北师大版八年级数学上册定义与命题

第一章 三角形初步[定义与命题]定义：规定某一名称或术语的意义的句子。

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。

正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

注意：基本事实和定理一定是真命题。

[证明]在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。

[三角形]由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 [三角形按边分类]三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形[三角形按内角分类]三角形 锐角三角形：三个内角都是锐角直角三角形：有一个内角是直角 钝角三角形：有一个内角是钝角 [三角形的性质]三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三内角和等于180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。

[三角形的三种线]顶角的角平分线：三条，交于一点 三角形的中线：三条，交于一点 三角形的高线：三条，交于一点。

思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置[全等形]能够完全重合的两个图形叫做全等形. [全等三角形]能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. [全等三角形的性质]全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

还有其它推出来的性质：全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

[三角形全等的证明]边边边：三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

7.2定义与命题（解析）知识精讲 命题 定义 判断一件事情的语句，叫做命题．常写成“如果……，那么……”的形式.组成 题设 已知事项.一般地，用“如果”开始的部分是题设结论 由已知事项推出的未知事项. 一般地，用“那么”开始的部分是结论.真命题 判断为正确的命题称为真命题假命题判断为错误的命题称为假命题 互逆命题 如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 定理 经过受逻辑限制的证明为真的陈述，一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理．二．易错点：1．命题的概念，关键是要注意两点，其一必须是一个语句，其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”． 2．命题是判断一件事情的句子，这个判断可能是正确的也可能是错误的，而不做判断的句子肯定不是命题．三点剖析一．考点：命题的判断．二．重难点：命题的概念和命题的构成．三．易错点：1．命题的概念，关键是要注意两点，其一必须是一个语句，其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”． 2．命题是判断一件事情的句子，这个判断可能是正确的也可能是错误的，而不做判断的句子肯定不是命题．命题、定理、证明例题1、 下列语句中，不是命题的是（ ）A.内错角相等B.如果0a b +=，那么a 、b 互为相反数C.已知24a =，求a 的值D.玫瑰花是红的【答案】 C【解析】 A ，B ，D 都是判断一件事情的语句，并且由题设和结论构成．C 不是判断一件事情的语句． 例题2、 定理“同位角相等，两直线平行”的逆定理是_________________________________【答案】 两直线平行，同位角相等【解析】 将该命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．同位角相等，两直线平行的逆定理为：两直线平行，同位角相等．例题3、 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式__________________．【答案】 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行【解析】 该题考查的是命题的书写．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式为，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．例题4、 下列选项中，可用来说明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是（ ）A.15B.24C.42D.2k【答案】C【解析】A、15不是偶数，故本选项错误；B、24是8的倍数，故本选项错误；C、42是偶数但不是8的倍数，故本选项正确；D、2k是偶数，但不一定是8的倍数，故本选项错误；例题5、对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A.∠1＝50°，∠2＝40°B.∠1＝50°，∠2＝50°C.∠1＝40°，∠2＝40°D.∠1＝45°，∠2＝45°【答案】D【解析】对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，说明它是假命题的反例可以是∠1＝∠2＝45°．随练1、下列句子中是命题的是（）A.宽阔的大海B.美丽的天空C.负数都小于零D.你的作业做完了吗？【答案】C【解析】命题是判断一件事情的句子，这个判断可能是正确的也可能是错误的，而不做判断的句子肯定不是命题．A、B、D不是判断句，没有做出判断，因此不是命题．随练2、把命题“对顶角相等”写成“如果那么”的形式______________________________________【答案】如果两个角是对顶角，那么两个角相等【解析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果那么”的形式．∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，∴命题“对顶角相等”写成“如果那么”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么两个角相等”．随练3、“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是_________________________________，它是一个________命题（填“真”或“假”）【答案】有两个锐角的三角形是直角三角形；假【解析】逆命题就是原来的命题的题设和结论互换．“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“有两个锐角的三角形是直角三角形”假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但不是直角三角形．故是假命题．随练4、“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是______，它是一个______命题．【答案】有两个锐角的三角形是直角三角形；假【解析】“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“有两个锐角的三角形是直角三角形”假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但不是直角三角形．故是假命题．随练5、说明“如果x＜2，那么x2＜4”是假命题，可以举一个反例x的值为（）A.﹣1B.﹣3C.0D.1.5【答案】B【解析】如果x＜2，那么x2＜4”是假命题，可以举一个反例为x=﹣3．因为x=﹣3满足条件，不满足x2＜4．随练6、下列各命题的逆命题不成立的是（）A.两直线平行，同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C.对顶角相等D.如果22=，那么a ba b=【答案】C【解析】A：逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立；B：逆命题是如果两个数也相等，那么这两个数的绝对值相等，成立；C：逆命题是相等的角是对顶角，不成立；D：逆命题是如果a b=，那么22=，成立a b随练7、下列命题中是假命题的是（）A.过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交线B.直角的补角是直角C.同旁内角互补D.从直线外一点向直线作线段，垂线段最短【答案】C【解析】A、由题意，两直线有公共点且不重合，必是相交线，是真命题；B、直角与直角的和是180度，所以直角的补角是直角，是真命题；C、两直线平行时，同旁内角才互补，是假命题；D、从直线外一点向直线作线段，垂线段最短，是真命题．课后习题1、下列语句中，不是命题的是（）A.对顶角相等B.直角的补角是直角C.过直线l外一点A作直线AB⊥l于点BD.两个锐角的和是钝角【答案】C【解析】该题考查的是命题的概念．在数学中，能够判断真假的陈述句叫做命题．A是为真的陈述句，是真命题；B是为真的陈述句，是真命题；C是不能判断真假的陈述句，不是命题；D是为假的陈述句，是假命题；所以该题的答案是C．2、命题“对顶角相等”的“条件”是____．【答案】【解析】“对顶角相等”的“条件”是两个角是对顶角．故答案为：两个角是对顶角．3、“对顶角相等”的逆命题是______________________________，它是一个_______命题（填“真”或“假”）【答案】相等的角是对顶角；假【解析】“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题4、下列命题中，是真命题的是（）A.同位角相等B.同旁内角互补C.内错角相等D.对顶角相等【答案】D【解析】A：只有两条平行线形成的同位角才相等，错误；B：只有两条平行线形成的同旁内角才互补，错误；C：只有两条平行线形成的内错角才相等，错误；D：对顶角相等，正确．5、下列说法正确的是（）A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题D.假命题的逆命题是假命题【答案】A【解析】A．命题一定有逆命题，此说法是正确的，因为把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．故此选项正确；B．定理不一定有逆定理，如：对顶角相等是定理，逆定理是相等的角是对顶角，此逆定理是错误的，故此选项错误；C．真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，此逆命题是错误的，故此选项错误；D．假命题的逆命题不一定是假命题，比如：相等的角是对顶角是假命题，但是其逆命题对顶角相等是真命题，故此选项错误．6、下列命题中，正确的命题有几个（）①对顶角相等②相等的角是对顶角③不是对顶角的两个角就不相等④不相等的角不是对顶角A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】B【解析】①符合对顶角的性质，故正确；②如等腰三角形的两底角相等但不是对顶角，故不正确；③如等腰三角形的两底角相等但不是对顶角，故不正确；④因为对顶角相等，所以不相等的角不是对顶角，故正确；7、对于命题“若a2＝b2”，则“a＝b”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A.a＝3，b＝3B.a＝－3，b＝－3C.a＝3，b＝－3D.a＝－3，b＝－2【答案】C【解析】当a＝3，b＝3时，a2＝b2，而a＝b成立，故A选项不符合题意；当a＝－3，b＝－3时，a2＝b2，而a＝b成立，故B选项不符合题意；当a＝3，b＝－3时，a2＝b2，但a＝b不成立，故C选项符合题意；当a＝－3，b＝－2时，a2＝b2不成立，故D选项不符合题意；8、下列命题中，假命题的是（）A.同旁内角相等，两直线平行B.等腰三角形的两个底角相等C.同角（等角）的补角相等D.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角【答案】A【解析】A、同旁内角互补，两直线平行，故错误，是假命题；B、等腰三角形的两个底角相等，正确，是真命题；C、同角（等角）的补角相等，正确，为真命题；D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，正确，为真命题．故选A．9、两个锐角之和是钝角，其条件是，结论是，这是一个命题（填“真”或“假”）【答案】两个锐角之和；钝角；假．【解析】两个锐角之和是钝角，其条件是两个锐角之和，结论是钝角，这是一个假命题；故答案为：两个锐角之和；钝角；假．10、命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，其逆命题是．逆命题是命题（填“真”或“假”）．【答案】“如果这两个实数相等，那么这两个实数的平方相等”；真．【解析】“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，其逆命题是“如果这两个实数相等，那么这两个实数的平方相等”．逆命题是真命题；。

第1课时定义与命题课时目标1.掌握定义、命题的含义,并感受其在数学和生活中的广泛应用.2.理解命题的结构,会将命题写成“如果……那么……”的形式,会区分命题的条件和结论,并判断其真假.3.通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识,关注现实,培养学生进行思考的能力和质疑精神.学习重点掌握定义、命题的含义,并感受其在数学和生活中的广泛应用.学习难点理解命题的结构,会将命题写成“如果……那么……”的形式,会区分命题的条件和结论,并判断其真假.课时活动设计情境引入通过多媒体播放图片,创设小华和小刚对话的场景,让学生发现有关的数学问题.小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.小华:哈!这个黑客终于被逮住了.小刚:是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……小华:这个黑客是个小偷吧?小刚:可能是个喜欢穿黑衣服的贼.设计意图:创设这个情境,激发和引导学生更主动地参与课堂交流,感受到为了进行有效交流必须引入定义和命题.用这种形式引入,让学生及早融入课堂,积极思考,也作为本节课的一个贯穿的背景.更重要的是,希望学生初步感受定义的重要性.探究新知教师引导学生回答下面问题.1.阅读下面的内容,并填一填.(1)“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义;(2)“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义;(3)“无限不循环小数被称为无理数”是“无理数”的定义;(4)“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形”是“多边形”的定义;(5)“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.教师通过上述例子,引出定义的含义.证明时,为了交流的方便,必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.2.从本册数学课本中找找有哪些定义?设计意图:这里的例子,既有几何概念方面的定义,也有代数方面的定义,还有生活中的定义,力图让学生认识到定义在工作、学习、生活中的广泛应用,达成定义的必要性以及科学性、准确性、简洁性、唯一性的共识;然后通过在教材上找定义,体验定义的无所不在,突显教材在学习中的指导作用.鼓励学生自己动脑思考并与小组的其他同学相互讨论,对学生的答案给予肯定,激发他们学习数学的兴趣.探究新知下列各语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有?(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;(2)对顶角相等;(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(5)你喜欢数学吗?(6)作线段AB=CD.学生组内合作,互相交流讨论.教师引导,通过上述例子引出命题的概念.解:(1)(2)(3)(4)作出了判断,(5)(6)没有作出判断.教师总结:判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.命题是一个陈述句.设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上道出对命题的认识和理解,表示判断的句子都是命题,而不管判断是否正确.不表示判断的句子就不是命题,在此过程中培养学生的表达能力和总结能力.探究新知观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征?(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;(2)如果a=b,那么a2=b2;(3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等,那么这两个三角形全等.学生组内合作,互相交流讨论.教师引导,总结交流结果.教师总结:一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成,条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.设计意图:这些命题都是“如果…那么……”的形式,让学生进一步体会命题的含义,并概括出命题的结构特征:有“如果……那么……”的结构,进而明晰命题的条件和结论,使学生更好地认识命题及其结构.典例精讲例指出下列命题的条件和结论,其中哪些命题是错误的?你是如何判断的?(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;(2)如果a≠b,b≠c,那么a≠c;(3)全等三角形的面积相等;(4)如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.学生分组进行讨论交流,教师展示答案.解:(1)条件:两个角相等;结论:它们是对顶角.例:等腰三角形的两个底角相等,但它们不是对顶角,所以命题不正确.(2)条件:a≠b,b≠c;结论:a≠c.例:a=c=3,b=1,同样满足条件a≠b,b≠c.所以命题不正确.(3)条件:两个三角形全等;结论:这两个三角形的面积相等.命题正确.(4)条件:室外气温低于0℃;结论:地面上的水一定会结冰.例:结冰需要一个过程,在室外温度低于0℃时才刚刚开始结冰.所以命题不正确.教师总结:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.设计意图:明晰了命题的结构之后,自然应让学生结合实例分析命题的条件和结论.在这样的分析过程中,必然会思考这些命题的真假.巩固学生分析命题的条件和结论,进一步引导学生体会:要说明一个命题是假命题,通常举出一个反例就可以了.同时,与前面内容相呼应:要说明一个命题是正确的,无论验证多少个特殊的例子,也无法保证命题的正确性.巩固训练1.指出下列命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题.(1)互为补角的两个角相等;(2)如果a=b,那么a+c=b+c;(3)如果两个长方形的周长相等,那么这两个长方形的面积相等.解:(1)条件:两个角互为补角;结论:这两个角相等.假命题.(2)条件:a=b;结论:a+c=b+c.真命题.(3)条件:两个长方形的周长相等;结论:这两个长方形的面积相等.假命题.2.分别把下列命题写成“如果……,那么……”的形式.(1)两点确定一条直线;(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;(3)内错角相等.解:(1)如果经过两点画直线,那么只能画出一条直线.(2)在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.(3)如果两个角是内错角,那么这两个角相等.设计意图:旧知识和新知识的结合体,巩固真命题与假命题的概念,学会用举反例来证明假命题,体会命题的完备性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,同时也加深对“如果……,那么……”形式的理解与掌握,培养学生的核心素养.课堂小结1.定义和命题的概念.2.命题的条件和结论.3.判断真假命题.设计意图:通过回顾本节所学的知识,加深学生对本节所学内容的理解,培养学生善于反思的习惯.课堂8分钟.1.教材第167页习题7.2第2,3题.2.七彩作业.教学反思第2课时公理、定理和证明课时目标1.了解真命题的证明,通过实例感受证明的过程与格式.2.初步感受公理化思想,并了解本套教科书所采用的基本事实.3.阅读有关《原本》和公理化的资料,感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.学习重点了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的基本事实.学习难点体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性.课时活动设计复习回顾1.回忆我们上次学习到了哪些知识?对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.判断一件事情的句子,叫做命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.2.举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢?设计意图:开门见山,引导学生回忆命题引出下面活动.情境引入公元前3世纪,人们已经积累了大量的数学知识,在此基础上,古希腊数学家欧几里得(公元前300年前后)编写了一本书,书名叫做《原本》.为了说明每一结论的正确性,他在编写这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的数学名词称为原名,公认的真命题称为公理.除了公理外,其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.已学的八条基本事实有:1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行(简述为:同位角相等,两直线平行).5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等.此外,数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据,称为“等量代换”.又如,如果a>b,b>c,那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.设计意图:经历实际情境,初步体会公理化思想和方法,了解本教材所采用的基本事实,让学生对真假命题有一个清楚的认识,从而进一步了解定理、公理的概念.培养学生的语言表达能力.探究新知定理证明学生组内合作,互相交流完成下面问题,教师及时指导,规范学生证明过程的书写.1.定理:同角的补角相等.已知:℃B和℃C是℃A的补角,求证:℃B=℃C.证明:℃℃B和℃C是℃A的补角,℃℃B=180°-℃A,℃C=180°-℃A.℃℃B=℃C(等量代换).℃同角的补角相等.2.定理:同角的余角相等.已知:℃B和℃C是℃A的余角,求证:℃B=℃C.证明:℃℃B和℃C是℃A的余角,℃℃B=90°-℃A,℃C=90°-℃A.℃℃B=℃C(等量代换).℃同角的余角相等.设计意图:通过学生合作交流,培养了学生互助交流的意识;让学生初步感受证明推理的过程,体会证明的思路,体验书写的过程以及数学的严谨性.典例精讲例已知:如图,直线AB与直线CD相交于点O,℃AOC与℃BOD是对顶角.求证:℃AOC=℃BOD.证明:℃直线AB与直线CD相交于点O,℃℃AOB与℃COD都是平角(平角的定义).℃℃AOC=℃BOD都是℃AOD的补角(补角的定义).℃℃AOC=℃BOD(同角的补角相等).由例题得到定理:对顶角相等.设计意图:让学生进一步体会证明的思路与书写的过程.巩固训练已知:如图,℃ABC.求证:AB+BC>AC,BC+CA>AB,CA+AB>BC.证明:℃AC是以点A,点C为端点的线段,℃AB+BC>AC(两点之间线段最短).同理BC+CA>AB,CA+AB>BC.设计意图:让学生进一步感受证明推理的过程,体会证明思路,体验书写的过程以及数学的严谨性.课堂小结1.公理:公认的真命题.2.定理:经过证明的真命题.3.证明:演绎推理的过程.设计意图:通过回顾本节课所学的内容,加深学生对本节所学内容的理解,掌握证明推理的过程,体验数学的严谨性,培养学生反思的习惯.课堂8分钟.1.教材第171页习题7.3第3,4题.2.七彩作业.第2课时公理、定理和证明1.公理:公认的真命题.2.定理:经过证明的真命题.3.证明:演绎推理的过程.教学反思。