2020高考理科数学冲刺—压轴大题高分练一

2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1A y y ==+，{}30B x x =-≤，则A B =I （ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞【答案】B【解析】首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可. 【详解】{{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cos sin33z i ππ=+，则3z 等于（ ）A ．12- B ．1- C ．12-D ．12-+ 【答案】B 【解析】根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可. 【详解】由题意得3cossin33iz i e πππ=+=，333()cos sin 1ii z e e i ππππ====-＋.故选：B本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3π-B．2313π-C．3πD．31π-【答案】B【解析】首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.【详解】如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）n≤？A．n是偶数？，100n≤？B．n是奇数？，100n<？C．n是偶数？，100n<？D．n是奇数？，100【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.【详解】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n是偶数？”；n=>结束，执行程序框图，当101100n≤？.所以第二个框应该填100故选：A【点睛】本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（ ） A ．11 B ．16 C ．10 D ．15【答案】D 【解析】首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可. 【详解】因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列， 数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D 【点睛】本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题. 6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-，所以()f x 为奇函数，排除C .221432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D 【点睛】本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率是（ ） A ．10B ．132C 13D ．133【答案】B【解析】首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11bB b b -++， 1(,)11bC b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可.【详解】由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+. 因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11bC b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r因为54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r， 所以511b b b b =+-，解得32b =，2c =，2e =.故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意解出b ，c 的值为解题的关键，属于中档题.8．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，()20192020xf f x ⎡=⎤⎣⎦-.若()2sin 6g x x mx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],2-∞-D ．[]2,1--【答案】B【解析】首先设()2019xt f x =-，得到()2019xf x t =+在R 上的增函数，从而得到()g x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.再利用导数转化为max [2cos()]6m x π≥-+，即可得到答案. 【详解】由于()f x 连续可导且无极值，故函数()f x 为单调函数， 可令()2019xt f x =-（t 为常数），使()2020f t =成立，故()2019xf x t =+，故()f x 为R 上的增函数.故()g x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.()2cos 06g x x m π⎛⎫'=++≥ ⎪⎝⎭在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即max [2cos()]6m x π≥-+. 因为3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以513,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故61cos ,12x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎝⎭⎣+⎥⎦，[]2cos 2,16x π⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭， 所以1m ≥-. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，同时考查了导数的单调区间和极值，属于中档题. 9．在平面四边形ABCD 中，AB BD ⊥，60BCD ∠=︒，223424AB BD +=，若将ABD △沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BDC -外接球的表面积是（ ） A ．4π B ．5πC ．6πD ．8π【答案】D【解析】首先根据二面角A BD C --为直二面角得到AB ⊥平面BCD .再将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球即可得到表面积. 【详解】 如图所示：因为二面角A BD C --为直二面角，且AB BD ⊥， 所以AB ⊥平面BCD .将三棱锥A BDC -放入三棱柱中，如图所示：1O ，2O 为底面外接圆的圆心，12O O 的中点O 为三棱锥A BDC -外接球的球心.在BDC V 中，2sin 60BD r =o，所以3r =. 因为222222221111()3234R r OO BD AB BD AB =+=+=+ 又因为223424AB BD +=，所以2211234BD AB +=所以22R =，外接球表面积 248S R ππ==. 故选：D 【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的表面积，同时考查了二面角，将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球为解题的关键，属于中档题.10．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A【解析】首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案. 【详解】因为3xy =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()xf x x=，21ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.11．已知F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AD EB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．60 B ．62C ．64D ．66【答案】C【解析】首先设出()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，联立直线1l ，2l 和抛物线得到()212242k x x k++=，124x x=，()234412x x k +=+，344x x =.利用向量的减法化简AD EB ⋅u u u r u u u r得到FD FE FA F AD B B E ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r ，再利用焦半径公式和基本不等式从而得到最小值. 【详解】 如图所示：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ， 直线1l 方程为()()20y k x k =-≠，则直线2l 方程为()12y x k=--， 联立()228y k x y x⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()212242k x x k++=，124x x=；同理()223424211412k x x k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+==+，344x x =. ()()AD EB FD FA FB FE FD FE FA FB ⋅=-⋅-=-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()()12342222FD FE FA FB x x x x +++++⋅=+⋅()()12341234822x x x x x x x x =++++++()()2222282161681232163264k k k k k +=+++=++≥+=. 当且仅当1k =±时，取“=”. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了抛物线的焦半径公式和基本不等式，属于中档题.12．已知函数()f x ，()g x 定义域为R ，()()1f x g x +=.若()()()()()()(),, ,,f x f xg x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩且()()2222F x x a x a a R =-+∈，则关于x 的方程()()1f x g x -=有两解时，a 的取值范围为（ ）A．{}1122⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭B．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．{}112⎛⎤-⋃ ⎥ ⎝⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题知()()()()()2f xg x f x g x F x ++-=，根据题意得到：()12F x ≥恒成立且()1F x =有两解.分别讨论0a <和0a >时的情况，根据图象即可得到a 的取值范围. 【详解】由题意知：()()()()()2f xg x f x g x F x ++-=，则()()()210f x g x F x -=-≥对任意的x ∈R 恒成立， 又()()1f x g x -=有两解， 则()12F x ≥恒成立且()1F x =有两解. ()222222()F x x a x a x a a =-+=-+.当0a <时，如图所示：只需21212a ≤<，解得2122a -<≤-. 当0a >时，如图所示：只需212a ≥且221a <或者21a =即可，解得1a =. 综上所述：{}21,122a ⎛⎤∈--⋃ ⎥ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.二、填空题13．变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数232z x y =--的取值范围是______. 【答案】[]3,2-【解析】首先根据不等式组画出可行域，根据可行域化简目标函数得到2633z y x +=-+，再根据z 的几何意义结合可行域即可得到z 的取值范围. 【详解】不等式的可行域如图所示：由图知：0x ≥，02y ≤≤，因此23(2)236z x y x y =+-=+-，此时2633z y x +=-+，直线的纵截距越大，z 越大，纵截距越小，z 越小. 当直线经过点()0,1A 时，min 363z =-=-，联立24010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)C .当直线经过点(1,2)C 时，max 2662z =+-=， 所以z 的范围为[]3,2-. 故答案为：[]3,2- 【点睛】本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于中档题.14．设1e u r ，2e u u r 为单位向量，非零向量()12,a xe ye x y R =+∈r u r u u r ，若1e u r ，2e u u r 的夹角为3π，则yar 的最大值等于______.【答案】3【解析】首先计算2a r ，化简22y ar 得到2221()1x x y y y a =++r ，再利用二次函数的最值得到yar 的最大值. 【详解】当0y =时，0ya=r . 当0y ≠时，222222211222=a x e xye e y e x xy y =++++r u r u r u u r u u r g， 则2222221()1y x x x xy y yy a y ==++++r ， 因为22133()1()244xx x yy y ++=++≥ 所以()222140133()24y a y x y =≤≠++r所以y a r【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，同时考查了二次函数的最值，属于中档题.15．在数列{}n a ，{}n b 中，()12n n n a a b +=++，()12n n n b a b +=+-11a =，11b =.设11n n mc a b +=，则数列{}n c 的通项公式n c =______. 【答案】22n -【解析】首先让两式()12n n n a a b +=++和()12n n n b a b +=+-别相加和相乘得到212n n n a b -+=和13382n n n n a b --⋅==，再代入n c 即可得到通项公式.【详解】由()12n n n a a b +=++，()12n n n b a b +=+-两式相加可得：()114n n n n a b a b +++=+. 112a b +=，故数列{}nn a b +是以2为首项，4为公比的等比数列.212n n n a b -+=.两式相乘得：()()22211448n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，111a b =，故{}n n a b ⋅是以1为首项，8为公比的等比数列， 13382n n n n a b --⋅==，所以2123311222n n n n n n n n n n a b c a b a b ---⎛⎫+=+===⎪⋅⎝⎭. 故答案为：22n - 【点睛】本题主要考查利用定义求等差数列和等比数列的通项公式，同时考查了学生分析问题的能力，属于中档题.16．已知a R ∈，函数()sin 2cos x f x a a x =-++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，则a的取值范围为______.【答案】1(,]4-∞ 【解析】首先令()sin 2cos xg x x=+，利用导数求出函数的单调区间和最值，再分类讨论a 的范围即可得到答案.【详解】 令()sin 2cos x g x x=+，()()22cos 12cos x g x x +'=+， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0g x '>，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，()00g =，122g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()102g x ≤≤，()12a g x a a -≤-≤-.若0a ≤，()()1[0,]2f xg x =∈，此时()f x 最大值为12，成立； 若12a ≥，()()12[2,2]2f x a g x a a =-∈-，则()max 122x f a ==，14a =，不成立，舍去.若102a <<，()max 1max 2,2f x a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，只需122a ≤，即104a <≤. 综上所述：14a ≤. 故答案为：1(,]4-∞【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值问题，构造函数()g x 为解题的关键，属于难题.三、解答题17．已知ABC V 的内角为A ，B ，C ，它们的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=. （1）求角B 的大小；（2）若1cos 7A =，BA BC +=u uu r u u u r ABC V 的面积.【答案】（1）3B π=（2）【解析】（1）首先利用三角函数的诱导公式得到sin cossin 22BBa ab A π-==，再利用正弦定理的边化角即可得到1sin22B =，3B π=.（2）首先根据已知1cos 7A =和3B π=得到53sin 14C =，利用余弦定理得到2211129474c b cb +-=，再根据sin 7sin 5b B c C ==算出b ，c 值求面积即可. 【详解】 （1）因为sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin 22B B a a b A π-==， 由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==知，sin cos sin sin 2B A B A =， 而sin 0A ≠，则cos sin 2sin cos 222B B BB ==， 又0B π<<，022B π<<，cos 02B ≠，所以1sin 22B =. 26B π=，3B π=. （2）设ABC V 三边分别为a ，b ，c ，AC 中点为M ， 如图所示：因为1cos 7A =，所以43sin A =. 又因为3B π=，()53sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 因为1292BA BC BM +==u u u r u u u r u u u u r ，所以1292BM =.由余弦定理知2222cos BM AB AM AB AM A=+-⋅⋅2222111111292427474c b c b c b cb =+-⋅⋅=+-=，因为3sin72sin553b BcC===，75b c=.得到221717129()45754c c+⨯-⨯=解得5c=，7b=.1143sin5710322S bc A==⨯⨯⨯=.【点睛】本题第一问考查利用正弦定理的边化角求角，第二问考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理的面积公式，属于中档题.18．如图，三棱柱111ABC A B C-中，CA CB=，1AA BC⊥，145BAA∠=︒.（1）求证：平面11AA C C⊥平面11AA B B；（2）若122BB==，直线11B C与平面11ABB A所成角为45°，D为1CC的中点，求二面角11B AD C--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31414【解析】（1）首先过点C作1CO AA⊥，垂足为O，根据1CO AA⊥，1AA BC⊥得到1AA⊥平面BOC，从而得到1AA OB⊥.又因为Rt AOC Rt BOC△≌△得到CO OB⊥，CO AO⊥，从而得到CO⊥平面11ABB A，由此即证平面11AA C C⊥平面11AA B B.（2）首先以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，根据直线11B C与平面11ABB A所成角为45o得到2AB=，1AO BO CD ===，再利用向量法求二面角11B AD C --的余弦值即可.【详解】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O . 因为1AA BC ⊥，BC 交CO 于点C ， 所以1AA ⊥平面BOC .又因为OB ⊂平面BOC ，故1AA OB ⊥. 因为145A AB ∠=︒，1AA OB ⊥，所以AOB V 为等腰直角三角形，则OA OB =. 又因为CA CB =，CO CO =，所以Rt AOC Rt BOC △≌△，故90COA COB ∠=∠=︒， 故CO OB ⊥，CO AO ⊥.因为BO ，AO ⊂平面11ABB A ，BO AO O =I ，所以CO ⊥平面11ABB A . 又因为CO ⊂平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面11AA B B . （2）由（1）知CO ⊥平面11AA B B .以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -.因为直线11B C 与平面11ABB A 成角为45°，而11//BC B C ， 所以直线BC 与平面11ABB A 成角为45︒，而CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角，故45CBO ∠=︒.所以AB =，1AO BO CD ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D - ()2,0,1AD =-u u u r ，()11,1,1B D =-u u u u r设平面1AB D 的法向量为()111,,n x y z =r，则111111200n AD x z n B D x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令11x =，得()1,3,2n =r .因为OB ⊥平面11AAC C ，所以OB uuu r为平面1AC D 的一条法向量，()0,1,0OB =u u u r .所以cos ,14n OB n OB n OB⋅<>===⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，二面角11B AD C --的余弦值为14. 【点睛】本题第一问考查面面的垂直的证明，第二问考查向量法求二面角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19．某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第0n 件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第0n 件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格.设这批产品的数量足够大，可以认为每次检查查到不合格品的概率都为p ，即每次抽查的产品是相互独立的. （1）若05n =，求这批产品能够通过检查的概率；（2）已知每件产品质检费用为50元，若04n =，设对这批产品的质检个数记作X ，求X 的分布列；（3）在（2）的条件下，已知1000批此类产品，若11,2010p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用=每批次平均检查费用⨯批数）【答案】（1）()51p -（2）详见解析（3）171950元【解析】（1）根据05n =，这批产品能够通过检查说明前5次都通过检查，即可得到()()51P A p =-.（2）根据题意得到1X =，2，3，4，分别计算概率再列出分布列即可.（3）首先计算数学期望，令()()32464f p E X p p p ==-+-+，利用导数求出其最小值，即可得到答案. 【详解】（1）因为05n =，记事件A 为“当05n =时，这批产品能够通过检查”， 则由题意知：()()51P A p =-. （2）由题可知1X =，2，3，4()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()231P X p p ==-，()()341P X p ==-所以X 的分布列为：（3）由（2）可知X 的数学期望为：()()()()2332213141464E X p p p p p p p p p =+-+-+-=-+-+.设()32464f p p p p =-+-+，()2386f p p p '=-+-，因为64720∆=-<，所以()0f p '<， 所以()f p 在11,2010p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以()min 11464 3.43910100010010f p f ⎛⎫==-+-+=⎪⎝⎭所以每批次平均检查费用至少为50 3.439171.95⨯=（元）所以1000批次此类产品总平均检查费用至少需要1000171.95171950⨯=（元）【点睛】本题主要考查离散型随机变量，同时考查了数学期望的应用，利用导数思想求最值为解题的关键，属于中档题.20．平面内与两定点()12,0A -，()22,0A 连线的斜率之积等于14-的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线为C .若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A 、B 满足0MA MB ⋅=u u u r u u u r.（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）求ABM V 面积S 的最大值.【答案】（1）2214x y +=（2）6425【解析】（1）首先设出(),P x y ，根据斜率之积等于14-得到()1212224A P A P y y k k x x x ⋅=⋅=-≠±+-，再化简即可得到曲线C 的轨迹方程. （2）分别讨论AB 的斜率存在和不存在时，根据0MA MB ⋅=u u u r u u u r，设出直线方程与椭圆联立，利用根系关系得到直线恒过30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将ABM V 面积转化为ABM AMN BMN S S S =+V V V ，利用根系关系和对勾函数的单调性即可得到面积的最大值.【详解】（1）设曲线C 上任意一点(),P x y ，12A P y k x =+，22A P y k x =-， ()1212224A P A P y y k k x x x ⋅=⋅=-≠±+-， 整理得：()22124x y x +=≠±.又曲线C 加上1A ，2A 两点，所以曲线C 的方程是：2214x y +=.（2）由题意可知()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =＋，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到()222148440k x kmx m +++-=，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k -⋅=+.()11,1MA x y =-u u u r ，()22,1MB x y =-u u u r，因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=，()()()()2212121110k x xk m x x m +⋅+-++-=，()()()2222244811101414m km k k m m k k--++-+-=++， ()()()()()22222144811140k mk m m m k +---+-+=化简得到()()1530m m -+=，解得：35m =-或1m =（舍）. 当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r的直线AB 为：0x =.因此，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以1212ABM AMN BMN S S S MN x x =+=-=V V V1212MN x x ==-ABMS =V ， 因为35m =-，所以2322514ABM S k =+V .设2t =≥，()2323229494t S t t t t==≥++. 由对勾函数的单调性得到94y t t=+在[2,)+∞为增函数，所以92542t t +≥. 即：6425S ≤（0k =时取到最大值）. 所以ABM 面积S 的最大值为6425.【点睛】本题第一问考查圆锥曲线的轨迹方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于难题.21．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （1）求a 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤恒成立，求实数k 的最小值；（3）记()12ln 2121nn i S n i ==-+-∑，[]x 为不超过x 的最大整数，求[]n S 的值. （参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈） 【答案】（1）1a =（2）12（3）[]0,1,1, 2.n n S n =⎧=⎨≥⎩ 【解析】（1）首先求导()1x a f x x a+-=+'，求出函数的单调区间，根据单调区间得到最小值，即可得到a 的值.（2）当0k ≤时，易证不合题意，当0k >时，令()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，()()2121x kx k g x x ⎡⎤---⎣⎦'=+，令()0g x '=，可得10x =，2122k x k-=.分类讨论12k ≥和102k <<时()g x 的单调性和最值即可得到实数k 的最小值.（3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]10S =.当2n ≥时，()1122ln 212121nnn i i f n S i i ==⎛⎫==-+= ⎪--⎝⎭∑∑，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而得到()()()*222,N 212321f i i i i i ⎛⎫<≥∈ ⎪---⎝⎭，所以12ln 31221nS n <-+-<-.又因为10n n S S -->，得到123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，即可得到[]0,11,2n n S n =⎧=⎨≥⎩.【详解】 （1）()()111x a x a x a f x x a+-=-+'=>-+，令()0f x '=，得1x a =-，()f x 在(),1a a --单调递减，()1,a -+∞单调递增，()()min 110f x f a a =-=-=，所以1a =.（2）当0k ≤时，取1x =，有()11ln 20f =->，故0k ≤不合题意. 当0k >时，令()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，求导函数可得()()21211211x kx k g x kx x x ⎡⎤---⎣⎦'=--=++，令()0g x '=，可得10x =，21212kx k-=>-. ①当12k ≥时，1202k k-≤， 所以[)0,x ∈+∞，()0g x '≤恒成立， 因此()g x 在[)0,+∞上单调递减，从而对任意的[)0,x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=，即对任意的[)0,x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，故12k ≥符合题意； ②当102k <<时，1202k k->， 对于120,2k x k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，因此()g x 在120,2k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 从而当0120,2k x k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()000g x g ≥=， 即有()200f x kx ≤不成立，故102k <<不合题意.综上， k 的最小值为12. （3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]10S =. 当2n ≥时，11222ln 1212121nn i i f i i i ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()12ln 2121nn i n S i ==-+=-∑由（2）知，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而()()()()2*2212222,N 21221232121f i i i i i i i ⎛⎫⎛⎫≤=<≥∈ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭-， 所以()()()12222222ln 233212211nnnn i i i S f f fi i i i ===⎛⎫⎛⎫==+<-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝--⎭∑∑∑ 21112ln 32ln 312232121ni i i n =⎛⎫=-+-=-+-< ⎪---⎝⎭∑. 又()()1112ln 21221n n i S n n i --==--≥-∑， 所以122122ln ln 121212121n n n S S n n n n -+⎛⎫-=-=-+ ⎪----⎝⎭. 令221t n =-，则()0,1t ∈，设()()ln 1h t t t =-+， ()11011th t t t'=-=>++，所以()h t 在()0,1单调递增，则()()00h t h >=，所以{}n S 单调递增，即1230n S S S S <<<<⋅⋅⋅<，又222ln 513S =+->， 所以123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，所以[]0,11,2n n S n =⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，同时考查了分类讨论和构造函数的思想，属于难题.22．已知在极坐系中，点(),P ρθ绕极点O 顺时针旋转角α得到点(),P ρθα'-.以O 为原点，极轴为x 轴非负半轴，并取相同的单位长度建立平面直角坐标系，曲线E ：1xy =绕O 逆时针旋转4π得到曲线C . （1）求曲线E 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）点M 的极坐标为4,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点M 且与曲线E 交于A ，B 两点，求MA MB⋅的最小值.【答案】（1）2sin 22ρθ=；22122y x -=（2）14【解析】（1）首先根据题意得到E 的极坐标方程为2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点，得到点,4P πρθ⎛⎫'-⎪⎝⎭在曲线E 上，即2sin 222πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再化简得到曲线C 的直角坐标方程为22122y x -=.（2）首先设l：cos ,sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy =得到()2cos sin sin cos 70t αααα+++=，利用直线参数方程的几何意义得到1214sin 2MA MA t t α⋅==，再利用三角函数的性质即可得到最小值.【详解】（1）由E 的直角坐标方程为1xy =可得cos sin 1ρθρθ⨯=即：2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点， 则P 绕O 顺时针旋转4π得到点,4P πρθ⎛⎫'- ⎪⎝⎭在曲线E 上，则2sin 222πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2cos 22ρθ=-， ()22222si cos n 2x y ρθθ-=-=-所以曲线C 的方程为22122y x -=.（2）M的直角坐标为(，设l：cos ,sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy=，整理后可得()2cos sin sin cos 70t αααα+++=.127cos sin t t αα=g所以1271414cos sin sin 2MA MA t t ααα⋅===≥.当且仅当4k παπ=+或()4k k Z παπ=-∈时取等号，此时>0∆，符合条件.故MA MB ⋅的最小值为14【点睛】本题第一问考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.23．已知函数()21f x x x =+-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222221a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）12M =（2）证明见解析； 【解析】（1）首先化简解析式得到()31,01=1,02131,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，根据函数的单调性即可得到()f x 的最小值.（2）首先利用重要不等式得到222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++，再根据均值不等式和12a b c ++=即可证明. 【详解】（1）()31,0,1=211,0,2131,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪+-=-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩因为函数13(0)y x x =-<是减函数，11(0)2y x x =-≤<是减函数；131()2y x x =-≥是增函数，故当12x =时，()f x 取得最小值11()22M f ==.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++()()()2()1b c a c c ba b c a b c c b c a b a=+++++≥++=，当且仅当16a b c ===取等号.【点睛】本题第一问考查求绝对值函数的最值，把绝对值函数变为分段函数为解题的关键，第二问考查利用均值不等式的性质证明不等式，属于中档题.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1A y y ==，{}30B x x =-≤，则A B =I （） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞ 答案：B首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可.解： {{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=.故选：B.点评：本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cossin 33z i ππ=+，则3z 等于（）A ．122-B ．1-C ．122--D ．122-+ 答案：B 根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可.解： 由题意得3cossin 33i z i e πππ=+=， 333()cos sin 1i i z e e i ππππ====-＋. 故选：B点评：本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3-B．2313-C．3πD．31π-答案：B首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.解：如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B点评：本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）A ．n 是偶数？，100n ≤？B ．n 是奇数？，100n ≤？C ．n 是偶数？，100n <？D ．n 是奇数？，100n <？答案：A模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.解：根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n 是偶数？”；执行程序框图，当101100n =>结束，所以第二个框应该填100n ≤？.故选：A点评：本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（）A ．11B ．16C ．10D ．15答案：D首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可.解：因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D点评： 本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题.6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（） A ． B ．C ．D ． 答案：D首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案. 解：因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-， 所以()f x 为奇函数，排除C.1432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D点评： 本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b -=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，则双曲线的离心率是（）ABCD答案：B首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11b B b b -++，1(,)11b C b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可. 解：由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+.因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11b C b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r。

2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|2x>6}，B ＝{x|2x<32}，则A∩B＝ A.(3，4) B.(4，5) C.(3，＋∞) D.(3，5) 2.复数2ii i--(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.“2a>8”是“a 2>9”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于A.4B.5C.6D.7 5.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－2π<φ<2π)的图象关于点(3π，0)对称，则f(6π)的值是 A.－12 B.32 C.－32 D.126.已知a 10a ·b ＝5102，且(b －a)·(b ＋a)＝15，则向量a 在b 方向上的投影为 A.12B.225107.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2B.3C.4D.58.从0，1，2，3，4，5这6个数字中，任取3个组成一个无重复数字的三位数，则这样的三位数中偶数个数与奇数个数的比值为A.1B.32C.1312D.27239.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝l，c32sin(B＋C)cosC＝1－2cosAsinC，则△ABC的面积是A.34B.12C.34或32D.14或1210.设双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线交双曲线C的左支于M，N两点，若MF2＝F1F2，且2MF1＝NF1，则双曲线C的离心率是A.53B.32C.2D.5411.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为20π，则该正方体的棱长为56 D.612.设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e－3x的解集是A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标 号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|23}A x y x x ==--，全集U =R ，集合1{|0}22B x x =-，则()U A B C =（ ）A .[23)，B .[13)，C .(23)，D .(13)， 2. 已知i 为虚数单位，且复数z 满足2020(12)z i i i +=+，则||z 的值为（ ）A .15B .10 C .5D .23. 已知函数2()(1)f x x a x a =+-+为定义在[22]-，上的偶函数，则()2f x 在[22]-，上发生的概率为（ ）A .12B .13C .14D .164. 已知数列21n a n =+，其前n 项的和为n S ，则12111nS S S +++=（ ）A .1112n n -++ B .1111(1)2212n n +--++ C .1111212n n +--++D .1111(1)2212n n +-+++ 5. 执行如图的程序框图，输出的c 的值为（ ）A .5B .4C .5-D .4-6. 若双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的一条渐近线被圆22(2)2x y +-=截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为 （ ）A .3B .2C .5D .25 7. 35(2)()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则该展开式中4x 的系数是（ ）A .5B .10C .15D .20 8. 若函数()3cos()cos (0π)f x x x θθ=+<<的图象过点(0)32-，，则（ ）A .点(π3)0，是函数()f x 图象的对称中心B .直线π3x =是函数()f x 图象的对称轴 C .函数()f x 的最小值是3-D .函数()f x 的最大值是233- 9. 如图，已知G 是ABC 的重心，H 是BG 的中点，且2AB =，3AC =，60BAC ∠=°，则AG AH =·（ ）A .209B .2C .59D .1310. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：，点M N F 、、分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+°，则椭圆C 的离心率是（ ）A .51-B .31-C .21-D .3 11. 已知正数a b c ，，满足224160a ab b c -+-=，当ab c取得最大值时，则43244c a b -++的最小值为（ ）A .2B .4C .12D .1612. 已知函数22212()212m x mx x f x m x mx x⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩，，.若函数()f x 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A .(2)+，∞B .(22)+，∞C .(4)+，∞D .(42)+，∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学经典押题（含答案）满分：100分，时间：60分钟一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A ． BCD ． 2.已知，则A ∩B =（）A ．B ．C ．D ． 3. 在中，角的对边分别为，若且，则（）A ．B ．C ．D ． 4.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A． B ． C ．D ．5. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 6. 函数的部分图象大致是（） z ()(1)1z i i +-=z =21222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=1(0,)31[2,)3-1(,2]31(,2)3ABC ∆,,A B C ,,a b c sin 3sin ,A B c ==5cos 6C =a =348+6+6+8+,x y 22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩2y x z x y =-7[,1]2-7[2,]2-77[,]23--3[,1]2-()22x xe ef x x x --=+-7. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，若成立，则的最小值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则．14.在二项式的展开式中，其3项为，则．15.如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为．16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是．22221(0,0)x y a b a b-=>>x ,A B D ABD∆2))+∞U ()()231,ln 42x x f x eg x -==+()()f m g n =n m -1ln 22+ln 212ln 22+2ln 2m u r n r 2(11,2)m n -=-u r r 5m =u r n =r 6120x =E 1111ABCD A B C D -11C D 1//BD 1B CF 1BDCE A 2:2(0)C x py p =>O ,A B (0,8)M OA C ABO ∆p三、解答题（本大题共2小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.18.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数） （1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，求点到直线距离的最小值.{}n a 221111,n n n n a a a a a ++=+=-{}n b n n S 2n n S n a =+{}n a {}n b 11{}n n a b +n n T xOy 1C cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩2C 2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩1C 2C x l (cos 2sin )4ρθθ-=1C P 2πθ=Q 2C M PQ M l2020高考数学经典押（答案）一、选择题1-5: ACB CA 6-8: D D A二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）因为，所以，，因为，所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知， 所以. 18.解：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆. （2）由已知得，设，则， 直线，点到直线的距离为 ， 所以 ，即到直线的距离的最小值为. 52232211n n n n a a a a +++=-()()1110n n n n a a a a +++--=10,0n n a a +>>10n n a a ++≠11n n a a +-={}n a 11n a n =2n ≥12n n n b S S n -=-=1n =12b =2n b n =111111()2(1)21n n a b n n n n +==-++11111111[(1)()()()]22233412(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L 1C 22(1)1x y +-=(0,1)12C 2214x y +=x (0,2)P (2cos ,sin )Q θθ1(cos ,1sin )2M θθ+:240l x y --=Ml d ==5d ≤=Ml 5。

高考大题专项一函数与导数的综合压轴大题突破 1 利用导数求极值、最值、参数范围x1.函数f(x)= (x-k)e .(1)求 f(x)的单调区间 ;(2)求 f(x)在区间 [0,1] 上的最小值 .2.(2021福建龙岩 4 月质检 ,21 改编 )函数 f(x)= (x-2)e x-a(x+ 2)2.求函数 g( x)=f (x)+ 3e x的极值点 .3.(2021山东师大附中一模,21)函数f(x)= (x-a)e x(a∈R) .(1)当 a= 2 时 ,求函数 f(x)在 x= 0 处的切线方程 ;(2)求 f(x)在区间 [1,2] 上的最小值 .4.(2021陕西咸阳一模,21改编)f(x)=e x-aln x(a∈ R ).当a=- 1时,假设不等式f(x)> e+m ( x-1)对任意x∈(1,+ ∞)恒成立 ,求实数 m 的取值范围 .5.设函数f(x)=x2+ax+b ,g( x)=e x(cx+d ).假设曲线y=f (x)和曲线y=g (x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 y= 4x+2.(1)求 a,b,c,d 的值 ;(2)假设 x≥ -2 时 ,f(x)≤ kg(x),求 k 的取值范围 .6.(2021河北江西南昌一模,21)函数f(x)= ln( ax)+bx 在点 (1,f(1)) 处的切线是y= 0.(1)求函数 f(x)的极值 ;-(2) 当f(x)+ x(m< 0)恒成立时 ,求实数 m 的取值范围 (e 为自然对数的底数).突破 2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2021全国3,文21)函数f(x)=-(1)求曲线 y=f (x)在点 (0,-1) 处的切线方程 ;(2)证明 :当 a≥ 1 时 ,f(x)+ e≥ 0.2.(2021河北保定一模,21 改编 )函数f(x)= ln x-(a∈R).假设 f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f3.函数f(x)=ax 3-3x2+ 1,假设 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0> 0,求 a 的取值范围 .4.(2021安徽芜湖期末,21改编)函数f(x)=x3-aln x(a∈ R ).假设函数y=f (x)在区间(1,e]上存在两个不同零点 ,求实数 a 的取值范围 .5.(2021河南郑州一模,21)函数f(x)= ln x+,a∈R且 a≠0.(1)讨论函数 f(x)的单调性 ;x(2)当 x时,试判断函数g(x)= (ln x-1)e +x-m 的零点个数 .x 26.(2021河北衡水中学押题三,21)函数f( x)=e -x +a ,x∈ R,曲线y=f (x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx.(1)求函数 y=f (x)的解析式 ;(2)当 x∈R时 ,求证 :f(x) ≥-x2 +x;(3)假设 f(x)>kx 对任意的 x∈ (0,+ ∞)恒成立 ,求实数 k 的取值范围 .高考大题专项一函数与导数的综合突破1 利用导数求极值、最值、参数范围1.解(1)由题意知f'(x)= (x-k+ 1)e x.令 f' (x)= 0,得 x=k- 1.当 x∈ (-∞,k-1) 时 ,f'(x) <0,当 x∈( k-1,+∞)时 ,f'(x)> 0.所以 f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+ ∞).(2)当 k-1≤ 0,即 k≤1 时 ,f(x)在 [0,1] 上单调递增 ,所以 f(x)在区间 [0,1] 上的最小值为f(0)=-k ;当 0<k- 1< 1,即 1<k< 2 时 ,f(x)在 [0,k-1] 上单调递减 ,在 [k-1,1] 上单调递增 ,所以 f(x)在区间 [0,1] 上的最小值为 f(k-1)=- e k- 1;当 k-1≥ 1,即 k≥ 2 时 ,f(x)在 [0,1] 上单调递减 ,所以 f(x)在区间 [0,1] 上的最小值为f(1)= (1-k)e.综上 ,当 k≤ 1 时 ,f(x)在[0,1] 上的最小值为f(0) =-k ;k-1当 1<k< 2 时 ,f(x) 在[0,1] 上的最小值为f( k-1)=- e;2.解由g(x)= (x+1)e x-a(x+ 2)2,得 g'(x)= (x+ 2)e x-2a(x+ 2)=( x+2)(e x-2a),(ⅰ)当 a≤ 0 时 ,在 ( -∞,-2)上 ,g'(x) < 0,在 (-2,+ ∞)上 ,g'( x)>0.(ⅱ)当 a> 0时,令 g'(x)= 0,解得 x=- 2 或 x= ln(2 a).①假设 a=,ln(2 a)=- 2,g'(x)≥ 0 恒成立 ;②假设 a>,ln(2 a)>- 2,在( -2,ln(2 a))上 ,g'( x)< 0;在 (-∞,-2)与 (ln(2 a),+ ∞) 上,g'(x)> 0.③假设 a<,ln(2 a)<- 2,在(ln(2 a),-2)上 ,g'( x)< 0;在 (-∞,ln(2a))与 (- 2,+ ∞) 上,g'(x)> 0.综上 ,当 a≤ 0 时 ,g(x)极小值点为 -2,无极大值点 ;当 0<a<时 ,g(x)极小值点为 -2,极大值点为 ln(2 a); 当 a= 时 ,g(x)无极值点 ;当 a>时 ,g(x)极小值点为 ln(2 a),极大值点为 -2.3.解(1)设切线的斜率为k.因为 a= 2,所以 f(x)= (x-2)e x,f'(x)= e x( x-1).所以 f(0)=- 2,k=f' (0)= e0 (0-1)=- 1.所以所求的切线方程为y=-x- 2,即 x+y+ 2= 0.(2)由题意得 f'(x)=e x(x-a+ 1),令 f'(x)= 0,可得 x=a- 1.①假设 a-1≤1,那么 a≤2,当 x∈ [1,2] 时 ,f'(x)≥ 0,那么 f(x)在 [1,2] 上单调递增 .所以②假设所以③假设所以f(x) min=f (1)= (1-a)e.a-1≥2,那么 a≥3,当 x∈ [1,2] 时 ,f'(x)≤ 0,那么 f(x)在 [1,2] 上单调递减 .21<a- 1< 2,那么 2<a< 3,f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:x(1,a-1)a-1(a-1,2)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以 f(x)的单调递减区间为[1,a- 1],单调递增区间为[a-1,2] .a-1综上所述 : 当 a≤ 2 时 ,f(x) min=f (1)= (1-a)e;当 a≥3 时 ,f(x)min=f (2)= (2-a)e2;当 2<a< 3 时 ,f(x)min=f (a-1)=- e a-1.4.解由f(x)= e x-aln x,原不等式即为e x+ ln x-e-m(x-1)> 0,记 F(x)= e x+ ln x-e-m(x-1),F(1)= 0,依题意有F(x)> 0 对任意 x∈ [1,+ ∞)恒成立 ,求导得 F' ( x)= e x+ -m,F' (1)= e x+ 1-m,F″ (x) = e x-,当 x>1 时 ,F″(x)> 0,那么 F' (x)在 (1,+∞)上单调递增 ,有 F' (x)>F' (1)= e x+ 1-m,假设 m≤ e+ 1,那么 F' (x) > 0,那么 F(x)在 (1,+ ∞)上单调递增 ,且 F(x)>F (1)= 0,适合题意 ;假设 m> e+ 1,那么F' (1)< 0,又 F' (ln m)=> 0,故存在 x1∈(1,ln m),使 F' (x)= 0,当 1<x<x 1时 ,F' (x)< 0,得 F(x)在 (1,x1)上单调递减 ,F(x)<F (1)= 0,舍去 ,综上 ,实数 m 的取值范围是m≤ e+ 1.5.解(1)由得f(0) =2,g(0)= 2,f'(0) =4,g'(0)= 4.而 f' (x)= 2x+a ,g'(x) =e x(cx+d+c ),故 b= 2,d= 2,a= 4,d+c= 4.从而 a= 4,b= 2,c= 2,d= 2.(2)由 (1) 知 ,f(x)=x 2+ 4x+2,g(x)= 2e x(x+1) .设函数 F(x)=kg (x)-f(x)= 2ke x(x+ 1)-x2-4x-2,那么 F' (x)= 2ke x(x+ 2) -2x-4= 2(x+2)(ke x-1) . 由题设可得 F(0) ≥ 0,即 k≥ 1.令 F' (x)= 0 得 x1=- ln k,x2=- 2.2①假设 1≤ k< e ,那么 -2<x 1≤ 0.从而当 x∈ (- 2,x1 )时 ,F' (x)< 0;当 x∈ (x1,+ ∞)时 ,F' (x)> 0.即 F(x)在 (-2,x1)单调递减 ,在 (x1,+∞) 单调递增 .故 F(x)在 [- 2,+ ∞)的最小值为 F(x1 ).而 F(x1)= 2x1+ 2- -4x1- 2=-x 1(x1+ 2)≥ 0.故当 x≥ -2 时 ,F(x)≥ 0,即 f(x)≤ kg(x)恒成立 .②假设 k=e2,那么 F' (x)= 2e2(x+2)(e x-e- 2).从而当 x>- 2 时 ,F' (x)> 0,即 F(x) 在(-2,+ ∞)单调递增 .而 F(-2)= 0,故当 x≥ -2 时 ,F(x)≥0,即 f(x)≤ kg(x)恒成立 .2- 2-22③假设k>e ,那么 F(-2)=- 2ke + 2=-2e(k-e ) <0.从而当 x≥ -2 时 ,f(x)≤ kg(x)不可能恒成立.综上 ,k 的取值范围是 [1,e2].6.解(1)∵f(x) =ln( ax)+bx ,∴f'(x)= +b= +b ,∵点 (1,f(1)) 处的切线是y= 0,∴f'(1)= 1+b= 0,且 f(1)= ln a+b= 0,∴a= e,b=- 1,即 f(x)= ln x-x+ 1(x> 0),∴f'(x)= -1=-,∴f(x)在 (0,1) 上递增 ,在 (1,+ ∞)上递减 .所以 f(x)的极大值为 f(1)= ln e-1= 0,无极小值 .(2)由 (1)f(x)= ln x-x+ 1,当-f( x)+ x(m< 0)恒成立时 ,即--2+ ln x-x+ 1+ x(m< 0)在 x∈(0,+ ∞)恒成立 ,同除以 x 得设 g(x)=,h(x)=-2,那么g'(x)=-,h'(x)=-,又∵m< 0,所以当 0<x< 1 时 ,g'(x)< 0,h'(x) > 0;当 x> 1 时 ,g'(x)> 0,h'(x)< 0.∴g(x)在 (0,1)上单调递减 ,在 (1,+ ∞)上单调递增 ,g(x)min=g (1)= ,h(x)在 (0,1)上单调递增 ,在 (1,+∞)上单调递减 ,h(x)max=h (1) = -1.∴g(x),h(x) 均在 x= 1 处取得最值 ,所以要使 g(x)≥ h(x)恒成立 ,只需 g(x)min≥ h(x)max ,即-1,解得 m≥ 1-e,又 m< 0,∴实数 m 的取值范围是[1-e,0).突破 2利用导数证明问题及讨论零点个数--因此曲线 y=f (x)在点 (0,-1)处的切线方程是 2x-y-1= 0.1.(1)解f' (x)=,f'(0)=2.(2)证明当 a≥ 1 时 ,f(x)+ e≥ (x2+x- 1+ e x+ 1)e-x.令 g(x)=x 2+x- 1+e x+1, 那么 g'(x)= 2x+ 1+ e x+ 1.当 x<- 1 时 ,g'(x)< 0,g(x)单调递减 ;当 x>- 1 时 ,g'(x)> 0,g(x)单调递增 ;所以 g(x)≥ g(-1)= 0.因此 f(x)+ e≥ 0.--2.证明f'(x) =(x> 0),令 p(x)=x 2+ (2-a)x+ 1,由 f(x) 在(0,+ ∞)有两个极值点 x1,x2,那么方程 p(x)= 0 在(0,+ ∞)有两个实根--得 a> 4,x1,x2,-∴f(x1)+f (x2)= ln x1-+ ln x2-= ln x1x2-=-a ,f=f -= ln---= ln-- (a-2),∴f=ln--a-2+= ln-+ 2.设 h(a)= ln-+ 2(a> 4),那么 h'(a)=-< 0,--∴h(a)在 (4,+ ∞)上为减函数 ,又 h(4)= 0,∴h(a) <0,∴f3.解法1函数f(x)的定义域为R ,当a= 0时,f(x)=- 3x2+ 1,有两个零点±,原函数草图∴a= 0 不合题意 ;当 a> 0 时 ,当 x→ -∞时 ,f(x)→ -∞,f(0)= 1,f( x)存在小于 0 的零点 x0,不合题意 ;当 a< 0 时 ,f'(x)= 3ax22∴在区间-内 f' (x)< 0;-6x,由 f'(x)= 3ax -6x=0,得 x1= 0,x2= < 0,在区间内 f'(x)> 0;在区间 (0,+ ∞)内 f'(x)< 0.∴f(x)在区间 -为减函数 ,在区间为增函数 ,在区间 (0,+∞)为减函数 .∴假设 f(x)存在唯一的零点x0,且 x0>0?f(x) min=f>0?+1> 0?< 1? a2> 4.∵a< 0,∴a<-2.解法 2 曲线 y=ax 3与曲线 y=3x2-1 仅在 y 轴右侧有一个公共点,当 a≥0 时 ,由图象知不符合题意 ;当 a< 0 时 ,设曲线 y=ax 3与曲线 y= 3x2-1 相切于点 ( x0,y0),-那么得 a=- 2,由图象知a<- 2 时符合题意 .解法 3 别离成a=-+ 3=-t3+3t,令y=a ,g(t)=-t 3+ 3t,g'( t)=- 3t2+ 3= 3(1-t2),当 t∈ (-1,1)时 ,g'(t)> 0,当 t> 1 或 t<- 1 时 ,g'(x)< 0.所以 g( t)在 (-∞,- 1)递减 ,在区间(-1,1)递增 ,在 (1,+ ∞)递减 ,所以当 t=- 1 时,g(t)min=- 2,由 g(t)=-t 3+ 3t 的图象可知 ,t= 1 时 ,g(t)max= 2.3,交点在第四象限 ,所x→ + ∞时 ,g(t)→ + ∞,当 a<- 2 时 ,直线 y=a 与 g(t)=-t + 3t 的图象只有一个交点以满足题意 .4.解由f(x)= 0,得a=在区间 (1,e] 上有两个不同实数解 ,即函数 y=a 的图象与函数 g(x)=的图象有两个不同的交点 .因为 g'(x)=-,令 g'(x)= 0 得 x=,所以当 x∈ (1,)时 ,g'(x)< 0,函数在 (1, ) 上单调递减 ,当 x∈ ( ,e]时 ,g'(x)> 0,函数在 (,e]上单调递增 ;那么 g(x)min=g()=3e,而 g()== 27 > 27,且 g(e)= e3< 27,要使函数 y=a的图象与函数g(x) = 的图象有两个不同的交点 ,∴a的取值范围为 (3e,e3].5.解(1)f' (x)=-(x>0),当 a< 0 时,f' (x)> 0 恒成立 ,函数 f( x)在 (0,+ ∞)上单调递增 ;当 a> 0 时 ,由 f' (x)> 0,得 x> ,由 f' (x)< 0,得 0<x<,函数单调递增区间为,单调递减区间为综上所述 ,当 a< 0 时 ,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+ ∞),当 a> 0 时,函数 f(x) 的单调递增区间为,单调递减区间为(2)∵x时 ,函数 g(x)= (ln x-1)e x+x-m 的零点 ,即方程 (ln x-1)e x+x=m 的根 .令 h(x)= (ln x-1)e x+x ,h'( x)=- e x+ 1,由 (1)知当 a= 1 时 ,f(x)= ln x+ -1 在递减 ,在 [1,e] 上递增 ,∴f(x)≥f(1)= 0,+ ln x-1≥ 0 在 x上恒成立 ,∴h'(x) =x x- e + 1≥ 0+ 1>0,∴h(x)= (ln x-1)e +x 在x上单调递增 ,∴h(x)min=h =- 2∴当 m<- 2或 m>e 时,没有零点 ,当 -2m≤e 时有,h(x) max= e.一个零点 .6.(1)解根据题意,得f'(x)= e x-2x,那么 f' (0)= 1=b.由切线方程可得切点坐标为(0,0), 将其代入y=f ( x),得 a=- 1,故 f(x) =e x-x2-1.(2)证明令 g( x)=f (x)+x 2-x= e x-x-1.由 g'(x) = e x-1= 0,得 x=0, 当 x∈ (-∞,0)时 ,g'(x)< 0,y=g (x)单调递减 ;当 x∈ (0,+ ∞)时,g'(x)> 0,y=g (x)单调递增 .所以 g(x)min=g (0)= 0,2(3) 解 f( x)>kx 对任意的x∈ (0,+∞) 恒成立等价于>k 对任意的 x∈ (0,+ ∞)恒成立 .令φ(x)=,x> 0,得φ'(x)=------- -==由 (2)可知 ,当 x∈ (0,+ ∞)时 ,e x-x-1> 0 恒成立 ,令φ'(x)> 0,得 x> 1;令φ'(x)< 0,得 0<x<1.所以 y= φ(x)的单调增区间为 (1,+ ∞),单调减区间为 (0,1),故φ(x)min= φ(1)= e-2,所以 k< φ(x)min= e-2.所以实数 k 的取值范围为(-∞,e-2).。

2020届全国名校高考冲刺压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}lg 0A x x =>，{}12B x x =-<，则A B =U （ ） A ．{}11x x x <-≥或 B ．{}13x x << C ．{}3x x >D ．{}1x x >-2．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．若0x >，则sin x x >恒成立C ．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()00,x ∀∉+∞，00ln 1x x ≠-”D ．命题“若22x =，则2x =或2x =-”的逆否命题是“若2x ≠或2x ≠-，则22x ≠”3．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数e 4xy x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()sin y A x b ωϕ=++的最大值为3，最小值为1-．两条对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 216y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭6．设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ）A ．a b d c >>>B ．c a d b >>>C ．d c a b >>>D ．c d a b >>>7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．16π3B ．3π C ．29π D ．169π8．已知向量(1,3=-a ，()0,2=-b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π39．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()()3a b c a c b ac +++-=，则角B =（ ） A ．2π3 B ．π3 C ．5π6D ．π610．执行如图所示程序框图，输出的S =（ ）A ．25B ．9C ．17D ．2011．已知过点(),0A a 作曲线:e x C y x =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),40,-∞-+∞U B ．()0,+∞ C ．()(),11,-∞-+∞U D ．(),1-∞-12．已知函数()ln ,0e ,e x x f x e x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若0a b c <<<且满足()()()f a f b f c ==，则()af b ()bf c +()cf a +的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()e,+∞C ．11e 1e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,D ．1e,2e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）．S ＝S ＋8开始 否T>S ？结束是 S ＝1，T=0,n =0 n=＝0n ＝n +2输出ST ＝T +2n①若l m ∥，则αβ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥； ③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则m α⊥，14．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值为__________．15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒．根据以上性质，函数 ()f x______．16．已知ABC △中，AB AC =，点D 是AC 边的中点，线段BD x =，ABC △的面积2S =，则x 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，角A 、B 、C 成等差数列，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值． 18．（本小题满分12分）2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行．4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动．（i ）问男、女学生各选取了多少人？（ii ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，PD DC ⊥，底面ABCD 是梯形，AB DC ∥，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r，试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60︒．20.（本小题满分12分）已知椭圆()222:90C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求l 的斜率；若不能，说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数()ln 2a xf x x x =++． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为131x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()20M ,，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求MA MB ⋅． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()211f x x x =+--． （1）解不等式()2f x <；（2）若不等式()1123m f x x x -≥+-+-有解，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【解析】{}{}lg 01A x x x x =>=>，{}{}1213B x x x x =-<=-<<，则{}1A B x x =>-U ．故选D ． 2．【答案】B【解析】令()sin f x x x =-，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()sin f x x x =-在()0,+∞单调递增，∴()()00f x f >=，∴sin x x >，B 为真命题或者排除A 、C 、D ．故选B ．3．【答案】A【解析】若C 的方程为2214y x -=，则1a =，2b =，渐近线方程为b y x a=±，即为2y x =±，充分性成立，若渐近线方程为2y x =±，则双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，∴“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的充分而不必要条件，故选A ．4．【答案】C【解析】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当1x =时，e14y =<，排除A ； 当x →+∞时，e4xx→+∞，排除D ．故选C ．5．【答案】B【解析】由31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，∴21A b =⎧⎨=⎩，又22T π=，∴T =π，∴2ω=，∴()2sin 21y x ϕ=++，又262k ϕππ⋅+=+π，k ∈Z ，∴6k ϕπ=+π，k ∈Z ， ∴72sin 212sin 2166y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ． 6．【答案】D【解析】01a <<，0b <，1c >，1d >，由0.2y x =在R 上为增函数，∴c d >，故选D ． 7．【答案】D【解析】4的D ．8．【答案】A【解析】设向量a 与向量b 的夹角为[]()0,πθθ∈，则cos θ⋅==a b a b ，∴π6θ=．故选A ． 9．【答案】B【解析】由()()3a b c a c b ac +++-=，可得222a c b ac +-=，根据余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,πB ∈，∴π3B =．故选B ．【解析】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；9S =，2n =，044T =+=； 17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故选C ． 11．【答案】A【解析】设切点为()000,e x x x ，()1e xy x '=+，∴0001e x x x y x ='=+⋅，则切线方程为：()()00000e =1e x x y x x x x -+⋅-，切线过点(),0A a 代入得：()()00000e =1e x xx x a x -+⋅-，∴2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a <-．故选A ．12．【答案】D【解析】画出()f x 的图象，由0a b c <<<且()()()f a f b f c ==得：01a <<，1e b <<，e c >，ln ln a b -=，e ln b c=，∴1ab =，ln e c b =，()()()()1ln ln e af b bf c cf a a b c b b b b ⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭，令()1ln e g b b b b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()1e b <<，则()21111ln g b b b b b b ⎛⎫⎛⎫'=-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()211ln 1ln g b b b b '=++-，∵1e b <<，∴1ln 0b ->，ln 0b >，∴()0g b '>，则函数()g b 在区间()1,e 上单调递增，∴()()()1e g g b g <<，即11e ln e 2e e b b b ⎛⎫<++<+ ⎪⎝⎭，∴()()()af b bf c cf a ++的取值范围是1e,2e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（以a 为变量时，注意a 的取值范围为11e a <<）．故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】③【解析】①如图所示，设c αβ=I ，l c ∥，m c ∥满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设αβ∥，l β'⊂，l l '∥，l m '⊥，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确； ③由面面垂直的判定定理，若l β⊥，则αβ⊥，故③正确；④若αβ⊥，n αβ=I ，由面面垂直的性质定理知，m n ⊥时，m α⊥，故④不正确． 综上可知：只有③正确．故答案为③． 14．【答案】11-【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点()4,3A --时取得最小值，()()min 24311z =⨯-+-=-． 15.【答案】23+【解析】由两点间的距离公式得()()()222222112x y x y x y -++++++-为点(),x y 到点()1,0、()1,0-、()0,2的距离之和，即求点(),x y 到点()1,0、()1,0-、()0,2的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，容易求得最小值为2233322333++-=+．16．【答案】)3+⎡∞⎣,【解析】设BAC α∠=，BA c =，则21sin 22c α⋅=，∴2sin 4c α⋅=①在ABD △中，222cos 22c c BD c c α⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭2225cos 4BD c c α=-②由①得24sin c α=③，把③代入②得：254cos sin BD αα-=，2sin 4cos 5BD αα+=， ()2245BD αϕ++=4245BD +，即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，又A B C ++=π，得3B π=． 又由正弦定理，3sin 4sin C A =，得34c a =，即34a c =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-， 即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =． （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ==，∴a A，c C =，)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+=++⎤⎦sin sin 36A A A π⎤π⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦， 由203A π<<，知当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c += 18．（本小题满分12分）【答案】（1）有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）见解析． 【解析】（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．（2）（i ）根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人， 所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人．（ii ）由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3．()3093312C C 840220C P X ===，()2193312C C 1081220C P X ===，()1293312C C 272220C P X ===，()0393312C C 13220C P X ===，∴X 的分布列是：∴()8401232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）36λ=-．【解析】（1）证明∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，DC ⊂平面PDC ， ∴AD PD ⊥，AD DC ⊥，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ，在BCH △中，145BH CH BCH ==⇒∠=︒， 又在DAB △中，145AD AB ADB ==⇒∠=︒， ∴4590BDC DBC BC BD ∠=︒⇒∠=︒⇒⊥，①∵PD AD ⊥，PD DC ⊥，AD DC D =I ，AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥，由①②，∵BD PD D =I ，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ， ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)则()0,0,1P ，()0,2,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B ， 令()000,,Q x y z ，()000,,1PQ x y z =-u u u r ，()0,2,1PC =-u u u r， ∵PQ PC λ=u u u r u u u r，∴()()000,,10,2,1x y z λ-=-，∴()0,2,1Q λλ=-，∵BC ⊥平面PBD ，∴()1,1,0=-n 是平面PBD 的一个法向量， 设平面QBD 的法向量为(),,x y z =m ，则00DB DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ，即()0210x y y z λλ+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，即()21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩， 不妨令1y =，得21,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭m ，∵二面角Q BD P --为60︒，∴1cos ,2⋅===⋅m n m n m n，解得3λ=±∵Q 在棱PC 上，∴01λ<<，故3λ=20.（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）四边形OAPB 能为平行四边形，当l的斜率为44四边形OAPB 为平行四边形．【解析】（1）设直线()0,0y kx b k b =+≠≠，()11,A x y ，()22,B x y ，(),M M M x y ， 将y kx b =+代入2229x y m +=，得()2222920k x kbx b m +++-=， 故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+，于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-， 即9OM k k ⋅=-，所是命题得证．（2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >且3k ≠．由（1）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981P k m x k =+，即P x = 将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入直线l 的方程得()33m k b -=，因此()()2339M mk k x k -=+，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即2P M x x =()()23239mk k k -=⨯+．解得14k =-24k =∵0i k >，3i k ≠，1i =，2，∴当l的斜率为44OAPB 为平行四边形．21．（本小题满分12分）【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x a f x x x x +-'=-+=， 令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时， 即12a >-，方程两根为11x ==--2x =-122x x +=-，122x x a =-， ①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞； ②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤， ()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增； 综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+， 令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-， 当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）【答案】（1）)11y x =-+，22y x =；（2）163． 【解析】（1）把直线l的参数方程化为普通方程为)11y x =-+． 由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π， 又直线l '过点()20M ,， ∴直线l '的参数方程为122x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(t '为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '． 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=． ∴163MA MB ⋅=． 23．（本小题满分10分）【答案】（1）243x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3m ≤-或5m ≥． 【解析】（1）()12,21211=3,122,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+---≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， ∴1222x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或11232x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪<⎩或122x x >⎧⎨+<⎩，解得142x -<<-或1223x -≤<或无解， 综上，不等式()2f x <的解集是243x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （2）()1232111232123f x x x x x x x x x +-+-=+--+-+-=++-()21234x x ≥+--=， 当1322x -≤≤时等号成立不等式()1123m f x x x -≥+-+-有解， ∴()min 1123m f x x x -≥⎡+-+-⎤⎣⎦， ∴14m -≥，∴14m -≤-或14m -≥，即3m ≤-或5m ≥，∴实数m 的取值范围是3m ≤-或5m ≥．。

压轴题(一)12．设P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，c ，e 分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF 1→·PF 2→＝0，直线PF 2交y 轴于点A ，则△AF 1P 的内切圆的半径为( )A ．aB ．bC ．cD ．e答案 A解析 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以△AF 1P 是直角三角形．设△AF 1P 的内切圆的半径是r ，则2r ＝|PF 1|＋|P A |－|AF 1|＝|PF 1|＋|PA |－|AF 2|＝|PF 1|－(|AF 2|－|P A |)＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .所以r ＝a .16．(2019·湘赣十四校联考二)已知函数f (x )＝sin x ＋2cos x 的图象向右平移φ个单位长度得到g (x )＝2sin x ＋cos x 的图象，若x ＝φ为h (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴，则a ＝________.答案 43解析 由题意，得f (x )＝5sin(x ＋α)，其中sin α＝255，cos α＝55.g (x )＝5sin(x＋β)，其中sin β＝55，cos β＝255，∴α－φ＝β＋2k π，即φ＝α－β－2k π，∴sin φ＝sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35，cos φ＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45，又x ＝φ是h (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴，∴h (φ)＝sin φ＋a cos φ＝35＋45a ＝±1＋a 2，即a ＝43.20．已知函数f (x )＝12(x 2＋2a ln x )．(1)讨论f(x)＝12(x2＋2a ln x)，x∈(1，e)的单调性；(2)若存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0成立，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝12(x2＋2a ln x)，得f′(x)＝x＋ax＝x2＋ax(x>0)，当a≥0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(1，e)上单调递增；当a<0时，f′(x)＝0的解为x＝－a(舍负)，若－a≤1，即a∈[－1,0)，则f(x)在(1，e)上单调递增；若－a≥e，即a∈(－∞，－e2]，则f(x)在(1，e)上单调递减；若a∈(－e2，－1)，则f(x)在(1，－a)上单调递减，在[－a，e)上单调递增．(2)由(1)可知，当a≤－e2或a≥－1时，函数f(x)在(1，e)上为单调函数，此时不存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.当a∈(－e2，－1)时，f(x)在(1，－a]上单调递减，在[－a，e)上单调递增，所以f(x)在x＝－a处取得极小值，f(x)极小值＝f(－a)＝12(－a＋2a ln －a)＝－12a＋12a ln (－a)，其中a∈(－e2，－1)，令g(a)＝－12a＋12a ln (－a)，a∈(－e2，－1)，则g′(a)＝－12＋12ln (－a)＋12＝12ln (－a)，a∈(－e2，－1)，所以g′(a)>0，所以g(a)在(－e2，－1)上单调递增，且g(－e)＝0，g(－e2)＝－e22<0，所以当a∈(－e2，－e)时，f(x)极小值<0，此时存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.21．某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂．设每片芯片不合格的概率为p (0<p <1)，且相互独立．①若某盒12片芯片中恰有3片次品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0； ②若以①中的p 0作为p 的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片最终利润X (单位：元)的期望．解 (1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A ，则P (A )＝C 39C 312＝2155. 答：该盒芯片经一次检验即可出厂的概率为2155.(2)①某盒12片芯片中恰有3片次品的概率f (p )＝C 312p 3(1－p )9＝127C 312⎝ ⎛⎭⎪⎫3412， 当且仅当3p ＝1－p ，即p ＝14时取“＝”号， 故f (p )的最大值点p 0＝14. ②由题设，知p ＝p 0＝14.设这盒芯片不合格品的个数为n ，则n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 故E (n )＝12×14＝3，则E (X )＝120－12－30－3×2＝72.所以这盒芯片最终利润X的期望是72元．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 压轴试卷（一）一、选择题1．已知集合{}3log M x y x ==和{}3xN y y ==，则下列结论正确的是（ ）A ．M N =B ．M N ⋂=∅C ．M N ⋃=RD ．M N Þ2．已知a 是实数，复数()21a i z i +=-在复平面内对应的点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜()FAST 是目前世界上最大单口径射电望远镜。

使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星．脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是一定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒．某一天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图．则在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的颗数大约为（ ）A ．47B ．86C ．79D ．704．若3512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1235b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，351log 2c =，则下列结论正确的是（ ）A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>5．在平面直角坐标系xOy 中，已知θ为锐角，若角45θ+︒的终边与圆22:1O x y +=交于点34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan θ=（ ） А．7B ．17C ．125D ．5126．古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩．石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动．不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”．如图所示，粗实线画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（ ）A ．半圆柱和四棱台B ．球的14和四棱台 C ．半圆柱和四棱柱 D ．球的14和四棱柱7．双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>虚轴的一个端点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，12AF F △的两边1AF ，2AF 分别与C 交于点M 、N ，若MN 是12AF F △的中位线，则C 的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．2D ．58．为阻击新型冠状病毒感染，某地红十字会将6名志愿者分配到甲、乙、丙三个交通要道测试过往行人的体温，将6名志愿者按1人、1人、4人进行分组，分配到甲、乙、丙三个交通要道，则不同的分配方案种数是（ ） A ．60B ．90C ．120D ．1809．某纺织企业通过电脑设计各种美丽的布料图案，设计者考虑用一条长度为a 的线段EF ，其端点E 、F 在边长为3的正方形ABCD 的四条边上滑动，如图所示，当EF 绕着正方形的四边滑动一周时，以A 为原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，探究EF 的中点M 所形成的轨迹．其中2a =时，点M 的轨迹是（ ）A ．B ．C ．D ．10．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线m 与抛物线C 及准线l 依次交于P 、Q 、R 三点，且4RQ QF =u u u r u u u r ，则PFFQ=（ ） A ．2B ．43C ．32D ．5311．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线a 和b 分别在上底面1111A B C D 和下底面ABCD 上运动，且a b ⊥．现有以下结论：（ ）①当1A D 与a 所成的角为60°时，1A D 与b 所成的角为60°；②当1A D 与b 所成的角为60°时，a 与侧面1ADD A ，所成的角为30°； ③1A D 与a 所成角的最小值为45°； ①1A D 与a 所成角的最大值为90°； A ．①①B ．①①C ．①③①D ．②③①12．已知函数()()2,2;9sin 2,2,x x f x x x -⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩则满足方程()()4f x f x -=的解的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题13．已知x 、y 、满足不等式组22,0,0,x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是______．14．已知()2,a k =，()1,2b =-，//a b ，则a b -=______．15．已知函数()()()sin 0,02f x x ωϕωϕπ=+><<满足：①()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②()f x 的图象关于直线6x π=对称．则满足①和①的ω，ϕ的一组值分别是______．16．在ABC △中，AB =2BC =，30ABC ∠=︒，则AC =______；将ABC △是绕着顶点C 旋转，若顶点C 到直线l 的距离为1，顶点A 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，则12d d +的最大值是______． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且343a a +=，1025S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （①）设2n an b =．（i ）求证：数列{}n b 是等比数列；（ii ）2n b 是否是数列{}n b 中的项？并说明理由．18．在三棱柱111ABC A B C -中，侧而11ACC A ⊥底面ABC ，11AA BC ==，12A B AC ==，AB =（Ⅰ）求证：1A A ⊥平面1A BC ；（①）设F 是AB 的中点，求二面角1F A C B --的余弦值．19．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，M 、N 是椭圆C 上不与顶点重合的两个动点，且直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒．（Ⅰ）求证：点P 的横坐标为定值； （Ⅱ）求证：NB MB k k ⋅为定值．20．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功．其中第一关是闯关答题，分别设置“文史常识题”，“生活常识题”、“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案： 方案一：答题3道，至少有两道答对；方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关．假设程序员甲和程序员乙答对这3道题的概率均为m ，n ，p （其中m ，n ，()0,1p ∈），且这3道题是否答对相互之间没有联系．程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二．（Ⅰ）若m n p ==．（i ）分别用p 表示甲和乙各自通过第一关的概率；（ii ）设甲和乙中通过第一关的人数为ξ，则是否存在唯一的p 的值0p ，使得()1E ξ=？并说明理由． （Ⅱ）甲和乙中，哪个通过第一关的把握性大？ 21．已知函数()ln x af x x+=．（Ⅰ）判定()f x 零点的个数； （Ⅱ）当11ln 22a <+时，求证：()x f x e <． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为,x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为,,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），设原点O 在圆C 的内部，直线l 与圆C 交于M 、N 两点；以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 和圆C 的极坐标方程，并求a 的取值范围；Ⅱ）求证：22OM ON +为定值． 23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知0x >，0y >，0z =，证明：222111y z x x y z x y z++≥++； （Ⅱ）已知1a >，1b >，1c >，且8abc =，若222log log log log log log b c a a a b b c c k ⋅+⋅+⋅≥恒成立，求实数k 的最大值．2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学压轴试卷（一）1．A 【解析】()0,M =+∞，()0,N =+∞，所以M N =，故选A ． 2．B 【解析】()()()()()()()22111111a i a i i z a a i i i i ++--===--+----．当10a -<，且()10a -+>时，a 无解；当10a -<，且()10a -+<时，解得1a >；当10a ->，且()10a -+<时，解得11a -<<；当10a ->，且()10a -+>时，解得1a <-．综上，选B ．3．C 【解析】第一到第六组的频率依次为0.1，0.2，0.3，0.2，2α，0.05，其和为1，所以()210.10.20.30.20.05α=-++++，解得0.075α=，所以自转周期在2至10秒的大约有()9310.1579.0579⨯-=≈（颗）．故选C ． 4．D 【解析】考虑介值1212d ⎛⎫=⎪⎝⎭，根据指数函数的单调性，得132511122⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1d a >>；根据幂函数的单调性，得112213125⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1d b <<；根据对数函数的单调性．得335513log log 125c =>=，所以1c bd a >>>>，故选D ． 5．A【解析】由已知，得()4tan 453θ+︒=-，则()()()41tan 45tan 453tan tan 4545741tan 45tan 4513θθθθ--+︒-︒=+︒-︒===⎡⎤⎣⎦++︒︒-，故选A ． 6．D 【解析】该组合体上面为球的14，下面为四棱柱（为卧放的直四棱柱）． 7．D 【解析】不妨设()0,A b ，()2,0F c ，则2AF 中点为,22c b N ⎛⎫⎪⎝⎭，代入C 的方程，得2222144c b a b -=，解得5ce a==．故选D ． 8．B 【解析】4136232290C C A A =．故选B ． 9．B 【解析】由题意，得12AM EF =，设()0,E m ，(),0F n ，(),M x y ，则2222112122x y m n +=+=⨯=，解得()2101y x x =-<≤，将函数()2101y x x =-<≤的图象（记为1C ）关于直线32x =对称，可得函数()()21323y x x =--<≤的图象（记为2C ）；将1C 和2C 的图象分别关于直线32y =对称，可分别得到以正方形ABCD 的顶点D 、C 为圆心、1为半径的14圆弧．故选B ．同理可得1a =时，对应3a =时，对应C ； 3.6a =时，对应D ．10．D 【解析】如图所示，过P 分别作1PP l ⊥，2PP x ⊥轴，垂足分别为1P ，2P ；过Q 分别作1QQ l ⊥，2QQ x ⊥轴，垂足分别为1Q 、2Q ；设1RQQ θ∠=，则11cos 4QQ QF RQ RQ θ===；由1cos PP p PF θ=+及1PP PF =，解得43p PF =，同理可得45pFQ =，于是53PF FQ ==，故选D ．11．C 【解析】如图所示，11A C D △和1A BD △均为正三角形，所以直线a 与11A C 重合或平行时，1A D 与a 所成的角为60°，此时若a b ⊥，则可使b 与BD 重合或平行，从而1A D 与b 所成的角为60°，则①正确；1A D 与b 所成的角为60°，此时若a b ⊥，a 与侧面11ADD A 所成11A D 重合时，1A D 与a 所角的大小为45°，则②错误；当a 与成角的最小值为45°．则③正确；当a 与11C D 重合时，1A D 与a 所成角的最大值为90°，则④正确．故选C ．(),0,9sin ,0xx g x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩的12．C 【解析】将()f x 的图象向左平移2个单位，得到图象，于是本题转化为求满足方程()()g x g x -=的解的个数．由于()sin 0y x x =>与()sin 0y x x =-<的图象关于y 轴对称．则可首先考虑()sin 0y x x =>与()09xy x =>的图象交点问题．如图所示，函数()sin 0y x x =>与()09xy x =>的图象有3个交点；其次，根据对称性，满足方程()()g x g x -=的解的个数有6个；最后考虑到0x =也满足()()g x g x -=，综上，满足方程()()g x g x -=的解的个数有7个，于是满足()()4f x f x -=的解有7个，故选C ．13．1【解析】可行域如图所示，当直线3y x z =-+过点()0,1时，z 最小，且min 3011z =⨯+=．14．35【解析】由//a b ，得1220k -⨯-⨯=，解得4k =-，则()3,6a b -=-，于是35a b -=．15．2；6π 【解析】可将,012π⎛⎫-⎪⎝⎭和6x π=视为()f x 在一个周期内的相邻的对称中心与对称轴，则4612T πππ⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，于是2ω=；将,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()sin 2y x ϕ=+，得sin 2012πϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合02ϕπ<<，可取6πϕ=．16．24【解析】由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯∠，即21242232cos304AC =+-⨯⨯⨯︒=，则2AC =；在ABC △中，因为2BC AC ==，所以120ACB ∠=︒．设CA 与水平线m 所夹的角为()02θθπ≤≤，则()()()121sin 1sin 18012022sin 2sin 602sin 3cos d d AC BC θθθθθθ+=+++︒--︒=++︒-=++⎡⎤⎣⎦()22sin 60θ=+︒+，故最大值为4．17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得111233,1091025,2a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ 解得114a =，12d =， 所以，数列{}n a 的通项公式为()()*11211N 424n n a n n -=+-⨯=∈． （Ⅱ）（i ）由2n a n b =，得112n a n b ++=，则111122222n n nn a a a n a n b b ++-+===，所以数列{}n b的等比数列． （ii ）21422nn a n b -==，则22122n n b -=． 设2n b 是数列{}n b 中的第k 项，则21212224n k --=， 解得*41N 2n k -=∉， 故2n b 不是数列{}n b 中的项．18．解：（Ⅰ）在ABC △中，由1BC =，2AC =，AB =90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥；在1A AB △中，同理可得11A A A B ⊥．因为侧面11ACC A ⊥底面ABC ，侧面11ACC A ⋂底面ABC AC =， 所以BC ⊥平面11ACC A ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以1BC A A ⊥， 又1A B BC B ⋂=，所以1A A ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）因为1A A ⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，所以11A A A C ⊥． 在直角1AAC △中，由11AA =及2AC =，得160A AC ∠=︒； 作1A O AC ⊥于点O ，则1A O ⊥平面ABC ，12OA =，12A O =，32OC =．以O 为坐标原点，分别以OA u u u r 、1OA u u u r的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．则1,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，3,1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，11,,022F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而112AA ⎛=- ⎝⎭u u u r ，11,,02CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，132CA ⎛= ⎝⎭． 设平面1A CF 的法向量为(),,n x y z =，则10,0,n CF n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r即10,230,2x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取1x =，则(1,2,n =-，而平面1A BC的法向量为112AA ⎛=- ⎝⎭u u u r ，所以111cos ,n AA n AA n AA ⋅===⋅u u u ru u u r u u u r ， 因为二面角1F A C B --为锐角，故二面角1F A C B --的余弦值为2． 19．解：（Ⅰ）由题设知，直线MA 、NB 的斜率存在且均不为0，()2,0A -，()2,0B ． 设直线AM 的方程为2x ty =-，由AM AN ⊥，可设直线NA 的斜率为NA k t =-，方程为12x y t=--．由2212,3412,x y tx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩得()2243120t y ty ++=， 解得21243N t y t =-+，则2221126824343N t t x t t t -⎛⎫=-⋅--= ⎪++⎝⎭，即2226812,4343t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 直线NB 的斜率为222120343684243NBtt k t t t --+==--+，则直线BN 的方程为()324y x t=-． 将()324y x t=-代入2x ty =-，解得14x =-， 故点P 的横坐标为14-，是定值．（Ⅱ）由（Ⅰ），得3344NA NB k k t t ⋅=-⋅=-；设()11,M x y ，则22113412x y +=，即2211443x y -=-． 则2211112211113422443MA MBy y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+---，所以3394416NA NB MA MB k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 结合1NA MA k k ⋅=-，得916MB NB k k ⋅=-，为定值． 20．（Ⅰ）（i ）设答对题目的个数为X ，由m n p ==，得()3,X B p :．甲通过第一关的概率为()223323133132P C p p C p p p =-+=-；乙通过第一关得到概率为22222111333P p p p p =⨯+⨯+⨯=． （ii ）ξ的可能取值为0，1，2，则()()()12011P P P ξ==--，()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==，所以()()()()()12121212120111112E P P P P P P PPP P ξ=⨯--+⨯-+-+⨯=+⎡⎤⎣⎦ 232233242p p p p p =-+=-．设()()2342101f p p p p =--<<，则()()2862430f p p p p p '=-=->，从而当01p <<时，()f p 为增函数，又()01f =-，()11f =，所以存在唯一的p 的值()00,1p ∈，使得()1E ξ=． （Ⅱ）设“答对文史常识题”、“答对生活常识题”、“答对影视艺术常识题”分别为事件A 、B 、C ，则()P A m =，()P B n =，()P C p =，甲通过第一关的概率为()()()()1P P ABC P ABC P ABC P ABC =+++()()()1112m np m n p mn p mnp mn mp np mnp =-+-+-+=++-．乙通过第一关的概率为()()()()21133P P AB P BC P AC mn np mp =++=++⎡⎤⎣⎦． 所以()()()12122333P P mn mp np mnp mn np mp mn np mp mnp -=++--++=++- ()()()211103mn p np m mp n =-+-+->⎡⎤⎣⎦， 即12P P >，甲通过第一关的把握性大．21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()12221ln 1ln 1ln ln a x x a x a x e x f x x x x -⋅-+⋅---'==-=-，当10a x e -<<时，()0f x '>；当1a x e->时，()0f x '<； 所以()f x 在()10,a e -上是增函数，在()1,a e-+∞上是减函数，所以1a x e -=是()f x 的极大值点，也是()f x 的最大值点，即()()11max 0a a f x f e e --==>．当1a x e ->时，()1ln ln 10a x a e a f x x x x-++=>=>； 又()1111ln 0a a a a e a f e e e ----+--+==-<，所以()f x 在()10,a e -上只有一个零点，在()1,a e -+∞上无零点，综上，()f x 只有一个零点．（Ⅱ）由()xf x e <，得ln x x a e x +<，即要证()x f x e <需证2ln xx a e x x +<． 设()2ln x a g x x+=，则()()2431212ln ln 22a x x x a x x g x x x -⎛⎫-⋅-+⋅ ⎪⎝⎭'==-，当1220a a e -<<时，()0g x '>；当122ax e ->时，()0g x '<；所以()g x 在1220,a e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在122,a e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，所以122a x e -=是()g x 的极大值点，也是()g x 的最大值点，即()121222122max 122ln 12aa a a e a g x g e e e ----⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭． 设()()0xe h x x x =>，则()()21xx e h x x -'=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>；所以()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 1h x h e ==．综上，()()121ln 212121122a g x e e e h x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭≤<=≤， 故()x f x e <成立．22．解（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y x =，所以直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈；将圆C 的参数方程化为直角坐标方程，得()225x a y -+=，所以圆C 的极坐标方程为()222cos 50a a ρθ-+-=．由原点O 在圆C 的内部，得()22005a -+<，解得a <<，故a的取值范围是(．（Ⅱ）将4πθ=代入()222cos 50a a ρθρ-+-=，得2250a ρρ+-=．则12ρρ+，2125a ρρ=-， 所以())()222222212121222510OMON a ρρρρρρ+=+=+-=--=， 故22OM ON +为定值．23．（Ⅰ）证明：由0x >，0y >，得212y x y x +≥=，即212y x y x +≥， 同理212z y z y +≥，212x z x z+≥， 以上三式相加，得222111222y z x x y z x y z x y z +++++≥++（当且仅当x y z ==时取等号）， 故222111y z x x y z x y z++≥++成立． （Ⅱ）解：222222222222log log log log log log log log log log log log b c a a b c a a b b c c b c a⋅+⋅+⋅=++ 222log 2log 2log 2log 2log 2log 2b c a a b c=++， 根据（1），得()2222222log 2log 2log 2111log log log log log 2log 2log 2log 2log 2log 2b c a a b c a b c a b c abc ++≥++=++= 2log 83==，所以，3k ≤，故实数k 的最大值为3．。