第 3 章单相正弦交流电路正弦交流电是日常生活和科技领域中最常见、应用最广泛的一种电的形式。
正弦交流电路的理论在电路基础课程中占有极其重要的位置，学习和掌握好正弦交流电路的基本概念和基本分析方法，是本课程中的一个重要环节，应给予足够的重视。
本章将在分析直流电阻性电路的基础上，探讨正弦交流电路的分析方法。
学习的主要内容有：正弦交流电路的基本概念，正弦量的三要素和正弦量的有效值，正弦交流参量的基本运算，电抗元件在交流电路中的基本性质及电阻元件、电感元件、电容元件上的电压、电流关系及功率关系。
本章教学要求深入了解正弦交流电的诸多基本概念，重点理解正弦交流电的三要素和正弦交流电有效值的概念；熟悉和掌握正弦交流电的解析式表示法和波形图表示法；深刻理解和牢固掌握单一电阻元件参数电路、单一电感元件参数电路、单一电容元件参数电路的电压、电流关系及其功率情况，在此基础上，掌握多参数组合的简单正弦交流电路的分析与计算方法。
掌握正弦交流电路中电路参数的测量方法，学会交流电压表、交流电流表、单相功率表的正确使用方法。
3.1 正弦交流电路的基本概念学习目标：深刻理解正弦交流电的三要素，熟悉相位、相位差及同频率正弦量之间超前、滞后的概念；掌握正弦交流电有效值的概念及有效值与最大值之间的数量关系；理解和掌握频率、周期、角频率的概念及其三者之间的数量关系。
1820年奥斯特发现了电能生磁的现象后，又经过十多年，英国学徒出身的物理学家法拉第在1831年通过大量实验证实了磁能生电的现象，向人们揭示了电和磁之间的联系。
从此，开创了普遍利用交流电的新时代。
电磁感应现象奠定了交流发电机的理论基础。
现代发电厂（站）的交流发电机都是基于电磁感应的原理工作的：发电机的原动机（汽轮机或水轮机等）带动磁极转动，与固定不动的发电机定子绕组相切割从而在定子绕组中感应电动势，与外电路接通后即可供出交流电。
3.1.1 正弦量的三要素1.正弦交流电的周期、频率和角频率发电厂的发电机产生的交流电，其大小和方向均随时间按正弦规律变化。
交流电随时间变化的快慢程度可以由周期、频率和角频率从不同的角度来反映。
（1）频率单位时间内，正弦交流电重复变化的循环数称为频率．．。
频率用“f ”表示，单位是赫兹[Hz]，简称“赫”，习惯上也称为“周波”或“周”。
如我国电力工业的交流电频率规定为50Hz ，简称工频．．；少数发达国家采用的工频为60Hz 。
在无线电工程中，常用兆赫来计量。
如无线电广播的中波段频率为535～1650 KHz ，电视广播的频率是几十兆赫到几百兆赫。
显然，频率越高，交流电随时间变化的越快。
（2）周期交流电每重复变化一个循环所需要的时间称为周期．．，如图3.1中所示。
周期用“T ”表示，单位是秒[s]。
显然，周期和频率互为倒数关系，即：T f 1= 或 f T 1= 上式告诉我们，周期越短频率越高。
周期的大小同样可以反映正弦量随时间变化的快慢程度。
（3）角频率 正弦函数总是与一定的电角度相对应，所以正弦交流电变化的快慢除了用周期和频率描述外，还可以用角频率“ω”表征。
角频率ω表示正弦量每秒经历的弧度数，其单位为弧度/秒【rad/s 】，通常弧度可以略去不写，其单位便为【1/s 】。
由于正弦量每变化一周所经历的电角弧度是2π，因此角频率为：Tf ππω22== （3.1） 角频率的单位是弧度/秒[rad/s]。
周期、频率和角频率从不同的角度反映了同一个问题：正弦量随时间变．．．．．．．化快慢程度．．．．．。
式（3.1）反映了三者之间的数量关系。
在实际应用中，频率的概念用得最多。
2.正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值（1）瞬时值交流电每时每刻均随时间变化，它对应任一时刻的数值称为瞬时值。
瞬时值是随时间变化的量，因此要用英文小写斜体字母表示为“u 、i ”。
图3.1所示正弦交流电压的瞬时值可用正弦函数式来表示：u ＝U m sin （ωt ＋ψ） （3.2）（2）最大值交流电随时间按正弦规律变化振荡的过程中，出现的正、负两个振荡最高点称为正弦量的振幅，其中的正向振幅称为正弦量的最大值，一般用大写斜体字母加下标m 表示为“U m 、t 图3.1 正弦交流电示意图I m ”。
注意：式（3.2）所示的正弦交流电的一般表达式中，其中的最大值恒为正值．．．．．．．。
正弦量是一个等幅振荡的、正负交替变化的周期函数。
对正弦量的数学描述，可以用sine 函数，也可以用cosine 函数，式（3.2）采用的是sine 函数，本书中均采用sine 函数。
对于大小和方向都随时间变动的电流来说，更有必要选定参考方向了。
因为电流的实际方向随时在变动，如不规定电流的参考方向，就很难用一个表达式来准确地表达出任何时刻电流的大小及其实际方向。
参考方向的规定与前面一样，一般用箭头来表示。
当电流的实际方向与所选定的参考方向一致时，电流值为正，反之就为负，因此电流的参考方向只是用来确定某一时刻电流的正负号。
（3）有效值正弦交流电的瞬时值是变量，无法确切地反映正弦量的作功能力，用最大值表示正弦量的作功能力，显然夸大了其作用，因为正弦交流电在一个周期内只有两个时刻的瞬时值等于最大值的数值，其余时间的数值都比最大值小。
为了确切地表征正弦量的作功能力和方便于计算和测量正弦量的大小，实用中人们引入了有效值的概念。
有效值是根据电流的热效应定义的。
不论是周期性变化的交流电流还是恒定不变的直流电流，只要它们的热效应相等，就可认为它们的安培值（或作功能力）相等。
如图3.2所示，让两个相同的电阻R 分别通以正弦交流电流i 和直流电流I 。
如果在相同的时间t 内，两种电流在两个相同的电阻上产生的热量相等（即做功能力相同），我们就把（b ）图中的直流电流I 定义为（a ）图中交流电流i 的有效值。
显然，与正弦量热效应相等的直流电的数值，称为正弦量的有效值。
正弦交流电的有效值是用热效应相同的直流电的数值来定义的，因此正弦交流电的有效值通常用与直流电相同的大写斜体字母“U 、I ”进行表示。
值得注意的是：正弦量的有效值和直流电虽然表示符号相同，但它们所表达的概念是不同的。
实验结果和数学分析都可以证明，正弦交流电的最大值和有效值之间存在如下数量关系： U U U 414.12m ==m m 707.02U U U == （3.3） 或 I I 2m =， 2m I I = 在电路理论中，通常所说的交流电数值如不做特殊说明，一般均指交流电的有效值。
在测量交流电路的电压、电流时，仪表指示的数值通常也都是交流电的有效值。
各种交流电器设备铭牌上的额定电压和额定电流一般均指其有效值。
正弦交流电的瞬时值表达式可以精确地描述正弦量随时间变化的情况。
正弦交流电最大值表征了其振荡的正向最高点，其有效值则确切地反映出正弦交流电的作功能力。
显然，最（a ） （b ） 图3.2大值和有效值可从不同的角度说明正弦交流电的“大小”情况。
3.正弦交流电的相位、初相（1）相位正弦量随时间变化的核心部分是式解析式中的（ωt ＋ψ），它反映了正弦量随时间变化的进程，是一个随时间变化的电角度，称为正弦量的相位角，简称相位。
当相位随时间连续变化时，正弦量的瞬时值随之作连续变化。
（2）初相对应t ＝0时的相位ψ称为初相角，简称初相。
初相确定了正弦量计时始正弦量的状态。
为保证正弦量解析式表示上的统一性，通常规定初相不得超过±180°。
在上述规定下，初相为正角时，正弦量对应的初始值一定是正值；初相为负角时，正弦量对应的初始值则为负值。
在波形图上，正值初相角位于坐标原点左边零点（指波形由负值变为正值所经历的0点）与原点之间（如图3.3所示i 1的初相）；负值初相位于坐标原点右边零点与原点之间（如图3.3所示i 2的初相）。
3.1.2 相位差 为了比较两个同频率的正弦量在变化过程中的相位关系和先后顺序，我们引入相位差的概念，相位差用ϕ表示。
如图3.3所示的两个正弦交流电流的解析式分别为i 1＝I 1m sin （ωt ＋ψ1）i 2＝I 2m sin （ωt ＋ψ2）则两电流的相位差为2121)()(ψψψωψωϕ-=+-+=t t （3.4）可见，两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差，与时间t 无关。
相位差是比较两个同频率正弦量之间关系的重要参数之一。
若已知︒=301ψ，︒=902ψ，则电流i 1与i 2在任意瞬时的相位之差为︒=︒--︒=︒--︒+=120)90(30)90()30(t t ωωϕ相位差角ϕ和初相的规定相同，均不得超过±180°。
当两个同频率正弦量之间的相位差为零时，其相位上具有同相．．关系，只有电阻元件上的电压、电流关系为同相关系，因此同相的电压、电流只构成有功功率；当两个同频率正弦量之间的相位差为90°时，它们在相位上具有正交．．关系，动态元件L 和C 上的电压、电流关系正是这种正交关系。
因此，正交的电压和电流只构成无功功率（后面详细讲述）；若两个同频率正弦量之间的相位差是180°，称它们之间的相位关系为反相．．关系。
除此之外，两个同频率图3.3 正弦交流电的相位差正弦量之间还具有超前、滞后的相位关系。
例3.1 已知工频电压有效值U ＝220V ，初相ψu ＝60°；工频电流有效值I ＝22A ，初相ψi ＝－30°。
求其瞬时值表达式、波形图及它们的相位差。
解：工频电角频率 rad/s 314=ω电压的解析式为)3314sin(2220π+=t u V 电流的解析式为 )A 6-t 314sin(222π=i 电压与电流的波形图如图3.4所示。
电压与电流的相位差为： 2)6(3πππψψϕ=--=-=i u显然，一个正弦量的最大值（或有效值）、角频率（或频率、周期）及初相一旦确定后，它的解析式和波形图的表示就是唯一、确定的。
我们把最大值(或有效值)、角频率(或频率、周期)、初相称之为正弦量的三要素．．．。
检验学习结果：3.1.1何谓正弦量的三要素？三要素各反映了正弦量的哪些方面？3.1.2一个正弦电流的最大值为100mA ，频率为2000Hz ，这个电流达到零值后经过多长时间可达50mA ？3.1.3两个正弦交流电压u 1＝U 1m sin(ωt ＋60°)V ，u 2＝U 2m sin(2ωt ＋45°)V 。
比较哪个超前哪个滞后？3.1.4 有一电容器，耐压值为220V ，问能否用在有效值为180V 的正弦交流电源上？3.1.5 一个工频电压的初相为30Ο，在2T t =时的值为(-268)V ，试求它的有效值。
3.2 单一参数的正弦交流电路学习目标：理解电阻、电感和电容元件在正弦交流电路中的不同作用，明确各单一元件上的电压、电流关系，理解感抗和容抗与频率的关系以及在正弦交流电路中的作用，理解正弦交流电路中各种功率的概念。
