高中数学必修一高一数学第二章(第课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件

反函数——课堂教学设计一、[教材依据]全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。

二、[教材分析][设计思路]1、体验教学的原则：重视学生的亲身体验与感悟，使学生具有对于知识生成、发展、形成及应用过程的体验和感悟。

本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。

整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。

使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，培养学生勇于探索的精神。

2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概念-----“反函数”。

反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。

它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。

由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。

当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。

为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出的3个对应，并且是3个从A到B的函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。

反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。

三、[教学目标]1、知识与技能目标：（1）、理解反函数的概念 （2）、会求一些简单函数的反函数。

2、过程与方法目标：通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。

数学高考复习名师精品教案第13课时：第二章 函数——反函数一．课题：反函数 二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题．三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数，函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈；3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称．（二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域．（三）例题分析：例1．求下列函数的反函数：（1）()1)f x x ≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<； （3）32331y x x x =-++．解：（1）由1)y x =≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴10)2x y +=≥，∴所求函数的反函数为10)2y x =-≥．（2）当01x ≤≤时，得10)x y =-≤≤，当10x -≤<时，得1)x y =<≤，∴所求函数的反函数为10)1)x y x -≤≤=<≤⎪⎩．（3）由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+，∴1)x y R =∈，∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈．例2．函数11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+， ∴11()(1)(1)x f x x a x --=≠-+， 由题知：1()()f x f x -=，11(1)1x ax a x ax --=++，∴1a =． 例3．若(2,1)既在()f x =,m n 的值． 解：∵(2,1)既在()f x∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴21==，∴37m n =-⎧⎨=⎩． 例4．（《高考A 计划》考点12“智能训练第5题”）设函数xx x f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+， ∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23x x -=+，得(2)2g =-． 解法二：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-， ∴(2)(2)12g f =-=-．例5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．例6．（《高考A 计划》考点12“智能训练第15题”）已知21()()21x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值，（2）求()f x 的反函数，（3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k-+>． 解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x xx x x xf x f x ------+-=+=+=++++， 即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1x y y y+=-<<-， ∴121()log (11)1x f x x x-+=-<<-． （3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x x x k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<， ②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．（四）巩固练习：1．设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<，则15(4f -= ． 2．设0,1a a >≠，函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于( )()A x 轴对称 ()B y 轴对称 ()C y x =轴对称 ()D 原点对称3．已知函数1()(1x f x =+，则1()f x --的图象只可能是 （）()A ()B ()C ()D 4．若6y ax =-与13y x b =+的图象关于直线y x =对称，且点(,)b a 在指数函数()f x 的图象上，则()f x = ．。

§2.4 反函数课时安排2课时从容说课反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础。

由于反函数的定义，本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中，从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步抽象概括出反函数的定义，反函数定义的描述，便得求反函数问题有了明确的步骤，而学生在具体求指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时，正负的选取问题及求原来函数的值域问题，教学中要予以足够的重视。

本节通过学习互为反函数的两个函数图象之间的关系，不仅使学生进一步从形的角度认识了互为反函数的两个函数之间的关系，也为后面将要学习的指数函数与对数函数的图象打下基础。

第一课时●课题§2.4.1 反函数●教学目标(一)教学知识点1.反函数的概念.2.反函数的求法.(二)能力训练要求1.使学生了解反函数的概念.2.使学生会求一些简单函数的反函数.(三)德育渗透目标培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力.●教学重点1.反函数的概念.2.反函数的求法.●教学难点反函数的概念.●教学方法师生共同讨论法通过师生的共同讨论，使学生清除自学中遇到的疑点、困感点，弄清楚反函数的概念，掌握求反函数的方法.●教具准备幻灯片两张：第一张：反函数的定义，记法、习惯记法(记作§2.4.1 A)第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲(记作§2.4.1 B)●教学过程Ⅰ.新课引入［师］我们知道，物体做匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s＝vt其中速度ｖ是常量.反过来，也可以由位移s 和速度ｖ(常量)确定物体做匀速直线运动的时间，即t ＝vs 。

问题1：函数s=vt 的定义域、值域分别是什么？ 问题2：函数t=vs 中，谁是谁的函数？ 问题3：函数s=vt 与函数t=v s 之间有什么关系？ 〔以上问题1、2，学生不会感到困难，对于问题3，教师应帮助学生从函数的三要素变化，分析两个函数的关系，即两函数的对应法那么恰恰相反好相反，定义域与值域也恰好对调〕。

第三十教时教材：单元复习之一——函数概念、性质、指数运算及指数函数目的：通过复习与练习要求学生对函数概念、性质、指数、指数函数有更深的理解 过程：一、复习：映射、一一映射、函数定义、性质、反函数、指数、指数函数 二、《教学与测试》 P49 第34课 “基础训练题” 1 略 例一、（《教学与测试》 49 例1） 已知函数 12)(2++=ax xx f 在区间[-1，2]上的最大值是4，求 a 的值。

解：抛物线对称轴为 a x -= , 区间[-1，2]中点为211︒ 当 2≥-a , 即 a ≤-2时，由题设：f (-1) = 4, 即 1 - 2a +1 = 4, a = -1 （不合） 2︒ 当221<-≤a , 即 12≤<-a 时，由题设：f (-1) = 4, 即 a = -13︒ 当211<-≤-a , 即121≤<-a 时，由题设：f (2) = 4, 即 4 + 4a +1 = 4,41-=a4︒ 当 -a <-1, 即 a >1时，由题设：f (2) = 4, 即 4 + 4a +1 = 4, 41-=a（不合）注：若是已知最小值，此种分类同样适用，也可分 -a 在 ](,1,-∞- ]()(+∞-,2,2,1三个区间。

但本题亦可将1︒、2︒和3︒、4︒分别合并成两个区间讨论。

例二、已知函数 f (x ), 当 x , y ∈R 时，恒有f (x + y ) = f (x ) + f (y ) , 1︒ 求证： f (x ) 是奇函数。

2︒ 若 f (-3) = a ，试用 a 表示 f (24)3︒ 如果 x > 0 时，f (x ) > 0 且 f (1) < 0，试求 f (x ) 在区间[-2，6]上的最大值与最小值。

解：1︒ 令 x = y = 0 得 f (0) = 0，再令 y = - x 得 f (0) = f (x ) + f (- x ),∴f (x ) = f (- x ) ∴f (x )为奇函数2︒ 由 f (-3) = a 得 f (3) = - f (-3) = -a ，f (24) = f ( 3 + 3 + …… + 3) = 8 f (3) = - f (3)3︒ 设 x 1 < x 2 ，则 f (x 2) = f (x 1 + x 2 - x 1) = f (x 1) + f (x 2 - x 1) < f (x 1)，( ∵ x 2 - x 1 > 0 , f ( x 2 - x 1) < 0 )∴f (x ) 在区间[-2，6]上是减函数。

ξ2.4.1《反函数的概念及求法》学案[学习要求]：理解反函数的概念，会求简单函数的反函数，掌握互为反函数的三要素的之间的关系。

[重点难点]：重点为反函数的求法；难点为反函数概念的理解。

[互动课堂]：一、 反函数的概念：1． 定义：一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用表示出，得到。

假设对于y 在C 中的任何一个值，通过 ，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ(y )就表示，这样的函数x =ϕ(y ) (C y ∈)，叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作.习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调)(1y f x -=中字母x ，y ，把它改写成 。

2． 理解：〔1〕反函数是函数吗？为什么？〔2〕所有的函数都有反函数吗？什么样的两个函数才是反函数？〔3〕)(1x f y -=的反函数是谁？注意符号)(1x f -含义及读法？〔4〕函数本质上是映射。

那么在映射观点下，反函数是什么？从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合到集合的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x f y -=的；函数)(x f y =的值域是它的反函数)(1x f y -=的 . 〔如右表〕： 〔5〕反函数定义给出了反函数的求法。

二、求反函数：1． 例题精讲：①②略 ③)0(1≥+=x x y ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解： 解：总结归纳：求反函数的步骤：〔1〕〔2〕〔3〕例2．求函数⎩⎨⎧〈≤-〈≤-=）（）（）（0110122x x x x x f 的反函数。

解：总结归纳：求分段函数的反函数应：.例3．函数f 〔x 〕=x 2-1 〔x ≤-2〕，求f -1〔4〕的值。

解：思考：假设函数y=f 〔x 〕存在反函数，且f 〔a 〕=b ，那么f -1〔b 〕=？三．课堂练习： 〔A 〕1．函数y=-x 2+1〔x ≤0〕的反函数是〔 ) A ．）（11-≥+-=x x y B. ）（11≤--=x x y C. ）（）（11-≤+-=x x y D.）（11-≥+±=x x y2.如以下图表示的函数中，存在反函数的只能是〔 〕A B C D3．函数f 〔x 〕=x 2〔x ≥0〕的反函数为.4．函数y=355-≠∈+x R x x x ，（〕的反函数是. 〔B 〕1．假设函数）（22≥--=x x y ，那么它的反函数是〔 〕A ．y=x 2+2 〔x ∈R 〕 B. y=x 2+2 〔x>0〕C. y=x 2+2 〔x≤0〕D. y= -x 2+2 〔x≤0〕2．设函数f 〔x 〕=），（433412-≠∈++x R x x x ，那么f -1〔2〕=〔 〕 A ．65- B. 115 C. 52 D.52- 3.函数y=f 〔x 〕有反函数y=f -1〔x 〕，那么=-][1）（m f f . 4．函数5+=x x f ）（.〔1〕求反函数）（x f 1- ；〔2〕试研究该函数与反函数的单调性。

第十二教时教材：反函数（1）目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。

过程：一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。

二、反函数的引入及其定义：1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x - 1②这个映射是有方向的：f :：A B ( f ：x y = 3x - 1)③如果把方向“倒过来”呢？（写成） f -1： A B ( f -1：y 31+=y x ) ④观察一下函数 y = 3x - 1与函数 31+=y x 的联系 我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解析是前者解析中解出来的（x ）。

2．得出结论：函数 31+=y x 称作函数 y = 3x - 1的反函数。

定义：P66 （略）注意：（再反复强调）：①用 y 表示 x , x = ϕ (y )②满足函数的（近代）定义③自变量与函数对调④定义域与值域对调⑤写法：x = f -1(y )考虑到“用 y 表示自变量 x 的函数”的习惯，将 x = f -1(y ) 写成 y = f -1(x ) 如上例 f -1：31+=x y 3．几个必须清楚的问题：1︒ 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x )，那么 y = f -1(x ) 的反函数是 y = f(x )，它们互为反函数。

2︒ 并不是所有的函数都有反函数。

如 y = x 2（可作映射说明）因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。

3︒ 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域原函数的值域是它的反函数的定义域 如：)(2Z y y x ∈=不是函数 y = 2 x ( x ∈ Z ) 的反函数。

4︒ 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。

三、求反函数：1．例题：（见P66—67 例一）注意：1︒ 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射。

反函数天津实验中学张维佳使用教材：人民教育出版社数学室编著全日制普通高级中学教科书数学(必修）第一册第二章第四节反函数(第一课时)教材分析及教学目标的确定教学模式及教学环节的实施设计意图及教学设计的反思教材分析本节内容安排在函数的概念、表示法以及单调性的后面，帮助学生从另一个侧面了解函数、研究函数，它使学生对函数的理解更为深入，并且为继续学习指数函数、对数函数等知识进行铺垫.教学目标教养性教育性发展性知识目标：使学生了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数.能力目标：通过反函数的学习培养学生运算求解，演绎推理，归纳抽象，符号表达等理性思维能力.思想方法目标：通过反函数的学习进一步用方程思想指导解题.通过研究函数与反函数的关系，树立对立统一和矛盾转化等辩证唯物主义观点.培养学生思维的可逆性，批判性，深刻性等思维品质.培养学生问题研究的兴趣和问题研究的思维方法.教学重点反函数的概念教学难点对反函数概念的理解及符号表示教学模式：“启发—探究”模式加深理解探究问题布置作业小结升华总结方法巩固概念引出定义创设情境教学设备：视频实物投影仪第一环节创设问题情境引出反函数定义物体作匀速直线运动（速度是常量）v s t =vts =位移是时间的函数时间是位移的函数s s t t v6810......2...-2-1012...CA()()C y A x x f y ∈∈=,4()(),x y x A yC ϕ=∈∈62+=x y ()x ∈R 32-=yx ()y ∈R反函数定义函数中，设它的值域为. 我们根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到.如果对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和它对应，那么, 就表示是自变量，是自变量的函数. 这样的函数叫做函数的反函数，记作.()()A x x f y ∈=C y x ,y x()y x ϕ=y C ()y x ϕ=xA ()y x ϕ=y y x()()A x x f y ∈=()y f x 1-=()x y ϕ=()y C ∈第二环节巩固概念总结求反函数方法例1 求下列函数的反函数：≥()()32;y xx =∈()().013x x y +=()()131;y x x =-∈R R(1)将看成方程解出；(2)依照习惯写成.()x f y 1-=()y f x 1-=()x f y =求反函数的步骤第三环节提出探究问题深化理解定义定义域值域定义域值域定义域值域研究性问题1设问1通过研究这张表格中函数与反函数的定义域、值域的填写，你能得到什么结论?13+=x y 1+=x y 21)1()(-=-x x f 13-=x y 31)(1+=-x x f 1)(1-=-x x f 3设问2 通过这一例题，在求反函数时应注意什么？研究性问题2如何求函数的反函数？()23,11x y x x x +=∈≠-且23-+=x x y 132-+=x x y ()32+=-y x y 23-+=y y x ？R函数存在反函数吗？如果存在,求出它的反函数;如果不存在,增添什么条件让它具有反函数？2x y 研究性问题3设问3 是否每个函数都存在反函数？函数存在反函数的一个充分条件是什么？第四环节小结升华布置作业小结1. 从映射的观点理解反函数的概念.2. 从函数的角度，理清函数与它的反函数在定义域、值域、对应法则之间的关系，以及反函数存在的充分条件.3. 用方程思想掌握求简单函数的反函数的步骤.作业：巩固性作业提高性作业研究性作业巩固性作业：1. 阅读课本第60-62页;2. 课本习题2.4 第1,2题.提高性作业：试写出具有反函数的一个充分条件,并且根据此条件写出它的反函数.522+-=x x y研究性作业：●求函数的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象，然后研究它们图象之间的关系，这种关系是否具有一般性?●若函数的反函数是它本身，则参数满足什么条件？23-=x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠-+=0,112b b x bx ax y b a ,对本节课教学设计的反思：（1）由于反函数的概念比较抽象，学生学习本节内容有一定的困难，所以我将反函数的概念教学分层次进行，先从实例入手帮助学生建立有意义的知识联结，顺应认知结构中的原有体系，而后由归纳抽象的方式给出定义，这样从具体到抽象的过渡培养学生的数学抽象能力，以逐步探究的思路实现对问题的深层次理解，增强思维的批判性和深刻性.实际的例子匀速直线运动已学一次函数反函数定义反函数性质反函数存在条件（2）教学中紧紧围绕课本，尊重教材，挖掘教材，从情境设计到例题选择，从导出定义到课堂引申都是以教材内容为载体，充分开发教材的功能.（3）利用最近发展区的理论进行教学已有知识最近区域发展区域反函数概念发展区域互为反函数的函数图象间的关系(下一课时)最近区域最近区域发展区域反函数求法反函数性质(4）学生的思维水平存在着差异，因此，我在设计研究问题时第一个问题全体学生都有能力研究，第二个问题中有一部分学生会出现障碍，第三个问题则要求学生有较高的思维水平，通过小组互动的方式使学生产生思维的碰撞，达到共同完成知识建构的目的，另外在布置作业时分出三个层次，也是使不同层次的学生都有所收获.谢谢请指正。

第二章 基本初等函数（Ⅰ）本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象,了解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂. 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP 的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解.(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解.(2)有理指数幂性质的灵活应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数与指数幂的运算(1)导入新课思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算.推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.讨论结果：(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x 3=a,则x 叫做a 的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a 的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a 的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a 的六次方根. (3)类比(2)得到一个数的n 次方等于a,则这个数叫a 的n 次方根. (4)用一个式子表达是,若x n =a,则x 叫a 的n 次方根. 教师板书n 次方根的意义:一般地,如果x n =a,那么x 叫a 的n 次方根(n-throot),其中n ＞1且n ∈N *. 可以看出数的平方根、立方根的概念是n 次方根的概念的特例. 提出问题(1)你能根据n 次方根的意义求出下列数的n 次方根吗?(多媒体显示以下题目). ①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a 6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a 6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a 有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a 的偶次方根是否存在呢?活动：教师提示学生切实紧扣n 次方根的概念,求一个数a 的n 次方根,就是求出的那个数的n 次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果： （1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a 2的立方等于a 6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a 6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a 2.（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零. （3）一个数a 的奇次方根只有一个,一个正数a 的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0. （4）任何一个数a 的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n 次方根的性质: ①当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用n a -表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).②n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示:a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.,,,nn a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.,,,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n零的n 次方根为零,记为n 0=0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题.解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-,而-27的4次方根不存在等.其中527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式. 根式的概念:式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数. 思考nn a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理.〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕.解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n =a. 通过探究得到：n 为奇数,n n a =a. n 为偶数,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a因此我们得到n 次方根的运算性质：①(n a )n =a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.②n 为奇数,n na =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.n 为偶数,nna =|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值.设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式n a 的讲解要分n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学. (设计者：路致芳)第2课时 指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a 412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,nmx =x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m的n 次方根是x nm . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m的n 次方根可表示为na m=a nm ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =n a1(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是a mn =n ma (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), （3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务. (设计者：郝云静)第3课时 指数与指数幂的运算(3)导入新课 思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?2的过剩近似值5 52的近似值1.5 11.180339891.42 9.829353281.415 9.7508518081.4143 9.739872621.41422 9.7386186431.414214 9.7385246021.4142136 9.7385183321.41421357 9.7385178621.414213563 9.7381775252的近似值2的不足近似值9.518 269 694 1.49.672 669 973 1.419.735 171 039 1.4149.738 305 174 1.414 29.738 461 907 1.414 2139.738 508 928 1.414 2139.738 516 765 1.414 213 59.738 517 705 1.414 213 569.738 517 736 1.414 213 562③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值.②第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是52一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5. 充分表明52是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.④根据②③我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:①a r·a s=a r+s(a>0,r,s都是无理数).②(a r)s=a rs(a>0,r,s都是无理数).③(a·b)r=a r b r(a>0,b>0,r是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:①a r·a s=a r+s(a>0,r,s∈R).②(a r)s=a rs(a>0,r,s∈R).③(a·b)r=a r b r(a>0,b>0,r∈R).设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.备课资料富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到电击,从而发明了避雷针.这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“……一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些款过了100年增加到131000英镑.我希望那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的31 000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了,这笔款增加到4061000英镑,其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.过此之后,我可不敢主张了！”你可曾想过：区区的1000英镑遗产,竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱,是“信口开河”,还是“言而有据”呢？事实上,只要借助于复利公式,同学们完全可以通过计算而作出自己的判断. y n=m(1+a)n就是复利公式,其中m为本金,a为年利率,y n为n年后本金与利息的总和.在第一个100年末富兰克林的财产应增加到:y100=1000(1+5%)100=131501（英镑）,比遗嘱中写的还多出501英镑.在第二个100年末,遗产就更多了：y100=131 501(1+5%)100=4142421（英镑）.可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的.遗嘱故事启示我们：在指数效应下,微薄的财产,低廉的利率,可以变得令人瞠目结舌.威名显赫的拿破仑,由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！1797年,拿破仑参观国立卢森堡小学,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并许诺只要法兰西共和国存在一天,他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由于连年征战,拿破仑忘却了这一诺言！1894年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”,要求法国政府在拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中,二者选取其一.这笔巨款就是三个金路易的本金,以5％的年利率,在97年的指数效应下的产物.(设计者：刘玉亭)2.1.2 指数函数及其性质。

《反函数》教案
【教学目标】
1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系．
2．会求一些简单函数的反函数．
3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识．
4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力．
【教学重点】求反函数的方法．
【教学难点】反函数的概念．
【教学过程】
教学设计说明
“问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程．本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念．
反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号．由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念．为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成．另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用．通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维．使学生自然成为学习的主人．。

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高一数学 2.4反函数（备课资料） 大纲人教版必修一、反函数的学习因反函数是函数知识中重要的一部分内容，我们若能从函数的角度去理解反函数的概念，则一定能从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.1.明确“函数与反函数”的关系(1)一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的映射是从定义域到值域上的一一映射.(2)对于任一函数f (x )不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数f (x )与它的反函数是互为反函数.(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域.(4)一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.(5)原函数与其反函数在对应区间上的单调性是一致的.2.深入学习对“反函数”的求法[例]求下列函数的反函数(1)y ＝bax b ax +- (2)y ＝⎩⎨⎧<+-≥+)0(2)0(222x x x x x x （1）分析：由于a 、B 不定，故须分类讨论：当a ＝0，b ≠0时，y ＝－1，此时不存在反函数当a ≠0，b ＝0时，y ＝1（x ≠0），此时不存在反函数.当a ≠0，b ≠0时，函数y ＝bax b ax +-的值域是y ∈{y ∈R ｜y ≠1} 由y ＝bax b ax +-解得：x ＝ay a by b -+ (a ≠0，y ≠1) ∴当a ≠0，b ≠0时，函数y ＝bax b ax +-的反函数是： y ＝aya byb -+（x ≠1） 评述：熟练掌握求反函数的基本步骤是准确求出函数的反函数的必要条件.（2）分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合并.解：当x ≥0时，y ＝x 2＋2x ＝（x ＋1）2－1∴x ＝－1＋y +1∵x ≥0 ∴y ＝x 2＋2x ≥0∴当x ≥0时，此段函数的反函数是 y ＝－1＋1+x （x ≥0）当x ＜0时，y ＝－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1∴x ＝1－y -1∵x ＜0，∴y ＝－x 2＋2x ＜0∴当x ＜0时，此段函数的反函数是 y ＝1－x -1（x ＜0）综上所述：所给函数的反函数为y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<--≥++-0110 11x x x x 评述：(1)在求分段函数的每一段相应的反函数时,仍严格按照求反函数的基本步骤进行.（2）分段函数的反函数被求的过程，能让我们体会到“先分后合”的思想在数学中的渗透作用.3.灵活应用“反函数”于解题中［例1］求函数y ＝521+-x x 的值域 分析：此题除用前面介绍的“分离系数”法求得其值域外，也可通过求其反函数的定义域得到原函数的值域这一途径.解：由y ＝521+-x x 得x ≠－25 ∴有：y （2x ＋5）＝1－x∴x ＝1251+-y y ∴反函数为y ＝1251+-x x （x ∈R 且x ≠－21）； 因而此函数y ＝521+-x x 的值域为y ∈{y ∈R ｜y ≠－21} 评述：求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域，这种方法往往可以使问题有“出奇制胜”的效果，它的优越性将随着我们对知识的继续深入学习体现得越发明显.［例2］已知函数f （x ）＝112-+x x 求f －1[[f （x ）]，f [f －1（x ）]. 解：由y ＝112-+x x （x ≠1）可得 y （x －1）＝2x ＋1，∴x ＝21-+y y ∴反函数f －1（x ）＝21-+x x （x ≠2） ∴f －1[f （x ）]＝f －1（112-+x x ）＝21121112--++-+x x x x ＝xf [f －1（x ）]＝f （21-+x x ）＝1211)21(2--++-+x x x x ＝x 评述：由上题我们发现，互为反函数的两个函数f （x ）与f －1（x ）之间符号互逆性，即f －1[f （x ）]＝x ，f [f －1（x ）]＝x请读者利用以上结论试探索：若函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝ｇ（x ），且f （m ）＝n （mn ≠0）则ｇ（n ）等于多少?［例3］已知函数y ＝f （x ）在定义域（－∞，0]内存在反函数，且f （x －1）＝x 2－2x ，求f －1（－31）. 分析：此题一般思路是：先求出f （x ），进而求出f －1（x ），将－31代入f －1（x ）中求得f －1（－31）. 解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）∵当x ≤0时，f （x ）＝x 2－1≥－1∴函数f （x ）的值域为[－1，＋∞)∵f （x ）＝x 2－1（x ≤0)得：x ＝－1+y （y ＝f （x ）） ∴得函数f （x ）的反函数是：y ＝－1+x （x ≥－1）∴f －1（－31）＝－36131-=+- 评述：以上解题思路简单但运算麻烦，若不仔细认真，将会导致结果错误.如下解法将会体现一种技能技巧，使解题过程大大简化：解：∵f （x －1）＝x 2－2x ＝（x －1）2－1∴f （x ）＝x 2－1（x ≤0）当x 2－1＝－31（x ≤0)时 有：x ＝－36 ∴f －1（－31）＝－36 评述：比较以上两种解法，请读者自行归纳总结它们解题过程繁简差别的原因，并试用简捷明快的思路解决以下问题：问题：已知函数f （x ）＝c bx a x ++的反函数是f －1（x ）＝325++-x x ，求常数a ，b ，c 值是多少?提示：选取由f －1（x ）去求f （x ）这一优秀途径解决此问题.二、参考练习题1.求下列函数的反函数(1)y ＝1－1-x （x ≥1）答案：y ＝x 2－2x ＋2（x ∈（－∞，1]）(2)y ＝｜x －1｜ （x ≤1）答案：y ＝1－x （x ∈[0，＋∞)(3)y ＝x 2－2x ＋3 （x ∈（1，＋∞））答案：y ＝1－2-x （x ∈（2，＋∞））(4)y ＝x ｜x ｜＋2x 答案：y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥-+)0(11)0(11x x x x (5)f （x ）＝⎩⎨⎧>+≤+-)0(22)0(12x x x x答案：f －1（x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--)2(121)1(1x x x x2.解答题(1)已知f （x ）＝f －1（x ）＝xm x ++12（x ≠－m ），求实数m ？ 答案：m ＝－2提示：利用相同函数的定义域、值域完全相同这一性质，巧妙地结合互为反函数的性质去解.(2)已知f －1[f －1（x ）]＝25x ＋30，则一次函数的解析式是什么?答案：f （x ）＝5x －1或f （x ）＝－51x －23 (3)已知f （x ）＝10x －2－2，求f －1（8）的值答案：f －1（8）＝3(4)已知函数f （x ）的图象过点(0，1)，则f （4－x ）的反函数的图象一定过哪个点? 答案：(1，4)(5)已知函数f （x ）＝341++x mx ，它的反函数是f －1（x ）＝2431--x x ，求m 的值? 答案：m ＝2(6)已知函数f （x ）＝x 2＋2x ＋1（x ≥－1）的图象为C 1，它的反函数图象为C 2，请画出C 1，C 2并观察它们之间的位置关系有何特点?若又有一个函数的图象C 3与C 2关于y 轴对称，求这个函数的解析式?参考答案：(图略)，C 1，C 2关于直线y ＝x 对称，所求函数的解析式为y ＝1--x （x ≤0)说明：本题旨在让学生提前思考练习，为下节课“互为反函数的函数图象间的关系”做准备.●备课资料“互为反函数的函数图象间的关系”的应用互为反函数的两个函数的图象间的关系是在反函数定义上进行的，而“将图象的对称转化为图象上任意一点的对称”的这种方法在我们解决有关函数的问题中大大显示了它的简捷性与技巧性.［例1］已知函数f （x ）＝b ax +（x ≥－ab )的图象过点(1，2)，它的反函数图象也过此点，求函数f （x ）的解析式. 解法一：由y ＝b ax +得x ＝ab y -2 ∴当x ≥－ab 时，y ≥0 ∴函数f （x ）＝b ax +（x ≥－ab ）的反函数是f －1（x ）＝a b x -2（x ≥0） 又∵点(1，2)既在函数f （x ）上，也在函数f －1（x ）上 ∴有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=a b b a 122 解得：a ＝－3，b ＝7∴函数f （x ）＝73+-x （x ≥－37） 解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线y ＝x 的对点为(2，1)，可以得到函数f （x ）的图象还过点(2，1) ∴得到⎩⎨⎧+=+=ba b a 212解得：a ＝－3 b ＝7∴函数f （x ）＝73+-x （x ≥－37） 评述：比较上述两种不同解法的区别：我们发现解法一思路自然，但过程较繁，解法二思路敏捷避免了求反函数这一步，从而减少了运算量，但它的掌握需要我们特别熟悉互为反函数的两个函数间的关系.［例2］已知函数f （x ）＝132-+x x ，函数y ＝ｇ（x ）的图象与函数y ＝f －1（x ＋1）的图象关于直线y ＝x 对称，求ｇ（5）的值.分析：此题需要找到ｇ（x ）才能求出ｇ（5）的值.解：∵y ＝f （x ）＝132-+x x ∴x ＝1＋25-y 又∵y ≠2∴f －1（x ）＝1＋25-x （x ≠0） ∴f －1（x ＋1）＝1＋15-x 又∵y ＝f －1（x ＋1）＝1＋15-x ∴x ＝1＋15-y ∴y ≠1 ∴f －1（x ＋1）的反函数ｇ（x ）＝1＋15-x （x ≠1） ∴ｇ（5）＝1＋45＝49 评述：（1）以上解法是一种通用方法，思路简单自然，不失为一种能体现我们扎实的基本功和脚踏实地的学习精神的好方法，故应引起足够重视.（2）对于以上例2，也可以有如下巧解：∵ｇ（x ）是f －1（x ＋1）的反函数∴ｇ（5）其实等于f －1（x ＋1）＝5时的x 值，∵f [f －1（x ＋1）]＝f （5）∴x ＝f （5）－1＝413－1＝49 显然，这种解法给我们以一种恰到好处的感觉.。

一. 教学内容：反函数二. 本周重难点： 1. 重点：反函数的概念，互为反函数的函数图象间的关系。

2. 难点：求反函数的方法，解决有关反函数的问题。

【典型例题】[例1] 求下列函数的反函数。

（1）252-+=x x y （2<x ） （2）x x y +=2（1≥x ） （3）2361x y --=（06≤≤-x ）（4）142++=x x y （25-≤≤-x ） 解：（1）由252-+=x x y 得52)2(+=-y x y ∴ 252-+=y y x 又2<x 时，229229)2(2252<-+=-+-=-+=x x x x x y即原函数的值域}2|{<y y（2）x x y +=2（1≥x ） 由x x y +=2得022=--y x x ∴ 41)21(22+=+y x ∵ 1≥x ∴21>+x ∴41212+=+y x ∴21412-+=y x又41)21(22-+=+=x x x y 在[)∞+,1上是增函数 ∴ 值域为[)∞+,2∴ 所求反函数21412-+=x y （2≥x ）（3）由2361x y --=得36)1(22=+-x y ∴ 22)1(36--=y x ∵ 06≤≤-x ∴ 2)1(36---=y x又 ]0,6[-∈x 时，2361x y --=为减函数 ∴ 值域为]1,5[--∈y ∴ 所求反函数为2)1(36---=x y （15≤≤-x ）（4）由3)2(1422-+=++=x x x y ，有3)2(2+=+y x ∵ 25-≤≤-x ∴ 023≤+≤-x ∴ 32+-=+y x∴ 32+--=y x 又 ]2,5[--∈x 时，3)2(2-+=x y 为减函数 ∴ 值域为]6,3[-[例2] 已知m x y +=21和31-=nx y 互为反函数，求m ，n 的值。

解：由m x y +=21得m y x 22-=∴m x y +=21的反函数是m x y 22-=（R x ∈）∵ m x y 22-=与31-=nx y 表示同一函数 ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3122m n∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==261n m[例3] 已知：23)(-=x x f ，求)]([1x f f-的表达式。

课 题：2.4.2 反函数（二）教学目的：⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用； 教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x f y -=间的关系：----定义域、值域相反，对应法则互逆；3．反函数的求法：一解、二换、三注明4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x 轴的对称点'A (x,-y);②点A(x,y)关于y 轴的对称点'A (-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A (-x,-y);④点A(x,y)关于y=x 轴的对称点'A (?,？);5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x 与因变量y 之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.①)(23R x x y ∈-=的反函数是(32R x x y ∈+= ②)(3R x x y ∈=的反函数是(3R x x y ∈=1．探究互为反函数的函数的图像关系 观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是)(x f y =则当x=a 时，)(x f 有唯一的值b a f =)(.∵)(x f y =有反函数)(1x fy -=， ∴当x=b 时，)(1x f -有唯一的值a b f=-)(1， 即点'M (b,a)在反函数)(1x f y -=的图象上.若a=b ，则M ，'M 是直线y=x 上的同一个点，它们关于直线y=x 对称. 若a ≠b ，在直线y=x 上任意取一点P(c,c)，连结PM ，P 'M ，M 'M 由两点间的距离公式得：PM=22)()(c b c a -+-,P 'M =22)()(c a c b -+-，∴PM=P 'M . ∴直线y=x 是线段M 'M 的垂直平分线，∴点M, 'M 关于直线y=x 对称.∵点M 是y=f(x)的图象上的任意一点，∴)(x f y =图象上任意一点关于直线y=x 的对称点都在它的反函数)(1x f y -=的图象上，由)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数可知，函数)(1x f y -=图象上任意一点关于直线y=x 的对称点也都在它的反函数)(x f y =的图象上，∴函数)(x f y =与)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域；⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同三、讲解例题：例1．求函数)0(2<=x x y 的反函数,关系作出其反函数的图象.解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,∴由y=2x 解出y x -=,∴函数)0(2<=x xy 的反函数是)0(>-=x x y , 作 y=2x (x ∈(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x 的对称曲线，即为函数)0(>-=x x y 的图象（如图）.例2．求函数2385-+=x x y 的值域． 分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.解：∵2385-+=x x y ∴5382-+=y y x ∴ y ≠35 ∴函数的值域为{y|y ≠35} 例3 已知)(x f =211x -(x<-1)，求)31(1--f ； 解法1：⑴令)(x f =y=211x-，∴2x =y y 1---①，∵x<-1，∴x=-y y 1-;⑵∵x<-1，由①式知yy 1-≥1,∴y<0; ⑶∴)(1x f -= -xx 1-(x<0)；⑷)31(1--f =-2. 分析：由y=)(x f 与y=)(1x f-互为反函数的关系可知：当y=)(x f 中的x=a 时y=b ，则在y=)(1x f -中,当x=b 时y=a ，本题要求)31(1--f ，设其为u ，说明在函数)(x f =y=211x -(x<-1)中，当y=31-时，x=u ，问题转化为知原来函数中的y=31-而求x. 解法2：令211x-=31-，变形得2x =1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2. 说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.四、练习：课本P63－64练习：5，6，7补充：设函数y=)(x f 的反函数为y=)(x g ，求y=)(x f -的反函数.解：在函数y=)(x f -中，x 为自变量，y 为函数，且由题意知-x=)(1y f-, ∴x=-)(1y f -，∴y=)(x f -的反函数为y=-)(1x f-， 又∵)(x g = )(1x f -,∴y=)(x f -的反函数为y=-)(x g .五、小结 本节课学习了以下内容：1.互为反函数的函数图象间关系，2.求一个函数的反函数图象的方法，3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性六、课后作业：课本P64习题2.4：2答案与提示：2.y=)(1x f -=22521x -,x ∈[0,5]; 补充：⒈求下列函数的反函数： ⑴)3(32-≤-=x x y ；⑵y=2x -6x+12(x ≤3);⑶y=2--x (x ≤-2). ⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b ，求a,b 的值.答案：⒈ ⑴y=-32+x (x ≥0); ⑵y=3-3-x (x ≥0); ⑶y=-2x -2(x ≥0). ⒉a=31,b=-6;. 七、板书设计（略） 八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

课 题：2.4.3 反函数（三）教学目的：1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.授课类型：练习课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明互为反函数的两个函数有什么关系：函数)(x f y =与)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到2．函数)(x f y =、)(1x f y -=、)(y f x =、)(1y f x -=间的关系：)(x f y =与)(1x f y -=、)(y f x =与)(1y f x -=互为反函数；)(x f y =与)(1y f x -=、)(y f x =与)(1x f y -=为同一函数二、讲解例题：例1 求函数y=x x-+11(x ≥0，x ≠1)的反函数.解：⑴由原函数变形为y-y x =1+x ，即x =(y-1)/(y+1)--①, ∵x ≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y ≥1,⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)]2,⑶∴原函数的反函数是)(1x f -= [(x-1)/(x+1)]2（x<-1或x ≥1）； 说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：x ≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.例2 设函数y=)(x f =⎩⎨⎧≥<)0()0(2x x x x ，求它的反函数. 分析：这里给出了分段函数，即在不同的x 范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x 范围内求其反函数.解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x(x<0);⑵当x ≥0时，y=2x ，由y=2x (x ≥0)得x=y ,又y=2x (x ≥0)的值域为y ≥0，∴y=2x (x ≥0)的反函数是y=x (x ≥0).⑶由⑴⑵可得)(1x f -=⎩⎨⎧≥<)0()0(x x x x .例3 已知函数c x b ax y ++=的反函数是213-+=x x y (x ∈R,x ≠2)，求a,b,c 的值. 解：⑴由213-+=x x y (x ≠2)解出x=312-+y y ， ∵原函数的值域是y ≠3, ∴213-+=x x y (x ≠2)的反函数是312-+=x x y (x ≠3,x ∈R). ⑵由互为反函数的函数关系知，312-+=x x y 与c x b ax y ++=是同一函数，∴a=2,b=1,c=-3.例4 若点A(1,2)既在函数)(x f =b ax +的图象上，又在)(x f 的反函数的图象上，求a,b 的值.分析：求a,b ，就要有两个关于a,b 的方程，如何寻求？①A(1,2)在)(x f 图象上，这是很容易看出来的.②如何用它也在)(x f 的反函数的图象上呢？其一，真求反函数，再把A(1,2)代入. 能不能不求反函数？其二，A(1,2)在反函数图象上，则'A (2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=)(x f ，则(b,a)应满足y=)(1x f -，反之亦然.解：由A(1,2)在)(x f =b ax +上，则有2=+b a --①；由A(1,2)在其反函数图象上，可知'A (2,1)也在函数)(x f =b ax +图象上，∴又有12=+b a --②，解联立①②的方程组得a=-3,b=7.例5．若)0(2)1(≥+=+x x x x f ，试求反函数)(1x f y -=．分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式． 解：令t x =+1，则1-=t x ，2)1(-=t x ，代入所给表达式，得=)(t f 2)1(-t +22)1(-t =12-t ， 0≥x ，∴t x =+11≥，即原来函数是)1(1)(2≥-=x x x f ．易求函数)1(1)(2≥-=x x x f 的反函数是 1)(1+==-x x fy )0(≥x ． 注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．三、练习： 1．求函数y=⎩⎨⎧<+≥+)0(1)0(12x x x x 的反函数.解：当x ≥0时，y ≥1，由y=x2+1得x=1-y ( y ≥1)；当x<0时，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1). 将x,y 对换得y=)(1x f -=⎩⎨⎧<-≥-)1(1)1(1x x x x .说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.2． 已知函数)(x f =1+32-x 有反函数，且点(a,b)在函数)(x f 的图象上，又在其反函数的图象上，求a,b 的值.解：∵点(a,b)在函数)(x f 的图象上，∴b=1+32-a ---①,又点(a,b)在其反函数的图象上，∴点(b,a)在原函数)(x f 的图象上，∴有a=1+32-b ---②，联立①②解得a=b=2.四、小结 本节课学习了以下内容：分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题五、课后作业：1．课本P64习题2.4：3，4.答案：3.⑴y=)(1x f -=x/2，它的定义域为[0,+∞); ⑵),0[(2+∞∈=x x y 及其反函数)0(21≥=x x y 的图象如右图所示.4.∵y=x/5+b 的反函数为y=5x-5b ，由已知y=ax+3是y=x/5+b 的反函数，∴函数y=x/5+b 与函数y=ax+3为同一个函数，由此得a=5且-5b=3.∴a=5,b=-3/5.2．求函数)(x f =x|x|+2x 的反函数. (提示：讨论x ≥0和x<0两种情况，写成分段函数，分别在两部分内求反函数)答案：)(1x f -=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥++-)0(11)0(11x x x x 六、板书设计（略）七、课后记：)0活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。