一.非线性基本概念线性极化率的基本概念:一、电场的复数表示法：E(r,t)=1/2E(r,ω)exp(-iωt)+c.c. (1)E(r,t)=Re{E(r,ω)exp(-iωt)} (2)E(r,t)=1/2E(r,ω)exp(-iωt) (3)以上三者物理含义是一致的，其严格数学表示是（1）式。
（注意是数学表达式，所以这种表示法主要还是为了运算的方便，具体那些系数、共轭神马的物理意义是其次的，不用太纠结。
）称为复振幅，代表频率为的简谐振动，的频率仅是数学描述，物理上不存在。
1/2是归一化系数。
对于线性算符，可采用（3）式进行简化计算，然后加c.c.或Re{ }即可对非线性算符，必须采用（1）式的数学形式计算二、因果性原理：某时刻的电场只能引起在此时刻以后介质的响应，而对此时刻以前的介质响应没有贡献。
也可以这样说，当光在介质中传播时，t时刻介质所感应的极化强度P(t)不仅与t时刻的光电场有关，也与此前的光电场有关。
（先有电场E，后有极化P）与此相关的是时间不变性原理：在某时刻介质对外电场的响应只与此前所加电场的时间差有关，而与所取的时间原点无关。
于是，极化强度表达的思路即是先找到时刻t之前附近的一段微小时间t-τ=dτ内电场的作用，再对从电场产生开始以来的时间进行积分，求得总的效应。
τ时刻电场，影响其后的极化：t时刻的极化，来自其前面时刻的电场贡献：或t时刻的极化，来自前面时刻的电场贡献：三、线性极化率：其中四、介电常数（各向同性介质）：五、色散：由于因果性原理，导致必然是频率的函数，即介质的折射率和损耗都随光波长变化，称为色散现象。
正常色散：折射率随波长增加而减小。
六、KK关系:以上两式为著名的KK色散关系，由K-K关系课件，只要知道极化率的实部和虚部中任何一个与频率的函数关系（光谱特性）就可通过此关系求出另外一个。
线性极化率张量同样满足真实性条件：,所以，这两式是线性极化率的KK关系。
七、极化率的一维谐振子经典模型:没希望考了。
非线性极化率的基本概念:一、非线性极化强度：即与电场强度成二次、三次等幂次方关系的电极化强度。
下图是课件里的标准写法并不需要这么写就是了，可以写成下图所示，这是张量形式。
二、非线性极化率：对于二阶和频ω3=ω1+ω2，P(2)(ω1+ω2)=ε0Dχ(2)(-ω1-ω2,ω1,ω2):E(r,ω1)E(r,ω)。
课件里介绍了很多方法求解极化强度和极化率，但都是近似求解，表达式又那么复杂……所以2一般可以用这种表达式表示极化率的关系式。
三、张量性质：把上面所说的张量形式写成各分量的形式（标量形式）后可看出极化率分别是二阶、三阶、四阶张量，分别有9、27、81个分量。
可以这么粗略的理解：极化率与极化强度和电场强度相关，极化强度有3个分量，电场强度有3、32、33个分量，所以组合起来就是上面那么多个分量了。
四、简并因子D：作用是使得非线性极化率的值对几种不同的同阶非线性光学效应能互相衔接，而不致发生突变。
D来源于本征对易性，是光场部分的简并，因为不同频率光场在产生极化时不应该有不同的地位，尤其当几个光场频率相等时，这几个光场是不可分辨的。
对n阶非线性，如果有m个相同频率，和波矢相关，要考虑方向的，例如四波混频，则简并度D=n!/m!极化率的性质:五、真实性条件:ω的复共轭关系。
保证P和E都是实函数。
a．对线性极化所以：b．对非线性极化六、本征对易性：光场ω的次序交换。
各光场频率在极化率表达式中的次序可以互换而不改变极化率。
二阶非线性过程：三阶非线性过程：七、完全对易性:光场和信号场（即极化场）的ω次序交换。
在远离共振区的条件下（，介质是无损耗的）.可以这样看：当介质对光场不会产生不可逆（吸收损耗等）的作用，整个过程就可类似于光线可逆来看。
二阶非线性过程：（）之间任意交换不变，共6种三阶非线性过程：（）之间任意交换不变，共24种八、时间反演对称性:-ω=ω线性所以线性极化率是对称张量。
九、空间对称性：介质的晶格对称性导致的。
晶格周期性排列导致空间对称性，这种对称性体现在物理性质上，就是晶体的物理性质的对称性。
对极化率来说，空间对称性使得极化率张量的分量之间存在一定关系，相等、反号或等于零，使独立元素减少。
这里值得注意的是二阶极化强度，与物质直接相关的是极化率，反演对称性即是说χ在对称操作下不变，-P=P，所以P=0。
通过反演操作可知，对具有反演中心的晶类，偶数阶的非线性极化率为零。
二. 光的传播及耦合波方程 光在晶体中的传播:一、各向同性与各向异性: 1) 各向同性与各向异性：各向同性介质即指介电常数在各方向上是相等的，光在各向同性介质中传播：D 与E 方向相同，且垂直于光波的传播方向k ，能流方向I 与k 一致。
光在各向异性介质中传播的特点是：光波的传播方向(k )与能流方向(I =E ×H )不同，其间有一个夹角。
因为在介质中电感应强度D 垂直于光波传播方向，电场E 总是垂直于能留传播方向，因此D 和E 之间具有夹角。
事实上不太大，对于大多数晶体。
二、单轴晶体和双轴晶体：单轴晶体：介电常数和折射率有这种关系，寻常光的E 、D 方向平行，非寻常光的E 、D 不平行。
双轴晶体：介电张量三个主值都不相等的晶体有两个光轴，称为双轴晶体。
三、o 光和e 光,满足⊥=ε2n 的光波，其折射率与光波传播方向无关，称为寻常光（o 光），折射率为n 0。
光波的折射率与光波的传播方向有关，称为非常光（e 光），折射率表示为n=n （θ）四、e 光的折射率：，n(θ=0)=(⊥ε)1/2=n 0 ,这个方向称为光轴方向。
n(θ=π/2)=21//ε=n e.。
所以写成22222sin cos n 1eo n n θθ+=。
e 光的能流方向和波矢方向的夹角称为走离角。
五、走离效应：即离散效应。
由于光在双折射晶体中传播的方向与光轴的夹角不等于0°或90°时，e 光的能流方向和波矢方向不是同一的，o 、e 光会逐渐分开。
因此由角度相位匹配方法（见 十二 相位匹配角计算）得到的θm 不等于90°时，产生的倍频光与基频光在空间上会离散开来。
耦合波方程:六、慢变包络近似,：可忽略在一个波长范围内振幅的变化，或者说在波长量级的距离内光波振幅的变化非常慢（随z 的变化是慢变）。
是对振幅空间缓慢变化的近似：七、准单色近似：振幅时间慢变近似。
假设波的振幅随时间缓慢变化（随t 的变化是慢的），即满足以下近似八、Manley-Rowe 关系：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332211ωωωI dz d I dz d I dz d ，其中2021I i i i E cn ε=，i=1,2,3是光强即电磁场辐射能流率。
它表明了相互作用中三个光电场光子数的变化关系，两个光子湮灭产生一个光子是和频和倍频过程，一个光子湮灭产生两个光子是参量产生过程。
也是在无损耗介质中非线性相互作用的能量守恒关系，可写成：con I I =++321I ，初始时光电场的总光强。
公式推导时，电场和极化强度采用的是复数表达形式，三个耦合波方程的极化率系数由对称性可知是相等的。
作为二阶三阶非线性作用的出发点，从耦合波方程：kzi NL n n n e P cn i z E ∆=∂∂02εω和极化强度P NL 就可以导出各种效应和关系。
石顺祥和钱士雄的书上采用的相位相反……不知老师有提过没，不要给判错了。
此处采用钱士雄的，213k k k k --=∆，要大大的写出来，不然可能会误解。
()kzi eE E E c i dz dE E n ∆=3*2*1211*11χω （1）()kzi eE E E c i dz dE E n ∆=3*2*1222*22χω （2） ()kzi eE E E c i dz dE E n ∆=-*321233*33χω （3）相位匹配:九、第一类与第二类相位匹配：第一类相位匹配：两基频光取同样的偏振方向，称为第一类相位匹配，其偏振性质对负单轴晶体表为o+o →e ，对正单轴晶体表为e+e →o 。
第二类相位匹配：取两基频光的偏振方向相互垂直：一束为o 光，一束为e 光。
其偏振性质对负单轴晶体可表为o+e →o ，对正单轴晶体可表为o+e →o 。
十、临界和非临界临界相位匹配：角度相位匹配。
临界相位匹配可以推广到和频过程，同样可以有第I 类和第II 类两种匹配，匹配角计算复杂一些：非临界相位匹配：温度相位匹配，通过温度控制折射率的微小改变，使θm 在某一温度时达到90°。
十一、影响相位匹配的因素1. 走离效应：通过调整光传播方向的角度实现相位匹配时，参与非线性作用的光束选取不同的偏振态，就是的有限孔径内的光束之间发生分离。
对于第一类相位匹配：降低倍频光的功率密度，扩大孔径。
对于第二类相位匹配，影响倍频效率（基波分别为o 光和e 光，当它们在空间上完全分离时，就不能产生二次谐波）。
薄晶体可以改善；非临界相位匹配可以避免。
2. 输入光发散引起相位失配（光束发散角）：实际上光束都不是理想均匀平面波，而是具有一定的发散角。
根据傅里叶光学，任一非理想的平面波都可视为具有不同方向波矢的均匀平面波的叠加。
而具有不同波矢方向的平面波不可能在同一相位匹配角方向达到相位匹配。
波矢k 偏离z方向引入了附加的，正比于发散角。
光束聚焦可以提高光强，有利于倍频效率，但细光束的发散角变大，会降低倍频效率。
需要提高光束的亮度（单位立体角内的能流密度）3. 输入光束的谱线宽度引起相位失配（光谱宽度）：任何一束光都是具有一定谱线宽度的非理想单色波，所有频率分量不同不可能在同一个匹配角下达到相位匹配。
其他光谱分量偏离引起附加的，正比于光谱宽度；短脉冲容易实现高功率和高光强；超短脉冲还有色散展宽效应，降低了峰值功率，影响效率。
十二、相位匹配角的计算：调节入射光波矢与晶体光轴之间的夹角θ，通过改变e 光折射率n(θ)使之满足213=--=∆k k k κ。
记住Ⅰ类和Ⅱ类的相位匹配条件，代入e 光折射率表达式中即可求出角度。
倍频光处在低折射率的偏振方向上。
负单轴Ⅰ类是()()ωθωo m e n n =,2，Ⅱ类是()()()[]ωθωθωo m e m e n n n +=,21,2，如上表。
1/2系数的出现是因为基频光两折射率不相同。
三.二阶非线性过程都是围绕能量和动量守恒倍频:一、有效倍频系数：（这部分还是看书好，具体参数不用深究了，记住结果就好了。
）KDP晶体(负单轴晶体)，属于2m 晶体，为非零元素。
负单轴晶体（）第一类相位匹配，o+o →e二、最佳相位匹配：就在满足相位匹配角条件下，选择光线传播方位角使有效倍频系数最大。
