C、D、E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）A．9.16米B．12.04米C．13.16米D．15.04米【解答】解：过C作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，如图所示：则四边形BHGC为矩形，∴BH＝CG，GH＝BC＝3米，∵斜坡CD的坡度是＝，∴设CG＝3x米，则DG＝4x，由勾股定理得，CD2＝CG2+DG2，即52＝（3x）2+（4x）2，解得：x＝1，∴BH＝CG＝3（米），DG＝4（米），∴EH＝DE+DG+GH＝1+4+3＝8（米），在Rt△AHE中，tan∠AEH＝＝tan62°≈1.88，∴AH≈1.88EH＝1.88×8＝15.04（米），∴AB＝AH﹣BH≈15.04﹣3＝12.04（米），故选：B．17．某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．141.4米B．188.6米C．205.7米D．308.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣120）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝120米，在Rt△DCR中，DR＝≈＝60（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈205.7，∴AB＝205.7（米），故选：C．18．小菁在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知她的身高AB1.2米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°．那么该路灯顶端O到地面的距离约为（ ）（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2 .1）A．3.2米B．3.9米C．4.4米D．4.7米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∴BF＝BD+DF＝3+x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x≈0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15（米），∴OE＝3.15+1.2＝4.35≈4.4（米），故选：C．19．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（ ）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．30【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为：N，M，∵i＝1：2.4，AB＝26m，∴设BN＝x，则AN＝2.4x，∴AB＝2.6x，则2.6x＝26，解得：x＝10，故BN＝DM＝10m，则tan30°＝＝＝，解得：BM＝10，则tan35°＝＝＝0.7，解得：CM≈11.9（m），故DC＝MC+DM＝11.9+10＝21.9（m）．故选：B．20．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥D E，则旗杆AB的高度是（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8【解答】解：延长ED交BC的延长线于点F，作EG⊥AB于G，DH⊥AB于H，则四边形GHDE为矩形，∴GH＝DE＝1.5，GE＝DH，设DF＝x，∵斜坡CD的坡度为1：2，∴CF＝2x，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得，x＝，则DF＝，CF＝2，∴GE＝DH＝BC+CF＝2+2，在Rt△AGE中，tan∠AEG＝，则AG＝EG•tan∠AEG≈（2+2），∴AB＝AG+GH+BH≈4.85+1.5+2.24≈8.6（米），故选：C．。

三角函数九种经典类型题 类型一 同角三角函数关系式的应用1、(1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.(2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为________．答案 (1)45 (2)32解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1 ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. (2)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.2、已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 答案 －1解析 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)， ∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.类型二 诱导公式的应用1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________． 解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.解析∵⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.变式：已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则)26cos(απ+＝________.类型三 三角函数的单调性1、(1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)⎣⎡⎦⎤12，54 解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 2、(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是______________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)⎣⎡⎦⎤32，74 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.类型四 三角函数的周期性、对称性1、(1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f (x )的图象，下列叙述正确的有________(填正确的序号)．①关于直线x ＝π12对称；②关于直线x ＝5π12对称；③关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称；④关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称．(2)已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________. 解析 (1)由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π＜π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝π12时， 2x －π3＝－π6，∴①、③错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴②正确，④错误．(2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴k ＝0时，x 0＝－π6.2、 若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________． 答案 2解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3、(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为________．答案 (1)2或－2 (2)－33解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3，解得a ＝－33. 类型五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1、(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为 (填正确的序号)．①x ＝－π2；②x ＝－π4；③x ＝π8；④x ＝π4.(2) 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ．解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x＝－π2是其图象的一条对称轴方程．(2)由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 类型六 由图象确定y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式1、(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 ．(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为 ．解析 (1)由题意得A ＝2，T 4＝6－2，所以T ＝16，ω＝2πT ＝π8.又sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.(2)由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝⎛⎭⎫712π，－2为最小值点，∴2×712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ， 又|φ|＜π，∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3)．2、函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝ . 答案 －π3解析 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.类型七：三角函数图象性质的应用1、已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是 ． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)．类型八 角的变换问题1、(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453，3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.2、若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539. 3、(1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ． (2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74.∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23，∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712.类型九三角函数的求角问题1、 (1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝________. (2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a 1－(3a ＋1)＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0.∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4.2、(1)若α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C ＝________. 解析 (1)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)．∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.。

三角函数经典题目练习1.已知α1231、已知角2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f3、已知 象限1. 已知π22.设0≤α是 .sin αtan x 若<0___.53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θ________.1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的个实根，且παπ273<<，则ααsin cos +的值 .0)13(22=++-m x x 的两根为()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______（2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________.α )415tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23= α终边上P （－4，3），)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+= .已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θθtan 1tan 1_________tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒= α∈(0,2π)，若sin α=53，则2cos(α+4π)= . 336cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ65cos =______，)65απ--=_____．.【知二求多】1、已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα= -54,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ=135,且0<β<2π<α<π,则cos 2βα+=____.2已知tan α=43,cos(α+β)=-1411, α、β为锐角，则cos β=______.【方法套路】1、设21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，则)cos(βα-=___ .2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则αβαtan )tan(+= .3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα【给值求角】1tan α=71,tan β=31,α,β均为锐角，则α+2β= .2、若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角, 则A+B= .【半角公式】1α是第三象限，2524sin -=α，则tan 2α= . 2、已知01342=+++a ax x （a >1）的两根为αtan ，βtan ，且α,∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π,则2tan βα+=______3若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= . 4、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则ααsin 1sin 1-++=5x 是第三象限角xx xx x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++++-+=______ 【公式链】1=+++ 89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______六、给值求角 已知31sin -=x ，写出满足下列关系x 取值集合 ]3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________2、1)32tan(--=πx y 定义域为_________【值域】1、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________3、函数x xy sin 2sin 1+-=的值域4、函数xxy cos 1sin 21+-=的值域5、函数x x y sin 2cos -=的值域【解析式】1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直线x ＝π3对称，其中ω∈⎝⎛⎭⎫－12，52.函数f (x )的解析式为________．2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0，2)，⎝⎛⎭⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________4、()()sin f x A x h ωϕ=++(0,0,)2A πωϕ>>< 的图象如图所示，求函数)(x f 的解析式；【性质】1、已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0，2] 2、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=3、sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．4、已知函数x a x x f 2cos 2sin )(+=关于x 称，则a =_______5.()2sin()f x x ωϕ=++m 对任意x 有()6f x f π+=若()6f π=3，则m=________【图象】1、为了得到函数sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+的图像向____移动____2、为了得到函数sin(2)3y x π=-y=cos2x 图像向____移动____个长度单位 3.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ取值为 (A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【综合练习】1、已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x .下结论：①f (x )是周期函数；②f (x )③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时，f (x )当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f (⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是正确的结论序号是________．f(x)=sin(2x+x x 2cos 2)62sin()6+-+ππ）求f(x)的最小值及单调减区间； ）求使f(x)=3的x 的取值集合。

三角函数应用题2018.51．如图，小明为了测量河的宽度，在河岸同侧取了点C，B，A，在点C处测得对岸一棵树P在正北方向，经过测量得知：∠PBC=45°，∠P AC=30°，AB=10米，由此请你计算出河的宽度．（结果保留根号）．2.如图，小聪所在的小组正测量一条河宽，河两岸EF∥MN，小聪在河岸MN上A点测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B点，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，又测得CD＝10米，求河宽．（结果保留根号）3.如图，从热气球C处测地面A、B两点的俯角为30°、75°，若此时C距B点100米，求AB的距离.4.如图交警队在一主要路口设立了交通路况显示牌，已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．5.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，求旗杆AB的高度.6.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°.则隧道开通后，求汽车从A地到B地比原来少走多少千米．7．为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡度=1:3的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山高AB．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73）8.十堰飞机场机场大厅有一幅“武当山胜景”的壁画，小明站在距壁画水平距离15米的地面，自A点看壁画上部D的仰角为045，看壁画下部C的仰角为030，求壁画CD的高度.（结果保留根号）．(第4题)（第6题）9.如图，小岛A 在港口B 的北偏东50°方向，小岛C 在港口B 的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B 出发向小岛A 航行，经过5小时到达小岛A ，这时测得小岛C 在小岛A 的北偏西70°方向，求AC .10.如图，小明为了测量小山顶的塔高DE ，他在A 处测得塔尖D 的仰角为45°，再沿AC方向前进15m 到达山脚B 处，测得塔尖D 的仰角为60°，山坡BE 的坡度i ＝1∶3，求塔DE 的高度．（结果保留根号）11.某小区为治理乱停车现象，出台了规范使用停车位的管理办法，如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m ，CD=5m ，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF.（结果保留根号）12.测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB ，从地面上D 点处观测旗杆顶点A 的仰角为60°，观测旗杆底部B 点的仰角为45°，若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC 的高度．（结果保留根号）．13.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB ）是1.7米，看旗杆顶部E 的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD ）是0.7米，看旗杆顶部E 的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧（点B 、D 、F 在同一直线上）．求旗杆EF 的高度．14.“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”（即DN 的高度）的高度．（保留根号）15.如图在山顶有座移动通信发射塔BE ，高为30米.为了测量山高AB,在地面引一水平线ADC,测得∠BDA=60°,∠C=45°,DC=40米,求山高AB.(不求近似值)16.春暖花开，正是出去踏青郊游的大好季节！小明准备自己制作一个风筝（如图），风筝主体由一张纸片（四边形ABCD ），两根骨架（线段AC 与BD ）组成.其中骨架AC 垂直平分BD ，AB ＝70cm ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝60°，请你分别求出两根骨架AC ，BD 的长度（结果保留根号）.第15题F E D CBA。

三角函数的应用题及解答三角函数是数学中一个非常重要的分支，其应用广泛且深入。

本文将列举几个三角函数的应用题，并给出详细的解答过程。

1. 问题描述：某建筑物高度为100米，离该建筑物水平面的观察角为30°，求观察点到建筑物底部的距离。

解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示观察点到建筑物底部的距离与建筑物高度之间的关系。

设观察点到建筑物底部的距离为x，则有tan(30°) = 100/x。

解以上方程，可得观察点到建筑物底部的距离x = 100/tan(30°) = 100/√3。

因此，观察点到建筑物底部的距离约为57.74米。

2. 问题描述：一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，车头的倾斜角度为15°，求车头离直线道路的垂直距离。

解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示车头离直线道路的垂直距离与车速和倾斜角度之间的关系。

设车头离直线道路的垂直距离为y，则有tan(15°) = y/40。

解以上方程，可得车头离直线道路的垂直距离y = 40*tan(15°)。

因此，车头离直线道路的垂直距离约为10.93米。

3. 问题描述：一个航天器发射到外太空，离地球表面的垂直高度为500公里，航天器的视线与地球表面的夹角为60°，求航天器的真实高度。

解答过程：根据三角函数的定义，正弦函数可以表示真实高度与垂直高度之间的关系。

设航天器的真实高度为h，则有sin(60°) = h/500。

解以上方程，可得航天器的真实高度h = 500*sin(60°)。

因此，航天器的真实高度约为433.01公里。

通过以上例题，我们可以看到三角函数在实际问题中的应用。

无论是建筑物的观察角、汽车的倾斜角度还是航天器的视线角度，三角函数都能提供准确的数学描述和解答。

总结起来，三角函数是数学中一项重要而实用的工具，通过对角度和长度之间的关系的研究和运用，我们可以解决各种实际问题。

三角函数应用专项练习题(经典)1. 问题描述本文档收集了一些经典的三角函数应用练题，帮助学生强化对三角函数的理解和应用能力。

这些练题包括求解三角函数的值、求解三角函数方程、求解三角函数不等式等。

每个问题都提供了解题思路和详细步骤，供学生参考。

2. 练题2.1 求解三角函数的值2.1.1 题目一已知角A为第一象限角，且sin A = 0.5，求cos A的值。

2.1.2 题目二已知角B为第二象限角，且tan B = -√3，求sin B的值。

2.2 求解三角函数方程2.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，在区间[0, 2π]内。

2.2.2 题目四解方程2cos^2 x - 3 = 0，在区间[-π, π]内。

2.3 求解三角函数不等式2.3.1 题目五求解不等式sin x - cos x ≤ 0，在区间[-π/2, π/2]内。

2.3.2 题目六求解不等式tan^2 x - 2tan x + 1 ≥ 0，在区间[-π, π]内。

3. 解答和步骤3.1 求解三角函数的值3.1.1 题目一由sin A = 0.5可知，角A的对边为0.5，斜边假设为1。

根据勾股定理，可以求得角A的邻边为√(1^2 - 0.5^2) = √(1 - 0.25) =√0.75 = √(3/4) = √3/2。

由于角A为第一象限角，邻边为正数。

所以cos A = √3/2。

3.1.2 题目二由tan B = -√3可知，角B的对边为-√3，邻边假设为1。

根据勾股定理，可以求得角B的斜边为√(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2。

由于角B为第二象限角，邻边为负数。

所以sin B = -√3/2。

3.2 求解三角函数方程3.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，可以通过求逆函数arcsin来得到解。

使用计算器可以得到arcsin 0.8 ≈ 0.927。

因为arcsin的定义域是[-π/2, π/2]，所以解法中要考虑解在这个区间的情况。

三角函数应用题（精选）解直角三角形应用一1、如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）2、河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为3、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为4、如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 米．5、天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．6、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）7、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．解直角三角形应用二1、如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）2、天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）3、如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m （结果不作近似计算）．4、如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）5、A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．6、如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.732）7、如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为米．8、国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A 测得高华峰顶F 点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B 点后测得F 点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）9.如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30o，∠ABD =45o，BC =50m. 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）.A。

初中三角函数的应用例题1.一座山峰高度为1800米，从山脚测得与山顶的夹角为30°，求山脚到山顶的实际水平距离。

解：设山脚到山顶的水平距离为x，则根据三角函数的定义，有tan30°=1800/x。

将30°转化为弧度制，即tan(π/6)=1800/x，解得x=1800/(tan(π/6)) ≈ 3600米。

所以山脚到山顶的实际水平距离约为3600米。

2.一条船从港口出发，先顺时针航行90°，然后逆时针航行120°，最后顺时针航行150°，求船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角。

解：根据题意，船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角等于船的顺时针航行角度减去船的逆时针航行角度，即90°-120°+150°=120°。

所以船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角为120°。

3.一个轮半径为40厘米的车轮以每秒10米的速度匀速滚动，求车轮的角速度。

解：车轮每滚动一周，车轮上的任意一点都绕轮心旋转360°，所以车轮的角速度是360°/一周所需要的时间。

滚动一周的时间可以通过速度和距离的关系求得，即一周所需时间为2πr/v，其中r为半径，v为速度。

所以车轮的角速度为360°/(2πr/v)=(360°v)/(2πr)。

代入半径r=40厘米和速度v=10米/秒，计算可得车轮的角速度约为(360°×10米/秒)/(2π×40厘米)≈0.90弧度/秒。

4.一架飞机从A地飞往B地，两地相距1200公里。

飞机的地速为400千米/小时，假设直飞过程中风速与飞机速度方向相反，风速为120公里/小时，求飞机的实际航速和方向。

解：设飞机的实际航速为v，飞机速度与风速的夹角为θ。

根据三角函数的定义，有cosθ=(400-120)/v。

三角函数的三角方程实际应用题三角函数是数学中的重要概念之一，广泛应用于实际问题的求解中。

三角方程是一类含有三角函数的方程，解决三角方程可以帮助我们了解各种实际问题。

本文将通过几个例子来探讨三角函数的三角方程的具体实际应用。

例题一：射击问题某射击运动员站在水平的地面上，距离射击目标水平距离为300米，射击点处的仰角为30°，射击点处与目标的直线距离与仰角之间的关系可表示为tanθ=300/x，其中x为射击点高度。

求射击点的高度x。

解题思路：根据题意，我们可以得到三角方程tanθ=300/x，将其变形得到x=300/tanθ。

其中θ为仰角，x为射击点的高度。

我们可以利用三角函数的计算工具，查表或使用计算器，得到仰角为30°时的tan值。

将其代入方程可得到结果。

例题二：农田渠道问题农田的田地是一个矩形，长为300米，宽为100米。

田地中央有一条渠道，以田地的长边为基准，渠道与长边的夹角为α。

根据实测数据，渠道与田地的宽边相交的距离为150米，渠道的入口与田地的边界距离为50米。

求α的值和渠道的长度。

解题思路：设渠道的长度为L，根据题意可得到三角方程cosα=150/L。

将方程进行变形可得到L=150/cosα。

其中α为渠道与田地长边的夹角。

同样地，我们可以使用三角函数的计算工具来解决这个方程，并得到结果。

例题三：地球上的航海问题假设地球是一个完美的球体，直径为12756km。

一艘船从A点出发，向东航行x km，再向南航行y km，到达B点。

求船的航行距离s和航行方向的角度θ。

解题思路：根据题意，我们可以将航行的过程分解为东方向和南方向。

根据三角形的性质可得，s² = x² + y²。

同时，我们可以利用正弦和余弦函数来求得θ的值。

根据正弦函数的定义，sinθ = y / s，可得θ = arcsin(y / s)。

同理，根据余弦函数的定义，cosθ = x / s，可得θ = arccos(x / s)。