九年级数学上册 21.1 二次根式疑难解析素材 (新版)华东师大版

21.1 二次根式

疑难分析

1．二次根式的定义:一般地,式子(0)aa叫做二次根式,可以从以下几个方面理解：

（1）a中的a可以是一个非负数，也可以是代数式，这个代数式的值必须是非负数，否则a无意义，可以利用这一性质求被开方数的取值范围；

（2）式子(0)aa既是二次根式，又表示非负数a的算术平方根，因此a也是非负数，即0a.

2．二次根式的基本性质: 2()(0)aaa，该公式也可以倒过来,即2()(0)aaa,也就是说,可以利用它把任何一个非负数或式子写成一个数或式子的平方的形式.

例题选讲

例1 函数121xyx的自变量x的取值范围是 .

解：变量x的取值范围,须使120x(即被开方熟大于或者等于零)且10x(即分母不等于零),即12x且x≠-1.

所以应填12x且x≠-1.

评注：①考虑二次根式有意义；②考虑分式有意义，只有同时有意义，才能求出自变量的取值范围.

例2 已知x＞2,则244xx的结果是( ).

(A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x

解： 选(A)

∵244xx= 2(2)x,

∵x＞2,∴244xx=x-2

故应选(A)

评注：解此类题,被开方数能化成完全平方式的.可根据2()(0)aaa进行化简.

例3 已知a＞b,化简二次根式3ab的结果是( )

(A) aab (B)aab (C) aab (D) aab 解：选(D).

评注：理解并熟练运用2()(0)aaa,化简二次根式时,要判断或讨论根号内字母的符号,然后进行化简.

此题也可以根据二次根式化简的法则,采取观察、分析符号两个步骤，运用排除法解答：

（1）观察被开方数：由于被开方数中只有平方因式可以从根号内移到根号外，根号内的符号并不发生变化，观察原根式内的符号易知根号内不可能去掉负号，故可排除(B)、(C)；

（2）分析根号外的正负性：由ab知ab＜0,而a＞b,故a＞0,观察原来根号外为省略的“+”号，应保持正数性，故根号外必为a，综合可得.

例4 若x、y为实数，且224412xxyx，求xy.

解: 由x的取值范围可知: 22404020xxx

∴x=2，y=1132442xy.

评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：240x，240x，20x，即x的取值范围，求出x和y的值.

例5 把1(1)1aa中根号的(a-1)移到根号内得( ).

(A) 1a (B) 1a (C) 1a (D) 1a

解: 根据二次根式的定义,被开方数11a≥0,即a-1＞0

∵1(1)1aa=21(1).11aaa.

故选(A)

评注：根号外面的因式移到根号内,运用根式化简的逆向思维,即2()(0)aaa,所以应选判断(a-1)的正负,若为正,则把这个数写成它的平方移到根号内.