重庆一中高2021届高三上学期9月第3周考试 理科数学试卷

2023年重庆一中高2024届高三上期开学考试数学测试试题卷（答案）一、单选题：1--4:ACBD5--8:CBDA 8.解：由()112ln +-≥x x x 得：()3243ln 21131323ln ->⇒+->在212121ln ln x x x x x x >--中，取1,321==x x 得：41414333ln 2133ln 13--<⇒>-二、多选题：9.CD 10.AC 11.BCD 12.ABD 12.解：对于A 选项，()x eex x f 11-='，由于ex e x ≥，故()0≥'x f ，所以()x f y =是增函数，故A 对对于B 选项，210x x << ，则1,0121121>>---x x e e x x 故0112<-x x ，从而1211121x x e e x x ->---，故B 对对于C 选项，()x ex f x ln 2-=-在()+∞,0单调递减，最多只有一个零点，故C 错对于D 选项，m e x e x x x ==2121，则0112121=-=-x x e x m e x m 即()01=-='x e x m x f 有两个不同的正根21,x x ，易得2110x x <<<而()11111ln 1ln 1ln 111111x x x x e x x e x e x e x m x f +=+=+=，同理()21ln 222x e x x x f +=构造函数()()01ln >+=x e x x x g x ，则()()0ln 1≤-='xe x x x g 恒成立故()x g 在()+∞,0单调递减，2110x x <<< ，则()()()121x g g x g <<，即()()1210x f e x f <<<又101<<x ，则()11111ln 1111x ex x x x <<+-<+故()11ln 1111<+=x ex x x f 故()()1012<<<x f x f 于是D 对三、填空题：13.2.014.220-15.1≥m 16.e 216.解：由()0>x f ，()()()01>'⋅+x f x f x f 可知⇒>0)('x f )(x f 单调递增.不等式变形为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+++22ln 11ln 11ln 11ln x x x a f x x x a f e f e f ax ax 注意到x x x g +=ln )(单调递增，故()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2ln 111x x x a f e f ax ，即2ln 111x x x a e ax ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+进一步变形得：()1ln )1(22+≥+x x eax ax （*）构造x x x ex x h e x x h e x x h )2()('',1)1()(')1()(+=++=⇒+=所以)('x h 在)2,(--∞单调递减，在),2(+∞-单调递增，故)(01)2(')('2x h eh x h ⇒>-=-≥-单调递增.（*）等价于)(ln )(2x h ax h ≥，即x x a x x ax ln 2ln 2ln 2≥⇒=≥恒成立求导可知x x y ln 2=的最大值为e 2，所以e a 2≥，即正实数a 的最小值为e 2四、解答题17.解：（1）证明：连接BD AC ,交于点R ，连接11,,C A PR PQ 由中位线可知11//C A PQ 且1121C A PQ =，由因为11//C A AR 且1121C A AR =所以AR PQ //且AR PQ =，所以PQAR 为平行四边形，所以PR AQ //..............（3分）结合⊄AQ 平面PBD ，⊆PR 平面PBD 可知//AQ 平面PBD ...........（4分）（2）以D 为原点，1,,DD DA DC 为坐标轴建立如图坐标系.此时),2,0,1(),0,2,2(),0,0,0(P B D )2,0,1(),0,2,2(==DP DB ，设平面PBD 的法向量为),,(z y x m =，则由0,0=⋅=⋅m DP m DB 可知：)1,2,2(1,2,202022--=⇒-=-==⇒⎩⎨⎧=+=+m z y x z x y x ........（8分）显然平面BCD 的法向量为)1,0,0(=n ..........（9分）设二面角C BD P --的平面角为θ，则θ为锐角.所以311001441)1(0)2(02cos =++⋅++⨯-+⨯-+⨯==θ............（10分）18.解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知362344,15311=⨯+=+d a d a .........（4分）解得144,31-=⇒==n a d a n ............（6分）（2）由于1111111+++++-=-==n n n n n n n n n n S S S S S S S S a b ...............（10分）所以31111)11(11()11(1111322121=<-=-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++++S S S S S S S S S b b b n n n n ............（12分）19.解：（1）由已知x x e x g x f ex g x f --=-⇒=-+-)()()()(，与x e x g x f =+)()(联立解得)(21)(),(21)(x x x x e e x g e e x f ---=+=...........（4分）求导可知)(21)('x x e e x f --=令)(0)('x f x f ⇒>的增区间为),0(+∞，令)(0)('x f x f ⇒<的减区间为)0,(-∞.........（6分）（2）设2≥+=-x x e e t ，则44)(,2)(22-==t x g t x f ，已知转化为：024432≥--+t a t 在2≥t 时恒成立..............（9分）分离参数得t t a 82+≤，由均值不等式24828=⋅≥+t t t t ，取等条件222≥=t ，故tt 8+的最小值为24，所以22242≤⇒≤a a 故实数a 的取值范围为：]22,(-∞.............（12分）20.解：（1）甲投球1次获胜的概率311=p ，甲投球2次获胜的概率913121322=⨯⨯=p ，甲投球3次获胜的概率27131213221323=⨯⨯⨯⨯=p 所以甲获胜的概率27132719131321=++=++=p p p p .............（4分）（2）记“甲第i 次投中”为事件i A ，“乙第i 次投中”为事件i B ，其中n i ≤≤1，当11-≤≤n j 时，投篮结束时甲恰好投篮j 次的概率为：)()(112211112211j j j j j j j j B A B A B A B A p A B A B A B A p p ----⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=jj j )31(221322132(31)2132(11=⨯⨯⨯+⨯⨯=--.............（7分）投篮结束时甲恰好投篮n 次的概率为：()(112211112211n n n n n n n A B A B A B A p A B A B A B A p p ----⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=111)31(322132(31)2132(---=⨯⨯+⨯⨯=n n n .............（9分）所以11111)31()31(2)(--=-=+=+=∑∑n j n j n n j j n j np jp E ξ设121131)(1()31(231131(--=-+⋅⋅⋅+⨯+⨯==∑n n j j n j S ，则1)31(2)(-+=n n S E ξ则n n S )31)(1(31(2)31(13132-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=，错位相减得：n n n n n S 31)(21(21)31)(1(31()31()31(3132132+-=--+⋅⋅⋅+++=-nn S )314323(43+-=⇒所以n n n n n E 31(2323)31(]31)(4323(43[2)(1-=++-=-ξ.............（12分）21.解：（1）由DF BD =可知：12422+=+a b a .............（2分）整理得202122=⇒=--⇒+=a a a a b ，所以322=-=c a b ，所以椭圆C 的方程为13422=+y x ..............（4分）（2）设),(),,(),,(),,(44332211y x N y x M y x Q y x P 依题意，圆T 的方程为4)()2(222+=-+-t t y x ，令2=x ，则0422=--ty y ，由韦达定理可得443-=y y .............（6分）由已知直线PQ 不与y 轴垂直，设直线PQ 的方程为n my x +=，与椭圆联立得：01236)43(222=-+++n mny y m 由韦达定理可得43123,4362221221+-=+-=+m n y y m mn y y ，.............（8分）由M P A ,,三点共线得AM AP //，所以24244)2(11113131++=+=⇒=+n my y x y y y y x ，同理24224++=n my y y 所以4)2)(2(16212143-=++++=n my n my y y y y去分母整理得：0)2())(2()4(221212=++++++n y y n m y y m ，.............（10分）将韦达定理带入得：0)2(436)2(43123)4(22222=+++-+++-+n m mn n m m n m 整理得1022=⇒=-+n n n 或2-=n 当2-=n 时，直线PQ 过点A ，不合题意，所以1=n ，所以直线PQ 的方程为1+=my x ，恒过定点)0,1(.............（12分）22.解：（1）0=a 时x x x x f 2ln )(+=，3ln )('+=x x f ............（1分）设切点为)2ln ,(0000x x x x +，则切线斜率为3ln )('00+==x x f k 切线方程：))(3(ln )2ln (00000x x x x x x y -+=+-.............（3分）将点)1,0(-带入得：1))(3(ln )2ln (1000000=⇒-+=+--x x x x x x 此时斜率3=k ，所以切线方程为13-=x y .............（4分）（2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，ax xx f ax x x f 61)('',3ln 3)('2-=-+=①当0≤a 时)('0)(''x f x f ⇒>在),0(+∞单调递增注意到0→x 时-∞→)('x f ，注意到+∞→x 时+∞→)('x f 故存在),0(0+∞∈x ，使得0)('0=x f ，在),0(0x x ∈时)(,0)('x f x f <单调递减，在),(0+∞∈x x 时)(,0)('x f x f >单调递增，函数)(x f 有极小值，无极大值，不符合题意..............（6分）②当0>a 时，令)61,0(0)(''a x x f ∈⇒>，令),61(0)(''+∞∈⇒<ax x f 所以)('x f 在)61,0(a 单调递增，在),61(+∞a单调递减.当0→x 时-∞→)('x f ，当+∞→x 时-∞→)('x f ，a a f 6ln 2125)61('-=所以a x f 6ln 2125)('max -=若06ln 2125≤-a ，则0)('≤x f 恒成立，)(x f 在),0(+∞单调递减，无极值和最值..............（8分）若06ln 2125>-a ，即65e a <，此时存在21610x a x <<<，使得0)(')('21==xf x f且在),(),,0(21+∞x x 有0)('<x f ，)(x f 单调递减；在),(21x x 有0)('>x f ，)(x f 单调递增，此时)(2x f 为)(x f 的极大值.注意到0→x 时0)(→x f ，要使)(x f 无最大值，则还应满足0)(2<x f .............（10分）即02ln 23222<+-x ax x x （*），同时22222223ln 303ln 30)('x x a ax x x f +=⇒=-+⇒=带入（*）整理得232203ln 2-<⇒<+e x x 由于a x 612>，且)('x f 在),61(+∞a 单调递减，故0)(')(')('23232<⇔>--e f e f x f 即2032333e a ae >⇒<--综上实数a 的取值范围为)6,2(53e e .............（12分）。

2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题 1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+， 则复数z 的虚部为1． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（ ）个 A ．3 B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=. 故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（ ） A ．10π B ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积． 【详解】底面周长是：2×2π=4π， 则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π， 则全面积是：8π+4π=12π． 故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++） A ．1.27 B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ． 【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =, ∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈． 故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a =，a 与b 的夹角为3π，则||a b -的取值范围为（ ） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论． 【详解】22222||()2121cos3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+21b b -+=2134423b ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭-，所以3||2a b -≥．1||2b =时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ． ∴O 是△ABC 的垂心． 故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查． 7．设sin 5a π=，2log3b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可. 【详解】解：由对数函数2logy x =在()0,∞+单调递增的性质得：22log3log21b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sinsin562a ππ=>=. 所以c a b <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤. 8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BA BC ==，2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知： AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅=，1||||32ABCSBA BC =⋅⋅=，即||3O P '=， ||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ B ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥ C ．若,mn αα，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（ ）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x =【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1()2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数； B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数； C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数； D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数； 故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论 1、内外层函数同增或同减为增函数； 2、内外层函数一增一减为减函数； 11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称 B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D. 【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+ ()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确； 对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质： (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x'-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减. 3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________． 【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228． 故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞ 4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m . 【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q<<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111mm a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--， 将120191a q=代入整理得：40394039m q qm ≤⇒≤故最大正整数4039m =. 故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,6DAB AB CD DD C M ∠=︒====.（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为 DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =， 所以//AB DC .又由M 是AB 的中点， 因此//CD MA 且CD MA =. 如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =， 可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ， 所以1//C M 平面11A ADD . （2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角， 在1ADD中，1C M =111,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅， 所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14. 【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列. （1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2n n b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -= ∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:1234132********(21)2n n n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅-118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12n n n n b n a +==+⋅- 231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)()2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解; 在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）10x +-=，或10x -=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程； （2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅=，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>， 设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+，∵110F P FQ ⋅=， 即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++ 化简得：2201172k k =+-解得21,77k k ==±. 故直线l的方程为10x -=，或10x -=. 【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系； （2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积； （3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k .20．已知()cos sin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，433b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积. 【答案】（1）30,1⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦；（2）83或43 【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域. （2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果. 【详解】（1）2()cossin 3cos sin cos 3cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,1f B ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦（2）34()1,sin 1,,3333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,326B B πππ∴+==，由正弦定理得：43433sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=，或23A π=， 若3A π=，则2C π=，183sin 2ABCSab C ==若23π=A ，则6π=C ，143sin 2==ABCSab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C -中，112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交,AB AC 于点,M N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ； （2）求二面角1A A M N --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点， ∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点， ∴MN ∥BC ， ∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ， ∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴， 又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1； （2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： 则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P是AD的中点，∴M，N分别为AB，AC的中点．则31,,12M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，31,,12N⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，则131,,12A M⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()10,0,1A A=，()3,0,0NM=，设平面AA1M的法向量为(),,m x y z=，则1m AMm A A⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3122x y zz⎧++=⎪⎨⎪=⎩,令1x=，则3y=()1,3,0m=-，同理设平面A1MN的法向量为(),,n x y z=，则1n A Mn NM⎧⋅=⎨⋅=⎩，得31230x y zx++=⎨⎪=⎩，令2y=，则1z=-，则()0,2,1n=-，则()2315cos,25m nm nm n⋅-===⋅⨯，∵二面角A-A1M-N是锐二面角，∴二面角A-A1M-N的余弦值是15．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知21()(1)2xf x e ax b x=---.其中常数 2.71828e≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（1）当2,4a b==时，求()f x在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <， （ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减；(ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围； （ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e +>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)x f x e x x =---，求导()24xf x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''> ()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()xf x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()xf x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a =当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-， 令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()b a b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭， 所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()xf x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<， 即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦， 则2()2220x xh x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴-> 又()f x '在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -∴+>-+=+-+- 令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+，2()20x xM x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=， ()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x >，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e +>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。

2020-2021学年重庆一中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知sin(π−α)=34，则sinα=( )A. −34B. 34C. −√74D. √742.条件p ：“a ≤0或a ≥4”是条件q ：“f(x)=13ax 3+12ax 2+x +1有极值点”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.11、从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A. 24对B. 30对C. 48对D. 60对4.抛物线y 2=2px 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为N ，则的最大值为A.B.C.D.5.在三角形ABC 中，已知AC =6，BC =10，cos(A −B)=35，则cos(A +B)=( )A. 45B. −45C. 35D. −356.一艘轮船从海面上从A 点出发，以40nmile/ℎ的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A 点正西方有一点B ，AB =10nmile ，该船1小时后到达C 点并立刻转为南偏东60°的方向航行，小时后到达D 点，整个航行过程中存在不同的三点到B 点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是( )A.B.C.D.7.已知集合A ={x ∈N|x(x −2)≤0}，B ={−2,−1,0}，则A ∪B =( )A. {−2,−1}B. {0,1}C. {−2,−1,0，1，2}D. {0,1，2}8.已知直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )A. CM ⊥ABB. CM ⊥lC. CA ⊥CBD. CM =12AB9.一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为()A. √3+4B. √3+6C. 2√3+4D. 2√3+610.已知A={x|x+1x−1≤0}，B={−1,0，1}，则card(A∩B)=()A. 0B. 1C. 2D. 311.现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是()A. 函数y=2x图象上的点构成的集合B. 旋转体表面及其内部点构成的集合C. 扇形边界及其内部点构成的集合D. 正四面体表面及其内部点构成的集合12.已知数列{a n}是从第二项起各项均为正数的等差数列，其前13项和S13=132，则1a5+4a9的最小值为()A. 8B. 9C. 12D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0，则目标函数z=x+y最大值与最小值的和为______ ．14.已知数列2，√10，4，…，√2(3n−1)，…，那么8是这个数列的第______ 项．15.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面是ABCD正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD.已知AB=1，E为AB上一个动点，当D1E+CE取得最小值√10时，三棱锥D1−ADE的外接球表面积为______ ．16.直线y=a与曲线y=x2−2|x|−3有四个交点，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3(a−ccosB)=bsinC．(1)求角C的大小；(2)若c =2，则当a ，b 分别取何值时，△ABC 的面积取得最大值，并求出其最大值．18. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，且S n =4a n −3(n ∈N ∗)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)令b n =(n +1)a n ，n ∈N ∗，求证：数列{b n }为递增数列．19. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中AD//BC ，∠ABC =90°PD ⊥平面ABCD ，AD =1，AB =√3，BC =4． (1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角；(3)在线段PC 上是否存在一点E ，使得DE//平面PAB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．21. 设O 为坐标原点，a >b >0，椭圆E 1：x 2a 2+y 2b 2=1，椭圆E 2：x 24a 2+y 24b 2=1，P 是椭圆E 2上一点． (Ⅰ)若直线OP 与椭圆E 1的一个交点Q ，求|OP||OQ|；(Ⅱ)已知点B(0,2)在椭圆E 1上，椭圆E 1的离心率为√22，过点P 的直线l 交于椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =2√2cosθy =√2sinθ(θ为参数)，点P 是曲线C 上一动点，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，设点Q 为NP 的中点(O 为坐标原点)． (Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 1的参数方程；(Ⅱ)过M(1,√3)的直线交曲线C 1于不同两点A ，B ，求1|MA|2+1|MB|2的取值范围．23.已知函数f(x)=(log12x)2−12log12x+5，求在区间[2,4]上f(x)的最大值与最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵sin(π−α)=sinα， ∴sinα=34， 故选：B ．利用诱导公式化简即可．本题主要考查了诱导公式，是基础题．2.答案：B解析：解：“f(x)=13ax 3+12ax 2+x +1有极值点”，则等价为f′(x)=ax 2+ax +1有两个不同的零点，即{a ≠0△=a 2−4a >0得{a ≠0a >4或a <0，即a >4或a <0，则a ≤0或a ≥4是a >4或a <0成立的必要不充分条件， 故选：B ．根据函数极值的性质，转化为f′(x)=0有两个不同的零点，利用判别式△>0进行求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数极值与导数之间的关系求出等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果． 解： 在正方体 中，与上平面中一条对角线 成的直线有 ，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有 对直线，去掉重复，则有 对.故选 C .。

重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．1．已知复数21iz i=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -2．已知集合{}2|2,A x x x Z =<∈，则A 的真子集共有（ ）个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．73．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（ ） A ．10π B ．12π C ．14π D ．16π4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍．（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.22B ．1.23C ．1.26D ．1.27 5．向量,a b 满足||1a =，a 与b 的夹角为3π，则||a b -的取值范围为（ ） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3⎫+∞⎪⎣⎭6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC 中的一点，且,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，则点O 为ABC 的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心7．设sin5a π=，2log3b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BA BC ==2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,,//m n m n αβ⊆⊆，则//αβ B ．若,m n m α⊆⊥，则n α⊥ C ．若,m n αα⊥⊆，则m n ⊥ D ．若//,,m n αβαβ⊆⊆，则//m n 10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（ ）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．212log y x = C ．121y x =+ D ．2log sin y x =11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称 B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x x<'，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f < D ．()()()1212f x x f x f x <三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上．13．已知球O 的体积为323π，则球O 的表面积为___________． 14．已知向量,a b 不共线，若a b λ+与2a b +平行，则λ的值为___________．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为_________；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数m =_________．（注：前一空2分，后一空3分）四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．17．（本小题满分10分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,6DAB AB CD DD C M ∠=︒====．（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线CM 与1DD 所成角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n N *∈，都有1，1,n n a a +成等差数列． （1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-， 请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S ． 注：若两个条件都计算了．．．．．．．．．，只按照第一个条件来评分．．．．．．．．．．．！ 9．（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B ．且122B B =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程． 20．（本小题满分12分）已知()cos sin 3cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）求()f B 的取值范围；（2）当434,a b ==，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12,120AB AC AA BAC ==∠=︒，D ，1D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知21()(1)2xf x e ax b x =---．其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅． （1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值； （2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <， （ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>．参考答案一、单项选择题：1-8：BDBCDACA二、多项选择题：9．ABD 10．ABC 11．AD 12．ABC 三、填空题13．16π 14．1215．228 16．1q > 4039 四、解答题17．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC ．又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =．连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形．因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD ． 5分（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD 中，16C M =，故116,1,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211 111cos24AD DD ADADDAD DD+-∠==-⋅，故异面直线CM和1DD余弦值为14．10分18．解：（1）由条件可知112n na a++=，2分即121n na a+=-，∴()1121n na a+-=-，且112a-=4分∴{}1na-是以112a-=为首项，2q=为公比的等比数列，∴12nna-=，∴()21nna n N*=+∈6分（2）条件①：()1(21)(21)2nn nb a n n=-+=+，123325272(21)2nnS n=⋅+⋅+⋅+++⋅8分23412325272(21)2nnS n+=⋅+⋅+⋅+++⋅10分利用错位相减法可求得()12(21)2nns n n N+*=-+∈12分条件②：11(1)12nnnnb na+⎛⎫==+⋅ ⎪-⎝⎭231111234(1)2222n nS n=⋅+⋅+⋅+++⋅8分234111111234(1)22222n nS n+=⋅+⋅+⋅+++⋅10分利用错位相减法可求得()13(3)2nns n n N*⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭12分注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！19．解（1）易知椭圆C的方程为2212xy+=4分（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为1x=，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>， 6分 设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+，∵110F P FQ ⋅=， 8分 即()()()()()2221212121211110x x y y k x x k x x k i +++=+--+++=， 得217,77k k ==±． 10分 故直线l 的方程为710x +-=，或710x --=． 12分 20．解：（1）2()cossin 3sin cos 3222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++⎪⎝⎭4分 因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,1f B ⎛∈+ ⎝⎦ 5分 （2）3()1326f B B B πππ=+⇒+=⇒= 7分 由正弦定理得：43433sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=9分 若3A π=，则2C π=，183sin 2ABCSab C == 11分 若23A π=，则6C π=，143sin 2ABCS ab C == 12分 21．（1）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以，BC AD ⊥． 因为//MN BC ，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．所以MN AD ⊥．因为1AA ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，所以1AA MN ⊥． 又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交， 所以MN ⊥平面11ADD A ，．又MN ⊂平面1A MN ， 所以平面1A MN ⊥平面11ADD A ； 5分（2）设11AA =．如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1111,,A E A D A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -（点O 与点1A 重合）．则1(0,0,0),(0,0,1)A A ．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为,AB AC 的中点，故3131,1,,122M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1131,,1,(0,0,1),(3,0,0)2A M A A NM ⎛⎫===⎪⎝⎭． 6分 设平面1AA M 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11110,0,n A M n A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故有()()11111131,,,10,22,,(0,0,1)0.x y z x y z ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⋅=⎩从而1111310,220.x y z z ++=⎨⎪=⎩取11x =，则13y =- 所以1(1,3,0)n =-是平面1AA M 的一个法向量． 8分 设平面1A MN 的法向量为()2222,,n x y z =，则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2120,0,n A M n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故有()()22222231,,,10,2,,3,0,0)0.x y z x y z ⎧⎫⋅=⎪⎪⎨⎝⎭⎪⋅=⎩ 从而2222310,2230.x y z x ++==取22y =，则21z =-， 所以2(0,2,1)n =-是平面1A MN 的一个法向量． 10分 设二面角1A A M N --的平面角为θ，又θ为锐角， 则1212|(1,3,0)(0,2,1)|15cos 25n n n n θ⋅-⋅-===⨯ 故二面角1A A M N --1512分 22．解：（1）2()4(1)[1,2]xf x e x x x =---∈，()24,()20xxf x e x f x e ''=='--->∵()f x '在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，∴()0,()f x f x <'在[1,2]上单减，∴max ()(1)1f x f e ==-． 3分（2）（ⅰ）(),()xxf x e ax b f x e a =-'-='-'，()f x '在(,ln )a -∞单减，(ln ,)a +∞单增， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴(ln )ln 0f a a a a b =--<'，ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，()ln ,()g a a g a '=-在(0,1)单增，(1,)+∞单减，∴(1)1b g >=，又∵0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭''，∴1b >． 7分（ⅱ）当a e =时，()xf x e ex b '=--，可证()f x '在(,1)-∞单减，在(1,)+∞单增，∵12,x x 是()0f x '=两根，且12x x <．∴121,1x x >> 设()()(2),(1)h x f x f x x -'-<'=则2()2220xxh x e ee e e -=+->-='∴()h x 在(,1)-∞单增，()(1)0,()(2)h x h f x f x ''<=<-∵()()()112111,21,2x x f x f x f x <-=<''-'>，又∵()f x '在(1,)+∞上单增， ∴212x x <-，即1222x x x <-<，又∵()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x >-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-令22()22x xM x e eex ex e -=+-+-，(1)x >22()22,()20x x x x M x e e ex e M x e e e --=--''+-'=+≥，()M x '在(1,)+∞单增，(1)0M '=，∴()0M x '>，故()M x 在(1,)+∞单增又∵x ()221,(1)x M x M e >>=，∴()()12f x f x e +> 12分。