全等三角形中等腰三角形证明题专训

全等三角形证明经典50 题（含答案）1. 已知： AB=4， AC=2， D 是 BC 中点， AD 是整数，求ADAB CD延伸 AD 到 E,使 DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中 ,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又 AD 是整数 ,则 AD=512. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90°，求证：CD AB2ADC B3.已知： BC=DE，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D， F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D证明：连结 BF 和 EF。

由于 BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠ EDF。

因此三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边 )。

因此 BF=EF,∠ CBF=∠ DEF。

连结 BE。

在三角形BEF 中 ,BF=EF。

因此∠ EBF=∠ BEF。

又由于∠ ABC=∠AED。

因此∠ABE=∠AEB。

因此 AB=AE。

在三角形 ABF 和三角形 AEF中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠ AEB+∠ BEF=∠ AEF。

因此三角形 ABF 和三角形 AEF全等。

因此∠ BAF=∠ EAF (∠ 1=∠ 2)。

A4. 已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE， EF//AB，求证： EF=AC 1 2证明：过 E 点，作 EG//AC，交 AD 延伸线于 G 则∠ DEG=∠ DCA，F ∠DGE=∠ 2又∵CD=DE∴ ⊿ADC≌ ⊿ GDE（AAS）∴EG=AC∵ EF//AB∴∠ DFE=∠ 1∵ ∠ 1=∠ 2∴ ∠ DFE=∠ DGE∴ EF=C EG∴ EF=AC DEB5.已知：AD均分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C ACB D证明：在 AC上截取AD=AD∴ ⊿ AED≌ ⊿ ABD AE=AB，连结（SASED∵ AD）均分∠ BAC∴ ∠∴ ∠ AED=∠ BEAD=∠ BAD 又∵ AE=AB，，DE=DB∵ AC=AB+BDAC=AE+CE∴ CE=DE∴ ∠ C=∠ EDC∵∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C∴∠ B=2∠C6. 已知： AC 均分∠ BAD，CE⊥ AB，∠ B+∠ D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连结 CF 由于 CE⊥AB 因此∠CEB＝∠ CEF＝ 90 °由于 EB＝ EF， CE＝ CE，所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠ CFE 由于∠ B＋∠ D＝ 180 ，°∠CFE＋∠ CFA＝ 180°因此∠ D＝∠ CFA 由于AC 均分∠ BAD 因此∠ DAC＝∠ FAC 又由于AC＝ AC因此△ ADC≌ △ AFC（ SAS）因此 AD＝ AF 因此 AE＝ AF＋ FE＝ AD＋ BE12.如图，四边形 ABCD 中， AB∥ DC， BE、 CE 分别均分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD 上。

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等．证明数量关系题型1证明线段相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.(第1题)题型2证明角相等2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.(第2题)证明位置关系3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.(第3题)证明倍分关系4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.(第4题)证明和、差关系5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.(第5题)证明不等关系6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.(第6题)专训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．构造基本图形法1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.(第1题)翻折法2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE ＋DF＝EF，求∠EAF的度数．(第3题)平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4题)加倍折半法5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(第5题)截长补短法6．如图所示，AB∥CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E 在AD上．求证：BC＝AB＋CD.(第6题)专训三：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．当顶角和底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．当底和腰不确定时，分类讨论4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－5|＋(10－y)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数．由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()(第10题)A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．(第11题)专训四：三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定．本章的考点较多，也是中考的重点考查内容．互逆命题、基本事实、互逆定理1．下列命题是真命题的是()A．无限小数是无理数B．相反数等于它本身的数是0和1C．对顶角相等D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是()A．全等三角形的对应角相等B．若两个角都是直角，则它们相等C．同位角相等，两直线平行D．若a＝b，则|a|＝|b|全等三角形的性质与判定3．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有()A．3对B．2对C．1对D．0对(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则BF的长是()A．7 B．6 C．5 D．45．(2015·杭州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.(第5题)等腰三角形的判定与性质6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(第6题)(第7题)(第8题)7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．8．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB＝6 cm，AC＝9 cm，则△AMN 的周长为________．9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.(第9题)尺规作图10．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法如下：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB，AC.△ABC即为所要求作的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()(第10题)A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)线段垂直平分线与角平分线11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC 于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是()A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点(第11题)(第12题)12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是()A．80°B．50°C．40°D．20°13．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝12(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？并说明理由．(第13题)思想方法a．分类讨论思想14．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角度数为________．15．(2014·安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10C．6或7 D．7或10b．方程思想16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．(第16题)c．转化思想17．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE＝12(AC－AB)．(第17题)答案专训一1．证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD(S .A .S .)．∴DE ＝DF.2．证明：过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ，则CG ∥AB ，∴∠BAF ＝∠G.又∵AF ⊥BD ，AC ⊥CG ，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∠CAG ＋∠G ＝90°.∴∠ABF ＝∠CAG.在△ABD 和△CAG 中，⎩⎨⎧∠ABF ＝∠CAG ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACG ＝90°，∴△ABD ≌△CAG(A .S .A .)．∴AD ＝CG ，∠ADB ＝∠G.又∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∴CD ＝CG.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.又∵AB ∥CG ，∴∠ABC ＝∠GCE.∴∠ACB ＝∠GCE.又∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CGE(S .A .S .)．∴∠G ＝∠CDE.∴∠ADB ＝∠CDE.(第3题)3．证明：如图，连接ED ，FD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△BDE 和△CFD 中，⎩⎨⎧BD ＝CF ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△BDE ≌△CFD(S .A .S .)．∴DE ＝DF.又∵点G 是EF 的中点，∴DG ⊥EF.4．证明：∵AD ，BE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，又∵∠BHD ＝∠AHE ，∴∠EBC ＝∠EAH.在△BCE 和△AHE 中，⎩⎨⎧∠EBC ＝∠EAH ，BE ＝AE ，∠BEC ＝∠AEH ＝90°，∴△BCE ≌△AHE(A .S .A .)．∴AH ＝BC.又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2BD ，∴AH ＝2BD.5．证明：如图，延长CB 至E ，使BE ＝BA ，则∠BAE ＝∠E.∵∠ABC ＝2∠C ＝2∠E ，∴∠E ＝∠C ，∴AE ＝AC.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠BAE ＝∠E ，∠E ＝∠C ，∴∠BAE ＝∠C.又∵∠EAD ＝∠BAE ＋∠BAD ，∠EDA ＝∠C ＋∠DAC ，∴∠EAD ＝∠EDA.∴AE ＝DE.∴AC ＝DE ＝BE ＋BD ＝AB ＋BD.(第5题)(第6题)6．证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD.在△AEP 和△ACP 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ACP(S .A .S .)，∴PE ＝PC.在△PBE 中，BE ＞PB －PE ，∴AB －AC ＞PB －PC.专训二1．证明：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠ACF ＝90°.∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，∴△ACD ≌△CBG(A .S .A .)．∴∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG.∵点D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.∴BD ＝BG.又∵∠DBG ＝90°，∠DBF ＝45°，∴∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.∴∠DBF ＝∠GBF.在△BDF 和△BGF 中，⎩⎨⎧BD ＝BG ，∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，∴△BDF ≌△BGF(S .A .S .)．∴∠BDF ＝∠G.∴∠ADC ＝∠BDF.点拨：本题运用了构造基本图形法，通过作辅助线构造△CBG 、△BGF 是解题的关键．(第1题)(第2题)2．证明：如图，延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE.∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠BDF ＝90°.在△ABD 和△FBD 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，∴△ABD ≌△FBD(A .S .A .)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB ＝∠1＋∠C ，∴∠2＝∠1＋∠C.(第3题)3．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.∵∠ABE ＝90°，∠D ＝90°，∴∠ABH ＝∠D ＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABH ＝∠D ＝90°，BH ＝DF ，∴△ABH ≌△ADF.∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF.∴∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF ，即∠HAF ＝∠BAD ＝90°. ∵BE ＋DF ＝EF ，∴BE ＋BH ＝EF ，即HE ＝EF.在△AEH 和△AEF 中，⎩⎨⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，∴△AEH ≌△AEF.∴∠EAH ＝∠EAF.∴∠EAF ＝12∠HAF ＝45°.点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，使AD 边与AB 边重合，得到△ABH.4．证明：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，∴∠ADO ＝∠ABC. ∵∠BAC ＝60°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝80°.∴∠ADO ＝80°.∵BQ 平分∠ABC ，∴∠QBC ＝40°.∴∠AQB ＝∠C ＋∠QBC ＝80°.∴∠ADO ＝∠AQB.易知∠DAO ＝∠QAO ，OA ＝OA ，∴△ADO ≌△AQO.∴OD ＝OQ ，AD ＝AQ.∵OD ∥BP ，∴∠PBO ＝∠DOB ，又∵∠PBO ＝∠DBO ，∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝OD.∴BD ＝OQ.∵∠BAC ＝60°，∠ABC ＝80°，BQ 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ， ∴∠BAP ＝30°，∠ABQ ＝40°，∴∠BOP ＝70°.∵∠BAP ＝30°，∠ABC ＝80°，∴∠APB ＝70°.∴∠BOP ＝∠APB ，∴BO ＝BP.∴AB ＋BP ＝AD ＋DB ＋BP ＝AQ ＋OQ ＋BO ＝BQ ＋AQ.5．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AD 是线段BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB.∵AB ＋BD ＝CD ，DE ＝BD ，∴AB ＋DE ＝CD.而CD ＝DE ＋EC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC.故设∠EAC ＝∠C ＝x ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.6．证法一：用截长法，如图①所示，在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.(第6题)因为BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，所以∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE.在△ABE 和△FBE 中，因为⎩⎨⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，所以△ABE ≌△FBE.所以∠A ＝∠EFB.因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠D ＝180°.因为∠BFE ＋∠EFC ＝180°，所以∠EFC ＝∠D.在△EFC 和△EDC 中，因为⎩⎨⎧∠FCE ＝∠DCE ，∠EFC ＝∠D ，EC ＝EC ，所以△EFC ≌△EDC.所以FC ＝DC.所以BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CD.证法二：用补短法，如图②所示，延长BE 交CD 的延长线于点G.因为AB ∥CD ，所以∠ABE ＝∠G.因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠CBE.所以∠CBE ＝∠G.因为CE 平分∠BCD ，所以∠BCE ＝∠GCE.在△BEC 和△GEC 中，因为⎩⎨⎧∠CBE ＝∠G ，∠BCE ＝∠GCE ，CE ＝CE ，所以△BEC ≌△GEC.所以BC ＝GC ，BE ＝GE.在△ABE 和△DGE 中，因为⎩⎨⎧∠ABE ＝∠G ，∠AEB ＝∠DEG ，BE ＝GE ，所以△ABE ≌△DGE.所以AB ＝DG.所以BC ＝CG ＝GD ＋DC ＝AB ＋CD.专训三1．D 2.C 3.32°4．C 5.23或25 6.257．解：设等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D.(1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC 的内部，如图①，∵∠DBC ＝25°，∴∠C ＝90°－∠DBC ＝90°－25°＝65°，∴∠ABC ＝∠C ＝65°，∠A ＝180°－2×65°＝50°.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC 的内部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠A ＝90°－∠ABD ＝65°，∴∠C ＝∠ABC ＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC 的外部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠BAD ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.(第8题)9．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，则AB－BC＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝8 cm；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，则BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝2 cm；但是当AB＝2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，而2＋2＜5，不符合三角形三边关系，故舍去，故腰长为8 cm.10．B11．解：(1)当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，(第11题)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D，E在点A的同侧，且点D在D′的位置，点E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.专训四1．C 2.C 3.A 4.C5．证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，∴AM＝23AB，AN＝23AC.又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.又∵AD＝AD，∴△AMD≌△AND(S.A.S.)．∴DM＝DN.6．D7.38.15 cm9．证明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB ＝AD.10．C 11.D 12.D(第13题)13．解：∠1与∠2互补．理由：作CF ⊥AN 于F(如图)，∵AC 平分∠MAN ，∴∠3＝∠4，又∵CE ⊥AM ，CF ⊥AN ，∴CF ＝CE ，∠CFA ＝∠CEA ＝90°，∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ，∴AF ＝AE.∵AE ＝12(AD ＋AB)＝12(AF －DF ＋AE ＋BE)＝AE ＋12(BE －DF)，∴BE －DF ＝0，∴BE ＝DF ，又CE ＝CF ，∠CEB ＝∠CFD ，∴△DFC ≌△BEC(S .A .S .)，∴∠5＝∠2，∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°.即∠1与∠2互补．14．70°或40° 点拨：本题运用了分类讨论思想，将已知条件外角等于110°分为底角处的外角和顶角处的外角两种情况进行讨论，解题时要防止漏解．15．A 点拨：∵2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，∴⎩⎨⎧2a －3b ＋5＝0，2a ＋3b －13＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3. 当a 为底边长时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b 为底边长时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7.综上所述，此等腰三角形的周长为7或8.16．解：设∠ABD 的度数为x.∵AD ＝DE ＝EB ，∴∠A ＝∠AED ＝2∠ABD ＝2x.∵BC ＝BD ，∴∠C ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝3x.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝3x.∴∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝8x ＝180°.∴x ＝22.5°.∴∠A ＝2x ＝45°.17．证明：如图，延长BE 交AC 于F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠FAE.(第17题)在△ABE 和△AFE 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∴△ABE ≌△AFE(A .S .A .)．∴∠ABF ＝∠AFB ，BE ＝FE ，AB ＝AF.∴BE ＝12BF.∠ABC ＝∠ABF ＋∠FBC＝∠AFB ＋∠FBC ＝∠C ＋∠FBC ＋∠FBC ＝∠C ＋2∠FBC ，又∵∠ABC ＝3∠C ，∴3∠C ＝∠C ＋2∠FBC.∴∠C ＝∠FBC.∴BF ＝CF.∴BE ＝12CF.∵CF ＝AC －AF ＝AC －AB ，∴BE ＝12(AC －AB)．点拨：本题运用了转化思想，通过添加辅助线构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质将AC 与AB 的差转化为AC 与AF 的差是解题的关键．。

全等三角形的判定训练1．已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE=CF吗？说明理由。

2．已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗？3．已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？4．已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，问AB∥CD吗？说明理由。

5．已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，问ABD≌⊿ACE.吗？为什么？6．已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

AB CDFEA C DE FDCFEA BAB CADEB C1 2AD CEFB7．已知BE=CF，AB=CD，∠B=∠C.问AF=DE吗？8．已知AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，问EB∥DF吗？说明理由。

9．已知，M是AB的中点，∠1=∠2，MC=MD，问∠C=∠D吗？说明理由。

10．已知，AE=DF，BF=CE，AE∥DF，问AB=CD吗？说明理由。

11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC=AD吗？说明理由。

12．已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

13．已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。

ACDB1234A B C DE F1 2ACDB E FBA DFECMA BC D1 2DCFEA B14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，问AB ∥DE 吗？说明理由。

16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，问∠3=∠4吗？17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，问⊿ABC ≌⊿DEF 吗？说明理由。

18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，问AC =AB 吗？说明理由。

A B C EH DACME F B D A B C E FD AB C ED F ADE AD E B C 1 23 419．已知AD⊥BC，BD=CD，问AB=AC吗？20．已知∠1=∠2，BC=AD，问⊿ABC≌⊿BAD吗？21．已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，问⊿ABD≌⊿ACE.说明理由。

又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD. CB＝CB，
在△CBF 和△CBD 中，∠CBF＝∠CBD， BF＝BD，
∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD. ∴CD＝2CE.
阶段方法专训 6．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
BF 平分∠ABC，CD⊥BF，且 CD 交 BF 的延长线于点 D.求 证：BF＝2CD.
【点拨】由∠ABC＝2∠C，AD⊥BC，延长 CB 构造等腰三角形， 利用等腰三角形的性质解决问题．
阶段方法专训 证明：如图，延长 CB 到点 E， 使 BE＝BA，连接 AE，则∠E＝12∠ABC. ∵∠ABC＝2∠C，即∠C＝12∠ABC， ∴∠E＝∠C.∴AE＝AC. ∵AD⊥BC，∴CD＝DE.
阶段方法专训 OA＝OC，
在△OAM 和△OCN 中，∠OAM＝∠C＝45°， AM＝CN，
∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°，
∴∠AOM＋∠AON＝90°，即∠MON＝90°.
∴△MON 是等腰直角三角形．
阶段方法专训 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D.
证明：∵DB＝DE，DG⊥BC， ∴BG＝EG.
阶段方法专训 5．如图，CE，CB 分别是△ABC，△ADC 的中线，且 AB＝AC.
求证：CD＝2CE.
【点拨】本题运用了倍长中线法，通过延长中线构造全等三角形 解决问题．
阶段方法专训
证明：如图，延长 CE 到点 F， 使 EF＝CE，连接 FB，则 CF＝2CE. ∵CE 是△ABC 的中线，∴AE＝BE.
＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB. 【点拨】本题运用截长补短法构造等腰三角 形，利用等腰三角形的性质与判定解决问题．

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证:（1） △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。

2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证:OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CFFDCBA2、已知如图,E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE,AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等(余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．2、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A,B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D,E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,（1）中的结论还成立吗?若成立，请给出证明；若不成立,说明理由.5、如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB ，BM=AC,CN=AB 。

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等．证明数量关系题型1证明线段相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.(第1题)题型2证明角相等2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.(第2题)证明位置关系3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.(第3题)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.(第4题)5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.(第5题)6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.(第6题)专训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．构造基本图形法1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.(第1题)翻折法2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE ＋DF＝EF，求∠EAF的度数．(第3题)平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4题)加倍折半法5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(第5题)截长补短法6．如图所示，AB∥CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E 在AD上．求证：BC＝AB＋CD.(第6题)专训三：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．当顶角和底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．当底和腰不确定时，分类讨论4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－5|＋(10－y)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数．由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()(第10题)A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．(第11题)专训四：三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定．本章的考点较多，也是中考的重点考查内容．互逆命题、基本事实、互逆定理1．下列命题是真命题的是()A．无限小数是无理数B．相反数等于它本身的数是0和1C．对顶角相等D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是()A．全等三角形的对应角相等B．若两个角都是直角，则它们相等C．同位角相等，两直线平行D．若a＝b，则|a|＝|b|全等三角形的性质与判定3．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有()A．3对B．2对C．1对D．0对(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则BF的长是()A．7 B．6 C．5 D．45．(2015·杭州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.(第5题)等腰三角形的判定与性质6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(第6题)(第7题)(第8题)7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．8．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB＝6 cm，AC＝9 cm，则△AMN 的周长为________．9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.(第9题)尺规作图10．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法如下：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB，AC.△ABC即为所要求作的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()(第10题)A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)线段垂直平分线与角平分线11.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，交AB 于点E ，则下列结论错误的是( )A ．BD 平分∠ABCB ．△BCD 的周长等于AB ＋BCC ．AD ＝BD ＝BCD ．点D 是线段AC 的中点(第11题)(第12题)12．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC ＝130°，那么∠CAB 的大小是( )A ．80°B ．50°C ．40°D ．20°13．如图，已知C 是∠MAN 的平分线上一点，CE ⊥AB 于 E ，点B ，D 分别在AM ，AN 上，且AE ＝12(AD ＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？并说明理由．(第13题)思想方法a ．分类讨论思想14．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角度数为________．15．(2014·安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．7或8B ．6或10C ．6或7D ．7或10b ．方程思想16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，求∠A 的度数．(第16题)c ．转化思想17．如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD于E ，求证：BE ＝12(AC －AB)．(第17题)答案专训一1．证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD(S .A .S .)．∴DE ＝DF.2．证明：过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ，则CG ∥AB ，∴∠BAF ＝∠G .又∵AF ⊥BD ，AC ⊥CG ，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∠CAG ＋∠G ＝90°.∴∠ABF ＝∠CAG .在△ABD 和△CAG 中，⎩⎨⎧∠ABF ＝∠CAG ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACG ＝90°，∴△ABD ≌△CAG(A .S .A .)．∴AD ＝CG ，∠ADB ＝∠G .又∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∴CD ＝CG .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.又∵AB ∥CG ，∴∠ABC ＝∠GCE.∴∠ACB ＝∠GCE.又∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CGE(S .A .S .)．∴∠G ＝∠CDE.∴∠ADB ＝∠CDE.(第3题)3．证明：如图，连接ED ，FD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△BDE 和△CFD 中，⎩⎨⎧BD ＝CF ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△BDE ≌△CFD(S .A .S .)．∴DE ＝DF.又∵点G 是EF 的中点，∴DG ⊥EF.4．证明：∵AD ，BE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，又∵∠BHD ＝∠AHE ，∴∠EBC ＝∠EAH.在△BCE 和△AHE 中，⎩⎨⎧∠EBC ＝∠EAH ，BE ＝AE ，∠BEC ＝∠AEH ＝90°，∴△BCE ≌△AHE(A .S .A .)．∴AH ＝BC.又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2BD ，∴AH ＝2BD.5．证明：如图，延长CB 至E ，使BE ＝BA ，则∠BAE ＝∠E.∵∠ABC ＝2∠C ＝2∠E ，∴∠E ＝∠C ，∴AE ＝AC.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠BAE ＝∠E ，∠E ＝∠C ，∴∠BAE ＝∠C.又∵∠EAD ＝∠BAE ＋∠BAD ，∠EDA ＝∠C ＋∠DAC ，∴∠EAD ＝∠EDA.∴AE ＝DE.∴AC ＝DE ＝BE ＋BD ＝AB ＋BD.(第5题)(第6题)6．证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD.在△AEP 和△ACP 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ACP(S .A .S .)，∴PE ＝PC.在△PBE 中，BE ＞PB －PE ，∴AB －AC ＞PB －PC.专训二1．证明：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G .∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠ACF ＝90°.∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，∴△ACD ≌△CBG(A .S .A .)．∴∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG .∵点D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.∴BD ＝BG .又∵∠DBG ＝90°，∠DBF ＝45°，∴∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.∴∠DBF ＝∠GBF.在△BDF 和△BGF 中，⎩⎨⎧BD ＝BG ，∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，∴△BDF ≌△BGF(S .A .S .)．∴∠BDF ＝∠G .∴∠ADC ＝∠BDF.点拨：本题运用了构造基本图形法，通过作辅助线构造△CBG 、△BGF 是解题的关键．(第1题)(第2题)2．证明：如图，延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE.∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠BDF ＝90°.在△ABD 和△FBD 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，∴△ABD ≌△FBD(A .S .A .)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB ＝∠1＋∠C ，∴∠2＝∠1＋∠C.(第3题)3．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.∵∠ABE ＝90°，∠D ＝90°，∴∠ABH ＝∠D ＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABH ＝∠D ＝90°，BH ＝DF ，∴△ABH ≌△ADF.∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF.∴∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF ，即∠HAF ＝∠BAD ＝90°.∵BE ＋DF ＝EF ，∴BE ＋BH ＝EF ，即HE ＝EF.在△AEH 和△AEF 中，⎩⎨⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，∴△AEH ≌△AEF.∴∠EAH ＝∠EAF.∴∠EAF ＝12∠HAF ＝45°.点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，使AD 边与AB 边重合，得到△ABH.4．证明：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，∴∠ADO ＝∠ABC.∵∠BAC ＝60°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝80°.∴∠ADO ＝80°.∵BQ 平分∠ABC ，∴∠QBC ＝40°.∴∠AQB ＝∠C ＋∠QBC ＝80°.∴∠ADO ＝∠AQB.易知∠DAO ＝∠QAO ，OA ＝OA ，∴△ADO ≌△AQO.∴OD ＝OQ ，AD ＝AQ.∵OD ∥BP ，∴∠PBO ＝∠DOB ，又∵∠PBO ＝∠DBO ，∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝OD.∴BD ＝OQ.∵∠BAC ＝60°，∠ABC ＝80°，BQ 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ，∴∠BAP ＝30°，∠ABQ ＝40°，∴∠BOP ＝70°.∵∠BAP ＝30°，∠ABC ＝80°，∴∠APB ＝70°.∴∠BOP ＝∠APB ，∴BO ＝BP.∴AB ＋BP ＝AD ＋DB ＋BP ＝AQ ＋OQ ＋BO ＝BQ ＋AQ.5．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AD 是线段BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB.∵AB ＋BD ＝CD ，DE ＝BD ，∴AB ＋DE ＝CD.而CD ＝DE ＋EC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC.故设∠EAC ＝∠C ＝x ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.6．证法一：用截长法，如图①所示，在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.(第6题)因为BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，所以∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE.在△ABE 和△FBE 中，因为⎩⎨⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，所以△ABE ≌△FBE.所以∠A ＝∠EFB.因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠D ＝180°.因为∠BFE ＋∠EFC ＝180°，所以∠EFC ＝∠D.在△EFC 和△EDC 中，因为⎩⎨⎧∠FCE ＝∠DCE ，∠EFC ＝∠D ，EC ＝EC ，所以△EFC ≌△EDC.所以FC ＝DC.所以BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CD.证法二：用补短法，如图②所示，延长BE 交CD 的延长线于点G .因为AB ∥CD ，所以∠ABE ＝∠G .因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠CBE.所以∠CBE ＝∠G .因为CE 平分∠BCD ，所以∠BCE ＝∠GCE.在△BEC 和△GEC 中，因为⎩⎨⎧∠CBE ＝∠G ，∠BCE ＝∠GCE ，CE ＝CE ，所以△BEC ≌△GEC.所以BC ＝GC ，BE ＝GE.在△ABE 和△DGE 中，因为⎩⎨⎧∠ABE ＝∠G ，∠AEB ＝∠DEG ，BE ＝GE ，所以△ABE ≌△DGE.所以AB ＝DG .所以BC ＝CG ＝GD ＋DC ＝AB ＋CD.专训三1．D 2.C 3.32°4．C 5.23或25 6.257．解：设等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D.(1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC 的内部，如图①，∵∠DBC ＝25°，∴∠C ＝90°－∠DBC ＝90°－25°＝65°，∴∠ABC ＝∠C ＝65°，∠A ＝180°－2×65°＝50°.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC 的内部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠A ＝90°－∠ABD ＝65°，∴∠C ＝∠ABC ＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC 的外部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠BAD ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°，∴∠BAC ＝180°－65°＝115°，∴∠ABC ＝∠C ＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.(第8题)9．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，则AB－BC＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝8 cm；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，则BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝2 cm；但是当AB＝2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，而2＋2＜5，不符合三角形三边关系，故舍去，故腰长为8 cm.10．B11．解：(1)当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，(第11题)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D，E在点A的同侧，且点D在D′的位置，点E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.专训四1．C 2.C 3.A 4.C5．证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，∴AM＝23AB，AN＝23AC.又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.又∵AD＝AD，∴△AMD≌△AND(S.A.S.)．∴DM＝DN.6．D7.38.15 cm9．证明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.10．C11.D12.D(第13题)13．解：∠1与∠2互补．理由：作CF ⊥AN 于F(如图)，∵AC 平分∠MAN ，∴∠3＝∠4，又∵CE ⊥AM ，CF ⊥AN ，∴CF ＝CE ，∠CFA ＝∠CEA ＝90°，∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ，∴AF ＝AE.∵AE ＝12(AD ＋AB)＝12(AF －DF ＋AE ＋BE)＝AE ＋12(BE －DF)，∴BE －DF ＝0，∴BE ＝DF ，又CE ＝CF ，∠CEB ＝∠CFD ，∴△DFC ≌△BEC(S .A .S .)，∴∠5＝∠2，∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°.即∠1与∠2互补．14．70°或40° 点拨：本题运用了分类讨论思想，将已知条件外角等于110°分为底角处的外角和顶角处的外角两种情况进行讨论，解题时要防止漏解．15．A 点拨：∵2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，∴⎩⎨⎧2a －3b ＋5＝0，2a ＋3b －13＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.当a 为底边长时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b 为底边长时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7.综上所述，此等腰三角形的周长为7或8.16．解：设∠ABD 的度数为x.∵AD ＝DE ＝EB ，∴∠A ＝∠AED ＝2∠ABD ＝2x.∵BC ＝BD ，∴∠C ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝3x.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝3x.∴∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝8x ＝180°.∴x ＝22.5°.∴∠A ＝2x ＝45°.17．证明：如图，延长BE 交AC 于F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠FAE.(第17题)在△ABE 和△AFE 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∴△ABE ≌△AFE(A .S .A .)．∴∠ABF＝∠AFB，BE＝FE，AB＝AF.∴BE＝12BF.∠ABC＝∠ABF＋∠FBC＝∠AFB＋∠FBC＝∠C＋∠FBC＋∠FBC＝∠C＋2∠FBC，又∵∠ABC＝3∠C，∴3∠C＝∠C＋2∠FBC.∴∠C＝∠FBC.∴BF＝CF.∴BE＝12CF.∵CF＝AC－AF＝AC－AB，∴BE＝12(AC－AB)．点拨：本题运用了转化思想，通过添加辅助线构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质将AC与AB的差转化为AC与AF的差是解题的关键．。

证明：连接 BF 和 EF T BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求 ADD • BF=EF, / CBF= / DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中,BF=EF • / EBF= / BEF 。

： / ABC= / AED 。

二 / ABE= / AEB 。

• AB=AE 。

在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF, / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF • 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。

•/ BAF= / EAF （ /仁/ 2）4.已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB ，求证：EF=AC解：延长 AD 到E,使AD=DE •/ D 是BC 中点二BD=DC 在厶 ACD 和^ BDE 中 AD=DE / BDE= / ADCBD=DC /•△ ACD ◎△ BDE ••• AC=BE=2 •••在△ ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE •/ AB=4 即 4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3 • AD=21 2.已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 °，求证：CD —AB 2A CG// EF ,可得，/• △ EFD ^A CGD•，/ EFD =Z 1过C 作CG // EF 交AD 的延长线于点GEFD = CGDDE = DC / FDE =Z GDC （对顶角） EF = CG / CGD =Z EFD 又，EF // AB / 1= / 2 •/ CGD =Z 2 • △ AGC 为等腰三角形， AC = CG 又 EF = CG 「. EF = AC 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。

连接 AP,BP •/ DP=DC,DA=DB • ACBP 为平行四边形又/ ACB=90 •平行四边形 ACBP 为矩形 • AB=CP=1/2AB 3.已知：BC=DE ，/ B= / E ,Z C=Z D , F 是 CD 中点，求证：/ 1 = / 2 5.已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ，求证：/ B=2 / C证明：延长 AB 取点E ,使AE = AC ,连接DE •/ AD 平分/ BAC• / EAD =Z CAD•/ AE = AC , AD = AD • △ AED 也厶 ACD （ SAS ）•••/ E = Z C•/ AC = AB+BD •AE = AB+BD•/ AE = AB+BE •BD = BE •••/ BDE =Z E •••/ ABC =Z E+ / BDE •••/ ABC = 2 / E •••/ ABC = 2 / C ••• AE = AF + FE = AD + BE12.如图，四边形ABCD中，AB 在AD上。

全等三角形证明题专项练习60题（有答案）1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°,∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=_________．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC．求证:△ABD≌△CDB．3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上,DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3,AC=AE，请说明△ABC≌△ADE 的道理．4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC;（2）△BDH≌△ADC．5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由．6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC．求证:△AEF≌△BCD．8．如图,已知AB=AC,AD=AE，BE与CD相交于O,△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由．9．如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上,找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．10．如图所示,CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．11．已知AC=FE，BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ABC≌△FDE．12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°)得到△A1B1C,连接BB1．设CB1交AB于D,A1B1分别交AB，AC于E,F，在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形，并加以证明．(△ABC与△A1B1C1全等除外）14．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证:△ABC≌△DEF．15．如图，AB=AC,AD=AE，AB，DC相交于点M，AC，BE相交于点N,∠DAB=∠EAC．求证：△ADM≌△AEN．16．将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2）,B、C、E三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ABE≌△ACD．17．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE,连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌"表示，并选择一对加以证明．18．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4,EC=AD．（1）求证:△ABD≌△EBC．（2）你可以从中得出哪些结论?请写出两个．19．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD=2，求AF的长；（2）求当AD取何值时,DE=EF．20．巳知:如图，AB=AC,D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，BE与CD相交于G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来．（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的理由（根椐所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）21．已知：如图，AB=DC，AC=BD,AC、BD相交于点E,过E点作EF∥BC，交CD于F，(1）根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．（2）EF平分∠DEC吗？为什么？22．如图，己知∠1=∠2,∠ABC=∠DCB,那么△ABC与△DCB全等吗?为什么？23．如图，B，F，E，D在一条直线上，AB=CD,∠B=∠D，BF=DE．试证明：(1）△DFC≌△BEA;（2）△AFE≌△CEF．24．如图，AC=AE，∠BAF=∠BGD=∠EAC,图中是否存在与△ABE全等的三角形？并证明．25．如图,D是△ABC的边BC的中点,CE∥AB,E在AD的延长线上．试证明：△ABD≌△ECD．26．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．(1)求证：△ABF≌△DEC；（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．(只要直接写出结果，不要证明）28．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：△ABD≌△GCA；（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．29．如图，点D、F、E分别在△ABC的三边上,∠1=∠2=∠3，DE=DF,请你说明△ADE≌△CFD的理由．30．如图，在△ABC中,∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D在线段EC上，给出两个条件:①DF∥BC；②BF=DF．请你从中选择一个作为条件，证明:△AFD≌△AFB．31．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AB=BC，BD=BE，EA=DC，求证：△BEA≌△BDC．32．阅读并填空：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．解:∵BE⊥CE于点E(已知），∴∠E=90°_________，同理∠ADC=90°，∴∠E=∠ADC（等量代换)．在△ADC中，∵∠1+∠2+∠ADC=180°_________,∴∠1+∠2=90°_________．∵∠ACB=90°（已知）,∴∠3+∠2=90°,∴_________．在△ADC和△CEB中，.∴△ADC≌△CEB （A．A．S）33．已知：如图所示，AB∥DE，AB=DE,AF=DC．（1）写出图中你认为全等的三角形(不再添加辅助线)；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．34．如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．试说明下列结论正确的理由：（1）∠C=∠E；（2）△ABC≌△ADE．35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是斜边AB上的一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：△ACE≌△CBF．36．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥CA交AB于E，点P是线段AC上的一动点，连接PE．探究：当动点P运动到AC边上什么位置时,△APE≌△EDB？请你画出图形并证明△APE≌△EDB．37．已知：如图，AD∥BC，AD=BC,E为BC上一点，且AE=AB．求证：(1）∠DAE=∠B；（2）△ABC≌△EAD．38．如图,D为AB边上一点,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE，图中有全等三角形吗？指出来并说明理由．39．如图，AB=AC，AD=AE,∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE．40．如图，已知D是△ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F，求证：BE+CF＞EF．41．如图所示，在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，且QN=QM，猜想PM与HN有什么关系?试说明理由．42．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．(1）求证：BG=CF;（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．43．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2。

图 2－ZT－3
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
解： (1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中，AABD＝＝CCAE，， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠BAD＝∠ACE. ∵∠CAE＋∠ACE＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°，∴AB⊥AC.
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳
(2)AB⊥AC.证明如下： 同(1)可证得 Rt△ABD≌Rt△CAE， ∴∠DAB＝∠ECA. ∵∠CAE＋∠ECA＝90°， ∴∠CAE＋∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC.
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
类型之二 已知一边及其邻角对应相等
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
类型之四 已知两角对应相等
9．2017·常州节选如图 2－ZT－9，在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
求证：AC＝CD.
图 2－ZT－9
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
证明： ∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＋∠ACE＝∠ACE＋∠DCE，∴∠ACB ＝∠DCE.
∠A＝∠B，
专题训练(二) 证明三角形全等的基本思路归纳
3．在△ABC 中，AB＝AC，DE 是过点 A 的直线，BD⊥DE 于点 D，CE⊥DE 于点 E.
(1)若点 B，C 在 DE 的同侧(如图 2－ZT－3①所示)且 AD＝CE， 求证：AB⊥AC.
(2)若点 B，C 在 DE 的两侧(如图②所示)，其他条件不变， AB 与 AC 仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠FAE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O BCMD EEABDCF BCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDB B ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABC ADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B DFE C图2A ′ E ′D ′ AENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ）A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 87．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CPA =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，PA =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=PA +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC D(第1题)(第2题)ABD E CABPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABPQCABD MCFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3专题17 等腰三角形的判定例1 延长MF ，BA 交于E ，延长FM 至点P ，使MP =MF ，连BP ，则△BMP ≌△CMF ，∴BP =CF . ∵AD 平分∠BAC ，AD ∥FM ，∠BAD =∠DAC =∠MFC =∠AFE =∠E =∠P ，∴AE =AF ，BE =BP ，即AB +AE =AB +AF =AB +AC -CF =CF ，∴CF =12(AB +AC )= 12(7+11)=9.例2 D例3 提示：△EMC 为等腰直角三角形，连AM ，易证：△ADE ≌△BAC .∴AD =AB ， 又∠DAB =90°.又∵M 为BD 中点，∴AM ⊥DB 且DM =BM =AM . 又∵∠MDE =∠MAC =105°，∴△EDM ≌△CAM . ∴EM =MC ，∠DME =∠AMC ， ∴∠DME +∠EMA =∠AMC +∠EMA =90°. ∴△EMC 为等腰直角三角形.例4延长AD 至G ，使DG =AD ，连接BG . 由△ADC ≌△GDB ，得AC =BG ，AC ∥BG . ∵BE =AC ，∴BE =BG ，得∠BED =∠BGD ， ∴∠F AE =∠BGD =∠BED =∠AEF ， 故AF =EF .例5 提示：结合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：△ABO ≌△ACO ，∴∠BAO =∠CAO =10°，∴∠ABO =∠ACO =20°，∴∠AOB =∠AOC =150°.又∵BO =BC =CO = AD ，∴△ACD ≌△CAO ，∴∠AOC =∠CDA =150°，故∠BDC =30°.A 级1.90°或75°或15°2.72°3.24.375.D6.D 提示：将三式相加7.D8.C9.⑴先证△ACD ≌△CBF ，∴∠CAD =∠BCF .又∵∠CAD +∠CDG =∠BCF +∠CDG =90°， ∴∠CGD =90°，∴AD ⊥CF . ⑵△ACF 为等腰三角形.10.提示：延长DB 至E ，使BE =AB ，连结AE ，证明∠E =∠C ，AC =AE . 11. 提示：证明△DCA ≌△ECB 、△DCM ≌△ECN ，∠NCM =60°. 12. ⑴提示：先证明∠CEF =∠CFE .⑵作EG ⊥AC 于G ，证明△CEG ≌△BE ´D ´，可得CE = BE ´，又CF =CE ，BE ´=CF .B 级1.2:12.110°3.104.D5.C 提示：在五边形内作等边三角形ABF ，则E 、F 、C 在一条直线上.6.B7. 提示：⑴ ⑵ 在BB ´上取点P ，使∠BPC =120°，再在PB ´上取点E 使PE =PC ，连结CE . 则由△PCE 为等边三角形，可得：PC =CE ，∠PCE =60°，∠CEB ´=120°∵△ACB ´为正三角形，∴可证：△ACP ≌△B ´CE . ∴∠APC =∠B ´EC =120°，P A =EB ´.ACGDEF∴∠APC =∠BPC =∠CP A =120°，∴P 为△ABC 的费马点. ∴BB ´过△ABC 的P ，且BB ´=EB ´+PB +PE =P A +PB +PC .8. 提示：延长AB 至M ，使BM =BP ，连结PM ，则AB +BP =AM ，可证明BQ =QC . ∴AQ +QB =AQ +QC =AC ，又由△AMP ≌△ACP 得AM =AC ，故AB +BP =AQ +BQ .9. 提示：延长FM 至P ，使PM =FM ，连结BP ，则△BMP ≌△CMF ，AE =AF ，BE =BP .10. 提示：当D 为BC 的端点，显见△AED 是等边三角形；当D 为BC 边的中点，取AC 的中点F ，连接DF ，易证△CDF 为等边三角形，又△ADF ≌△EDC ，故△ADE 为等边三角形．猜测：当D 为BC 上任意点时，△ADE 也为等边三角形． 11．（1）142y x =-+；（2）过点C 作CH ⊥y 轴于H ，证明△AOB ≌△BHC 即可；（3）符合条件的P 点共有5个，分别为()()()()84,12,4,,4,8,4,4,4,43⎛⎫-------- ⎪⎝⎭．12．提示：（1）B (8，0)；（2）如图a ，过A 作AS ⊥OB 于S ，过D 作DT ⊥x 轴于T ． ∵△OAB 为等腰直角三角形，∴OS =AS =BS ，再由△ASC ≌△CTD ，可得：AS =CT ，SC =TD ． ∴CT =AS =OS ，∴OT =CS =TD ． ∴∠TOD =45°，则∠AOD =90°；（3）等式成立，理由如下：如图b ，在AM 上截取AS =OF ，连ES ，可证△EAS ≌△EOF ，可得：ES =EF ，∠AES =∠OEF ∴∠SEF =∠AEO =90°，∴∠FEM =∠SEM =45°． 又∵EM =EM ，∴△EFM ≌△ESM ，∴FM =SM ， ∴AM =AS +SM =OF +FM ，∴1AM FMOF-=．x图a图b。

图20－1图20－2三角形全等培优训练试题1、（威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1．﹙1﹚将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C ＝∠B 1BC ．﹙2﹚若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ．试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．13、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB 的垂 直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，CD ＝2，则AC ＝ ．20、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如 图20－1所示放置，图2是由它抽象出的几何 图形，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．AB (A 1)CB 1C 1图 ②EA 1C 1CB (B 1)图 ③FA 11C 1ABC（图①）（1）请找出图20－2中与ABE △全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含 有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．4、(1)在图24－1中，已知∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ． ∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则能得如下两个结论： ① DC = BC; ②AD+AB=AC.请你证明结论②；(2)在图24－2中，把（1）中的条件“∠ABC ＝∠ADC ＝90°” 改为∠ABC ＋∠ADC ＝180°，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立， 请给出证明;若不成立，请说明理由．７、如图10，C 是线段AB 上的一点，ΔACD 和ΔBCE 都是等边三角形。

BA DC 人教版八年级上册数学《全等三角形》证明题专项训练·最新全等三角形证明习题（1）1.在△ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的中线.求证：△ABD ≌△ACD2. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．3.已知，如图BD 平分∠ABC ，AB = BC 。

求证：AD = CD4.如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。

求证：AB=AC 。

CBABDC E A5. 如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C. 求证: ∠A=∠D6. 如图，AB=AD, BC=DE, ∠B=∠D . 问∠BAE 与∠DAC 相等吗？为什么？7. 已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD 是∠BAC 的平分线．8.如图所示在△ABC 中，AB=AC ， D 是BD 的中点，求证：△9.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。

求证：△ABC ≌△EDF 。

CO ED BA FC10.已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D 在BE 边上． 求证：∠CAE=∠DAB ．11.已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ， ∠B=∠C 。

求证： △ABE ≌△ACD12.如图：AC=DF ，AD=BE ，BC=EF 。

求证：∠C=∠F 。

13.如图：AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF 。

DBEA OC FEB DADA14．如图，CE ⊥AB 于E , DF ⊥AB 于F , AF=BE , 且AC=BD ， 求证：AC ∥BD15.如图，已知AB=DE ，BC=EF ，AF=DC ，则∠EFD=∠BCA ，请说明理由。

16.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

八年级上 全等三角形 证明题专项训练1. 已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE相交于点F ，求证：BE =CD ．2. 如图，P 是∠BAC 内的一点，PE AB PF AC ⊥⊥，，垂足分别为点E F ，，AF AE =．求证：（1）PF PE =；（2）点P 在∠BAC 的角平分线上．3. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC =AB +AD5.如图，∠B＝∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明．（1）添加的条件是_______________；6.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．7.如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．8.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是282cm，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．9.如图，C、B、E三点在一直线上，AC⊥CB，DE⊥BE，∠ABD=90°，AB=BD，试证明AC+DE=CE．10.在ABCBD⊥AB=，AE是过点A的一条直线，且AEBAC，AC∆中，︒∠90=于D，AECE⊥于E.⑴当直线AE处于如图1的位置时，猜想BD、DE、CE之间的数量关系，并证明.⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的数量关系.11.已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD 、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的平分线．求证：AB=DC ．12.已知：如图，E ，F 在AC 上，AD//CB 且AD=CB ，∠D=∠B．求证：AE=CF ．13.如图，已知ABC ADE Rt △≌Rt △，90ABC ADE ∠=∠=°，BC 与DE 相交于点F ，连接CD ，EB ．（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举.（2）求证：.CF EF =14.如图，OC 平分AOB ∠，OA CA ⊥于A ，OB CB ⊥于B ，连接AB 交OC 于D .求证：AB OD ⊥15.如图，已知：AB=DC，ＡＣ＝ＤＢ，求证：（1）△BＯC是等腰三角形，（2）∠1=∠216.如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED．17.如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2．(1)请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC．你添加的条件是______________________；(2)添加条件后证明：△ABC≌△DEC．18.如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由．19.证明：⑴如图1，等腰直角AOB∆有公共顶点O，∆与等腰直角COD点C、O、B在同一条直线上，判断AC与BD的关系并加以证明.⑵如图2，等腰直角AOB∆有公共顶点O，点C、∆与等腰直角CODO、B不在同一条直线上.判断AC与BD的关系并加以证明.20.已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．21.班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.22.如图，ABCBAC，ACAB=，直线l经过A点，l=∠90Rt∆中，︒CF⊥.BE⊥，l 求证：EF+BE=CF23.如图，点D，E分别在AC，AB上．(1)已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；(2)分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE”记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的____命题，命题2是_____________命题．（选择“真”或“假”填入空格）．24.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且DE 平分CDA ∠BE AE =，求证：BE AE =25.如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且CD BD =，那么BE 与CF 相等吗？为什么？26.已知：如图，点E ，C 在线段BF 上，AB ＝DE ，AB ∥DE ，BE ＝CF ．求证：AC ＝DF.27.如图，点B、F、C、E在同一直线上，并且BF＝CE，∠B＝∠E．(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC≌△DEF．你添加的条件是：_______________．(2)添加了条件后，证明△ABC≌△DEF．28.已知：如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，且EB=EC，∠ABE=∠ACE.求证：∠BAE=∠CAE29.如图，AC=AD，∠BAC=∠BAD，点E在AB上．（1）你能找出___对全等的三角形；（2）请写出一对全等三角形，并证明．30.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90，CD AB于点D,点E在AC 上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC31.如图，点F是CD的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．（1）求证：AB=AE；（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？（只需写出结论，不必证明）．32.如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．33.已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.求证：(1)△BAD≌△CAE； (2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.34.如图所示，︒∠，判断AP是否C∠90B，P是BC中点，DP平分ADC==∠平分DAB∠，说明理由．35.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D。

C
F
D
证明：连接 BF 和 EF ∵ BC=ED,CF=DF, ∠ BCF= ∠ EDF ∴ 三角形 BCF 全等于三角形 ∴ BF=EF, ∠ CBF= ∠ DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中 ,BF=EF ∴ ∠ EBF= ∠ BEF 。 ∵ ∠ ABC= ∠ AED 。 ∴ ∠ ABE= ∠ AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形 ABF 和三角形 AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ ABF= ∠ ABE+ ∠ EBF= ∠ AEB+ ∠ BEF= ∠ AEF ∴ 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。 ∴ ∠ BAF= ∠ EAF ( ∠ 1= ∠ 2) 。 EDF( 边角边 )
10. 已知：∠ 1=∠ 2 ， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=AC A 12 F C D E B 过 C 作 CG∥ EF 交 AD 的延长线于点 CG∥ EF，可得，∠ EFD＝ CGD DE＝ DC ∠ FDE＝∠ GDC（对顶角） ∴△ EFD≌△ CGD EF＝ CG G
B
D
C
解：延长 AD 到 E, 使 AD=DE ∵ D 是 BC 中点 ∴ BD=DC 在△ ACD 和 △ BDE 中 AD=DE ∠ BDE= ∠ ADC BD=DC ∴△ ACD ≌△ BDE ∴ AC=BE=2
∵在 △ ABE 中 AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE ∵ AB=4 即 4-2 ＜ 2AD ＜ 4+2 1 ＜ AD ＜ 3 ∴ AD=2 8. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证： CD
6.
已知： AC 平分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠ D=180 °，求证： AE=AD+BE