伽利略变换例题

第6节伽利略对自由落体运动的研究1．绵延两千年的错误亚里士多德根据平常观察到的落体现象得出了结论：____的物体比____的物体下落得快，这一结论在其后两千年的时间里，被人们奉为经典．2．逻辑的力量(1)伽利略利用逻辑推理的方法对亚里士多德的论断进行推断，得出了____________的结论，使亚里士多德的理论陷入了困境．(2)伽利略对落体现象提出了一种新的观点：重物与轻物下落得__________．3．伽利略的科学假说与理想斜面实验(1)伽利略猜想____________是一种最简单的变速运动，这种运动其速度应该是________变化的．(2)伽利略的理想斜面实验．让铜球从斜槽的不同位置由静止滚下，得出小球滚下的位移x与运动时间的二次方成____，即______．当倾角等于90°，即物体竖直下落时，位移x与运动时间的平方仍成______，即________，从而得出了落体运动的规律．4．伽利略的科学方法伽利略科学思想方法的核心是把______和__________(包括数学演算)和谐地结合起来，从而有力地推进了人类科学认识的发展．5．将物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体只在重力作用下的运动称为竖直上抛运动，物体在运动过程中只受重力，所以其加速度为______，上升阶段，速度越来越____，物体做____直线运动；下降阶段，速度越来越____，是自由落体运动．【概念规律练】知识点一伽利略的科学思想方法1．伽利略巧妙的推理推翻了亚里士多德的错误观点，从而提出了“自由落体是一种最简单的变速运动，速度应该是均匀变化的”观点．这种方法在科学研究中叫()A．数学推演B．实验验证C．猜想与假说D．逻辑推理2．伽利略认为落体运动应该是简单的变速运动，即它的速度是均匀变化的，速度的均匀变化意味着()A．速度与时间成正比B．速度与位移成正比C．速度与时间的二次方成正比D．位移与时间的二次方成正比3．伽利略用实验验证v∝t的最大困难是()A．不能很准确地测定下落的距离B．不能测出下落物体的瞬时速度C．当时没有测量时间的仪器D．当时没有记录落体运动的数码相机4．伽利略给出了科学研究过程的基本要素，这些要素包含对现象的一般观察、________、________、________、对假说进行修正和推广．伽利略科学思想方法的核心是把________和________和谐地结合起来．知识点二伽利略对自由落体的研究5．一个铁钉和一个棉花团同时从同一高处下落，总是铁钉先落地，这是因为()A．铁钉比棉花团重B．棉花团受到的空气阻力不能忽略C．铁钉不受空气阻力D．铁钉的重力加速度比棉花团的大6．伽利略的自由落体实验和加速度实验均被选为最完美的实验．在加速度实验中，伽利略将光滑的直木板槽倾斜固定，让铜球从木槽顶端沿斜面滑下，并用水钟测量铜球每次下滑的时间，研究铜球的运动路程与时间的关系，亚里士多德曾预言铜球的运动速度是均匀不变的，伽利略却证明铜球的运动路程与时间的平方成正比．请将亚里士多德的预言和伽利略的结论分别用公式表示(其中路程用x，速度用v，加速度用a，时间用t表示)，亚里士多德的预言：________，伽利略的结论：________.伽利略的两个实验之所以成功，主要原因是在自由落体的实验中，忽略了空气阻力，抓住了重力这一要素，在加速度实验中，伽利略选用光滑直木板槽和铜球进行实验研究铜球运动，是为了减少铜球运动的______，同时抓住______这一要素．知识点三竖直上抛运动7.图1小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某高度，其速度—时间图象如图1所示，则由图可知(g＝10 m/s2)以下说法正确的是()A．小球下落的最大速度为5 m/sB．第一次反弹初速度的大小为3 m/sC．小球能弹起的最大高度为0.45 mD．小球能弹起的最大高度为1.25 m8．某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2.5 s内物体的() A．路程为65 mB．位移大小为25 m，方向向上C．速度改变量的大小为10 m/sD．平均速度大小为13 m/s，方向向上【方法技巧练】竖直上抛运动问题的分析方法9．某人站在高楼的平台边缘，以20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子．不考虑空气阻力，g 取10 m/s2，则：(1)物体上升的最大高度是多少？回到抛出点的时间是多少？(2)石子抛出后到达距抛出点下方20 m处所需的时间是多少？1．在物理学的发展历程中，下面的哪位科学家首先建立了平均速度、瞬时速度和加速度等概念用来描述物体的运动，并首先采用了实验检验、猜想和假设的科学方法，把实验和逻辑推理和谐地结合起来，从而有力地推进了人类科学的发展()A．伽利略B．亚里士多德C．牛顿D．爱因斯坦2．亚里士多德的命题“重的物体下落快，轻的物体下落慢”失误的根源在于他()A．不注意观察自然现象B．对此没有做深刻的逻辑思辨C．对此没有进行科学实验D．对此没有进行归纳和总结3．在学习物理知识的同时，还应当十分注意学习物理学研究问题的思想和方法，从一定意义上说，后一点甚至更重要．伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学研究具有重大的启蒙作用，至今仍然具有重要意义．请你回顾伽利略探究物体下落规律的过程，判定下列哪个过程是伽利略的探究过程()A．猜想—问题—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论B．问题—猜想—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论C．问题—猜想—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论D．猜想—问题—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论4．伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图2所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是()图2A．其中的甲图是实验现象，丁图是经过合理的外推得到的结论B．其中的丁图是实验现象，甲图是经过合理的外推得到的结论C．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显D．运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显5．将一物体以某一初速度竖直上抛，在下面的四幅图中，哪一幅能正确表示物体在整个运动过程中的速率v与时间t的关系(不计空气阻力)()6．从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有一物体B自由下落，不计空气阻力，两物体在空中到达同一高度时的速率都是v，则下列说法中正确的是()A．物体A上抛的初速度和物体B落地的速度大小均为2vB．物体A、B落地时间相等C．物体A上升的最大高度和物体B开始下落时高度相同D．两物体在空中到达的同一高度一定是物体B开始下落时高度的一半7．甲同学看到乙同学从10层楼的楼顶同时由静止释放两个看上去完全相同的铁球，结果甲同学看到两球不是同时落地的．他分析了两球未能同时落地的原因．你认为他的下列分析正确的是()A．两球在下落过程中受到的空气阻力不同，先落地的受空气阻力小B．两球在下落过程中受到的空气阻力不同，先落地的受空气阻力大C．两球下落过程中受到的空气阻力相同，先落地的是实心球，重力远大于阻力D．两球下落过程中受到的空气阻力相同，先落地的是空心球，阻力与重力比，差别较小重物经多长时间落到地面？到达地面时的速度是多少？(g 取10 m/s 2)9．坚直向上射出的箭，初速度是35 m /s ，上升的最大高度是多大？从射出到落回原地一共用多长时间？落回原地的速度是多大？(g 取10 m/s 2)10．竖直上抛的物体，初速度是30 m /s ，经过2.0 s 、3.0 s 、4.0 s ，物体的位移分别是多大？通过的路程分别是多长？各秒末的速度分别是多大？(g 取10 m/s 2)第6节 伽利略对自由落体运动的研究课前预习练1．重 轻2．(1)互相矛盾 (2)同样快3．(1)落体运动 均匀 (2)正比 x ∝t 2 正比 x ∝t 24．实验 逻辑推理5．g 小 匀减速 大课堂探究练1．D 2.AD 3.B4．提出假设 运用逻辑得出推论 通过实验对推论进行检验 实验 逻辑推理5．B [与铁钉相比，棉花团在下落过程中所受的空气阻力不能忽略，故B 正确．]6．x ＝vt x ＝12at 2 阻力 小球受重力 解析 亚里士多德曾预言铜球的运动速度是不变的，即铜球做匀速直线运动．则其关系式为x ＝vt ；伽利略证明铜球运动的路程与时间的平方成正比，即铜球做初速度为零的匀加速直线运动，其关系式为x ＝12at 2. 伽利略选用光滑直木板槽和铜球进行实验，目的是为了减少铜球运动时所受的阻力，同时抓住小球受重力这一要素．7．ABC [由v －t 图象可知，t ＝0.5 s 时，小球下落至地面，速度为5 m /s ，小球与地面作用的时间不计，小球刚被地面弹起时，速度为－3 m /s ，能弹起的最大高度为h ＝v 22g ＝3220 m ＝0.45 m ．故选项A 、B 、C 对，D 错．]8．AB [初速度为30 m /s ，只需要3 s 即可上升到最高点，位移为h 1＝30220m ＝45 m ，再自由落体2 s 时间，下降高度h 2＝0.5×10×22 m ＝20 m ，故路程为65 m ，A 项对；此时离地面高度25 m ，位移方向竖直向上，B 项对；此时速度为10×2 m /s ＝20 m /s ，速度改变量大小为50 m /s ，C 项错；平均速度为255m /s ＝5 m /s ，D 项错．] 9．(1)20 m 4 s (2)2(2＋1) s解析 解法一 上升过程，匀减速运动．取竖直向上为正方向．v 01＝20 m /s ，a 1＝－g ，v ＝0，根据匀变速运动公式：v 2－v 20＝2ax ，v ＝v 0＋at ，得：最大高度h ＝－v 2012a 1＝v 2012g ＝2022×10m ＝20 m ， 上升时间t 1＝－v 01a 1＝v 01g ＝2010s ＝2 s . 下落过程，自由落体运动，取竖直向下为正方向．v 02＝0，a 2＝g ，回到原点，x 1＝h ，到抛出点下方20 m 处时，x 2＝40 m ，根据自由落体运动规律，有从最高点下落到抛出点的时间：t 2＝ 2x 1g ＝ 2×2010s ＝2 s ， 从最高点下落到距抛出点下方20 m 处的时间：t 2＝ 2x 2g ＝ 2×4010s ＝2 2 s . 故最大高度h ＝20 m ，回到抛出点时间4 s ，落到下方20 m 处所经历时间为2(1＋2) s . 解法二 全过程分析，取向上为正方向，v 0＝20 m /s ，a ＝－g ，最大高度时v ＝0，落到下方20 m 处时x ＝－20 m ，由匀变速运动的规律知最大高度x ＝v 202g ＝2022×10m ＝20 m ， 回到原出发点时x ＝0，而x ＝v 0t 1－12gt 21，所用时间为 t 1＝2v 0g ＝2×2010s ＝4 s ， 落回下方20 m 处时，由x ＝v 0t 2－12gt 22得－20＝20t 2－12×10t 22. 解得t 2＝(2＋22) s ，t 2′＝(2－22) s (后者舍去)．方法总结 处理竖直上抛运动，有两种方法．第一种是分段分析法：将上抛运动分为上升和下落两个过程考虑．第二种是全过程分析法：将整个运动看成是有往返的匀减速直线运动来处理．两种方法应用时都要注意速度和位移的正负．课后巩固练1．A 2.BC 3.C 4.AC 5.C 6.AC7．C [两球形状完全相同，在下落过程中所受空气阻力相同，下落快慢不同的原因是重力不同，故C 正确．]8．7 s 66 m /s ，方向竖直向下解析 对全过程分析(分段分析同学们自己思考)物体从掉落至落地全过程为匀减速运动，以向上为正方向，则g ＝－10 m /s 2，抛出点以下位移亦为负值x ＝－217 m .由x ＝v 0t ＋12at 2得：－217＝4t －5t 2 解得：t 1＝7 s ，t 2＝－6.2 s (舍去)．落至地面的速度：v ＝v 0－gt ＝(4－10×7) m /s ＝－66 m /s ，负号说明末速度方向与设定的正方向相反，即竖直向下．9．61.25 m 7.0 s 35 m /s ，方向竖直向下解析 箭上升到最大高度为H 时，v ＝0，由此得v 20＝2gH ，所以H ＝v 202g ＝3522×10m ＝61.25 m 由于v ＝v 0－gt ＝0，箭的上升时间t ＝v 0g ＝3510s ＝3.5 s 由箭射出到落回原地共用时间T ＝2t ＝2×3.5 s ＝7.0 s箭落回原地跟射出的初速度大小相等，即v ′＝v 0＝35 m /s ，方向竖直向下．10．见解析解析 上升的最大高度H ＝v 202g ＝3022×10m ＝45 m 由x ＝v 0t －12gt 2得 当t 1＝2.0 s 时，位移x 1＝30×2.0 m －12×10×2.02 m ＝40 m ，小于H ，所以 路程s 1＝40 m速度v 1＝v 0－gt 1＝30 m /s －10×2.0 m /s ＝10 m /s当t 2＝3.0 s 时，位移x 2＝30×3.0 m －12×10×3.02 m ＝45 m ，等于H ，所以路程s 2＝45 m 速度v 2＝v 0－gt 2＝30 m /s －10×3.0 m /s ＝0当t 3＝4.0 s 时，位移x 3＝30×4.0 m －12×10×4.02 m ＝40 m ，小于H ，所以路程s 3＝45 m ＋(45－40) m ＝50 m 速度v 3＝v 0－gt 3＝30 m /s －10×4.0 m /s ＝－10 m /s .。

伽利略变换公式范文
设想有两个相对静止的参考系S和S'，其中S'以速度v相对于S运动，两个参考系的坐标原点重合。

1.从S到S'的伽利略变换公式：
设一个在S系中以速度u运动的物体，在S'系中的速度为u'，则有如下关系：
u'=u-v
其中，u'表示物体在S'系中的速度，u表示物体在S系中的速度，v 表示S'系相对于S系的速度。

2.从S'到S的伽利略变换公式：
设一个在S'系中以速度u'运动的物体，在S系中的速度为u，则有如下关系：
u=u'+v
其中，u表示物体在S系中的速度，u'表示物体在S'系中的速度，v 表示S'系相对于S系的速度。

伽利略变换公式是经典力学中描述参考系之间运动变换的重要工具。

它在解决具有区分静止参考系和运动参考系的力学问题时，提供了便利和简化。

但是在高速运动和极端条件下，相对论效应会对运动的描述产生影响，此时就需要使用相对论中的洛伦兹变换。

总结起来，伽利略变换公式是描述在牛顿力学下，相对参考系之间运动变换的公式。

它适用于低速运动的物体，对于高速运动的物体需要考虑
相对论效应。

伽利略变换公式提供了简便的方法来描述参考系之间的运动关系。

§2、2 伽利略变换2、2、1 伽利略变换（1） 如图2-2-1所示，有两个惯性 系S 和'S ， 它们对应的坐标轴相互平行，且当t ='t =0时，两系的坐标原点'O 与O 重合。

设'S 系相对于S 系沿x 轴正方向以速度u 运动。

同一质点P 在某一时刻在S 系中的时空坐标为(x,y,z,t)，在S`系中的时空坐标为 （x’,y’,z’,t’）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=t t zz y y ut x x '''' 即t u r r -='或 (1) x=x '＋ｕｔ ⎪⎩⎪⎨⎧==='''t t z z y y 即 t u r r+='式（1）称为伽利略时空坐标变换公式。

（２）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得：图2-2-1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-=-==z z y y x x v dt dz v v dt dy v u v u dt dxdt dx v '''''' 即u v v -= ' 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======+=+==z z y yx x v dt dz dt dz v v dt dy dt dy v u v u dt dx dt dx v '''''1即u v v '+'= （2）式（2）称为伽利略速度变换公式。

（3）将式（2）再对时间求一次导数得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=='='=='='=='='z z z z y y y y x x xxa dt dv dt v d a a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a 即a a ='⎪⎩⎪⎨⎧'='='=z z y y x x a a a a a a a a'= （3） 式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变。

相对论初步知识相对论是本世纪物理学的最伟大的成就之一，它标志着物理学的重大发展，使一些物理学的基本概念发生了深刻的变革。

狭义相对论提出了新的时空观，建立了高速运动物体的力学规律，揭露了质量和能量的内在联系，构成了近代物理学的两大支柱之一。

§ 1 狭义相对论基本原理 1、伽利略相对性原理1632年，伽利略发表了《关于两种世界体系的对话》一书，作出了如下概述： 相对任何惯性系，力学规律都具有相同的形式，换言之，在描述力学的规律上，一切惯性系都是等价的。

这一原理称为伽利略相对性原理，或经典力学的相对性系原理。

其中“惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。

2、狭义相对论的基本原理19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上，建立了完整的电磁理论，又称麦克斯韦电磁场方程组。

麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电磁现象，而且预言了电磁波的存在，确认光是波长较短的电磁波，电磁波在真空中的传播速度为一常数，秒米/100.38⨯=c ，并很快为实验所证实。

从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。

如果光波也和声波一样，是靠一种媒质（以太）传播的，那么光速相对于绝对静止的以太就应该是不变的。

科学家们为了寻找以太做了大量的实验，其中以美国物理学家迈克耳孙和莫雷实验最为著名。

这个实验不但没能证明以太的存在，相反却宣判了以太的死刑，证明光速相对于地球是各向同性的。

但是这却与经典的运动学理论相矛盾。

爱因斯坦分析了物理学的发展，特别是电磁理论，摆脱了绝对时空观的束缚，科学地提出了两条假设，作为狭义相对论的两条基本原理：（1）狭义相对论的相对性原理在所有的惯性系中，物理定律都具有相同的表达形式。

这条原理是力学相对性原理的推广，它不仅适用于力学定律，乃至适合电磁学，光学等所有物理定律。

狭义相对论的相对性原理表明物理学定律与惯性参照系的选择无关，或者说一切惯性系都是等价的，人们不论在哪个惯性系中做实验，都不能确定该惯性系是静止的，还是在作匀速直线运动。

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)1．下图所示的各图象中能正确反映自由落体运动过程的是(设向上为正方向)( )解析： 自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，v ＝gt ，其v －t 图象是一条倾斜直线．因取向上为正方向，故只有C 对．答案： C2．伽利略认为自由落体运动应该是最简单的变速运动，即它的速度是均匀变化的，速度的均匀变化意味着( )A ．速度与时间成正比B ．速度与位移成正比C ．速度与时间的二次方成正比D ．位移与时间的二次方成正比解析： 伽利略认为速度的均匀增加意味着速度与时间成正比，又从数学上推导出位移与时间的二次方成正比．答案： AD3．物体从某一高度自由落下，到达地面时的速度与在一半高度时的速度之比是( )∶2 ∶1C ．2∶1D ．4∶1 解析： 由v 2＝2gh 知v ＝2gh ，所以v 1∶v 2＝2∶1.答案： B4．17世纪意大利科学家伽利略在研究落体运动的规律时，做了着名的斜面实验，其中应用到的物理思想方法属于( )A ．等效替代B ．实验归纳C ．理想实验D ．控制变量 【解题流程】▏斜面实验→自由落体运动规律→理想实验，C 项正确答案： C5．关于重力加速度的说法不正确的是( )A ．重力加速度g 是标量，只有大小没有方向，通常计算中g 取 m/s 2B ．在地球上不同的地方，g 值的大小不同，但它们相差不是很大C ．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同D ．在地球上的同一地方，离地面高度越大重力加速度g 越小解析： 首先重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同，在地球的表面，不同的地方，g 值的大小略有不同，但都在 m/s 2左右，在地球表面同一地点，g 的值都相同，但随着高度的增大，g 的值逐渐变小．答案： A6．一石块从高度为H 处自由下落，当速度达到落地速度的一半时，它的下落距离等于( )答案： B7．两物体在不同高度自由下落，同时落地，第一个物体下落时间为t ，第二个物体下落时间为t /2，当第二个物体开始下落时，两物体相距( )A ．gt 2B ．3gt 2/8C ．3gt 2/4D ．gt 2/4解析： 当第二个物体开始下落时，第一个物体已下落t 2时间，此时离地高度h 1＝12gt 2－12g ⎝⎛⎭⎫t 22；第二个物体下落时的高度h 2＝12g ⎝⎛⎭⎫t 22，则待求距离Δh ＝h 1－h 2 ＝12gt 2－2×12g ⎝⎛⎭⎫t 22＝gt 24. 答案： D8．小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某高度，其v－t图象如下图所示，则由图可知(g＝10 m/s2)以下说法正确的是()A．小球下落的最大速度为5 m/sB．第一次反弹初速度的大小为3 m/sC．小球能弹起的最大高度mD．小球能弹起的最大高度m答案：ABC9．从某高处释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释放另一粒小石子，不计空气阻力，则在它们落地之前的任一时刻()A．两粒石子间的距离将保持不变，速度之差保持不变B．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差保持不变C．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差也越来越大D．两粒石子间的距离将不断减小，速度之差也越来越小解析：当第一个石子运动的时间为t时，第二个石子运动的时间为(t－1)．h1＝12gt2①v1＝gt②h2＝12g(t－1)2③v2＝g(t－1)④由①③得：Δh＝gt－12g由②④得：Δv＝g因此，Δh随t增大，Δv不变，B选项正确．答案： B10. 如右图所示，A、B两小球用长为L的细线连接悬挂在空中，A距湖面高度为H，释放小球，让它们自由落下，测得它们落水声相差Δt.如果球A距湖面的高度H减小，则Δt将()A．增大B．不变C．减小D．无法判断解析：B落水时，A、B的速度为v＝2g?H－L?，A再落水时有L＝vΔt＋12gΔt2.由两式可知H减小，v变小，则Δt增大．答案： A11．从离地面80 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求：(1)经过多长时间落到地面；(2)自开始下落时计时，在第1 s内和最后1 s内的位移；(3)下落时间为总时间的一半时的位移．解析：(1)由h＝12gt2得，下落总时间为t＝2hg＝2×8010s＝4 s.(2)小球第1 s内的位移为h1＝12gt21＝12×10×12 m＝5 m小球前3 s内的位移为h3＝12gt23＝12×10×32 m＝45 m小球从第3 s末到第4 s末的位移，即最后1 s内的位移为h4＝h－h3＝80 m－45 m＝35 m.(3)小球下落时间的一半为t′＝t2＝2 s这段时间内的位移为h′＝12gt′2＝12×10×22 m＝20 m.答案：(1)4 s(2)5 m35 m(3)20 m12．跳水是一项优美的水上运动，如图所示是2008年北京奥运会跳水比赛中小将陈若琳和王鑫在跳台上腾空而起的英姿．运动员从离出水面10 m的跳台向上跃起，举双臂直体离开台面，重心(此时其重心位于从手到脚全长的中点)升高m达到最高点．落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是多长？(不计重力，g取10 m/s2)解析：把运动员看成一个质点，把上升阶段看成自由落体运动的逆运动，根据对称性原理，运动员上升的时间t1等于做自由落体运动下落m所用的时间，t1＝2h1g＝2×10s＝s.下降过程，自由落体，t2＝2h2g ＝2×10s≈ s.从离开跳台到手触水面，运动员可用于完成空中动作的时间t＝t1＋t2＝s.答案：s。

用伽利略变换证明牛顿第二定律牛顿第二定律是经典物理力学中的一个重要定理，描述了物体的运动状态与受力之间的关系。

伽利略变换是伽利略在16世纪提出的一种变换方法，可以用来描述不同参考系下物体的运动情况。

本文将通过伽利略变换来证明牛顿第二定律，以探讨这两个理论在物理学中的关系。

首先，我们来回顾一下牛顿第二定律的表达式：F = ma。

其中，F代表作用在物体上的力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。

这个定律告诉我们，当物体受到外力作用时，它的运动状态将会发生变化，加速度的大小与所受力的大小成正比，与物体的质量成反比。

这个定律被实验验证了很多次，是经验的总结，对于描述物体运动的规律非常准确。

然而，在牛顿时代之前，人们对于物体受力和运动的认识还比较模糊。

直到伽利略提出他的伽利略变换理论，才为人们揭示了运动状态的相对性。

伽利略变换是一种物理量在不同参考系下的变化关系，可以描述在相对静止的参考系中观察到的物体运动情况。

假设现在有一个运动的物体，我们在两个不同的参考系下进行观察。

第一个参考系S是一个固定不动的观察者，第二个参考系S'是相对于第一个参考系以一定速度运动的观察者。

在参考系S中，物体的运动状态可以用位置、速度和加速度来描述。

而在参考系S'中，物体相对于观察者S'的运动状态也可以用同样的物理量来描述，只是数值上可能有所不同。

根据伽利略变换的推导，我们可以得到物体在两个不同参考系下的加速度之间的关系：a' = a - v/t其中，a'是相对于观察者S'的加速度，a是相对于观察者S的加速度，v是S'相对于S的速度差，t是观察时间。

接下来，我们将用伽利略变换来证明牛顿第二定律。

假设物体在参考系S中受到一个恒定的力F作用，根据牛顿第二定律，我们有F = ma。

现在，我们观察物体的运动情况在参考系S'中。

根据伽利略变换，物体在参考系S'中的加速度a'可以表示为：a' = a - v/t将牛顿第二定律的表达式代入上式，可以得到：F = ma = m(a' + v/t)进一步整理可得：F = ma' + mv/t注意到v/t可以表示为加速度a的导数，即v/t = dv/dt = a。

伽利略变换1.1 事件与参照系在自然界中发生的任何一件事，都称为一个事件，例如一次爆炸，一道光发出，一个声响，一个物体运动到某个位置等。

相对论中我们所关心的不是一个事件的具体内容，而是事件发生的地点和时间。

x图5.1 伽利略变换为了确定一个事件发生的地点的时间，必须建立一个参照系，并在该参照系中建立一个与参照系保持相对静止的坐标系，这样事件发生的地点即可以用这一地点所对应的位置坐标来表示。

为了测量事件发生的时间，还需要在该参照系中有一个钟。

伽利略变换描述从两个相对作匀速直线运动的参照系测量同一事件发生的地点(位置坐标)和时间，得到的两种测量结果之间的关系。

1.2 伽利略变换设有两个惯性系S和S'，S'相对于S以速度u作匀速直线运动。

在两参照系建立坐标系O xy和O'x'y'，其中x轴和x '轴相互重合且沿u 方向，y 、z 轴和y '、z '相互平行。

当t = t' =0时，O 和O'重合 ，如图5.1所示。

设有一事件在参照系S 中测得发生于(x ，y ，z ，t )，在 参照系S'中测得发生于(x '，y '，z '，t ')，则x x ut y y z z t t '=-⎧⎪'=⎪⎨'=⎪⎪'=⎩ 或 x x uty y z z t t '=+⎧⎪'=⎪⎨'=⎪⎪'=⎩(5.1) 式(5.1)称为伽利略坐标变换 。

式(5.1)两边对时间求导，并考虑到t = t' ，可得伽利略速度变换x x y y z z v v u v v v v '⎧=-⎪'=⎨⎪'=⎩ 或 x x y yz z v v uv v v v '⎧=+⎪'=⎨⎪'=⎩(5.2) 式(5.2)称为伽利略速度变换。

§2、2 伽利略变换2、2、1 伽利略变换（1） 如图2-2-1所示，有两个惯性 系S 和'S ， 它们对应的坐标轴相互平行，且当t ='t =0时，两系的坐标原点'O 与O 重合。

设'S 系相对于S 系沿x 轴正方向以速度u 运动。

同一质点P 在某一时刻在S 系中的时空坐标为(x,y,z,t)，在S`系中的时空坐标为 （x’,y’,z’,t’）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=t t zz y y ut x x '''' 即t u r r ϖϖρ-='或 (1) x=x '＋ｕｔ ⎪⎩⎪⎨⎧==='''t t z z y y 即 t u r r ϖϖϖ+='式（1）称为伽利略时空坐标变换公式。

（２）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得：图2-2-1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-=-==z z y y x x v dt dz v v dt dy v u v u dt dxdt dx v '''''' 即u v v -=ϖϖ' 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======+=+==z z y yx x v dt dz dt dz v v dt dy dt dy v u v u dt dx dt dx v '''''1即u v v ϖϖϖ'+'= （2）式（2）称为伽利略速度变换公式。

（3）将式（2）再对时间求一次导数得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=='='=='='=='='z z z z y y y y x x xxa dt dv dt v d a a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a 即a a ϖϖ='⎪⎩⎪⎨⎧'='='=z z y y x x a a a a a a a a ϖϖ'= （3） 式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变。

伽利略坐标变换公式
1、伽利略变换公式：（X，t）→（X+tv，t），其中v在R内。

2、平移表达为：（X，t）→（X+a，t+b），其中a在R内，b在R 内。

3、旋转表达为：（X，t）→（GX，t），其中G：R→R为某正交变换。

作为一个李群，伽利略变换的维度为10.伽利略变换与牛顿的绝对时间、绝对空间的概念有关。

这里所谓绝对是指长度的量度与时间的量度均与参考系的运动或参考系的选择无关。

扩展资料：
伽利略变换是牛顿力学中所使用的两个相对做等速直线运动的参考系中的时空变换，属于一种被动态变换。

伽利略变换中，直观上明显成立的公式在物体以接近光速运动时就会瓦解，这是相对论性效应造成的。

伽利略变换建基于人们加减物体速度的直觉，变换的核心是假设时间、空间是绝对的、彼此独立的，其中时间均匀流逝，空间均匀分布且各向同性。

填写伽利略科学探究过程例题
【题目】如图是伽利略根据可靠的事实进行的理想实验和推论的示意图。

请填入合适内容，完成对各示意图的说明。

①如图所示，把两个斜面对接，让小球由静止开始从左侧斜面上高为h处滚下，如果没有摩擦，小球将达到右侧高度的斜面上。

（选填“相同”或“不同”）
②如图所示，如果减小右侧斜面的倾角，小球到达右侧斜面上的高度（选填“大于”、“等于”或“小于”）原来的高度h，但要通过更长的距离。

③如图所示，继续减小右侧斜面的倾角，直到使它成为水平面，小球因不可能达到原来的高度h，就要沿着水平面以（选填“恒定”或“变化”）的速度持续运动下去。

④伽利略在该实验中所使用的科学研究方法是。

（选填“等效替代法”、“理想实验法”或“控制变量法”）
【答案】相同；等于；恒定；理想实验法
【解析】（1）如图（1）所示，把两个斜面对接，让小球由静止开始从左侧斜面上高为h处滚下，如果没有摩擦，小球将达到右侧斜面相同高度的地方。

（2）如图（2）所示，如果减小右侧斜面的倾角，小球到达右侧斜面上的高度要等于原来的高度h，但要通过更长的距
离。

（3）如图（3）所示，继续减小右侧斜面的倾角，直到使它成为水平面，小球不可能达到原来的高度h，就要沿着水平面以恒定的速度持续运动下去。

（4）伽利略在该实验中所使用的科学研究方法是理想实验法。

3、伽利略变换1、惯性系：力学的发展经牛顿总结成动力学三定律，牛顿三定律及其导出的各定理在伽利略变换下，对所有惯性系都有相同形式。

这一表述通常称为力学相对性原理，伽利略变换不同惯性系的时空变换导出基于两个基本假定：一是相对性原理，另一个是时间和尺长在不同惯性系是相同的。

惯性系族：相对作匀速运动的所有惯性系称为惯性系族设惯性系S 相对惯性系S 是同族惯性系，惯性系时空的均匀性决定了同一事件点在惯性系S 与S 中对应坐标矢()t z y x ,,,=r 与()t z y x ,,,=r 满足如下线性关系：t a z a y a x a t t a z a y a x a z t a z a y a x a y t a z a y a x a x 44434241343332312423222114131211+++=+++=+++=+++=（1-1）t a z a y a x a t t a z a y a x a z t a z a y a x a y t a z a y a x a x 44434241343332312423222114131211'+'+'+'='+'+'+'='+'+'+'='+'+'+'= （1-2）即Ar r = ， r A r 1-=惯性系空间的各向同性要求同一个惯性系在空间转动下不变，也即惯性系的空间是Euclid 空间，为了适当简化推导过程我们选择t 在S 系的空间投影为S 系的x 轴，同样选择t 在S 系的空间投影为S 系的x 轴，各自建立正交性的时空坐标，也即有z z t y y t x x t x )()()(⋅+⋅+⋅=μ（2-1）z z t y y t x x t x )()()(⋅+⋅+⋅='μ（2-2）在（2-1）式两边同时点乘y 或z ，由时空标架的正交性易得0＝y t ⋅，0＝z t ⋅于是 042＝a ，043=a ；042＝a '，043='a 同理0＝y t ⋅，0＝z t ⋅024=a ，034=a ；024='a ，034='a t x t 4441a a += （3-1） t x t 4414a a '+'=（3-2）在（3-1）两边点乘y 或z 可得0＝y x ⋅，0＝z x ⋅即021＝a ，031＝a ；021＝a '，031＝a ' 在（3-2）两边点乘y 或z 可得0＝y x ⋅，0＝z x ⋅012＝a ，013＝a ；012＝a '，013＝a ' 综上即有ta x a t t a x a x 44411411+=+=za y a z z a y a y 33322322+=+=即S 系到S 系的线性变换可分解为x -t 到x -t 的变换与y -z 到y -z 的变换。