直角三角形的射影定理学案

四角三角形的射影定理1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.射影定理的有关计算如图，在Rt，求CD，AC，BC的长．在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD，AC，BC的长分别为2 3 cm,4 cm，4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3， 得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x . 因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， 所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ， 所以BC ＝12m .又因为CD ⊥AB ， 所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m .所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316 m 2，得CD ＝34m . 因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m .2．已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长． 解：(1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2. ∴AD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).利用射影定理证明如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A 作AH ⊥BC 于H . 则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FCCH .∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC .而DE ＝GF ＝EF ，∴EF 2＝BE ·FC .4.如图，已知∠CAB ＝90°，AD ⊥CB ，△ACE ，△ABF 是正三角形， 求证：DE ⊥DF . 证明：在Rt △ABC 中，AC 2＝CD ·CB ，AB 2＝BD ·BC ，AD 2＝CD ·BD . 所以AC AB＝CD BD＝ CD 2CD ·BD＝CD 2AD 2＝CD AD ＝AD BD. 因为AC ＝AE ，AB ＝BF ， 所以AE BF ＝ADBD.又∠FBD ＝60°＋∠ABD ，∠EAD ＝60°＋∠CAD ，∠ABD ＝∠CAD ， 所以∠FBD ＝∠EAD ， 所以△EAD ∽△FBD . 所以∠BDF ＝∠ADE .所以∠FDE ＝∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BDF ＝90°. 所以DE ⊥DF .课时跟踪检测(五)一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图，∵∠A ＝∠A ， ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ，∴AD AB ＝DEBC， ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)． 2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45.3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)， 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的长是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：选B ∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠AEB ＋∠DEF ＝90°.因为∠DEF ＋∠DFE ＝90°，所以∠AEB ＝∠DFE . 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3.6，则BC ＝________.解析：由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2BC 2＝AD BD ，即BC 2＝AC 2·BD AD. 又∵CD 2＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2AD.∴BC 2＝AC 2·CD 2AD 2＝6262－3.623.62＝64. ∴BC ＝8. 答案：8 三、解答题8．如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．解：在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8， 满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°. ∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°. 故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，由射影定理知AD 2＝BD ·CD ，即62＝8·CD ， ∴CD ＝92.9.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF . 证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图， 设CD ＝3x ，BD ＝5x ， 则BC ＝8x ， 过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F ， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理，BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.。

第一讲相似三角形的判定及有关性质4 直角三角形的射影定理班级：姓名：知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。

重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；2、已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.(1)图中有几条线段?(2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?(5)由上可得到哪些等积式?（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是比例中项；两直角边分别是的比例中项。

请同学们自己写出已知条件并证明。

已知：求证：证明：A A用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.二、当堂训练1、如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。

，，82==DB AD 求的长。

和BC AC CD ,2、如图，ΔABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且BD AD CD ∙=2。

求证：ΔABC 是直角三角形。

证明：三、课堂小结与反思AA B四、课后检测1．如图1—4—1中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是( )A ．3：2B ．9：4C ．3：2D ．2：32．在Rt △ACB 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是( )A. 41B. 31C. 21 D.2 3．下列命题中，正确的有( )①两个直角三角形是相似三角形；②等边三角形都是相似三角形；③锐角三角形都是相似三角形；④两个等腰直角三角形是相似三角形．A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个4．已知直角△ABC 中，斜边AB=5cm ，BC=2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE=( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28cmD ．1.3 cm5．如图1—4—2，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E 。

直角三角形的射影定理的教学设计课题：直角三角形的射影定理一、教材分析直角三角形的射影定理是人教A版2003课标版选修4-1几何证明选讲第一讲.相似三角形的判定及有关性质的第四节的内容，本节课是学习三角形相似的具体运用，体现了从特殊到一般的数学思想, 也是解决直角三角形有关边长问题的重要工具，教材围绕“可以解决哪些问题”、“怎样解决这些问题”进行探索。

射影定理的证明方法很多，教材除了用三角形相似，只提到勾股定理的证法，对于三角函数法、平面向量法、解析坐标法只字未提，这是为什么？推敲教材发现，初中并没有对相似三角形的判定定理与性质进行严格证明，本讲基于平面几何“证明”这一主导思想，运用欧氏几何的公理体系演绎推理，培养学生的逻辑思维能力，这是教材编写的目的，因此，其他非欧氏几何方法不是本课的重点。

二、学情分析课堂教学应该以学生文本，生活中的射影现象学生并不陌生，前三节学习了相似三角形的判定与性质，熟悉勾股定理，学生经历观察、实验、类比、猜想、交流等活动，这是学生知识的“最近发展区”，学生也具备了观察探索、逻辑推理和语音表达的相关能力。

三、设计理念本节课以学生常见的“物体投影”为情境，引入课题，使学生有强烈的好奇心和求知欲，本节课以构建主义理论为基础，以学生自主探索、合作交流为主要学习方式，最大限度的调动学生的积极性和兴趣，体现“以学生发展为本”的新课程的理念；精心设计的问题链，使教学过程过程化、活动化、进而促进学生积极主动的参与教学活动中来，鼓励学生互相讨论和合作交流；先重点研究射影定理的其中一个，另外两个进行类比；充分借助信息技术手段丰富课堂知识容量，提高学生的学习效率，让合作与探究成为课堂的常态，发挥“课堂主渠道作用，打造高效课堂”；对欧几里得定理的探究过程，适时介绍数学史，从“立德树人”的高度开展课堂教学。

四、教学目标知识与能力：1、理解并掌握直角三角形的射影定理，培养学生应用定理解决问题的能力。

D AA ′ M N NA A ′B ′ B 直角三角形的射影定理教学目标（一） 知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三） 情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点 射影定理的证明．教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法 师生协作共同探究法．教学用具 黑板 多媒体教学过程设计一 复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？2．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二 新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题：图11．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△ACD 与△CBD ，△BDC 与△BCA ，△CDA 与△BCA ）2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： △ACD 与△CBD 中，CD 2= AD·BD ,△BDC 与△BCA 中，BC 2= BD·AB ,△CDA 与△BCA 中，AC 2= AD·AB ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义： 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段． C BA点和线段的正射影简称为射影．图2请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三 例题分析 例1 如图3，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求CD 、AC 和BC 的长．解：∵∠ACB 是半圆上的圆周角，∴∠ACB=90°，即⊿ABC 是直角三角形．由射影定理可得：CD 2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；AC 2=AD·AB=2×10=20，解得AC=25； BC 2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 45． （师生一起分析思路，由学生完成求解．）图3 图4例2 如图4，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2=AD·BD．求 证：⊿ABC 是直角三角形．证明：在⊿CDA 和⊿BDC 中，∵点C 在AB 上的射影为D ，∴CD⊥AB． ∴∠CDA=∠BDC=90°．又∵CD 2=AD·BD，∴AD:CD=CD:DB．∴⊿CDA∽⊿BDC．在⊿ACD 中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°．∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．∴⊿ABC 是直角三角形． A D CA D O BC M NN NBb（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD 2=AD·B D 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四 课堂练习1 在⊿ABC 中，∠C=90°, CD 是斜边AB 上的高．已知CD=60，AD=25，求BD 、AB 、AC 、BC 的长．（直接运用射影定理．）2 如图，已知线段a 、b ，求作线段a 和b 的比例中项．(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法．)五 课堂小结 （引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归．六 课后作业1 基础训练：在⊿ABC 中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D ，AC=12,BC=5,求CD 的长．2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）a。