谱分析方法

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. 第4章 谱分析方法

§1 绪论

一． 时间序列模型：

通过分析自相关就获得描述与预测时间序列可能够用模型的第一印象。如1tttyyaf--=这里ty与1ty-相关性较大，而与2ty-相关较弱，为什么？

二．分析时间序列的两种方法

频谱法， 时间序列法-Box Jenkins方法

三． 时间序列模型的五个特征（最重要的）描述趋势有多种方法

1． 趋势

ttytadm=++ 1,2,....,tn= 确定性趋势

11ttttyydmm---=+- 随机趋势

2． 季节性： 111,22,,...ttttssttyyDDDaaam--=++++ 1,2,....,tn=

,stD是季节哑变量，定义为

,1stD=， ()1tTSs=-+， 1,2,...,SS= 1,2,....,TN=

,0stD= 其它

3． 异常观测值

异常观测值：在时间序列中，可能有一个或几个点，会对时间序列的建模与预测起到重要的作用。这样的数据点称为奇异观测值。

4． 条件异方差

异常观测值倾向于成群出现，这个现象称为波动性集聚（vilatility clustering）条件异方差

()()22112tttttyyyyarm----=+-+ 3,4,...,tn=

5． 非线性： 状态依赖——机制转换特征

§2 谱分析

一． 时间序列分析的方法

1 时序分析方法：也就是时序建模方法，ARMA等，也就是原序列的时间顺序不变。

2 频谱建模方法：单变量频谱建模技术

就是时间序列看作是有不同频率的正弦和余弦波组成。其基本思想是：把时间序列看作是互不相关的周期（频率）分量的叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频域结构，掌握其主要波动特征。

做法：对某个时间序列剔除趋势和季节因素后的循环项（平稳）进行精品文档

. 谱估计，根据估计出的普密度函数，找出序列中的主要频率分量，从而把握该序列的周期波动特征。

优点：当频率分量的行为或内在机制互不相同时，谱分析可以避免时域方法带来的混淆（因为时域方法所衡量的只是各频率分量共同叠加后的结果）更精细的研究各种行为及因素。

二． 基本原理

1． 对于确定性函数()Xt，周期为2T，如果()Xt在[],TT-可积，并在t点连续，则有如下的傅立叶级数展开：

()()()01cos2sin22kkkkkXtaftbftapp¥=轾=++臌å

其中()()1cos2TkkTaXtftdtTp-=ò 0,1,2,..k=

()()1sin2TkkTaXtftdtTp-=ò 0,1,2,..k=

2kkfT= 0,1,2,..k=

意义：周期函数通常可以分解为常数项02a与频率kf的正弦和余弦函数之和。

为了方便，令00,,,1,2,....222kkkkkkkaibaibAAAAka--+=====

从而得到复数形式的傅氏级数展开

()2kiftkkXtAep¥=-?=å

()212kTiftkTAXtedtTp--=ò 0,1,2,.k=北

其中kA为振幅，kf为频率

因此，周期函数()Xt可以表示成不同频率kf及其对应的振幅kA的正弦和余弦函数之和，这就是()Xt的谱表示。

在周期,TT内Xt消耗的能量等于每一个不同频率的三角函数分量所消耗的能量之和：

222201222TkkTkkXTdtTAATA

单位时间上的能量消耗Xt的功率为

2212TXkTkPXtdtAT

即Xt的总功率等于各频率分量的功率之和。

功率谱：功率依不同频率的分布，表示为 精品文档

. 2,,0,1,...,0,kkkAffkhfff

称此函数为功率谱密度函数。

三．一般确定性非周期函数Xt的谱表示

构造以2T为周期的函数TXt，满足

21,2,....TTTXtXtTtTXtnTXtn

则当TXt在,TT内可积，并在t点连续的情况下，TXt进行傅立叶级数展开，在,TT内：

2kiftTkkXtXtAedt

222212kkkkTiftiftTkTiftiftkTkXtedteTXtedtef

这里111222kkkkkfffTTT，当,0kTf。

如果积分存在，则对任何t，有

2iftiftXtXtedtedf

Xt的功率为

222 =iftXtdtXtGfedfdtGfdf

这里2iftGfXtedt，2iftXtGfedt

则2Gf是在频率f处的能量密度，或称为连续能量谱密度。而且非周期函数Xt的功率为21lim02TTTXtdtT。

§3 平稳过程的频域分析

一． 因为无法保证实现Xt的周期性和可积性，因而需采取相应的手段。对平稳过程的实现Xt加以截取，构造新函数 精品文档

. 

0 otherTXtTtTXt

其傅立叶展开为

2iftTTXtGfedf

这里22TiftiftTTTGfXtedtXtedt

2TGf是TXt的能量谱密度函数。TXt的总能量无限，但功率2lim2TGfT却可能有限。2lim2TGfT称为功率功率谱密度函数。

如果功率谱密度函数的期望2lim2TTGfhfET存在，则称为平稳过程Xt的功率谱密度函数，简称功率谱或谱密度。称fHfhd称为谱分布函数。

二．自协方差函数和谱密度hf的关系

定理1：平稳过程Xt的谱密度hf存在，则过程Xt的自协方差函数R有如下的傅立叶变换

2ifthfRedtFR

21[ifRhfedfFhf

即如果Xt的自协方差函数R绝对可积，Rd，则Xt的谱密度必定存在。

方差：20XRhfdf，因为自相关函数2XRr，即方差代表平稳过程的总平均功率。

标准化功率谱密度函数2xhfpf，他代表频率范围在,ffdf内的分量对总功率的贡献率。

22ifxhfpfred

即标准化谱密度pf是自相关函数r的傅立叶变换。

谱密度pf的性质：

1）1pfdf 精品文档

. 2）对任何f，0pf。

3）对实值过程，对于任何f，满足pfpf。

积分谱Pf具有下列性质：

1） 01Pf。

2） 0P，1P。

3） Pf是f的单调非减函数，即当12ff时，12PfPf。

定理2（维纳-辛钦定理）：

自相关函数r是某个平稳（连续）随机过程Xt的自相关函数的充分必要条件是：存在一个函数Pf，在,上具有分布函数的性质（即0,1PP，且Pf是单调非减），使得对一切，r可以表示成：

22ififredPfRedHf

0,0HHR分别称为自相关函数和自协方差函数的谱表示。

如果Pf是绝对连续的分布函数，则对任何f都存在谱密度函数

dPfpfdf

称随机过程Xt具有纯连续谱。如,ARMApq过程。

三． 平稳时间序列的频域分析

1．平稳时间序列是平稳随机过程的特殊情况。具有两种特殊性质：

1）t只取整数值，因此自协方差和自相关函数只在整数点有定义。

2）谱密度只在1122,f范围内有定义。

2．Wold定理：序列,0,1,....rkk作为某个时间序列Xt的自相关函数的充分必要条件是：存在一个1122,f上的单调非减函数Pf，11220,1PP，使得

自相关函数12122, k=0,1,....ifkrkedPf

自协方差12122, 0,1,....ifkRkedHfk

Hf称为非标准化积分谱。Pf为标准化积分谱。

当序列为实值，自相关函数为偶函数时，标准化谱密度函数： 精品文档

. 2112212cos2 xkhfRkfkf

1cos212cos2kkpfrkfkrkfk1122 f

例：求白噪声的谱密度

其自协方差函数2 00 k=1,2,....kRk

则2112221122

1 hffpfhff

表明纯随机序列具有常值谱密度函数，意味着总功率或方差在1122,f上是均匀分布的，即每个频率成分对总功率或方差的贡献是一样的。一般情况下，纯连续谱的时间序列的谱密度可划分为三种类型：

1）谱密度从频率0到频率1/2递减，高谱密度值集中在相对低频处，表明序列异常周期波动为主。

2）在高频处显示高谱密度，说明序列以短周期波动为主，比白噪声还不规则的随机过程。

3）谱密度主要集中在某个特定频率附近，意味着序列的变动主要是由这个频率所确定的周期波动。

hf hf hf

f f f

§4 功率谱密度函数的估计方法

一．几种常用指标

设Xt为具有纯连续谱的平稳时间序列，其谱密度为hf，记ˆNhf为根据样本12,,...,nxxx所得到的hf的估计量。

1．偏差12ˆ NNbfEhfhff

当0Nbf，则称此估计为无偏估计。当N，0Nbf，ˆNhf为渐进无偏估计。

2．方差2var-NNNhfEhfEhf ， 12 f

它描述了ˆNhf偏离均值的程度，方差越小，估计量越好。