圆的证明与计算
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圆的证明与计算
1.（2015菏泽(本题10分)
如图,在⊿ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于
点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F。
(1)求证：∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=210，CE:EB=1:4,求CE的长.
2．（10分）（2015•聊城）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．
3．（10分）（2015•枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．
如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断 ABC 的形状：______________；
（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P 位于
AB 的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
5.（2015莱芜）（本题满分9分）
在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D.
（1）求线段AD 的长度；
（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由.
6．（10分）（2015•淄博）如图1，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一过点C 的动圆⊙O 与斜边AB 相切于动点P ，连接CP ．
（1）当⊙O 与直角边AC 相切时，如图2所示，求此时⊙O 的半径r 的长；
（2）随着切点P 的位置不同，弦CP 的长也会发生变化，试求出弦CP 的长的取值范围．
（3）当切点P 在何处时，⊙O 的半径r 有最大值？试求出这个最大值．
第21题图 第21题备用图
C B A （第21题图）
如图,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.
（1）求弧BC 的长；
（2）求弦BD 的长.
8．（2015东营）(本题满分8分)已知在△ABC 中，∠B=90o ，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ．
（1）求证：AC ·AD=AB ·AE ；
（2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长．
9．（9分）（2015•威海）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，交BC 于点E ．
（1）求证：BE=CE ；
（2）若BD=2，BE=3，求AC 的长．
（第21题图）
A
10．（2015•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4，求EF的长．
11．（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
12．（2015•毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
13．（2015•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O 交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
14．（2015•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线．
15．（2015•宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．
16．（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．
（1）求证：AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
17．（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
18．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD=cm，AC=8cm，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．
19．（2015•宜宾）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．
20．（2015•广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
21．（2015•莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．
22．（2015•锦州）如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．
23．（2015•甘孜州）如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC 分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．
24．（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C 作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．。
