专题19立体几何中平行与垂直(解析版)

c c ∥∥b a ba ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。

是一份不可多得的好资料。

一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4)利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒αab7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

αbaβαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaPb∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。

探索立体几何中的平行与垂直关系在立体几何中，平行与垂直是两种基本的关系。

平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不相交，而垂直则是指两条直线或一个直线与一个平面之间的相互垂直关系。

这两种关系在几何学中有着广泛的应用和研究价值。

本文将探索立体几何中的平行与垂直关系，并讨论它们的性质和特点。

1. 平行关系在空间中，两条直线或两个平面如果永远不相交，我们就称它们为平行关系。

平行关系具有以下性质：- 平行关系是相对的：两个物体的平行关系与观察者的视角有关。

对于一个观察者来说，两条直线可能是平行的，而对于另一个观察者来说，这两条直线可能不平行。

- 平行关系保持不变：平行关系在空间中是始终保持不变的，无论两个物体在空间中如何移动、旋转或缩放，它们之间的平行关系都不会发生改变。

- 平行线的性质：如果一条直线与另外两条直线平行，那么这两条直线也是平行的。

此外，如果两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也是平行的。

- 平行面的性质：如果两个平面相交于一条直线，并且与另外一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。

同样，如果两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。

2. 垂直关系垂直关系是指在空间中，两条直线或一个直线与一个平面之间的相互垂直关系。

垂直关系具有以下性质：- 垂直关系是相对的：两个物体的垂直关系也与观察者的视角有关。

对于一个观察者来说，两条直线或一个直线与一个平面可能是垂直的，而对于另一个观察者来说，它们可能不垂直。

- 垂直关系保持不变：垂直关系在空间中是始终保持不变的，无论两个物体如何移动、旋转或缩放，它们之间的垂直关系都不会发生改变。

- 垂直线的性质：如果一条直线与另外两条直线垂直，那么这两条直线也是垂直的。

此外，如果两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线也是垂直的。

- 垂直面的性质：如果一个平面与另外两个平面相交于一条直线，并且与另外一个平面垂直，那么这两个平面也是垂直的。

同样，如果两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面也是垂直的。

空间几何的平行与垂直解析几何的基本性质几何学是数学的一个分支，研究空间中的各种形状、大小、相对位置以及与它们相关的性质。

空间几何是其中的一个重要分支，主要研究空间中的点、线、面以及它们之间的关系。

平行与垂直是空间几何中的重要概念，下面将介绍平行和垂直的解析几何的基本性质。

一、平行线的解析几何性质平行线是指在同一个平面上永不相交的两条直线。

在解析几何中，我们可以利用坐标系来描述平行线的性质。

1. 两直线平行的判定条件在平面直角坐标系中，两条直线平行的条件为斜率相等。

假设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，若k1=k2，则直线L1与直线L2平行。

2. 平行线的性质（1）平行线之间的距离相等：设直线L1和直线L2分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2，斜率相等且截距不相等，则直线L1与直线L2平行。

设点P1(x1, y1)和点P2(x2, y2)分别在直线L1和直线L2上，则点P1到直线L2的距离等于点P2到直线L1的距离。

（2）平行线的夹角为0度：两条平行线之间的夹角为0度。

二、垂直线的解析几何性质垂直线是指两条直线相交时互相垂直的性质。

同样，在解析几何中，我们可以利用坐标系来描述垂直线的性质。

1. 两直线垂直的判定条件在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件为斜率的乘积为-1。

假设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，若k1*k2=-1，则直线L1与直线L2垂直。

2. 垂直线的性质（1）直线与其法线的斜率互为相反数：设直线L的斜率为k1，直线L的法线的斜率为k2，则k1*k2 = -1。

（2）两条垂直线之间的夹角为90度：两条垂直线之间的夹角为90度。

三、平行与垂直的应用平行和垂直的概念在几何学中有广泛的应用。

在建筑、工程、地理学和艺术等领域中，平行和垂直关系的运用非常常见。

以建筑为例，建筑设计师在绘制平面图时需要准确地描述建筑物之间的相对位置。

这时，平行和垂直的概念就派上了用场。

设计师可以利用解析几何的性质来判断各个建筑物之间的平行和垂直关系，从而保证建筑的结构稳定和美观。

立体几何基础平行与垂直的性质与判定立体几何基础——平行与垂直的性质与判定立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的对象是在三维空间内的图形和物体。

在立体几何中，平行和垂直是两个基本概念，它们在判断和解决几何问题时起着重要的作用。

本文将介绍平行与垂直的性质和判定方法，帮助读者更好地理解立体几何的基础知识。

一、平行的性质与判定平行是指在同一平面内，两条直线永不相交的性质。

在立体几何中，我们常用平行性质来推导和证明定理。

以下是一些与平行相关的性质和判定方法。

1. 平行线性质：（1）平行线上的对应角相等：如果两条平行线被一条横截线所交，那么对应的角都是相等的。

（2）平行线上的内错角互补：如果两条平行线被一条横截线所交，那么内错角互补，即相互补充的角和为180度。

（3）平行线上的同旁内角相等：如果两条平行线被一条横截线所交，那么同旁内角相等，即相邻的内角相等。

2. 判定平行线的方法：（1）两条线段平行的充要条件是斜率相等：如果两条线段的斜率相等，那么它们是平行的。

（2）两个向量平行的充要条件是比值相等：如果两个向量的坐标分量比值相等，那么它们是平行的。

（3）两条直线互相垂直的充要条件是斜率乘积为-1：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们互相垂直。

二、垂直的性质与判定垂直是指两条直线或线段在交点处互相成直角的性质。

垂直的性质在几何证明中经常被用到，下面是关于垂直的一些性质和判定方法。

1. 垂直线性质：（1）垂直线上的对应角互补：如果两条垂直线被一条横截线所交，那么对应的角互补，即相互补充的角和为90度。

（2）垂直线上的内角相等：如果两条垂直线被一条横截线所交，那么内角相等，即相邻的内角相等。

2. 判定垂直线的方法：（1）两条线段垂直的充要条件是斜率乘积为-1：如果两条线段的斜率乘积为-1，那么它们是垂直的。

（2）两个向量垂直的充要条件是内积为0：如果两个向量的内积为0，那么它们是垂直的。

三、平行和垂直在实际中的应用平行和垂直的性质在日常生活和工程实践中有广泛的应用。

立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；（Ⅲ）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．练习3 .如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，的值．求DEDC立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E解析 A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E 不正确；故选：C．练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行答案 C解析画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）解：（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，CE，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，则由比例关系得CN=13∵MG∥AE MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．（12分）【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC ⊥DE ；所以折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，又PF∩CF=F，PF ，CF ⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF（Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以DC ∥AE ，DC=AE ．又点E 为AB 的中点，所以DC ∥EB ，DC=EB ．所以四边形DEBC 为平行四边形．所以CB ∥DE ．又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，所以CB ⊥平面PCF ．因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ．解：（Ⅲ）存在满足条件的点M ，N ，且M ，N 分别是PD 和BC 的中点．如图，分别取PD 和BC 的中点M ，N ．连接EN ，PN ，MF ，CM ．因为四边形DEBC 为平行四边形，所以EF ∥CN ，EF =12BC =CN ．所以四边形ENCF 为平行四边形．所以FC ∥EN ．在△PDE 中，M ，F 分别为PD ，DE 中点，所以MF ∥PE ．又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE∩EN=E，MF ，CF ⊂平面CFM ，所以平面CFM ∥平面PEN ．练习3 .如图，直角三角形ABC 中，A=60°，沿斜边AC 上的高BD ，将△ABD 折起到△PBD 的位置，点E 在线段CD 上．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 中点，若PE ∥平面DMN ，求DE DC 的值．解析 （1）∵BD 是AC 边上的高，∴BD ⊥CD ，BD ⊥PD ，又PD∩CD=D，∴BD ⊥平面PCD ，又PE ⊂平面PCD 中，∴BD ⊥PE ，即PE ⊥BD ；（2）如图所示，连接BE ，交DM 与点F ，∵PE ∥平面DMN ，∴PE ∥NF ，又点N 为PB 中点，∴点F 为BE 的中点；∴DF=12BE=EF ；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF 是等边三角形，设DE=a ，则BD=√3a ，DC=√3BD=3a ；∴DE DC =a 3a =13．。

立体几何中的平行与垂直关系在立体几何中，平行和垂直关系是非常基本且重要的概念。

通过理解和应用这些关系，我们可以更好地解决与立体图形相关的问题。

本文将介绍平行和垂直关系的定义和性质，并通过实例进行说明，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。

一、平行关系在立体几何中，当两个线、面或者空间图形之间的相对位置满足特定条件时，我们可以说它们是平行的。

具体而言，以下是平行关系的定义和性质：1. 定义：如果两条直线在同一平面内，且在平面内没有交点，那么这两条直线被称为平行线。

用简单的符号表示为"//"。

2. 性质：平行线具有以下重要性质：a) 平行线之间的距离始终相等。

也就是说，如果有一条直线与一组平行线相交，那么从这条直线到任意一条平行线的距离都相等。

b) 平行线夹角与其对应的第三条平行线夹角相等。

也就是说，如果有两组平行线相交，那么相交的两对对应线之间的夹角相等。

二、垂直关系垂直关系是平行关系的一种特殊情况。

当两条直线、面或者空间图形之间的相对位置形成直角时，我们可以说它们是垂直的。

具体而言，以下是垂直关系的定义和性质：1. 定义：如果两条直线或者平面相交时，相交的两条直线或者平面的交角为90°，那么它们被称为垂直的。

2. 性质：垂直关系具有以下重要性质：a) 垂直线之间的夹角是直角，即为90°。

b) 垂直平面之间的夹角也是直角。

通过理解和应用平行和垂直关系，我们可以在解决立体几何问题时更加便捷和准确。

以下是一些实例，用以说明如何运用平行和垂直关系：实例1：矩形的性质考虑一个矩形ABCD，其中AB平行于CD，AD平行于BC。

根据平行关系的性质，我们可以得出以下结论：a) AB和CD之间的距离相等。

b) AD和BC之间的距离相等。

c) AB和CD之间的夹角以及AD和BC之间的夹角都是直角。

d) 矩形的对角线AC和BD相交于O，而OA和OC以及OB和OD之间的夹角也都是直角。

推导立体几何中的平行与垂直关系在立体几何中，平行和垂直关系是两个重要的几何概念。

本文将通过推导的方式来探讨平行和垂直之间的关系，从而更深入地理解它们在空间中的性质和应用。

1. 平行线的推导在立体几何中，平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。

我们可以通过以下的推导过程来证明平行线之间的关系。

（省略推导过程，只列出结论）结论1：如果两条直线分别与一条第三条直线相交，并且这两个交点的两组内角互补或对顶角相等，那么这两条直线是平行的。

结论2：如果两条直线被一组平行线截断，并且这两组截断线的对应角互等，那么这两条直线是平行的。

结论3：如果两条直线被同一平面平行于第三条直线截断，并且截断线上的对应角互等，那么这两条直线是平行的。

2. 垂直关系的推导垂直关系是指两条线段、两个平面或两个立体体素之间的相互垂直性。

下面是垂直关系的推导过程。

结论4：如果两条线段的斜率相乘为-1，则它们是垂直的。

结论5：如果两个平面的法向量垂直，则这两个平面是垂直的。

结论6：如果两个立体体素的对应面之间的相交线段互相垂直，则这两个立体体素是垂直的。

通过上述的推导过程，我们可以明确平行线和垂直关系在立体几何中的性质和判定条件。

这些性质和条件在实际问题中有着广泛的应用，例如在建筑设计、空间规划和工程测量等领域。

总结起来，平行和垂直关系是立体几何中的重要概念。

通过推导我们可以得出平行线的判定条件和垂直关系的性质，从而更好地理解它们在空间中的应用。

对于解决实际问题和深入学习几何学来说，这些知识将会帮助我们更好地理解和应用平行和垂直的性质。

在实践中，我们可以通过几何题目的解答来进一步巩固对平行和垂直关系的理解。

通过本文的学习，相信读者对于立体几何中的平行和垂直关系有了更深入的认识。

在以后的学习和工作中，我们可以灵活运用这些概念和推导方法，更好地解决与立体几何相关的问题。

立体几何作为数学的一个重要分支，在应用中有着广泛的价值和意义。

因此，深入理解并掌握平行和垂直关系是我们学习立体几何的关键。

初二立体几何的平行与垂直关系立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和其性质。

在立体几何中，平行与垂直关系是一个基础概念，对于我们理解立体图形的性质和应用具有重要意义。

本文将详细介绍初二阶段立体几何中的平行与垂直关系，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、平行关系1. 平行的定义在平面几何中，我们知道两条直线如果永不相交，那么它们是平行的。

类似地，在立体几何中，两个平面如果永不相交，那么它们也是平行的。

两个平行的平面可以近似地理解为平行于地面的两个水平板，它们之间的距离始终保持不变。

2. 平行关系的表示方法在数学中，平行关系可以用符号“||”表示。

例如，平面ABCD || 平面EFGH表示平面ABCD与平面EFGH是平行的。

3. 平行关系的性质平行关系具有以下性质：（1）平行关系具有传递性。

即如果平面A || 平面B，平面B || 平面C，则可得出平面A || 平面C。

（2）两个平行面之间的任意两条相交直线都是平行的。

这个性质在立体几何的证明中常常被使用。

二、垂直关系1. 垂直的定义在平面几何中，如果两条直线相交且交角为90度，那么我们称这两条直线为垂直线。

类似地，在立体几何中，两个平面如果相交且交线与两平面的交角都为90度，那么我们称这两个平面为垂直平面。

2. 垂直关系的表示方法在数学中，垂直关系可以用符号“⊥”表示。

例如，线段AB ⊥线段CD表示线段AB与线段CD是垂直的。

3. 垂直关系的性质垂直关系具有以下性质：（1）垂直关系具有对称性。

即如果线段AB ⊥线段CD，则可得到线段CD ⊥线段AB。

（2）在平行平面中，与同一条直线垂直的两条直线是平行的。

三、平行和垂直关系的应用平行和垂直关系在生活中和其他学科中有广泛的应用。

1. 建筑设计中，平行和垂直关系是设计师在设计房间平面图时必须要考虑的因素。

合理利用平行和垂直线，可以使房间具备更好的功能性和美观性。

2. 制图学中，平行和垂直线的运用对于绘制准确的图形至关重要。

立体几何对于立体几何的解答题，在高考中常借助柱、锥体考查线面、平行与垂直，考查利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小，考查利用空间向量探索存在性问题及位置关系等，难度中等偏上．1．用向量法求异面直线所成的角 （1）建立空间直角坐标系； （2）求出两条直线的方向向量；（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为||cos ||||AC BD AC BD β⋅=.2．用向量法求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 3．用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 4．平面,αβ所成的二面角为θ，则0πθ≤≤，如图①，AB ，C D 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝,〈〉AB CD ．如图②③，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝1212n n n n ，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．1．（2021·湖南·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：平面ACE ；（2）设，，直线PB 与平面ABCD 所成的角为，求四棱锥的体积.【详解】 （1）连接交于点，连接. 在中，因为，所以，因为平面，平面，则平面.（2）因为平面ABCD ，所以就是直线PB 与平面ABCD 所成的角，所以，又，，所以，所以四棱锥的体积，所以四棱锥的体积为.2．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD 的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则,,,,,,，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，所以,,,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面；（II）由（1）得，，设直线与平面所成角为，则；（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为.3．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．4．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面CDE即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为中点.(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设，则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，从而：，则：，整理可得：，故（舍去）.5．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【详解】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量， 则即，取，则，故. 而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.1．（2022·河北秦皇岛·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AB ⊥，PC CD ⊥，BC AD ∥，23πBAD ∠=， 2PA AB BC ===，4=AD .(1)证明：PA ⊥平面ABCD .(2)若M 为PD 的中点，求二面角M AC D --的大小. 【解析】 (1)证明：由题可知ABC 为等边三角形，所以2AC =，3π∠=CAD .在ACD △中，由余弦定理得2224224cos 233CD π=+-⨯⨯=，所以222AC CD AD +=，所以CD AC ⊥. 因为CD PC ⊥，且ACPC C =，所以CD ⊥平面PAC .因为PA ⊂平面PAC ，所以CD PA ⊥. 因为PA AB ⊥，且,AB CD 相交， 所以PA ⊥平面ABCD . (2)以A 为坐标原点，以AD ，AP 的方向分别为y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -则()3,1,0C，()0,2,1M .设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则30,20,n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令1x =，得()1,3,23n =-. 取平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =， 则233cos ,142⋅<>===⨯m n m n m n. 由图可知二面角M AC D --为锐角，所以二面角M AC D --的大小为6π.2．（2022·湖南永州·三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112AB AA AC BC ====.(1)求证：11A B B C ⊥；(2)若2AC =，160ABB ∠=，点M 满足132AM MC =，求二面角11A A B M --的余弦值. 【解析】 (1)连接11,A B AB 交于点O ，连接OC ，四边形11ABB A 为菱形，11A B AB ∴⊥，O 为1A B 中点， 又1CA CB =，1A B OC ∴⊥， 1AB OC O =，1,AB CO ⊂平面1ACB ，1A B ∴⊥平面1ACB ，又1B C ⊂平面1ACB ，11A B B C ∴⊥. (2)160ABB ∠=，12AB AA ==，3OB ∴=，1OA =，在Rt OBC 中，222OC BC OB =-，1OC ∴=， 在OAC 中，有222OA OC AC +=，OC OA ∴⊥，又OA OB O =，,OA OB ⊂平面11ABB A ，OC ∴⊥平面11ABB A ，则以O 为坐标原点，,,OA OB OC 为,,x y z 轴可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()10,3,0A -，()11,0,0B -，()0,0,1C ，()11,3,1C --，()12,3,1AC ∴=--，设(),,M x y z ，则()1,,AM x y z =-，()11,3,1MC x y z =---，132AM MC =，()()()()3121323321x x y y z z ⎧-=--⎪⎪∴=-⎨⎪=-⎪⎩，解得：152325x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，1232,55M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，1133255A M ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，()113,0A B =-，设平面11MA B 的法向量(),,n a b c =，1111332055530A M n a c A B n a b ⎧⋅=++=⎪∴⎨⎪⋅=-+=⎩，令1b =，解得：3a =3c =-(3,1,23n ∴=-；又OC ⊥平面11ABB A ，则平面11AA B 的一个法向量为()0,0,1m =，3cos ,2m n m n m n⋅∴<>==⋅，又二面角11A A B M --为锐二面角，∴二面角11A A B M --的余弦值为32. 3．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在正三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==．D 为1CC 中点，E 为1B D 上一点．(1)求四棱锥11A BB C C -的体积；(2)若1B E CE CD +=，求三棱锥1D AEC -的体积． 【解析】 (1)解：取BC 的中点为O ，因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC 为正三角形，四边形11BB C C 为矩形，且1C C ⊥平面ABC ， 所以1C C AO ⊥，AO BC ⊥，又1BC CC C =， 所以AO ⊥平面11BB C C ，即为四棱锥11A BB C C -的高， 又122AA AB ==，所以32AO =， 所以四棱锥11A BB C C -的体积11111133123323A BBC C BB C C V S AO -=⋅=⨯⨯⨯=；(2)解：因为1B E CE CD +=，即1B E CD CE ED =-=，所以E 为1B D 的中点，所以11111111111111133112223232224E ADC B ADC A B C D D AEC B C DV V V V SAO ----====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=. 4．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由． 【解析】 (1)易知OC ⊥面ABD ，OA BD ⊥，以,,OD OA OC 所在直线为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0),3)A B D C -，(1,0,3),(1,1,0),(1,1,0)BC AD BA ==-=，()1,1,0(1,1,0)(1,1,0)BE BA AE BA t AD t t t =+=+=+-=+-，易知面BCD 的一个法向量为(0,1,0)OA =，设面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则30(1)(1)0n BC x z n BE t x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x =，则13(1,,)13t n t +=--， 可得222131cos30213113t OA n t OA nt t +⋅-===⋅⎛⎫+⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得13t =或3，又点E 在弦AD 上，故13t =. (2)P 的轨迹为过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线，证明如下： 取AD 靠近D 的三等分点即DE 中点M ，CD 中点N ，连接,,MN OM ON ， 由O 为BD 中点，易知ON BC ∥，又ON ⊄面BEC ，BC ⊂面BEC ， 所以ON //平面BEC ，又MN EC ∥，MN ⊄面BEC ，CE ⊂面BEC ，所以MN //平面BEC ， 又ON MN N ⋂=，所以面OMN //平面BEC ，即O 和MN 所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC ， 又MN ⊂面ACD ，故P 的轨迹即为MN 所在直线， 即过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线.5．（2022·福建·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，60BAD BPD ∠=∠=︒，2PB PD ==.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P BD A --的余弦值为13，求二面角B PA D --的正弦值.【解析】 (1) 设ACBD O =，连接PO ，在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且BD AC ⊥， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥， 又因为POAC O =，且PO ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ； (2)作OM ⊥平面ABCD ，以{},,OA OB OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PB PD BD AB AD =====，则3OA OP ==，1OB =， 因为OA BD ⊥，OP BD ⊥，所以POA ∠为二面角P BD A --的平面角，所以1cos 3POA ∠=，则326,0,33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，所以()3,1,0AD =--，()3,1,0AB =-，2326,0,33AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111302326033x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取11z =，则12x =，16y =，所以()2,6,1m =，设平面PAD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222302326033x y x z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ 取21z =，则22x =，26y =-，所以()2,6,1n =-，设二面角B PA D --为θ，则2611cos 3261261m n m nθ⋅-+===++⋅++⋅，又[]0,πθ∈，则222sin 1cos 3θθ=-=.（限时：30分钟）1．如图（1），平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒，2AB BC ==，1CD =，将ABC 沿BC 边折起如图（2），使________，点M ，N 分别为AC ，AD 中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①7AD =．②AC 为四面体ABDC 外接球的直径．③平面ABC ⊥平面BCD ．（1）判断直线MN 与平面ABD 的位置关系，并说明理由； （2）求二面角A MN B --的正弦值．【详解】（1）若选①：7AD =在Rt BCD 中，2BC =，1CD =，3BD =，2AB =， 可得222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥， 又由AB BC ⊥，且BCBD B =,,BC BD ⊂平面CBD ，所以AB ⊥平面CBD ，又因为CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，又由CD BD ⊥，且BD CD D ⋂=,,BD CD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ， 又因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ． 若选②：AC 为四面体ABDC 外接球的直径，则90ADC ∠=︒，可得CD AD ⊥， 又由CD BD ⊥，且ADBD D =,,AD BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ． 若选③：平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，因为AB BC ⊥，且AB平面ABC ，所以AB ⊥平面CBD ，又因为CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，又由CD BD ⊥，且BD CD D ⋂=,,BD CD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ， 因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ． （2）以D 为原点，射线OB 为y 轴建立如图直角坐标系，则()3,2A ，()3,0B ，()1,0,0C -，13,,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭可得1,0,02MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30,1AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,BN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面AMN 的法向量为()111,,m x y z =，则111102302m MN x m AN y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，取13y =1130,2x z ==-，所以30,3,2m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面BMN 的法向量为()222,,n x y z =，则222102302n MN x n BN y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩, 取23y =，可得30,3,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以9314cos ,9734m n m n m n -⋅===⋅+，故二面角A MN B --的正弦值437.2．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是边长为3的等边三角形，CD CB =，CD ⊥平面ABC ，点M 、N 分别为AC 、CD 的中点，点P 为线段BD 上一点，且//BM 平面APN .（1）求证：BM AN ⊥；（2）求平面APN 与平面ABC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为CD ⊥面ABC ，BM ⊂面ABC ，所以CD BM ⊥.又∵正ABC 中，AM MC BM AC =⇒⊥，∴BM CDBM AC BM CD AC C ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面ACD ， ∴BM AN ⊥.（2）解：连接MD 交AN 于G 点，连接PG ，因为//BM平面APN ，所以//BM PG ，由重心性质知P 为靠近B 点的三等分点.∴()0,0,0C ，3330,,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0B ，()1,2,0P ，3,0,02N ⎛⎫⎪⎝⎭， 设面APN 的法向量为(),,n x y z =，0AP n ⋅=，0AN n ⋅=，∴13302233330222x y z x y z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，令4x =，则1,3y z == ∴()4,1,3n =，平面ABC 的法向量为()1,0,0u =，425cos ,51613u v ==++， ∴平面APN 与平面ABC 所成角的正弦值为55.3．如图（1），平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒，2AB BC ==，1CD =，将ABC 沿BC 边折起如图（2），使________，点M ，N 分别为AC ，AD 中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①7AD =．②AC 为四面体ABDC 外接球的直径．③平面ABC ⊥平面BCD ．（1）判断直线MN 与平面ABD 的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥A MNB -的体积．【详解】（1）若选①：7AD =Rt BCD 中，2BC =，1CD =，可得3BD =，又由2AB =，所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，因为AB BC ⊥，且BC BD B =，,BC BC ⊂平面CBD ，所以AB ⊥平面CBD ，又因为CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，又由CD BD ⊥，AB BD B =且,AB BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，所以//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．若选②：AC 为四面体ABDC 外接球的直径，则90ADC ∠=︒，CD AD ⊥，因为CD BD ⊥，可证得CD ⊥平面ABD ，又M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．若选③：平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC平面BCD BC =， 因为AB BC ⊥，且AB 平面ABC ，所以AB ⊥平面CBD ，又由CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，因为CD BD ⊥，AB BD B =且,AB BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．（2）由（1）知MN ⊥平面ABD ，其中ABD △为直角三角形， 可得3122ANB ADB S S ==△△，1122MN CD ==， 故三棱锥A MNB -的体积为131332A MNB M ABN V V --===．4．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB ⊥平面PAD ，24PA AD DC AB ====，27PD =，M 是PC 的中点.（1）证明：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥M PAB -的体积.【详解】（1）取PD 中点N ，连接MN ，AN ，因为PA AD =，所以AN PD ⊥，由AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥，又由AN AB A =，且,AN AB ⊂平面ABN ，所以PD ⊥平面ABN ，因为MN 是PCD ∆中位线，所以////AB CD MN ，四边形ABMN 是平行四边形，于是PD ⊥平而ABM ，PD ⊂平面PCD ，所以平面ABM ⊥平面PCD .（2）由（1）可得//MN AB ，且AB平面PAB ，所以//MN 平面PAB ， 所以AB M P N PAB B NAP V V V ---==，因为AB ⊥平面PAD ，可得13B NAP NAP V S AB -∆=⨯， 又由4AP =，7=PN ，AN PD ⊥， 所以2473AN -=，137732NAP S ∆== 所以137273B NAP V -==5．如图，三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB ==，2BC =，E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点，点F 在棱11A B 上，且12B F =.（1）证明：1//A P 平面EFC ；（2）若1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，求二面角P CF E --的余弦值.【详解】（1）证明：如图，连接1PB 交CE 于点D ，连接DF ，EP ，1CB .因为E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点， 故11//2EP CB ，故112PD DB =. 又12B F =，113A B =，故1112A F FB =，故1//FD A P . 又FD ⊂平面EFC ，所以1//A P 平面EFC . （2）由题意知AB ，BC ，1BB 两两垂直，以B 为坐标原点，以1BB 的方向为z 轴正方向，分别以BA ，BC 为x 轴和y 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -.则()0,2,0C ，()10,0,3B ，()2,0,3F ，()0,1,3E ，30,2,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设()111,,n x y z =为平面EFC 的法向量， 则00n EF n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11112030x y y z -=⎧⎨-=⎩，可取3,3,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()222,,m x y z =为平面PFC 的法向量，则00m PF m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222232202302x y z z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可取()1,1,0m =.所以233922cos ,14391112n m n m n m +⋅===⎛⎫++⨯+ ⎪⎝⎭. 由题意知二面角P CF E --为锐角， 所以二面角P CF E --的余弦值为214.。

立体几何中的平行与垂直判定立体几何是研究三维空间中的几何关系和性质的一门学科，平行与垂直判定是其中重要的一部分。

在解题过程中，准确判定两个线、面或空间立体之间的平行与垂直关系至关重要。

本文将介绍几种常用的判定方法，并通过具体例子进行说明。

一、平面与平面的判定在立体几何中，平面与平面间的平行与垂直关系是经常需要判断的。

下面将介绍两种常用的判定方法。

1. 垂直判定两个平面互相垂直的条件是它们的法向量垂直。

设平面1的法向量为n1(x1, y1, z1)，平面2的法向量为n2(x2, y2, z2)，则平面1和平面2垂直的条件可以表示为：n1·n2 = 0（向量的点积为0）例如，假设平面1过点A(1, 2, 3)，其法向量为n1(2, -1, 3)；平面2过点B(4, -1, 2)，其法向量为n2(1, 2, -1)。

我们可以计算两个法向量的点积：n1·n2 = (2, -1, 3)·(1, 2, -1) = 2×1 + (-1)×2 + 3×(-1) = 0因此，平面1和平面2是垂直的。

2. 平行判定两个平面互相平行的条件是它们的法向量平行。

设平面1的法向量为n1(x1, y1, z1)，平面2的法向量为n2(x2, y2, z2)，则平面1和平面2平行的条件可以表示为：n1 = k·n2（k为非零实数）例如，假设平面1过点A(1, 2, 3)，其法向量为n1(2, -1, 3)；平面2过点B(4, -1, 2)，其法向量为n2(1, 2, -1)。

我们可以通过判断两个法向量的比例关系来确定其是否平行。

在本例中，两个法向量的各个分量之间的比例并不相等，因此平面1和平面2不是平行的。

二、直线与直线的判定在立体几何中，直线与直线的平行与垂直关系也经常需要判断。

下面将介绍两种常用的判定方法。

1. 垂直判定两条直线互相垂直的条件是它们的方向向量垂直。