第7章_参数估计1

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第7章参数估计答案

·61·第7章参数（点）估计系班姓名学号一、填空题1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<<P ，n X X X 21,是其一个样本，那么矩估计量=N ˆ )X /B 1/(X 2- ，=p ˆ XB 12- .2、设总体X 服从指数分布 )0(00)(>⎩⎨⎧≤>=-λλϕλx x e x x n X X X ,,21是来自X的样本，则未知参数λ的矩估计量是 X /1 ，极大似然估计量是 X /1 .3. 设总体)p ,1(B ~X ，其中未知参数 01<<p , X X X n 12,, 是 X的子样，则 p 的矩估计为_∑=n 1i i X n 1_，子样的似然函数为_ii X 1n 1i X )p 1(p -=-∏__。

(x x)p 1(p)p ;x (f -= 为 X 的概率密度函数 ).4、总体 X 服从密度函数为f x x x (;)[()],()θπθ=+--∞<<+∞112 的哥西分布。

),,(1n X X 为从 X 抽得的样本，则当 n =1时 θ有极大似然估计为θ=_1X。

5. 设 X X X n 12,, 是来自总体),(N ~X 2σμ的样本，则有关于 μ及 σ2的似然函数L X X X n (,,£;,)12 μσ=_2i )X (21n1i e21μ-σ-=∏σπ__。

二、选择题1、设n X X X ,,21是取自总体),0(2σN 的样本，则可以作为2σ的无偏估计量是( A ).A 、∑=n i i X n 121B 、∑=-n i i X n 1211C 、∑=ni i X n 11D 、∑=-ni i X n 1112、设罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中k 个白球，则罐子里黑球数与白球数之比R 的最大似然估计量为( B ).·62·A 、nk B 、1-knC 、1D 、kn三、计算和证明题1、设总体X 具有分布密度10,)1(),(<<+=x x x P ααα，其中1->α是未知参数，n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计.解：因⎰⎰++=+=1011α1α1αdx x dx x x X E a)()()(2α1α2α1α102++=++=+|a x 令2α1α++==ˆˆ)(X X EXX --=∴112αˆ为α的矩估计因似然函数221211αα),()(),,(n n n X X X X X X L +=∑=++=∴ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=∂∂ni i X nL 101ααln ln 得，α的极大似量估计量为)ln (ˆ∑=+-=ni iXn11α2、设总体X 服从二项分布),(p k b ，k 是正整数，10<<p ，两者都是未知参数，n X X X 21,是一个样本，试求k 和p 的矩估计.解：由于)(~1P k b Xkp X =∈∴)( )1()(p kp X D -=于是令⎪⎩⎪⎨⎧--==∑=ni i X X n X D XX E 1)(11)()( 解之得XX X n X p ni i ∑=---=12)(11ˆ])(11[ˆ122∑=---=ni i X X n X Xk3、设n X X X ,,21为从一总体中抽出的一组样本，总体均值μ已知，用∑=--ni i X n 12)(11μ去估计总体方差2σ，它是否是2σ的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.·63·解：因∑∑==--=--n i n i ii X E n X n E 1122)(11])(11[μμ221σσ≠-=n n ∑=--∴ni i X n 12)(11μ不是2σ的无偏估计但∑=-n i i X n 12)(1μ是2σ的无偏估计4、设一批产品中含有废品，从中随机抽取75件，其中有废品10件，试估计这批产品的废品率.解：设这批产品的废品率为p ，⎩⎨⎧=次抽到合格品第次抽到废品第i i X i 01于是p X P i ==)1(p X P i -==1)0(即ii x xi i ij p p x X P p x f --===1)1()()(72,11,0 ==i x i故极大似然函数∑-∑=-===--=751751751751)1()1(i ii iii x x x x i p pp p L π∑∑==--+=751751)1ln()75(ln ln i i i i p x p x p L令∑∑===---=7517510)75(111ln i i i i x p x p dp L d解之得p 的极大似然估计值 ∑====7511527510751ˆi i x p。

概率论第七章第1节

根据样本概率最大原则，m的估计值为3。
最大似然估计法原理
一般地，不仿设总体X是离散型分布X～p(x,θ)，如果 X1,X2,…,Xn是来自这个总体的一个随机样本，x1,x2,…,xn 是这个随机样本的样本值，则这个样本发生的概率为：
记这个概率为θ的函数：
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最大似然估计法原理
如果在一次抽样中样本值x1,x2,…,xn出现了，我们就认为它之所以出现是因为它发生的概率最大导致的。因此我们就选择能使这个概率最大的那个θ作为θ的估计值，这就是极大似然估计法。 “样本值概率最大原则”
矩估计法理论依据
命题2：设总体X的l=1,2,…,k阶矩存在即E(Xl)=μk,则l阶样本矩A1,A2,…,Ak的连续函数g(A1,A2,…,Ak)也依概率收敛于总体矩的连续函数即
根据这两个命题，我们使用如下方法来进行矩估计： (1)用样本矩A1,A2,…,Ak来估计总体矩； (2)用样本矩的连续函数g(A1,A2,…,Ak)来估计总体矩的连续函数g(μ1,μ2,…,μk)。
砍掉充分小的dxi,记这个概率为θ的函数：
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连续型总体中参数 θ的似然函数!
最大似然估计值最大似然估计量
怎样求最大值点？
基于此通常先取对数，再求最大值点。
化成求对数似然函数的最大值点!
如果对数似然函数二阶可导，并且概率密度函数是单峰函数，则驻点就是最大值点!通过求一阶导数能得驻点：
第七章参数估计
1、什么是参数估计？当总体的分布类型已知，但其中仍有未知参数。比如总体 X服从参数μ,σ2的正态分布，但μ,σ2未知。但是我们能根据来自总体X的一个简单随机样本X1,X2,…,Xn通过适当的方法对这些未知参数进行估计，得到它的一个近似值或近似区间。 2、参数估计有哪些形式？ (1)点估计：矩估计法、极大似然估计法。 (2)区间估计：正态总体下区间估计法。

概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件

5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而，这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
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极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数，并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。（由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩，且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
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设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，