标准偏差及t分布表

t分布介绍在概率论和统计学中，学生 t - 分布（t -distribution ），可简称为 t 分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。

如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。

t 分布曲线形态与 n（确切地说与自由度 df ）大小有关。

与标准正态分布曲线相比，自由度df 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度 df 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度 df= ∞时， t 分布曲线为标准正态分布曲线。

中文名t 分布应用在对呈正态分布的总体外文名t -distribution 别称学生 t 分布学科概率论和统计学相关术语t 检验目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生 t -分布（ Student's t-distribution ）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。

它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t 测定的基础。

t 检定改进了Z 检定（en:Z-test ），不论样本数量大或小皆可应用。

在样本数量大（超过 120 等）时，可以应用Z 检定，但 Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t 检定。

在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t 检定。

当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。

学生 t-分布可简称为t 分布。

其推导由威廉·戈塞于 1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。

因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名。

之后t 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。

定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为t 变换，统计量 t 值的分布称为t 分布。

《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。

1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

t分布介绍在和中，学生t-分布（t-distribution），可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈且方差未知的总体的均值。

如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。

t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。

与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。

目录123456历史在和统计学中，学生t-分布（Student's t-distribution）经常应用在对呈的总体的进行估计。

它是对两个差异进行测试的学生t测定的基础。

t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。

在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。

在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用代替学生t检定。

当母群体的是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。

学生t-分布可简称为t分布。

其推导由于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。

因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。

之后t检验以及相关理论经由的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。

定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。

假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n 的t分布，记为。

分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。

扩展（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多的理论基础。

正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。

为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的（standard normal distribution），亦称u分布。

《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1 •研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：研究误差的意义为：(1) 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2) 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3) 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2 •试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化(大小和符号都按一定规律变化) ；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3 •试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1-5测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差解:绝对误差等于：180°00 02 -180°=2相对误差等于：二- = - 0.00000308641 ： 0.000031%180o 180 60 60 6480001-6 •在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm已知其最大绝对误差为1卩m,试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差=测得值—真值，即：△ L = L- L o 已知：L= 50,^ L= 1卩m= 0.001mm,测件的真实长度L 0= L—A L= 50 - 0.001 = 49.999 ( mm1-7 •用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa , 问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

Analytical chemistryErrors and data treatment(2)二、有效数字及运算法则2非测量所得的自然数测量次数、样品份数 计算中的倍数反应中的化学计量关系 各类常数测量所得的数字测量值数据计算的结果3数字位数应与分析方法的准确度及仪器测量的精度相适应4有效数字: 分析工作中实际能测得的数字1. 有效数字(significant figure)☐在记录测量数据时，只保留一位可疑数（欠准数）☐只有数据的末尾数欠准，误差是末位数的±1个单位☐有效数字位数反映了测量和结果的准确程度，决不能随意增加或减少5m ◇分析天平(称至0.1mg):12.8228g (6),0.2348g (4) , 0.0600g (3)◇千分之一天平(称至0.001g): 0.235g (3)◇1%天平(称至0.01g): 4.03g (3), 0.23g (2)◇台秤(称至0.1g): 4.0g (2), 0.2g (1)V ☆滴定管(量至0.01mL):26.32mL (4), 3.97mL (3)☆容量瓶:100.0mL (4),250.0mL (4)☆移液管:25.00mL (4);☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL (2), 4.0mL (2)重量分析和滴定分析允许的误差一般在±0.2%之内，各测量数据应保留四位有效数字，注意计算结果的有效数字位数6☐数字1~9均为有效数字☐数字前0不是有效数字,其他数字之间的0计入有效数字: 0.0304(3)☐数字后的0，在小数中，计入有效数字位数：0.03400(4)☐数字后的0，在整数中，含义不清楚时, 最好用指数形式表示: 1000 (1.0×103, 1.00×103, 1.000 ×103)☐很小的数字，也可以用指数形式表示，但有效数字位数需保持不变:0.000018 → 1.8 ×10-5☐变换单位时，有效数字位数需保持不变：0.0038g→3.8mg ☐数据的第一位数≥8的,可多计一位有效数字，如9.35×104(4), 95.2%(4), 8.65(4)☐对数的有效数字位数按小数部分数字的位数计,其整数部分的数字只代表原值的幂次，如pH=10.28(2), 则[H +]=5.2×10-11有效数字位数72. 有效数字运算中的修约规则尾数≤4时舍; 尾数≥6时入尾数＝5时, 若后面无数，或后面数为0, 舍5成双;若5后面还有不是0的任何数皆入四舍六入五成双例下列值修约为四位有效数字0.3247 40.3247 6 0.3247 50.3248 50.3248 500.3248 510.32470.32480.32480.32480.32480.32498禁止分次修约0.57490.570.5750.58×9运算时可多保留一位有效数字进行5.3527+2.3+0.054+3.355.35+2.3+0.05+3.35=11.0511.010标准限度值0.03%测定值0.033%修约标准偏差对标准偏差的修约，应使准确度降低统计检验时，标准偏差可多保留1-2位数参与运算表示标准偏差和RSD时，一般取两位有效数字与标准限度值比较时不修约×不合格0.03%0.2130.2211加减法:结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大的数。

常用玻璃量器校准方法1、本校准方法适用于新制造、使用中的常用玻璃量器的校准。

2、依据JJG196-2006《常用玻璃量器》、JJG646-2006《移液器》国家检定规程。

3、校准方法：用玻璃量器取样（蒸馏水）后，用电子天平对样品进行称量，并根据衡量法用表计算出玻璃量器20℃时的容量进行校准。

校准结果用常用玻璃量器测量不确定度分析报告中的分析方法评定。

校准是环境温度：（20±5）℃，室温变化不大于1℃/h，水温与室温之差不超过2℃。

常用玻璃量器测量不确定度评定依据JJG196-2006《常用玻璃量器》和JJG646-2006《移液器》检定规程的规定进行校准。

下面以2000mL容量瓶和1000µl移液器为例A、2000mL容量瓶不确定度分析1）称量时引入的不确定度u12000mL容量瓶采用电子天平称量，其称量引入的不确定度可根据电子天平的最大允差，采用B类评定方法进行评定，3000/0.01的电子天平最大允差为0.1g，属均匀分布，，自由度v1 = 502）温度计测量引入的不确定度u2采用分度为0.1℃的温度计测量，不确定度为0.2℃.假设测量温度为20℃，则由于温度偏差引起的质量不确定度查表为1994.3 – 1994.1 = 0.2g自由度v2 = 133）读数引入的不确定u3对于2000mL容量瓶，其瓶颈部内径为15mm，由读数不准引入的误差不会超过1mm ，其体积差为u 3 = 0.102mL自由度v 3 = 134） 重复性引入误差u 4实验测量到：u 4=0.07ml ，测量6次，v 4=5u c =(u 12+ u 22+ u 32+ u 42) 12=0.24mlv eff =u c 4/(411u v +422u v +433u v +444u v )=24置信概率95% v eff =24 查t 分布表 t p =2.06 总不确定度 u = t p ×u c =0.5mlB 、1000µl 移液器不确定度分析1）称量时引入的不确定度u 11000µl 移液器采用电子天平称量，其称量引入的不确定度可根据电子天平的最大允差，采用B 类评定方法进行评定，42g/0.01mg 的电子天平最大允差为0.1mg，自由度v 1 = 502）温度计测量引入的不确定度u 2采用分度为0.1℃的温度计测量，不确定度为0.2℃.假设测量温度为20℃，则由于温度偏差引起的质量不确定度查表为 997.15 – 997.11 = 0.04mg 自由度v 2 = 13不确定度u 2 =0.04g=0.04µl3）重复性引入的不确定度u 3连续测量6次得到测量结果X 如下：1000.01mg 、1000.00mg 、999.99mg 、1000.01mg 、1000.01mg 、1000.00mgS=0.008mg X =1000.00mg算术平均值的实验标准偏差u 3=0.0036mg ；自由度：V 3=n-1=5不确定度u 3 =0.0036mg=0.0036µl合成不确定度u c =0.04g=0.04µlv eff =u c 4/(411u v +422u v )=13置信概率95% 查t 分布表 t p =2.06 总不确定度 u = t p ×u c =0.08µl。

ttt分布，用于根据-distribution-分布（），可简称为在概率论和统计学中，学生的均值。

如果总体方差已知（例如在样本数量足小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。

）大小有关。

与标准正态分布曲线相比，自（确切地说与自由度tdf分布曲线形态与n愈大，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，分布曲线为标准正态分布曲线。

∞时，分布曲线愈接近正态目录历史1定义2扩展3特征4置信区间56计算历史t t）经常应用在对呈正态分布的总体-distribution分布-（Student's 在概率论和统计学中，学生检定Z测定的基础。

tt检定改进了的均值进行估计。

它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生，但Z检定（超过（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。

在样本数量大120等）时，可以应用在数据有三组以上时，t检定。

因此样本很小的情况下得改用学生Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，检定。

t因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t-分布。

当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生tt分布。

其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，-分布可简称为当时他还在都柏林的健力士学生t检验以）这一笔名。

之后酿酒厂工作。

因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。

定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。

假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n的t分布，记为。

分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。

扩展正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。

准确度的计算方法准确度是指测量结果与真实值之间的接近程度。

在各个领域中，准确度都是非常重要的指标，因为它可以帮助我们确定测量结果的可靠性和精度。

在本文中，我们将探讨准确度的计算方法，以及如何使用这些方法来评估测量结果的准确性。

准确度的计算方法准确度的计算方法通常涉及两个方面：误差和精度。

误差是指测量结果与真实值之间的差异，而精度是指测量结果的稳定性和重复性。

以下是几种常见的准确度计算方法：1. 绝对误差绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异。

它可以通过以下公式计算：绝对误差 = 测量结果 - 真实值例如，如果我们测量一条线的长度为10厘米，而真实值为9.5厘米，则绝对误差为0.5厘米。

2. 相对误差相对误差是指绝对误差与真实值之间的比率。

它可以通过以下公式计算：相对误差 = 绝对误差 / 真实值例如，如果我们测量一条线的长度为10厘米，而真实值为9.5厘米，则相对误差为0.0526或5.26%。

3. 标准偏差标准偏差是指一组测量结果的离散程度。

它可以通过以下公式计算：标准偏差= √(Σ(xi - x)² / n)其中，xi是每个测量结果，x是所有测量结果的平均值，n是测量结果的数量。

4. 方差方差是标准偏差的平方。

它可以通过以下公式计算：方差= Σ(xi - x)² / n5. 置信区间置信区间是指测量结果的真实值可能存在的范围。

它可以通过以下公式计算：置信区间 = 测量结果 ± t(n-1) * s / √n其中，t(n-1)是自由度为n-1的t分布表中的值，s是标准偏差，n是测量结果的数量。

如何使用准确度计算方法准确度计算方法可以帮助我们评估测量结果的准确性。

以下是一些使用准确度计算方法的实际应用：1. 质量控制在制造业中，准确度计算方法可以用于质量控制。

例如，如果一家汽车制造商想要确保其发动机的尺寸符合标准，它可以使用绝对误差和相对误差来评估测量结果的准确性。

标准偏差的置信区间标准偏差是描述一个数据集合中数据分散程度的统计量，它告诉我们数据点在平均值周围的分布情况。

而置信区间则是用来估计参数真值的范围，它告诉我们参数估计的不确定性程度。

在实际应用中，我们经常需要计算标准偏差的置信区间，以便对数据进行更准确的分析和预测。

计算标准偏差的置信区间通常需要依赖于样本数据的分布情况，下面我们将介绍两种常用的方法，t分布法和z分布法。

首先是t分布法。

在样本容量较小（一般小于30）或者总体标准差未知的情况下，我们通常使用t分布来计算标准偏差的置信区间。

具体计算步骤如下：1. 计算样本标准差s和样本均值x；2. 确定置信水平和自由度，一般常用的置信水平为95%；3. 查t分布表得到t临界值；4. 计算置信区间的上下限，上限= x + t(s/√n)，下限= x t(s/√n)，其中n为样本容量。

其次是z分布法。

在样本容量较大（一般大于30）且总体标准差已知的情况下，我们可以使用z分布来计算标准偏差的置信区间。

具体计算步骤如下：1. 计算样本标准差s和样本均值x；2. 确定置信水平，一般常用的置信水平为95%；3. 查z分布表得到z临界值；4. 计算置信区间的上下限，上限= x + z(σ/√n)，下限= x z(σ/√n)，其中σ为总体标准差，n为样本容量。

无论是t分布法还是z分布法，我们都需要根据样本数据的情况选择合适的方法来计算标准偏差的置信区间。

在实际应用中，我们通常会使用统计软件来进行计算，以减少计算错误的可能性。

需要注意的是，置信区间并不是参数真值所在区间的概率分布，而是参数真值所在区间的估计范围。

因此，在解释置信区间的时候，我们应该强调置信区间是对参数真值的估计，并不代表参数真值一定在该区间内。

在数据分析和决策过程中，了解标准偏差的置信区间可以帮助我们更准确地评估数据的可靠性和稳定性，从而做出更科学合理的决策。

因此，掌握如何计算和解释标准偏差的置信区间是非常重要的。