第十章曲线积分与-曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】1。

两类曲线积分的计算方法；2。

格林公式及其应用；3。

第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。

两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。

应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。

[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。

《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。

求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。

定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。

，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。

第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LIxds ，其中L 是圆221xy中(0,1)A 到11(,)22B 之间的一段劣弧；解:1(1)2．（2）(1)Lx y ds，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)322Lxyds．（3）22Lxy ds，其中L 为圆周22x yx ；解:222Lxy ds．（4）2Lx yzds ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ；解:2853Lx yzds ．2 求八分之一球面2221(0,0,0)xyzx y z 的边界曲线的重心，设曲线的密度1。

解故所求重心坐标为444,,333．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b （b 为常数），证明xyz(0,0,0)A (0,0,2)B (1,0,2)C (1,2,3)D xyoABC(,)0LQ x y dy 。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ，其中L 为抛物线2yx 上从点(1,1)A 到点(1,1)B 的一段弧。

解:45Lxydx 。

（2）Ldy y xdx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y11从对应于0x 时的点到2x 时的点的一段弧；解34)()(2222Ldyy xdxy x．（3）,Lydx xdy L 是从点(,0)A a 沿上半圆周222xya 到点(,0)B a 的一段弧；解0.Lydxxdy（4）22Lxy dyx ydx ，其中L 沿右半圆222xya 以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a 的路径；解22Lxy dyx ydx44a 。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解3223Lx dx zy dy x ydz3187874t dt。

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

第十章曲线积分与曲面积分(第四部分)曲面积分Ⅰ、对面积的曲面积分（第一型曲面积分）一、对面积的曲面积分的定义1．定义.2．物理意义表示面密度为的曲面的质量.二、对面积的曲面积分的性质1．线性性质：2．可加性：.3．的面积：.4．单调性：若在上，，则.三、对面积的曲面积分的计算方法方法：化为二重积分计算（关键：确定二重积分的积分变量）（1）若，. 则.（2）若，. 则.（3）若，. 则.四、对面积的曲面积分典型例题例1．计算曲面积分，其中为在与之间的部分。

分析因为：，即，从中能确定，或。

解令：；：. 则（如图）.（1）求和在平面上的投影区域：因和在平面上的投影区域相同，设为，则：，.（2）求微元：在和上，；（3）转化为二重积分：.例2．计算曲面积分，其中为曲面.分析注意到积分曲面为旋转抛物面，它关于面和面对称，且被积函数关于变量和均为偶函数，因此只要计算在第一卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。

解设在第一卦限的部分为，则在面上的投影区域为于是（令）.例3．计算曲面积分，其中为球面.分析由于积分曲面为球面，它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以，而. 故本题利用轮换对称性和奇偶对称性计算比较简单。

解因，由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为，而由轮换对称性易知，故.注从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点：（1）由于积分范围是曲面，所以点的坐标满足曲面的方程,计算中要善于利用曲面的方程来化简被积函数；（2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算；（3）将对面积的曲面积分转化为二重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面的方程的特点所决定的，从以上的例子即可看出。

五、对面积的曲面积分的应用1．几何应用求曲面的面积：.2．物理应用质量.质心，，.转动惯量，，.例4．求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。

第十章 曲线积分与曲面积分一、 一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、 二、 难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

三、 三、 内容提要1． 1． 曲线（面）积分的定义：（1） （1） 第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。

实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Lds y x f ),(表示此柱面的面积。

（2） （2） 第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。

（3） （3） 第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。

实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。

第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。

第十章 曲线积分与曲面积分§10.1 对弧长曲线的积分一、判断题1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则⎰badx x f )(也是对弧长的曲线积分。

（ ）2．设曲线L 的方程为x=)(y ϕ在[βα,]上连续可导则⎰⎰'+=Ldyy y y f ds y x f βαϕϕ2)]([1)),((),(（ ）二、填空题1.将⎰+Lds y x)(22，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分的结果是 。

2.⎰+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。

三、选择题1．⎰+Lds y x )(22=（ ），其中L 为圆周122=+y x （A ）⎰02πθd （B ）⎰πθ2d （C ）⎰πθ22d r （D ）⎰πθ22d2．⎰Lxds =（ ），L 为抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段。

（A ）)155(121- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81-四、计算⎰+Cds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。

五、计算⎰++L ds z y x )2(22，其中L 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x六、计算⎰+Ln ds y x)(22，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+七、计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。

八、求半径为a ，中心角为ϕ2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。

§10.2 对坐标的曲线积分一、判断题1．定积分也是对坐标的曲线积分。

（ ） 2．022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针方向转一周。

（ ）二、填空题1．ydz x dy y dx x 2233++⎰Γ= ，其中Γ是从点A （1，2，3）到点B （0，0，0）的直线段AB 。