比较指数式大小的常用方法

《比较大小》专项突破高考定位比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括高中各部分知识，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。

考点解析（1）特殊值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法题型解析类型一、特殊值法例1-1．已知111,,,a b a M a N a P b a b <<===，则,,M N P 的大小关系正确的为（） A ．N M P << B ．P M N <<C ．M P N <<D ．P N M <<【答案】B【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】 解：111a b <<，01b a ∴<<<，∴指数函数x y a =在R 上单调递减，b a a a ∴>，即N M >，又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，a a ab ∴>，即M P >，N M P ∴>>，故选：B.例1-2．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A例1-3．已知()()2221,2,2,2,2x x xx a b c ∈===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为()2222x x b ==，函数2x y =是单调增函数，所以比较a ，b ，c 的大小，只需比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小即可.用特殊值法，取 1.5x =，容易知3222.25,23,22x x x ===，再对其均平方得()()()2222232.25 5.0625,29,228x x x =====， 显然()()()22232229228 2.25 5.0625x x x =>==>==， 所以222x x x >>，所以b c a >>故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，再通过特殊值法即可得答案.例1-4．设0x y >>，1x y +=，若1ya x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xyb xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log yc x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0x y >>，1x y +=可知01y x <<<，结合不等式性质知11x >，01xy <<，1111xy y x >>>，再利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【详解】 0x y >>，1x y +=，01y x ∴<<<利用不等式性质可知11x>，01xy <<，1111xy y x >>>， ∴011()()1y a x x=>=，1()log 10xy b xy ==-<，111log 1log log 1y y y c x y =>>=-， ∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查指数对数的大小判断，判断方法：解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化能力，属于基础题.类型二、单调性法例2-1．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】C【分析】 根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】 因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<.故选：C练．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数的大小关系为（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】B【分析】 利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>， 又 4.1044155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故b c a >>.故选：B.练．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：因为1ln ln10e<=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；故选：B类型三、简单同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知43a =，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【分析】 首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.【详解】 因为4334log 33a ==， 344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以4333log 3log 4>，即a b >.又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，所以a b c >>.故选：A练．已知2516log 3,log 9,0.3a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】 利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<，5555325log log log 5253log 32231010100.30.3110333a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以cb a >>.故选：D例3-2．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】运用比差法分别比较,a b 与,a c ，进而可得结果.【详解】 因为ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a b ---=-==<，所以a b <； 又ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010a c ---=-==>，所以a c >， 所以c ab <<.故选：D.练．已知12019ln 20202020a =+，12020ln 20212021b =+，12021ln 20222022c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b c >>. 故选：A练．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 【答案】C【分析】结合导数求()ln x f x x=的单调性，可判断,b a b c >>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.【详解】解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>； 当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，则当x e =时，()max ln 1e f x e e ==，即,b a b c >>； ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a c ---=-==<，则c a >，所以bc a >>， 故选：C ．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2、利用作差法，判断两数与零的关系；3、利用作商法，判断两数与1的关系.练．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】B【分析】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵log log m a a m b b =， ∵777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．已知e a =，33log e b =，5ln 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】D【分析】 设()ln x f x x =，e x ≥，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小； 【详解】解：设()ln x f x x=，e x ≥，则()2ln 10(ln )x f x x -'=≥恒成立，∵函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，333log e (3)ln 3b f ===，5(5)ln 5c f ==，∵e 35<<，()()()e 35f f f ∴<<，∵a b c <<，故选：D . 例3-3．已知0a b c d <<<<，若c a a c =，则d b 与b d 的大小关系为（ ）A ．d b b d <B ．d b b d =C ．d b b d >D ．不确定【分析】由c a a c =得ln ln a c a c =，构造新函数ln x y x =，利用导数讨论ln x y x =的单调性，从而判断出ln ln ln b c d b c d >>，即可 得到d bb d >.【详解】因为c a a c =，所以ln ln c a a c =，即ln ln aca c =， 设ln x y x =，则21ln x y x -'=，令21ln xy x -'==0，得x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，ln xy x =单调递增，当(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x =单调递减； 因为ln ln aca c =，0abcd <<<<，所以ae c <<， 所以ln ln ln b cdb c d >>，即d b b d >.故选：C.【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b <<D ．b c a << 【答案】A首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案.【详解】因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <.因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x=， 21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <.所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.练．已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C令ln ()()x f x x e x=≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()x f x x -'=， 可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>， 同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>， ∵b a c <<.故选：C.【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.类型四、中间量例4-1．若0.80.2a =，0.20.8b =，0.31.1c =，lg0.2d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．c b a d >>>B ．c a b d >>>C ．b c a d >>>D ．a c b d >>>【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：0.20.80.20.2>，0.301.1 1.11>=由幂函数的单调性知：0.20.20.80.2>，所以0.20.20.810.80.20.20c b a >>=>>=>，又由对数函数的单调性可知：lg 0.2lg10d =<=综上有：c b a d >>>.故选：A例4-2．已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】 由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】 因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D练．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数运算与对数的性质，求得2a >，2b <，12c <<，再结合22log log 3b c ==，利用对数函数的单调性，即可求解.【详解】根据指数运算与对数运算的性质，可得122a =>=，2b =<，2log 3(1,2)c =∈，设22log log 3b c =，因为函数2log y x =为增函数，由于8523>，所以b c >，所以a b c >>.故选：C.练．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由51log 2log log 522a a a =⇒==<，由112b >>>，0.312c =>，所以c b a >>， 故选：B类型五、放缩法例5-1．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】 先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.【详解】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x <<，即1122c b <<<<， 综上得：b c a >>故选：D练．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A练．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】 因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin 3log 10b =<=，sin30331c =>=，所以c a b >>.故选：C练．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数的单调性来判断数值大小.【详解】由对数及指数的单调性知：0.30.522 1.414a =<=， 1.12.3 2.3b =>，332log 6log 1.5c >=>，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：C.类型六、比较法例6-1作差法．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【分析】 先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小，再作差利用基本不等式有23log 3log 2220a c -=+->=即可得解.【详解】 由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==，23log 3log 222220a c -=+->>-=，所以a c >，所以a c b >>，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.例6-2作商法．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】 根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小.【详解】 由30.754a ==, 因为3444(5)1254256=<=，故3454<，所以3455log 5log 4a b =<=，因为3444(2)89=<=，故342<所以3422log 2log a c =<= 因为58165>，故85165>，因为5832<，故8532<， 所以8555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22b c ===>=， 所以b c >，故a c b <<，故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目. 练．已知1ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】 先由题，易知1ln 231a =<，而2425log 251,?log 261b c =>=>，再将b ，c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】 因为1ln 02<，故1ln 231a =< 2425log 251,?log 261b c =>=>2225252525252524log 26log 26log 241log 26log 24()[log (251)(251)]1log 2524c b +==⋅<=+⋅-< 所以c b < ，即b c a >>故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.类型七、图像法例7-1．若()122211log ,0,222a b c a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】 分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系.【详解】分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，如图所示， 由图象，可得c b a <<.故选：B.练．若44log x x -=，144log y y =，44log 0z z -+=，则实数x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z <<B ．z y x <<C ．z x y <<D ．y z x <<【答案】D【分析】 利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.【详解】对于44log x x -=，由()4x f x -=与4()log g x x =有交点，()f x 过一、二象限，()g x 过一、四象限，∵()f x 与()g x 的交点必在第一象限且()f x 单调递减、()g x 单调递增，而1(1)(1)04f g =>=，11(2)(2)162f g =<=，可得()1,2x ∈，对于144log y y =，由()4y m y =与14()log n y y =有交点，()m y 过一、二象限，()n y 过一、四象限，∵()m y 与()n y 的交点必在第一象限且()m y 单调递增、()n y 单调递减，而(0)1m =，0lim ()y n y +→→+∞，111()2()222m n =>=，可得10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 对于44log 0z z -+=，显然有12z =， ∵x ，y ，z 的大小关系为y z x <<，故选：D.例7-2．已知,,(0,)a b c ∈+∞，且ln 1a a =-，ln 1b b =，e 1c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【分析】由题意可得ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，然后根据函数图像可求得答案【详解】ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，如图所示.由图像可知01c <<，1a =，1b >，所以c a b <<.故选：C.练．正实数a ，b ，c 满足22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】将22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，转化为函数13x y =+，122x y =+，4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】4log 4c c +=4log 4c c ⇒=-，即c 为函数4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，33b b +=134b b ⇒+=-，即b 为函数13x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，22a a -+=1242a a ⇒+=-，即a 为函数122x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：b a c <<.故选：A.练．已知5630x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．y x z <<D ．z x y <<【答案】B【分析】首先对5630x y ==取对数，可比较x ，y 的大小关系，利用对数的运算判断,x y 与1的大小关系，即可利用单调性判断z 的范围，进而可得出x ，y ，z 的大小关系.【详解】对5630x y ==两边同时取常用对数可得lg 5lg 6lg 30x y ==, 所以lg 30lg 5x =，lg 30lg 6y =， 因为lg y x =在()0,∞+单调递增，所以0lg5lg6<<，所以lg30lg30lg5lg 6>，即x y >， 又因为5lg30lg5lg 61log 61lg5lg5x +===+>， 6lg30lg5lg 61log 51lg 6lg 6y +===+>， 所以0log log 1x x z y x <=<=，所以z y x <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断x ，y 的大小关系，判断x 与1的关系利用单调性得出z 的范围.类型八、方程中隐含条件例8-1．已知正数x ，y ，z 满足ln z x y ye zx ==，则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．以上均不对【答案】A【分析】将z 看成常数，然后根据题意表示出,x y ，再作差比较出大小即可【详解】解：由ln z x y ye zx ==，得ln x y zx =，则ln z y =，得z y e =， 所以z ze e zx ⋅=，所以2ze x z =，令()(0)z f z e z z =->，则()10z f z e -'=>，所以函数()f z 在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)01f z f e >=-=，所以z e z >，即y z > 所以22()0z z z z z z e e ze e e z x y e z z z---=-==>， 所以x y >，综上x y z >>，故选：A练．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【分析】通过构造函数()(0)x f x xe x =>，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10x f x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)c b e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<． 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()(0)x f x xe x =>，并且根据指对互化ln ln ln b b b b e =⋅，这样根据单调性可得ln b c =.练．设x ，y ，z 为正实数，且235log log log 1x y z ==>，则2x ，3y ，5z 的大小关系是（ ） A ．532z y x << B ．235x y z << C ．325y x z << D ．235x y z == 【答案】B【分析】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得：22,33,55k k k x y z =>=>=>,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得22,33,55k k k x y z =>=>=>． ∵11121,31,51235k k k x y z ---=>=>=>， 令()1k f x x -=，又()f x 在()0+∞，上单调递增， ∵()()()532f f f >>，即532z y x >>， 故选：B ．【点睛】 关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性． 例8-2．已知a 、b 、c 均为不等于1的正实数，且ln ln a c b =，ln ln c b a =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】分析可知，ln a 、ln b 、ln c 同号，分a 、b 、()0,1c ∈和a 、b 、()1,c ∈+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】ln ln a c b =，ln ln c b a =，且a 、b 、c 均为不等于1的正实数， 则ln a 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.∵若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>；∵若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>.综上所述，c a b >>.故选：A.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.练．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（ ）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】D【分析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =，故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =.若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <，即a c b <<或a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.例8-3．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ）A ．lg lg b a a b <B ．lg lg b a a b =C ．lg lg b a a b >D ．不确定【答案】C【分析】 令()()2,3x x f x x g x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aab >， 即lg lg b a a b >故选：C练．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．无法比较 【答案】A【分析】从选项A 或C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设a b ≥，则1111a b ≥，77a b ≥，由51118a b a +=得51151118()()11818a a a a a +≥⇒+≥， 因函数511()()()1818x x f x =+在R 上单调递减，又51116(1)1181818f =+=<，则()1(1)f a f ≥>，所以1a <；由7915a b a +=得797915()()11515b b b b b +≤⇒+≤， 因函数79()()()1515x x g x =+在R 上单调递减，又7916(1)1151515g =+=>，则()1(1)g b g ≤<，所以1b >；即有1a b <<与假设a b ≥矛盾，所以a b <，故选：A【点睛】思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．巩固训练（精选以一敌百）1．（多选）（2022·全国·高三期中）已知a ，b 为正数，且1a b -=，则（ ） A ．221a b +<B ．331a b ->C ．222log log 2-<a bD ．211b b a+> 【答案】BD【详解】由于1a b -=，取1,2b a ==，代入四个选项对于A ：221a b +<，左边2251a b +=>故A 错误；对于C ，222log log 2a b -=，故C 错误2．（多选）（2022·江苏·南京市第一中学高三期中）已知实数,,x y z 满足ln 1y z x z e ⋅=⋅=.则下列关系式中可能成立的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >> 【答案】ABC 设1ln y x e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k=，画出函数图象，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>； 故选：ABC。

第20讲 指对数比较大小8种常考题型总结【知识点梳理】指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法．（1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可 （2）利用指数对数函数图象关系比较大小（2）比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如12.02.0003.0=<<，12.0log 3.0log 1log 02.02.02.0=<<=（3）取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与21的大小等 （4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较．例如：log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+；．（5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如2ln =a 和2log 3=b ，e a 2log 12ln ==，3log 12log 23==b ，因为e 22log 3log >，所以b a > （6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如3log 2=a 和4log 3=b ，则()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a >（7）构造函数，利用函数的单调性比价大小 【题型目录】题型一：直接利用单调性比较大小 题型二：比较与1,0的大小关系 题型三：取中间值比较大小 题型四：利用换底公式比较大小 题型五：分离常数再比较大小 题型六：利用均值不等式比较大小题型七：乘倍数比较数的范围比较大小 题型八：构造函数比大小 【典型例题】题型一：直接利用单调性比较大小【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】A【分析】由对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】∵2log y x =在定义域上单调递增， ∵222log 0.6log 0.8log 1.2<<，即c b a >>. 故选：A.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则a 、b 、c 的大小顺序为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C【分析】先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.【详解】42log 6log 6b ==，又382log 9log 9c ==，因为3369>>，2log y x =单调递增，所以c b a <<. 故选：C 【题型专练】1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（ ） A ．22log 5.3log 4.7< B ．0.20.2log 7log 9<C ．3πlog πlog 3>D ．log 3.1log 5.2(0a a a <>且1)a ≠【答案】C【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A ，因为2=log y x 是单调递增函数，所以22log 5.3log 4.7>，故A 错误； 对于B ，因为0.2=log y x 是单调递减函数，所以0.20.2log 7log 9>，故B 错误； 对于C ，因为33ππ3=1,1log πlog log 3log π><=，所以3πlog πlog 3>，故C 正确； 对于D ，当01a <<时，=log a y x 是单调递减函数，当1a >时，=log a y x 是单调递增函数， 所以当01a <<时，log 3.1log 5.2>a a ，当1a >时，log 3.1log 5.2<a a ，故D 错误. 故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，ln 2b =，2log πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解：因为()2log f x x =为单调递增函数，所以22log πlog 31>>. 因为ln 21<，所以c a b >>． 故选:B ．3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知1ln 3a=，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：2ln 3ln 3c ==，21ln e ln 3ln e 2=<<=，即12c <<， 又1ln 3a =，所以31ln elog e ln 3ln 3a ===，所以112a <<， 3335log 5log 2log 2b =-=，33315log 3log log 3122=<<=，即112b <<， 又5e 2>，所以335log e log 2>，即a b >， 综上可得c a b >>； 故选：C4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知0.919x =，2log 0.1y =，2log 0.2z =，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可 【详解】因为9x y =在R 上为增函数，且0.910>， 所以0.910991>=，即1x >，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.10.21<<， 所以222log 0.1log 0.2log 10<<=，即0y z <<， 所以x z y >> 故选：B.题型二：比较与1,0的大小关系【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若1223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】分别根据23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =、0.6x y =的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可比较【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上是减函数，12220133a ⎛⎫⎛⎫<== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭< ； ln y x =在()0,+∞上是增函数，1lnln102b =<=； 0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，0.200.60.61c -=>=，故c a b >>， 故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知0.3123log 2,log 3,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出0a <，1b >，01c <<，即可得到正确答案. 【详解】因为13log y x=为减函数，所以1133log 2log 10a =<=，即0a <；因为2log y x =为增函数，所以22log 321log b =>=，即1b >； 因为2x y =为增函数，所以0.300221c -<=<=，即01c <<； 所以b c a >>. 故选：D【例3】（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C. 【题型专练】1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若0.110a =，lg0.8b =，5log 3.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>，由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<，0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=，a cb ∴>>，故选:D2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知5lg 0.2,log 6,ln 2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0,1分段法求得正确答案.【详解】55lg 0.20,log 6log 51,0ln 2ln e 1a b c =<=>=<=<=， 所以a c b <<. 故选：C3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断0.60.622e log 0.6a b c -===，，的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>， 故选：C题型三：取中间值比较大小【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知32log 3a =，2log 3b =，139c =，则（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】因为332log log 103a =<=，2221log 2log 3log 42b =<=<=，1133982c =>=， 因此，c b a >>. 故选：D.【例2】（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知6log 2a =，0.5log 0.2b =，0.30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【详解】解：110.5222log 0.2log 5log 5log 42--==>=，即2b >，66610log 1log 2log 62=<<=，即102a <<，00.30.31110.60.60.50.52=>>>=，即112c <<，所以b c a >>； 故选：A 【题型专练】1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可. 【详解】依题意，23043<<，3243∴< ，3log y x =是单调递增，32333log 4log 32∴<=，a c ∴<，23054<<，3254∴<，4log y x =是单调递增，32443log 5log 42∴<=，b c ∴<， 45430>>，5443∴> ，3log y x =是单调递增，54335log 4log 34∴>=，54a ∴>，45054<<，5454∴<，4log y x =是单调递增，54445log 5log 44∴<=，54b ∴<，综上所述，c a b >>. 故选：D.高二期末（理））设0.632log 8c =A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】D【分析】利用幂函数和对数函数的性质比较即可【详解】因为533223log 8log 20.60.615c ====<， 所以c a <，因为0.6y x =在(0,)+∞上为增函数，且910<， 所以0.60.6910<，因为lg y x =在(0,)+∞上为增函数， 所以0.60.6lg9lg100.6<=，所以b c <， 综上b c a <<，故选：D3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知52log 4a =，31log 72b =，4log 52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】B【分析】根据对数得运算性质结合对数函数的性质，利用中间量法即可得出答案. 【详解】解：由552log 4log 16a ==，则12a <<， 3331log 7log 7log 912b ==<=， 42log 5log 52252c ===>，所以b a c <<. 故选：B.题型四：利用换底公式比较大小【例1】（2021·全国·高一期末）设x ，y ，z 为正数，且345x y z ==，则（ ） A ．x y z << B ．y x z << C ．y z x << D ．z y x <<【答案】D【分析】令3451x y z k ===>，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较作答. 【详解】因x ，y ，z 为正数，令345x y z k ===，则1k >， 因此有：31log log 3k x k ==，41log log 4k y k ==，51log log 5k z k ==， 又函数()log k f t t =在(0,)+∞上单调递增，而1345<<<，则0log 3log 4log 5k k k <<<， 于是得111log 3log 4log 5k k k >>， 所以z y x <<. 故选：D【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得． 【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a <b <1， ∵c 125=>50=1， ∵c >b >a ， 故选：D .【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得． 【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1， ∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a <b <1， ∵c 125=>50=1， ∵c >b >a ， 故选：D . 【题型专练】1.（2022河南·高三开学考试（文））设0.1log 4a =，50log 4b =，则（ ） A ．()22ab a b ab <+< B ．24ab a b ab <+< C ．2ab a b ab <+< D ．2ab a b ab <+<【答案】D【分析】由对数函数性质得0,0a b <>，从而0ab <，由对数换底公式和对数运算法则计算得1112a b<+<，再由不等式性质可得结论．【详解】因为0.1log 4a =，50log 4b =，所以0,0a b <>，所以0ab <， ()44411log 0.1log 50log 51,2a b +=+=∈，即1112a b<+<，所以2ab a b ab <+<. 故选：D ．2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设2log a π=，6log b π=，则（ ）A ．0a b ab -<<B ．0ab a b <<-C ．0ab a b <<-D ．0a b ab <-<【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得>0>0a b ab -，，111b a-<，由此可判断得选项. 【详解】解：因为22log >log 21a π==，6660log 1log log 61b π=<=<=，所以>1,01a b <<，所以>0>0a b ab -，，故排除A 、B 选项；又11log 6log 2log 3log 1a bb a abπππππ--==-=<<，且>0ab ，所以0a b ab <-<， 故选：D.3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设0.20.3a =，20.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由0.20.20.3log 0.3aa =⇒=，因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，所以01a <<，由220.3log 0.3bb =⇒=，因为22log 0.3log 0.51<=-，所以1b <-，因此0ab <，0a b +< 由0.20.31log 0.3log 0.2a a =⇒=，20.31log 0.3log 2b b=⇒=， 于是有：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b+=+=，因为0.30.3log 0.4log 0.31<=，所以1111b aa b ab++<⇒<，因为0ab <，所以b a ab +>， 即0ab a b <+<， 故选：B【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合,a b 两数的倒数和与1之间的关系，进行判断是解题的关键.4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x ，y ，z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（ ） A ．1112x y z+= B ．346x y z >>C ．22xy z > D ．32x y z +>⎝【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x ，y ，z 满足346x y z ==，设()3461x y zt t ===>，则3log x t =，4log y t =，6log z t =．对于A ，1111log 3log 4log 622t t t x y z+=+==，故A 正确； 对于B ，333log x t =，444log y t =，666log z t =， ∵33433log 3log 4144log 4x t y t ==<，∵34x y <， ∵44644log 2log 6166log 3y t z t ==<，∵46y z <，∵346x y z <<，故B 错误； 对于C ，由1111222z x y xy=+>（2x y ≠），两边平方，可得22xy z >，故C 正确； 对于D ，由22xy z >，可得232222222x y xy z z z ⎛⎫+>>=>+ ⎪ ⎪⎝⎭（x y ≠），故D 正确． 故选：ACD题型五：分离常数再比较大小【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知6log 3a =，8log 4b =，10log 5c =，则（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可． 【详解】由题意得， 666261log 3log 1log 212log 6a ===-=-， 888281log 4log 1log 212log 8b ===-=-， 1010102101log 5log 1log 212log 10a ===-=-， 因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增， 所以222log 6log 8log 10<<，则222111log 6log 8log 10>>， 所以a b c <<. 故选：D ．【题型专练】1.设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >> 【答案】D【详解】由题意得，()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =⨯=+=⨯=+=⨯=+357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>故选：D ．题型六：利用均值不等式比较大小【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末）73a =，4log 20b =，33log 2log 6c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可 【详解】74133a ==+，4444log 20log 4log 51log 5b ==+=+，333log 2log 61log 4c =+=+， 因为433333334log 3log 81log 64log 43==>=，所以a c >，因为2423lg3lg5log 5lg5lg32log 4lg 4lg 4(lg 4)+⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅<222222lg15lg162lg 42221(lg 4)(lg 4)(lg 4)⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<==，43log 51,log 41>>， 所以43log 5log 4<，所以c b >， 综上a c b >>， 故选：B【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若lg 2lg5a =⋅，ln 22b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A【分析】由基本不等式可判断14a <，由对数的性质可得14b >，再作差可判断,c b 大小.【详解】()2lg 2lg51lg 2lg544a +=⋅<=，2ln 2ln 41444b ==>，9ln ln 3ln 22ln 33ln 2803266c b --=-==>，则c b >.所以a b c <<. 故选：A ． 【题型专练】1．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知log 5a =0.62b =，0.2log 6c =-，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据换底公式可得,1a c >，再根据换底公式与基本不等式可得c a <，再根据5532b ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得b a >，进而求得大小关系【详解】24log 5log 51a =>=，0.25log 6log 61c =-=>，则()25224lg 4lg 6log 6lg 4lg 62log 5(lg 5)lg 5c a +⎛⎫ ⎪⋅⎝⎭==<()()2222lg 24lg 25221lg 5lg 5⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<=，所以c a <； 243log 5log 52a ==<，()5550.63282b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以32b >，则b a >.所以b a c >> 故选：C.题型七：乘倍数比较小【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【题型专练】1.已知3log 2=a ，4log 3=b ，5log 4=c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【详解】()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a > 又因()6,5256log 4log 4433∈==b ，()5,4625log 5log 4444∈==c ，所以c b 44>，所以c b > 所以c b a >>，故选B 题型八：构造函数比大小【例1】（2022·全国·高一专题练习）设0a >，0b >，则下列叙述正确的是（ ） A ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b > B ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b < C ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b > D ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b < 【答案】A【分析】利用函数的单调性分析判断即可【详解】因为ln y x =和2y x =在(0,)+∞上均为增函数， 所以()ln 2f x x x =+在(0,)+∞上为增函数， 所以()()f a f b >时，得0a b >>，反之也成立， 即ln 2ln 2a a b b +>+时，0a b >>，反之也成立， 所以ln 2ln 2a b b a ->-时，0a b >>，反之也成立， 故选：A【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若2e 2e x x y y ---<-，则（ ） A ．()ln 10y x -+< B ．()ln 10y x -+>C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【答案】B【分析】先构造函数()2e x xf x -=-，通过导函数得到单调性，从而得到x y <，故可通过函数单调性判断出()ln 1ln10y x -+>=，而x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故CD 均错误.【详解】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x xf x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若1a b >>，且x y x y a a b b --->-，则（ ） A ．()ln 10x y -+> B ．()ln 10x y -+< C ．ln 0x y -> D ．ln 0x y -<【答案】A【分析】根据题意，构造函数()x xf x a b -=-，利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.【详解】因为x y x y a a b b --->-，即x x y y a b a b --->-，故令()x xf x a b -=-，则上式等价于()()f x f y >因为1a b >>，,x x y a y b -==-都是R 上的单调增函数，故()f x 为R 上的单调增函数，则由()()f x f y >，可得x y >，即0x y ->； 则11x y -+>，故()ln 10x y -+>，则A 正确；B 错误； 因为0x y ->，故无法判断ln x y -的正负，故C ，D 错误. 故选：A .【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已知条件，构造函数()x xf x a b -=-，并利用其单调性判断,x y 的大小关系.2.（2022·全国·高一单元测试）已知正实数x ，y 满足21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．11x y< B ．33x y < C ．()ln 10y x -+> D ．122x y -<【答案】BC【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.【详解】方法一（筛选法） 由题意，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当x y >，即1x y >时，2log 0x y >，而1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立．当x y =时，2log 0x y =，11022x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立，故0x y <<，所以11x y >，33x y <，故A 错误，B 正确．0y x ->，则11y x -+>，()ln 10y x -+>，故C 正确．0221x y -<=，故D 不一定正确．故选：BC ．方法二（构造函数法） 由题意，2211log log 22x y x y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故由()()f x f y <，得0x y <<，故11x y>，故A 错误．33x y <，B 正确；由x y <，得11y x -+>，故()ln 1ln10y x -+>=，C 正确；0221x y -<=，故D 不一定正确， 故选：BC ．。

方法集锦比较函数式大小问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现在各类试卷中，其中比较指数、对数函数式的大小问题较为复杂，此类问题侧重于考查指数、对数函数的单调性、奇偶性、图象以及运算性质.比较函数式大小的常用方法有作差比较法、作商比较法、函数性质法、中价值法、公式法等.本文重点谈一谈比较指数、对数函数式大小的两种常用途径.一、利用函数的单调性我们知道，指数、对数函数具有单调性，当0<a <1时，指数函数y =a x (a >0，且a ≠1)在R 上单调递减；当a >1时，指数函数y =a x在R 上单调递增.当0<a <1时，对数函数y =log a x (a >0，且a ≠1)在()0,+∞上单调递减；当a >1时，指数函数y =log a x 在()0,+∞上单调递增.在比较指数、对数函数式的大小时，可将两个函数转化为底数、指数、真数相同的指数、对数函数式，再根据指数、对数函数的性质来进行比较.例1.已知a >b ，则().A.ln ()a -b >0B.3a <3bC.a 3-b 3>0D.||a <||b 解：对于A 项，根据y =ln x 的值域为R ，可知ln ()a -b 与0的大小关系无法判断，则A 项错误；对于B 、C 两项，可根据指数函数y =3x 在R 上单调递增判断3a>3b，则B 项错误，C 项正确；对于D 项，根据绝对值的性质无法判断||a 、||b 的大小关系.故本题选C 项.例2.（2020年全国Ⅰ卷理科,第12题）若2a+log 2a=4b+2log 4b ，则().A.a>2bB.a<2bC.a >b 2D.a <b 2分析：不等号两边的式子都是一个指数函数式和一个对数函数式的和，其结构相同，于是将其变形2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b ，构造同底数的函数式f (x )=2x+log 2x ，再讨论f (x )在()0,+∞上的单调性，便可根据函数的单调性来比较a 、2b 的大小，从而选择出正确的选项.解：设f (x )=2x+log 2x ，则f (x )为增函数，因为2a +log 2a =4b +2log 4b =22b+log 2b所以f (a )-f (2b )=2a+log 2a -(22b+log 22b )=22b +log 2b -(22b +log 22b )=log 212=-1<0，所以f (a )<f (2b )，所以a <2b .f (a )-f (b 2)=2a +log 2a -(2b 2+log 2b 2)=22b +log 2b -(2b 2+log 2b 2)=22b -2b 2-log 2b ，当b =1时，f (a )-f (b 2)=2>0，此时f (a )>f (b 2)，有a >b 2，当b =2时，f (a )-f (b 2)=-1<0，此时f (a )<f (b 2)，有a <b 2，所以C 、D 两项错误.故本题选B 答案.有些要比较大小的式子很复杂，但是仔细一看就会发现其中有很多重复或者是相似的地方，可从中找到一些“端倪”，据此构造新函数，根据新函数的单调性来比较函数式的大小.二、取中间值运用中间值法比较两个指数、对数函数式的大小，通常要与放缩法相结合，即以中间值作为“桥梁”，根据不等式的传递性来将要比较的式子进行放缩，以便快速比较出各个指数、对数函数式与中间值的大小.例3.已知a =log 52,b =log 0.50.2,c =0.50.2，则a ，b ，c的大小关系为().A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b解：因为a =log 52<log 55=12，b =log 0.50.2<log 0.50.25=2，又12=0.51<0.50.2<0.50=1，故12<c <1，因此a <12<c <1<2<b ，所以a <c <b ，故A 选项正确.运用中间值法比较指数、对数函数式的大小，关键要选取合适的中间值.在选取中间值时，将要比较的式子进行合理变形，尽量将其与0,1，12等便于变形的数值靠拢.由于a =log 52<log 55=12，b =log 0.50.2<log 0.50.25=2，所以本题选取12和2作为中间值.相比较而言，第一种途径较为简单，且较为常用，第二种途径较为灵活，且较为复杂，常用于求解较为复杂的，且没有任何共同点的函数问题.在比较指数、对数函数式的大小时，同学们要有敏锐的观察力和较强的分析能力，这样才能根据函数式的特点快速选出合适的方法来求解.（作者单位：闽南师范大学数学与统计学院）43。

指数函数的图象与性质•指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：0<a<1 a>1 图像图像定义域R值域（0，+∞）恒过定点图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1单调性在（∞，+∞）上是减函数在（∞，+∞）上是增函数函数值的变化规律当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1 当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1•底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，•指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．高中数学必修之指数函数知识梳理知识点1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1/2，1/3的指数函数的图象.3体会指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1.根式的性质2．有理指数幂考点1：指数幂的运算[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点2：指数函数的图象及应用[规律方法]指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1) ，【1，1/a】(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．总结思想与方法1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较。

09 判断比较指数式、对数式大小的方法典型例题精选与变式典型例题例1【2021陕西省宝鸡市千阳中学适应模拟】设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a解：∵y=0.6x为减函数，∴0.60.6>0.61.5，且0.60.6<1.又c=1.50.6>1，∴1.50.6>0.60.6>0.61.5，即c>a>B.【方法】底数相同，指数(真数)不同例2设a=log 3π，b=log，c=log，则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a解：∵a=log 3π>log 33=1，b=loglog 22=1， ∴a>B.又23132122log b c log ==(log 23)2>1，b>0， ∴b>c ，故a>b>C.【方法】底数不同，指数(真数)相同例3【2021广西五市联合模拟】若31311log ,,log cos 35a b e c πππ===，则（ ）A. b c a >>B. b a c >>C. a b c >>D. c a b >> 解：31110log log 31,1,0cos 135a b e ππππ><==<=<<， 31log cos 05c π=<，b ac ∴>>，【方法】底数与指数(真数)都不相同最新模拟精选与提高 精选练习自主解析 体会应用1.已知10a =3log 6b =，2log c =，则a ，b ，c ，则（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的单调性判断a 的大小，再由对数函数的单调性和对数的运算可得出b 、c 的大小.【详解】因为001101a <==，又因为指数函数的值大于0，所以01a <<；因为3log x 在R 上单调递增，3333log 6log log 2>==，所以32b >，因为2log x 在R 上单调递增，2223log log log 2<<=，所以312c <<，所以a c b <<. 故选：B.【方法】底数与指数(真数)都不相同2. 已知0.31.2a =，0.3log 1.2b =， 1.20.3c =，则（ ） A. b c a >> B. c a b >> C. a c b >> D. a b c >>【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出,,a b c 的范围即可求解. 【详解】0.301.211.2>=，1a ∴>，0.30.3log 1.2log 10<=，0b ∴<，1.2000.30.31<<=，01c ∴<<， a c b ∴>>.故选：C.【方法】底数与指数(真数)都不相同3. 设0.980.89x =，0.890.98y =，0.98log 0.89z =，则（ ） A. z x y >> B. x z y >> C. z y x >> D. x y z >>【答案】C 【解析】【分析】首先根据指数函数以及幂函数的单调性比较,x y 的大小，再通过对数函数的单调性求得z 的范围，即可得解.【详解】由0.89x y =是减函数，0.89y x =在()0,∞+上是增函数，可得0.980.890.8900.890.890.981<<<<，由0.98log y x =是减函数，可得0.980.98log 0.89log 0.981>=，可得z y x >>， 故选：C.【方法】底数与指数(真数)都不相同 4. 设2log 0.3a =，0.32b =，sin 5c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】C 【解析】【分析】利用指数、对数三角函数的性质判定a ,b ,c 与0，1的大小关系，即可得到a ,b ,c 的大小关系.【详解】22log 0.3log 10a =<=，0.30221b =>=，sin (0,1)5c π=∈，所以a c b <<， 故选：C.【方法】底数与指数(真数)都不相同 5. 若3222log 33log 3log 2215,,5a b c ⎛⎫==⎪⎝⎭＝，则（ ） A. c a b ＞＞ B. b a c ＞＞C. a c b ＞＞D. a b c ＞＞【答案】D 【解析】【分析】根据指对数运算法则化简成相同真数，底数不同的对数式，然后根据指数函数的单调性求得数的大小关系.【详解】由指数、对数运算性质知，332423133log log log log 3222255,55b c -====， 则由234333log log log 222>>知 234333log log log 222555>>，即a b c >>【方法】底数相同，指数(真数)不同 6. 若133a -=，b ＝log 25，c ＝ln3，则（ ） A. b ＞a ＞c B. b ＞c ＞a C. c ＞a ＞b D. c ＞b ＞a【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：103331-<=，2223log 8log 5log 42=>>=，21ln ln 3ln 2e e =<<= 所以()0,1a ∈，()2,3b ∈，()1,2c ∈，所以b c a >> 故选：B【方法】底数与指数(真数)都不相同7. 已知0.5log 3a =，30.5b -=，0.53c -=试比较a ，b ，c 的大小为（ ） A. a b c << B. a c b << C. c b a << D. c a b <<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将a ､b ､c 与0､1相比较，即可得到结论. 【详解】解：∵0.52log 3log 30a ==-<，3300.5221b -==>=， 1020.51103133c -⎛⎫⎛⎫<==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵a c b <<， 故选：B .【方法】底数与指数(真数)都不相同8. 已知2sin 5a π=，2tan 7b π=，4logc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>D. a c b >>【解析】【分析】引入中间值根据2247352πππππ<<<<，即可判定大小 【详解】因为2247352πππππ<<<<，2sin 15π<<，2tan17π>.又4log =， 所以b a c >>. 故选：B【方法】底数与指数(真数)都不相同 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 20202019log 2021log 220210202020<<B. 20192020log 2020log 220210212020<<C.20202019log 2021lo 2021202002g 20<< D.20192020log 2020lo 2021202012g 20<< 【答案】A 【解析】【分析】构造函数()1lnxf x x =+，利用导数求出函数的单调性，再根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：对于2(1)lg(1)lg(2)lg (1)lg lg(2)log (1)log (2)lg lg(1)lg lg(1)x x x x x x x x x x x x x ++++-++-+=-=++， 222lg(2)lg lg(2)()lg (1)2x x x x x +⋅+≤<+，所以当1x >时，(1)log (1)log (2)0x x x x ++-+>，故20192020log 2020log 2021>．根据函数ln ()1x f x x =+，(0)x >，则211ln ()(1)x x f x x +-'=+，()11ln g x x x =+-在定义域上单调递减，()111ln 0g e e e e =+-=>，()2222111ln 10g e e e e=+-=-<，所以存在()20,x e e ∈，使得()00g x =，所以()0,x x ∈+∞时()0f x '<，所以函数在()0,x +∞单调递减，所以ln2019ln202020202021>，所以2019ln 2020log 20202020ln 02019221>=， 所以20202019log 2021log 220210202020<< 故选：A【方法】底数与指数(真数)都不相同10. 已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项. 【详解】因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin 3log 10b =<=， sin30331c =>=， 所以c a b >>. 故选：C【方法】底数与指数(真数)都不相同。

一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50探索探索与与研研究究即a >c ，综上所述，c <a <b .解答本题，要先将三个函数式进行化简，得b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109；然后利用重要不等式：e x ≥x +1、ln x ≤x -1、ln x <12(x -1x )()x >1分别判断出a 、b 、c 三者的大小关系.函数与不等式之间联系紧密，在比较较为复杂的函数式的大小时，往往要灵活运用函数的性质以及与函数相关的重要不等式结论来辅助解题.二、借助中间值中间值法是比较函数式大小的一种常用方法.有时我们很难直接判断出要比较的函数式的大小，此时可采用中间值法来解题.首先将函数式分别进行化简，以确定其大概的取值范围，并判断其正负；然后选取合适的中间值，如0、1、-1等特殊值，分别比较出函数式与中间值的大小；再根据不等式的传递性来判断出几个函数式之间的大小关系.例2.已知a =0.70.7，b =0.71.5,c =1.50.7，试比较a ，b ，c 的大小.解：由于0<b =0.71.5<0.70.7=a <0.70=1,c =1.50.7>1.50=1,所以b <a <c .先利用指数函数y =0.7x的单调性比较出a 、b 之间的大小，并确定其取值范围为（0，1）；然后根据指数函数y =1.5x的单调性比较出c 与1的大小，这样便以1为中间值，根据不等式的传递性来判断出a 、b 、c 的大小关系.例3.设a =log 50.5，b =log 20.3，c =log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是().A.b <a <cB.b <c <aC.c <b <aD.a >b >c解：a =log 50.5>log 50.2=-1，b =log 20.3<log 20.5=-1，c =log 0.32>log 0.3103=-1，log 0.32=lg 2lg 0.3，log 50.5=lg 0.5lg 5=lg 2-lg 5=lg 2lg 0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c <a ，∴b <c <a ，本题选B.观察a 、b 、c 三个函数式，可发现三个函数式均为对数式，且底数和真数均不相同，因此需采用中间值法求解.首先根据对数函数的运算性质、公式对三个函数式进行化简；然后取中间值1、-1，根据对数函数y =log 0.3x 和y =lg x 的单调性分别判断出a 、b 、c 、1、-1之间的大小关系，进而比较出a 、b 、c 的大小.三、放缩函数式放缩法是比较函数式大小的重要方法之一.利用放缩法比较函数式的大小，需先对函数式进行恒等变形；再借助不等式的基本性质、函数的单调性对函数式进行合理放缩，进而比较出函数式的大小.例4.已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9，请判断a ，b 的大小关系.解：∵9m =10,∴m =log 910>log 99=1,而a =10m-11=9m×æèöø109m-11=10×æèöø109m-11>10×109-11=19>0，b =8m-9=9m×æèöø89m-9=10×æèöø89m-9<10×89-9=-19<0，∴a >0>b .先根据指数幂的运算性质将指数式、对数式进行互化；再利用指数函数的单调性确定参数m 的取值范围；然后利用指数函数的单调性进行放缩，即可比较出a 、b 的大小.例5.已知7m =10,a =11m -13,b =6m -7，试判断a ，b 的大小关系.解：∵7m =10,∴m =log 710>log 77=1,而a =11m-13=7m×æèöø117m-13=10×æèöø117m-13>10×117-13>0，b =6m-7=7m×æèöø67m-7=10×æèöø67m-7<10×67-7<0，∴a >0>b .三个函数式中均含有参数m 和指数式，于是先根据指数的运算性质对函数式进行化简；再根据参数m 的取值范围，利用指数函数的单调性进行放缩，最终确定两个函数式的正负，从而比较出a ，b 的大小.解答比较函数式的大小问题，需要仔细研究要比较的函数式，找出二者之间的区别和联系，灵活运用重要不等式、中间值、函数的性质和图象，来确定函数的大小和取值范围.（作者单位：安徽省砀山第二中学）51。

指数函数大小比较方法
指数函数大小比较，那可真是个让人挠头的事儿呢！不过别担心，咱有办法。

首先，看底数啊！如果底数大于1，那指数函数就是单调递增的哟！这不就像爬楼梯，越往上走越高嘛！要是底数大于0 小于1 呢，嘿，那就是单调递减啦，就像坐滑梯，越滑越低。

那怎么比大小呢？把指数函数的底数和指数都分析清楚呀！如果两个指数函数底数不一样，指数也不一样，咱可以找个中间值来帮忙呀！比如说，找个底数相同或者指数相同的中间函数来比较。

这就好比找个裁判，让两个选手比一比谁更厉害。

比较指数函数大小有啥要注意的呢？可千万别忽略底数的范围呀！要是不小心搞错了底数的大小关系，那可就全乱套啦！而且指数的正负也很重要哦，正指数和负指数的函数值可是有很大差别的呢。

那指数函数大小比较在实际中有啥用呢？哎呀，用处可大啦！比如在金融领域，计算利息啥的就可能用到指数函数呀！你想想，要是不会比较指数函数大小，那怎么算出最划算的投资方式呢？在科学研究中，很多数据的变化也可以用指数函数来表示呢。

举个例子吧，假如你有两种投资方案，一个是按照指数函数增长，
另一个也是指数函数增长，但是底数和指数都不一样。

你要是不会比较大小，怎么知道哪个方案更赚钱呢？通过比较指数函数大小，就能做出更明智的决策啦！
指数函数大小比较真的很重要呢！咱只要掌握了方法，就不怕搞不定那些复杂的函数啦！。

比较指数式大小的常用方法作者：丁春梅李明照来源：《新高考·高一语数外》2008年第10期指数函数是高中阶段在学习函数及其性质的基础上重点研究的函数之一.学习了指数函数后，常常会遇到比较指数式大小的一类问题.这类问题在各种考试中出现频率高、灵活性强，是考查指数函数性质的重要题型，且大多为选择题和填空题.掌握好比较指数式大小的方法，在比较对数大小时也会有很大帮助.一、单调性法比较两个指数式的大小，常可以归结为比较两个函数值的大小，所以需要我们能恰当地构造函数，使两个指数式为同一函数的两个函数值，然后根据函数的单调性来比较大小.例1 设y1=40.9,y2=80.48,y3=12-1.5,则（）A. y3＞y1＞y 2B. y2＞y1＞y 3C. y1＞y2＞y 3D. y1＞y3＞y 2解析把y1,y2,y3分别化为同底的指数幂:y1=2 1.8,y2=2 1.44,y3=2 1.5.因为y=2x在(-∞,+∞)是单调递增函数,所以y1＞y3＞y 2.故选D.说明解决本题时，要善于观察三个指数的底数之间的关系和转化方向，利用指数函数的单调性来比较指数式的大小.二、中间量法中间量法即选取适当的数作为中间量，使其分别与要比较的两个指数式比大小，利用中间量这一“桥梁”间接地得出两个指数式的大小.最常用的中间量是0,1和-1，有时根据具体情况要插入指数式进行放缩.例2 比较1.70.3与0.9 3.1的大小.解析因为1.70.3＞1.70=1,而0.9 3.1＜0.90=1,所以1.70.3＞0.9 3.1.说明当比较的两个指数式不容易化为相同底数的指数幂,即无法利用单调性法时，可插入0或1等中间量进行比较使问题获解.例3 比较0.90.5与0.70.6的大小.解析幂函数y=x0.5在[0，+∞）上是增函数，故0.90.5＞0.70.5.指数函数y=0.7x在（-∞,+∞）上是减函数，故0.70.5＞0.70.6.所以0.90.5＞0.70.6.说明本例中的两个数均大于0小于1，无法再用0或1来比较，通过构造指数式来寻找中间量.上述三例的解题思路归结起来就是：1. 先判断能否看作同一指数函数的两个函数值，利用函数的单调性比较大小;2. 不能看作同一个指数函数的两个值时，用中间量进行过渡.三、作差或作商比较法作差比较的原理为：A＞B A-B＞0；A=B A-B=0；A＜B A-B＜0.作商比较的原理为：当满足条件A＞0,B＞0时，AB＞1A＞B；AB=1A=B；AB＜1A＜B.例4 若c＞0，0＜b＜a＜1，试比较a bc与b ac的大小.解析因为0＜b＜a＜1，所以a bc＞0，b ac＞0，所以a b＞a a,b a＞0，所以a bb a＞a ab a=ab a＞1.又c＞0，所以a bb a c＞1.而a bc b ac=a bb a c，所以a bcb ac＞1,所以a bc＞b ac.说明作差比较法和作商比较法是比较两个数大小的通法.若指数式恒大于0，多采用作商法.四、数形结合法把要比较的两个指数式看作是两个指数函数的值，然后在同一坐标系中分别作出这两个指数函数的图象，再在相应的图象上描出函数值所对应的点，由图象上点的位置来确定两个指数式的大小.数形结合的好处是直观简便，且无需运算.对上面的例2，我们还可以用数形结合法来解.如右图，分别画出y=1.7x与y=0.9x 的图象，然后在y=1.7x的图象上找到x=0.3时对应的点，在y=0.9x的图象上找到x=3.1时对应的点，由两个点的高低即可判断出 1.70.3与0.9 3.1的大小，显然1.70.3＞0.9 3.1.说明函数的图象是函数性质最直观的体现，解决与函数有关的问题时，一定不能忘了它的图象.五、特殊值法特殊值法（或叫试数法）是一种解题中广泛使用的好方法，当然,一般只能用于解选择题和填空题.遇到比较含有字母的两个指数式的大小时，将特殊值代入，通过简单计算、推理能快速得到正确的答案.例5 若c＞0，0＜b＜a＜1,则a c与b c的大小关系是（）A. a c＞b cB. a c＜b cC. a c=b cD. a c≤b c解析令c=2,a=12，b=13,则122=14＞132=19,由此可判断选A.说明寻找特殊值，首先要确定这个特殊值的范围，这是关键的一步.特殊值选取恰当，可以减少代入特殊值后计算的次数，简化运算.同学们学习幂函数后，利用幂函数的单调性也可以迅速判断本题中两个指数式的大小.六、分类讨论法当比较的两个指数式的底数相同但含有字母，底数无法确定是大于1，还是大于零小于1时，就需要对底数进行分类讨论，以确定相应指数函数的单调性，然后才能运用指数函数的单调性进行比较.例6 比较a2x2+1与a x2+2（a＞0，且a≠1）的大小.解析本题既要讨论幂指数2x2+1与x2+2的大小关系，又要讨论底数a与1的大小关系.①令2x2+1＞x2+2，得x＞1或x＜-1.当a＞1时，由2x2+1＞x2+2，从而有a2x2+1＞a x2+2；当0＜a＜1时，a2x2+1＜a x2+2.②令2x2+1=x2+2，得x=1或-1，此时a2x2+1=a x2+2.③令2x2+1＜x2+2，得-1＜x＜1.当a＞1时，由2x2+1＜x2+2，从而有a2x2+1＜a x2+2；当0＜a＜1时，则有a2x2+1＞a x2+2.说明含有字母参数的问题要注意分类讨论思想的运用.分类讨论时首先应确定分类标准，涉及到指数函数时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准.巩固练习1. 比较a 1.2与1a-0.3(a＞1)的大小.2. 比较1.40.1与0.93.1的大小.3. 比较4313，-233，3412的大小.4. 设y1=2323，y2=2313，y3=2523，则()A. y3＞y1＞y 2B. y2＞y1＞y 3C. y1＞y2＞y 3D. y1＞y3＞y 25. 比较a4x-5与a3x+1（a＞0且a≠1）的大小.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

“十大方法”，玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一：单调性法方法二：“媒介值”法方法三：作差法方法四：作商法方法五：构造函数法方法六：乘方法方法七：对数法方法八：零点法方法九：特殊值法方法十：放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9，b=90.5，c=13-12，则( )．A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8，b=90.5=(32)0.5=31，c=13-12=3-1 -12=312=30.5，又函数y=3x在R上单调递增，1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5所以b>a>c，故选：C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3，b=0.20.4，c=log0.20.1，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0，根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1，故c>a>b.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x 1和a x 2，利用指数函数y =a x 的单调性；②指数相同，底数不同，如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数(比如三角函数，对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。

高中数学指数式、对数式比较大小的问题--------太原市交通学校 郝志隆指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。

一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型：一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。

比如：例1：已知，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【解答】解：因为底数3015<<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3，故a ＞b ＞c ，故选：B ．二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类例2：比较1201020192020120192020log log log2020a b c d ====、的大小【解答】解：102019202020201a =>=；即a>112201920191log (2020)log 20202b ==，所以22019201911log 2019log 201922b << 故得：112b <<；12202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，102c <<；1120192019log2020log10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。

专题01 利用函数值解决比较大小问题归类一、重点题型目录【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小 【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小 【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小 【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小 【题型】五、作差法比较大小 【题型】六、作商法比较大小【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小 【题型】八、构造函数法比较大小 【题型】九、放缩法比较大小 【题型】十、中间量法比较大小 二、题型讲解总结【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小例1．（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答. 【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<． 故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）已知311434333(),(),,552a b c ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是________.【答案】c b a <<或a b c >>【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可【详解】因为35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，且11034-<-<，所以11034333555--⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1a b >>，因为32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的增函数，且304-<，所以30433122-⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1c <， 所以c b a <<故答案为：c b a <<或a b c >>【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小例2．（2022·广西柳州·模拟预测（理））若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】A【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小. 【详解】因为lg0.3lg10<=，所以a<0；因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=，所以0,0b c >>，42211log 5log 5log 2c ===21log 3b =，而22log 3log >所以11b c >，即b c <. 故选：A.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知正数,,x y z 满足3815x y z ==，则下列说法正确的是（ ） A ．230x y -> B ．230x y -< C ．50x z -> D ．50x z -<【答案】AD【分析】设38151x y z k ===>，可得3log x k =，8log y k =，15log z k =；根据对数运算法则和换底公式可表示出23x y -和5x z -，根据对数函数单调性可确定结果.【详解】,,x y z 为正数，∴可设38151x y z k ===>，则3log x k =，8log y k =，15log z k =；对于AB ，3821232log 3log log lg lg 2x y k k k k ⎛⎫-=-=-=⎪⎭，lg 2>1lg 2>，又lg lg10k >=，230x y ∴->，A 正确，B 错误； 对于CD ，31535log 5log log lg x z k k k k k ⎛⎫-=-=-=，5lg 243><lg lg10k >=，50x z ∴-<，C 错误，D 正确.故选：AD.【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小例5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知实数()(),,00,m n ∈-∞+∞，且m n <，则下列结论一定正确的是（ ） A ．5533m n > B ．65m n > C ．22n mm n < D ．142m n n m-->【答案】D【分析】根据幂函数的单调性可判断AD 选项，利用特值法可判断BC 选项. 【详解】因为53y x =为增函数，且m n <，故5533m n <，故A 错误； 令1m =，2n =，此时65m n <，故B 错误； 令2m =-，1n =，故214n m =，22m n =-，故22n m m n >，故C 错误； 因为0n m ->，故n m y x -=在第一象限为增函数，则11424m n n mn m--->=，故D 正确；故选：D.例6．（2022·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））122a =，133b =，166c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小． 【详解】116228a ==，113639b ==，16y x =是增函数，689<<， ∴c<a<b 故选：C ．例7．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知302a =，203b =则a ，b 中较大的数是___________. 【答案】b【分析】利用指数的性质有10108,9a b ==，结合幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】由101030203892a b =<===， 所以a b <，较大的数是b . 故答案为：b .【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小例8．（2022·全国·高三专题练习）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（ ） A ．sin3sin2sin1＜＜ B ．sin3sin1sin2＜＜ C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【答案】B【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可. 【详解】sin 2sin(π2),sin3sin(π3)=-=-， 因为π0π31π22<-<<-<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以sin(π3)sin1sin(π2)-<<-， 所以sin3sin1sin2<<， 故选：B例9．（2022·四川·模拟预测（文））设1cos662a =︒︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c =则有（ ） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b<c<a【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，利用倍角公式化简,b c ，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒，2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++，sin 25c ===︒. 因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以a c b <<.故选：C.例10．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（ ） A ．34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin507sin145<C ．3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin4cos4<【答案】ABD【分析】利用三角函数的单调性判断.【详解】解：因为余弦函数cos y x =是偶函数，比较3cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫⎪⎝⎭即可，因为3401092πππ<<<，所以34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确； sin507sin147=，正弦函数sin y x =，在（90，180）上单调递减，且90145147180<<<， 所以sin147sin145<，即sin507sin145<，B 正确；因为32752，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增， 所以3tan <tan 75ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 因为53442ππ<<，则sin4cos40<<，D 正确． 故选：ABD例11．（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）设2sin38cos38a =︒︒，22tan 351tan 35b ︒=-︒，c =） A ．c b a << B ．c<a<b C ．a c b << D ．a b c <<【答案】B【分析】先对,a b 化简，然后利用三角函数的单调性比较大小即可 【详解】因为2sin38cos38sin76a =︒︒=︒，22tan 35tan 70tan 601sin 761tan 35b a ︒==︒>︒=>︒=-︒，sin 76sin 60a c =︒>︒==， 所以c<a<b ． 故选：B【题型】五、作差法比较大小例12．（2023·全国·高三专题练习）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．log log a b b a < B ．log 1a b > C ．ln ln a b b a < D ．ln ln a a b b >【答案】BC【分析】作差法判断选项A ；利用对数函数单调性判断选项B ；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C ；举反例排除选项D.【详解】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-== 由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a -<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数， 又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知x y a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a > 由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确； 选项D ：令211e e a b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =-=，222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC例13．（2023·全国·高三专题练习）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n > D ．log log m n n m <【答案】AC【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D.【详解】由01n m <<<知，0n m -< ，故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++，A 正确； 由01n m <<<得0m n ->，110mn -<，所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11m n m n+<+，故B 错误； 因为指数函数x y m =为单调减函数，故n m m m >，由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ，故n m m n >，故C 正确； 根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>，故D 错误， 故选：AC【题型】六、作商法比较大小例14．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ） A ．若20352049x y =，则0x y == B ．若22x x <，则12x <<C ．若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减，且()20f =，则满足0xf x ≤（）的x 的取值范围为][()22∞∞--⋃+，，D ．若25log 3m =，log n =0mn m n <+<【答案】BD【分析】对于A ，令()203520490x yt t ==>，将指数式转化为对数式即可判断；对于B ， 作出函数2,2x y y x ==的图像，结合图像即可得判断B ；对于C ，根据函数的奇偶性不等式()0xf x ≤即为0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，解之即可判断C ；对于D ，分别判断,m n 的符号，再利用作商法比较,m n mn +即可判断D.【详解】解：对于A ，令()203520490x yt t ==>，则20352049log ,log x t y t ==，当且仅当1t =时，0x y ==，当1t ≠时，x y ≠，故A 错误；对于B ，作出函数2,2x y y x ==的图像，又当1x =时，1221=⨯，当2x =时，2222=⨯， 所以若22x x <，则12x <<，故B 正确；对于C ，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，因为()f x 在(),0∞-单调递减，所以函数在()0,∞+也单调递减，因为()20f =，所以()()220f f -=-=， 则当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x >，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x <，若()0xf x ≤，则0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，所以0x =或2x ≤-或2x ≥，所以满足()0xf x ≥的x 的取值范围为[][){}22,0-⋃∞+∞⋃,-，故C 不正确；对于D ，2255log 31l 5og 2m =<=-，225525log 3log 24m m =>==-， 所以()2,1m ∈--，221log log 2n ==，22log log 21n =<=，所以1,12n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0m n +<，0mn <，由331128log log 55m n mn m n +=+=+=， 因为380log 15<<，所以1m n mn +<，所以m n mn +>，所以0mn m n <+<，故D 正确. 故选：BD.【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小例15．（2023·全国·高三专题练习）已知2510a b ==，则（ ） A ．111a b+>B ．2a b >C ．4ab >D ．4a b +>【答案】BCD【分析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.【详解】252510,log 10,log 10,a ba b ==∴==对于A ，lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101，故A 不正确；对于B ，log ,log log log a b ====2255510221010100，342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103，2a b >，故B 正确； 对于C ，()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204，故C 正确；对于D ，由B 知，,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422，故D 正确；故选：BCD.【题型】八、构造函数法比较大小例16．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）下列大小关系正确的是（ ）． A ．2 1.91.92< B ． 2.922 2.9< C ．712log 4log 7< D．712log 4log 7+【答案】ABC【分析】构造函数ln ()xf x x=，利用导数判断其单调性后判断A ，利用指数函数性质判断B ，利用对数函数性质及基本不等式判断C ，根据对数换底公式、对数函数性质判断D ． 【详解】设ln ()x f x x=，则21ln ()xf x x -'=，0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，而0 1.92e <<<，所以(1.9)(2)f f <，即ln1.9ln 21.92<，2 1.9ln1.9ln 2<， 即2 1.91.92<，A 正确；2.9322288.41 2.9<=<=，B 正确；770log 4log 12<<，所以222777777(log 4log 12)(log 48)(log 49)log 4log 121444+⋅<=<=，所以71271log 4log 7log 12<=，C 正确；10102264(2)102410==>，76107823543104=<<，7107710log 4log 417=>，所以77log 40.710>=， 472401=，341217287=<，所以3412124log 7log 713=>，123log 70.754>=，所以712log 4log 70.70.75 1.45+>+=D 错． 故选：ABC ．例17．（2022·河南河南·一模（文））已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】A【分析】构造函数()()ln ,0xf x x x=>，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>， 由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >， 所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <， 又ln y x =递增， 所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<， 故选：A【题型】九、放缩法比较大小例18．（2023·上海·高三专题练习）设0.21e 1,ln1.2,5a b c =-==，则,,a b c 的大小关系为___________.（从小到大顺序排） 【答案】b<c<a【分析】方法一：构造函数()e 1x f x x =--和()ln 1g x x x =-+，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法记()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，故0.20.2(0.2)(0)e 0.210e 10.2f f >⇒-->⇒->，故a c >，记()ln 1g x x x =-+，则11()1xg x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，故()g x 在()1+∞，单调递减，故(1.2)(1)0ln1.2 1.210ln1.20.2g g <=⇒-+<⇒<，故b c <，因此a c b >>． 故答案为：b<c<a [方法二]：泰勒公式放缩0.2110.210.2a e c =->+-==，由函数切线放缩ln(1)x x +<得()ln 10.20.2b c =+<=，因此a cb >>.故答案为：b<c<a【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．【题型】十、中间量法比较大小例19．（2022·天津北辰·高三期中）已知0.12a =，0.3log 0.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的性质，与中间量1，2比较大小即可得到结果． 【详解】因为0.10.51222a <=<<，0.30.3log 0.5log 0.31b =<=，0.50.5log 0.2log 0.252c =>=， 所以c a b >>． 故选：C ．例20．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】A【分析】通过0ln 21<<，所以判断出01a <<；又对122b =，133c =进行化简，得到121628b ==，131639c ==，从而判断出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】ln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c <<三、题型模拟演练 一、单选题1．（2022·山东·济南市历城第二中学高三阶段练习）已知集合{}{}231,340x A x B x x x =≥=-->，则A B =（ ）A ．{}1x x <-B ．{}04x x <≤C ．{}4x x >D ．{10x x -<≤或}4x >【答案】C【分析】利用指数函数图象可得[)0A =+∞，，根据一元二次不等式可得B =4∞∞（，+)(-,-1)，进而求出A B ⋂.【详解】[)0A =+∞，，B =4（，+)(-，-1)∞∞，A B =4+∞（，） 故选：C.2．（2022·云南·高三阶段练习）已知0.11.1a -=，ln3b =，c = ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断,,a b c 的大小.【详解】0.101.1 1.11-<=，ln 3=，ln e 1=>= ，所以a c b <<； 故选：B.3．（2022·陕西·交大附中高一期中）已知12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭4log 8b =，π32c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因为122a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，32443log 8log 42b ===，π33122c -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a b c >>. 故选：A.4．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足13440a b +⨯-=1=()()25log 3R a c x x x =+-+∈，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >>D ．a c b >>【分析】对题意进行化简，利用函数的单调性即可判断大小 【详解】由13440a b +⨯-=可得034144b a-=<=，所以0b a -<即b a <，1=y =R 上的增函数，可得b c <，因为221113124x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以由()()25log 3R a c x x x =+-+∈可得()255log 3log 10a c x x -=-+>=，所以a c >，故a c b >>． 故选：D5．（2022·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数 ()3xf x = ，且函数 ()g x 的图像与 ()f x 的图像关于 y x = 对称，函数 ()x ϕ 的图像与 ()g x 的图像关于 x 轴对称，设 12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 12b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 12c ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】D【分析】根据函数图像的对称关系可以得到()g x ，()x ϕ的解析式，代入后跟特殊值0比较可得b 最小，然后构造函数，利用特殊值和函数的单调性比较a ，c 的大小即可.【详解】因为()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称，所以()3log g x x =，又因为()x ϕ的图像与()g x 关于x 轴对称，所以()3log x x ϕ=-，1210312a f -⎛⎫<=-=< ⎪⎝⎭，311log 022b g ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，33110log log 2122c ϕ⎛⎫<==-=< ⎪⎝⎭，所以b 最小；1a =221log 32log c== 构造()22log h x x x =-，则()2ln 221ln 2ln 2x h x x x -'=-=， 当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，因为0ln 21<<，所以22ln 2>，令2x =，得()20h =，所以()20h h >=，22112log 02log a c>⇒>>， 又因为0a >，0c >，所以c a >，综上所述c a b >>. 故选：D.【点睛】比较对数、指数、幂的大小的方法：∴利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小； ∴借助特殊值“0”、“1”或其它的数值比较大小； ∴根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.6．（2022·广西南宁·高三阶段练习（理））设e 3a =，πe b =，3πc =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】D【分析】利用e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞研究单调性比较ln ,ln b m 大小，构造()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞研究单调性判断函数值符号比较ln ,ln b c 的大小，即可得结果.【详解】由e e 3ππ3m c a <=<==， 因为ln πlne b =，ln eln πm =，则ln ln e e πeb =，ln ln πe ππm =， 令ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=<，则()f x 递减， 所以(e)(π)f f >，即ln e ln πe π>，则ln ln b m >，故b m a >>； 因为ln πb =，ln 3ln πc =，由ln ln π3ln πb c -=-， 令()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞，则3()0x g x x-'=>，则()g x 递增； 故3e (3)33ln 3ln 027g =-=<，4e (4)43ln 4ln 064g =-=<，而3π4<<， 所以(π)π3ln π0g =-<，则ln ln b c <，即>c b ， 综上，c b a >>. 故选：D【点睛】关键点点睛：利用中间值得到e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=利用导数研究单调性比较ln ,ln b m ，作差法并构造()3ln g x x x =-研究函数值符号比较ln ,ln b c 大小.二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【答案】CD【分析】根据()1,2x ∈求出()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，借助指数函数与对数函数的单调性分别判断选项即可.【详解】因为()1,2x ∈，所以()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，且b c <，所以log 1b c a >>，故A 错误；因为()0,1ba ∈，1cb >，即bc a b <，故B 错误，C 正确；因为log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故D 正确. 故选：CD.8．（2023·全国·高三专题练习）已知x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，则（ ） A ．x y < B ．33x y --<C ．()lg 0y x ->D ．133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】将原不等式转化为3344x x y y +<+，结合函数的单调性可得x y <，再根据指对幂函数的性质逐个判断即可【详解】因为x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，即x ，y ∈R ，且3344x x y y +<+，设()34f x x x =+，因为函数3y x =在R 上单调递增，函数4y x =在R 上单调递增，所以函数()34f x x x =+在R 上单调递增，A ，由3344x x y y +<+，得()()f x f y <，所以x y <，故选项A 正确；B ，因为x ，y ∈R ，所以当x =0或y =0时，3x -，3y -没意义，故选项B 错误；C ，因为x y <，而只有当1y x ->时，()lg 0y x ->才能成立，故选项C 错误；D ，因为x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选项D 正确．故选：AD三、填空题9．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））设32log 2a =，9log 15b ，13c -=，则a ，b ，c 大小关系为___________. 【答案】a b c >>【分析】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解.【详解】由题意可知，332log 2log 4log a ===，293331log 15log 15log 15log 152b ， 当1a >时，log a y x =在()0,+∞上单调递增， 因为3331615,log 16log 15log 31，即1a b >>.11313c -==<，所以a b c >>. 故答案为：a b c >>.四、解答题10．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >且1a ≠，()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，()h x(1)求()()()f x g x h x ++的定义域D ；(2)已知0x D ∈，请比较()0f x 与()0g x 的大小关系. 【答案】(1)()0,1；(2)当1a >时，()()00f x g x >；当01a <<时，()()00f x g x <.【分析】(1)根据对数函数真数大于零，分母不为零，偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D ；(2)根据a 的范围，根据对数函数单调性即可判断． (1)依题意，x 应满足10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪>⎩，解得01x <<，∴函数()()()f x g x h x ++的定义域D =()0,1； (2)当()00,1x ∈时，有0011x x +>-，∴当1a >时，函数log a y x =单调递增，∴()()00f x g x >； ②当01a <<时，函数log a y x =单调递减，∴()()00f x g x <．。

不同底数的指数函数比较大小在数学中，指数函数是一种重要的函数类型。

指数函数的一般形式为y = a^x，其中a 为底数，x 为自变量。

根据底数的不同，指数函数有不同的性质和大小关系。

本文将介绍如何比较不同底数的指数函数大小，并给出实际应用举例。

首先，我们要了解指数函数的性质。

当底数a 大于1时，指数函数y = a^x 是一个增函数，即随着x 的增大，y 也增大。

当底数a 在0和1之间时，指数函数y = a^x 是一个减函数，即随着x 的增大，y 减小。

此外，当底数a 不等于1时，指数函数y = a^x 过点(0,1)。

接下来，我们分析底数对指数函数大小的影响。

当底数a 大于1时，指数函数的增长速度较快；当底数a 在0和1之间时，指数函数的增长速度较慢。

因此，在比较不同底数的指数函数大小时，我们可以根据底数的性质进行判断。

比较方法如下：1.当a1 > a2 > 1 时，a1^x 大于a2^x。

因为底数越大，指数函数的增长速度越快，所以a1^x 更大。

2.当0 < a1 < a2 时，a1^x 小于a2^x。

因为底数越小，指数函数的增长速度越慢，所以a1^x 更小。

3.当a1 = a2 时，a1^x 等于a2^x。

因为底数相同，所以指数函数的值也相同。

最后，我们来看一个实际应用举例。

假设我们要比较两个网站的访问量，其中一个网站的访问量增长速度较快，另一个网站的访问量增长速度较慢。

我们可以将这两个网站的访问量表示为指数函数y1 = a1^x 和y2 = a2^x，其中x 表示时间。

通过比较底数a1 和a2 的大小，我们可以预测哪个网站的访问量将来会更大。

总之，不同底数的指数函数大小关系可以通过底数的性质进行判断。

方法集锦指数函数是一种基本初等函数，比较指数式大小的问题在各类试题中比较常见，一般侧重于考查指数函数的图象、性质以及运算.这一类题目的难度一般不大，但很多同学在解题时容易出错.笔者对比较指数式大小的方法进行了总结，希望对大家有所帮助.一、利用单调性进行比较学过指数函数，就会知道指数函数的性质：当0<a<1时，指数函数y=a x在R上单调递减；当a>1时，指数函数y=a x在R上单调递增.对于同底的指数式，我们一般利用函数的单调性直接进行比较，若x1<x2,当0<a<1时，f(x1)>f(x2);当a>1时,f(x1)<f(x2).例1.比较a3与a-9（a>0,且a≠1）的大小.解：当0<a<1时，指数函数y=a x在R上递减,因为3>-9，所以a3<a-9;当a>1时，指数函数y=a x在R上递增,因为3>-9，所以a3>a-9.在比较底数不确定的指数式的大小时，一定要对底数进行分类讨论，然后再根据指数函数的单调性来判断指数式的大小.二、借助函数的图象进行比较数形结合思想是高中数学中的一个重要思想.在比较指数式的大小时，可利用指数函数的图象来更好地分析函数的性质.在解题时，我们首先要画出对应的指数函数图象，确定函数值对应的位置，然后通过观察图象比较函数式的大小.例2.比较21.1与31.2的大小.解：因为y=2x在R上单调递增，所以21.1<21.2.在同一坐标系内画出函数y=2x，y=3x与直线x=1.2的图象（如图所示）.由图象可知31.2>21.2，又因为21.1<21.2，所以21.1<31.2.对于底数和指数都不同的指数式来说，我们可以结合函数式的特点，构造出指数函数式，分别画出对应的图象，找出点的位置，就能快速比较出两个函数式的大小.三、借助中间值进行比较对于底数与指数均不同，但又无法转化为同底的指数式，我们一般需引入一个中间量，使得这个量与其余两个量有共同的底数或共同的指数，然后将两个函数式分别与中间值进行比较，就能比较出两个函数式的大小.例3.比较4.13与5-2.4的大小.解：因为y=4.1x在R上单调递增，又因为3>0，所以4.13>4.10=1，而5-2.4=152.4=0.22.4，且y=0.2x在R上单调递减，所以0.22.4<0.20=1，即5-2.4<1，所以4.13>5-2.4.在选择中间值时，我们一般选0、1、-1这类特殊值.因为这样的中间值方便转化为底数、指数相同的函数式.四、采用作商法进行比较作商法是比较两式大小的常用技巧.对于底数与指数都不同，且中间量又不好找的函数式，可以采用作商比较法.在作商后，可通过指数运算来将商式化简，然后将所得的结果与1进行比较，便可判断出两式的大小关系.例4.比较a a-1与（1-a）a,12<a<1,的大小.解：将两个式子作商得a a-1(1-a)a=(a1-a)a∙1a，因为12<a<1，所以0<1-a<a<1，所以a1-a>1，故(a1-a)a>1，又因为1a>1，所以(a1-a)a∙1a>1，所以a a-1>（1-a）a.在作商后，当a b>1，且b>0时，a>b；当a b>1，b<0时，a<b.比较指数式大小的方法比较多.同学们在学习指数时，要把指数函数的图象与性质掌握牢固，多积累一些比较指数式大小的方法，那么在遇到不同的题目时，便能快速找到适当的方法来比较两个函数式的大小.（作者单位：安徽省临泉县田家炳实验中学）怎样比较指数式的大小孟露48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

知识导航一般地，比较函数式的大小主要是比较指数函数式、对数函数式、幂函数式的大小.由于大部分的函数式中的底数、指数、真数均不相同，所以很难直接比较出它们的大小，我们需要采取一些相应的办法，如利用函数的单调性、图象，借助中间量等来比较两个函数式的大小.一、利用函数的单调性在某一定区间内，指数函数、对数函数、幂函数都具有单调性.当两函数式的底数相同时，可以建立恰当的函数模型，根据函数的单调性来比较两个函数式的大小；当两函数式的底数不相同时，可先利用换底公式以及指数函数、对数函数、幂函数的运算法则，将二者化为底数相同的函数式，再结合函数的单调性进行比较.例1.试比较以下两组数的大小.()10.332与0.335；()220.5与40.3.解析：对题中的两组数进行观察不难发现，这两组数都属于指数函数.可首先将它们的底数统一，然后根据底数与1之间的关系来判断函数的单调性.一般地，对于指数函数y=a x，当a>1时函数递增，当0<a<1时函数递减.最后根据函数的单调性比较两组数的大小.解：（1）由于两数的底数相同，且0<0.3<1，所以函数y=0.3x是单调递减函数，又32>35，所以0.332<0.335.()2由于4=22,所以40.3=()220.3=20.6,而函数y=2x是单调递增函数，且0.5<0.6，所以20.5<40.3.二、利用函数的图象我们知道，当a>1时，对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离x轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离y轴越近.当a>1时，指数函数y=a x()a>0，a≠1的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离y轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离x轴越近.当α>0时，幂函数函数y=xα的图象在区间（0,+∞）上是增函数；当α<0时，图象在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上单调递增.在解题时，我们可以结合函数式的特点构造出函数模型，然后结合函数的图象来比较函数式的大小.例2.比较下列两组数的大小.()131.2与21.2；()2æèöø233与æèöø3432.解析：(1)31.2与21.2是指数同为1.2的指数函数，在对其进行比较时，可以首先将y=3x、y=2x的图象画在同一坐标系中，然后将x=1.2代入，观察此时y的大小即可得出31.2>21.2.()2由于æèöø233=æèöø4932，将y=æèöø4932与y=æèöø3432的图象画在同一直角坐标系中，继而观察当x=32时y值的大小，就可以快速得出结论：æèöø233<æèöø3432.运用函数的图象来比较函数式的大小比较直接、简便.三、借助中间量有时候，要比较的两个函数式的真数、底数、指数各不相同，且它们之间没有任何联系，那么我们就需要借助中间量来比较它们的大小.常用的中间量有0、1、-1.可将函数式分别与中间量进行比较，如此便可判断出它们的大小关系.例3.比较以下函数式的大小.()11.70.3与0.93.1；()2log20.3，logπ3与log35.解析：()1中两个函数式的指数与底数均不同，且无法统一，可借助中间量来对其进行大小比较.∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，∴1.70.3>0.93.1.()2中的两个函数式较为复杂，可同时将0和1作为中间量来比较三者的大小.∵log20.3<log21=0，0=logπ1<logπ3<logππ=1,∴log20.3<logπ3<log35.在比较函数式的大小时，同学们要注意分清所要比较的函数式之间的区别，建立联系，构造合适的函数模型或中间量，然后利用函数的单调性、图象、中间量来比较函数式的大小.(王林37。

指数式和对数式比较大小五法方法一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小，可以利用函数的单调性来比较. 核心解读： 1.比较形如暧与a n 的大小,利用指数函数y ="的单调性.2.比较形如log“ m 与log” n 的大小,利用对数函数y = log /的单调性.3,比较形如屋与b m的大小,利用幕函数y 二 %根的单调性.比较下列各组数的大小O.303, 0.33 log 2 0.8, log 2 8.8O.303, 3。

3(1)利用函数 > =。

.3”的单调性.因为函数y = 03,在R 上单调递减,0. 3<3,所以0.303 > 0.33. (2)利用函数y = log2%的单调性.因为函数 y = log 2 x 在(0, +oo)单调递增,0. 8<8. 8,所以 log2 0.8 < log 2 8.8 .(3)利用函数y =的单调性.因为函数y =姆在(0, +oo)单调递增,0. 3<3,所以O.30-3 <303.方法二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊 数值作为中间桥梁,进而可比较大小. (1)比较形如屋7与万〃的大小，一般找一个“中间值C"，若且则诡若且。

>少，则废常用到的特殊值有0和1. (0 = logj, l=10ga4, 1 = 4°)(2)比较形如优'与〃的大小，一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的 一个中间值，即废或者勿”，进而利用中间值解决问题.Q Q 1 Q -q 1 Q -- 利用函数y =(—>v 的单调性比较(.)3和(―)2的大小,易知(―)3 > (―)2 .利用函数y = X 2A 1a 1A L 01 q1 A L 单调性比较(一产和(一尸的大小，易知(_/〈(—尸.所以()3 >(一)2 .510510105(补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较 两数的大小.) 方法三：特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值， 代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论，是问题简捷获解.例 3： (2008 年全国 卷理 4 文 5)若不£ Q = lnx, b = 21nx, c = ln %,则(),A. a<b<cB. c<a<bC. b<a<cD. b<a<c［解］在区间(67, 1)上取x =/5,通过计算知：例1： (1) (2) (3) ［解例2： (1) (2)［解］ 比较下列各组数的大小1.904, 0.9244 -9 1 (1)取中间值1. 因为 1.9°4>1.9°=1, 0.924 <9 1(2)取中间值(布)2.0.9° =1,所以 1.9°4> 0.924 ._11_1_11 31a = \ne 2 = —, b = 2In e2 = -1, c = In3e 2 =(—)=—,故b<a<c,选C.228方法四：估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例4： (2007年全国|卷理4文4)下列四个数中最大的是().A. (ln2)2B. ln(ln2)C. lnV2D. In 2“刀c 恒2 0.3010［解］因为In 2 =——xx 0.7 ,Ige 0.4343所以(In p 0.49, ln(ln 2) In 0.7 < 0 Jn/=lIn 2比0.35 ,故四个数中最大的是In 2,选2D.［点评］本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五：数形结合法画出指数函数、对数函数和幕函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法.例5： (2009 年全国［卷理7)设a = log37T, b = log2 , c = log3夜，贝!j ().A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a［解］在同一直角坐标系内画出对数函数y = log3%和y = log2%的图像,如下图所示：由图像观察得a〉b>c,故选A.［点评］本题也可以利用比较法求解.因为logs母< log2◎ < log2 6，所以b>c,因为log2G<log22 = l = log33<log3心所以a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。

指数、对数、幂大小比较的方法利用图象与性质比较大小比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用.例1若a＝(15)－0.3，b＝log52，c＝e－12，则()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.c＜b＜a解析：C结合指数函数y＝(15)x的图象易知a＝(15)－0.3＞1；结合对数函数y ＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log52＜log55＝12；又c＝e－12＝1e∈(12，1)，所以b＜c＜a.故选C.尝试训练1设a＝5－0.7，b＝log2312，c＝lg34，则这三个数之间的大小关系是()A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.b＞a＞c解析：D结合函数y＝5x，y＝log23x，y＝lg x的图象(图略)易知0＜a＝5－0.7＜50＝1，b＝log2312＞log2323＝1，c＝lg34＜lg1＝0，所以b＞a＞c.故选D.三元变量的比较大小问题比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解.例2设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则x2，y3，z5的大小关系不可能是()A.x2＜y3＜z5B.y3＜x2＜z5C.x 2＝y3＝z5D.z5＜y3＜x2解析：B法一：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知x2＝y3＝z5，此时选项C正确.取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知x2＜y3＜z5，此时选项A正确.取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知z5＜y3＜x2，此时选项D正确.综上，利用排除法可知本题应选B.法二：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以x2＝2k－1，y3＝3k－1，z5＝5k－1.又易知k＞0，接下来对k与1的大小关系加以讨论.若k＝1，则x2＝1，y3＝1，z5＝1，所以x2＝y3＝z5，所以选项C有可能正确.若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝t k－1在(0，＋∞)上单调递减可得2k－1＞3k－1＞5k－1，所以z5＜y3＜x2，所以选项D有可能正确.若k＞1，则根据函数f(t)＝t k－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1＜3k－1＜5k－1，所以x2＜y3＜z5，所以选项A有可能正确.综上，利用排除法可知应选B.尝试训练2设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.3y＜2x＜5zB.2x＜3y＜5zC.3y＜5z＜2xD.5z＜2x＜3y解析：A法一：中间值法令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1，则x＝lg klg2，y＝lg klg3，z＝lg klg5.所以3y＝lg klg33，2x＝lg klg2，5z＝lg klg55.因为33＝69＞68＝2，2＝1032＞1025＝55，所以lg 33＞lg2＞lg55＞0.又k＞1，所以lg k＞0，所以3y＜2x＜5z.法二：特值法取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大.取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z，故选A.。