人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案
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. 1.2.1.任意角的三角函数(一)
学习目标.1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
知识点一.任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1.角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案.sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.
思考2.对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案.不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
思考3.在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
答案. sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.
梳理.(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin
α，
即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
③yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以.
. 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
知识点二.正弦、余弦、正切函数的定义域
思考.对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
答案.由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时yx无意义，故tan α无意义.
梳理.三角函数的定义域
函数名 定义域
正弦函数 R
余弦函数 R
正切函数 x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z
知识点三.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考.根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案.由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.当α为第一象限角时，y>0， x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.
梳理.记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
知识点四.诱导公式一
思考.当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案.它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.
梳理.诱导公式一
sinα＋k·2π＝sin
α，
cosα＋k·2π＝cos
α，
tanα＋k·2π＝tan .
. α，
其中k∈Z.
类型一.三角函数定义的应用
命题角度1.已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1.已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.
解.由题意知r＝|OP|＝x2＋9，
由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9 .
又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.
当x＝－1时，P(－1，3)，
此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.
反思与感悟.(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝yr，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1.已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解.r＝－3a2＋4a2＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝－3a5a＝－35， .
. ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝4a－5a＝－45，cos α＝－3a－5a＝35，
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
命题角度2.已知角α终边所在直线求三角函数值
例2.已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值.
解.由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝ k2＋－3k2＝10|k|.
(1)当k>0时，r＝10k，α是第四象限角，
sin α＝yr＝－3k10k＝－31010，1cos α＝rx＝10kk＝10，
∴10sin α＋3cos α＝10×－31010＋310
＝－310＋310＝0.
(2)当k<0时，r＝－10k，α是第二象限角，
sin α＝yr＝－3k－10k＝31010，
1cos α＝rx＝－10kk＝－10，
∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)
＝310－310＝0.
综上所述，10sin α＋3cos α＝0.
反思与感悟.在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba2＋b2，cos α＝aa2＋b2，tan α＝ba.
跟踪训练2.已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值.
解.因为角α的终边在直线y＝3x上， .
. 所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝a2＋3a2＝2|a|(a≠0).
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝3a2a＝32，
cos α＝a2a＝12，
tan α＝3aa＝3.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝3a－2a＝－32，
cos α＝－a2a＝－12，
tan α＝3aa＝3.
类型二.三角函数值符号的判断
例3.(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(..)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案.D
解析.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.
(2)确定下列各三角函数值的符号.
①sin 182°；②cos(－43°)；③tan7π4.
解.①∵182°是第三象限角，
∴sin 182°是负的，符号是“－”.
②∵－43°是第四象限角，
∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”.
③∵7π4是第四象限角，
∴tan7π4是负的，符号是“－”.
反思与感悟.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三.
. 正切，四余弦.
跟踪训练3.(1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角.
答案.二
解析.由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角.
(2)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
解.①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
类型三.诱导公式一的应用
例4.求下列各式的值.
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin－11π6＋cos12π5·tan 4π.
解.(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.
(2)原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos2π5×0＝12.
反思与感悟.利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.
跟踪训练4.求下列各式的值.
(1)cos25π3＋tan－15π4；
(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
解.(1)原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4
＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
