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空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，
记作A(x, y, z)，x y 叫横坐标， 叫
z 纵坐标， 叫竖坐标．
3．空间向量的r 直角坐标运算律：u u r
rr 若 a ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b r ( r b 1 , b 2 , b 3 ) 则
a rb (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )a r b r (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) a r(a 1 ,ra 2 ,ra 3 )( R ) a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 r|a r |aaa 1 2 a 2 2 a 3 2 a r r b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 a / / b a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ( R ) u u u r 若 A (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ,B (x 2 ,y 2 ,z 2 ) 则 A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) u A u B u r2 ( x 2 x 1 ) 2 y 2 y 1 2 ( z 2 z 1 ) 2
一．复习回顾
1．空间r 向r 量r 的基本定理：
ur
若是{a, b, c} 空间u r的一个基r底，p r 是空间任r意一向量，存在
唯一的实数组使．pxaybzc
2．平面向量的坐标表示及运算律：
u r r r r r ( 1 ) 若 u p r x i y j ( i , j 分 别 是 x , y 轴 上 同 方 向 的 两 个 单 位 向 量 )
都叫坐标轴．我们称建立了一个空间
v k
r j
直角坐r 标r系rO xyz ,点 O 叫原点，
向量 i , j , k 都叫坐标向量．通过每
r i
O
y
两个坐标轴的平面叫坐标平面，
分别称为 x O y 平面，y O z 平面， x
z O x 平面；
（3）作空间直角坐标系 O xyz 时，一般使
x O y 1 3 5 o (或 4 5 o ), y O z 9 0 o
（4）在空间直角坐标系中，
z
y 让右手拇指指向 x 轴的正
方向，食指指向 轴的正
方向，如果中指指向 z 轴
v
k
r
的正方向，称这个坐标系为 右手直角坐标系。本书建立 的坐标系都是右手直角坐标
j
r i
O
y
r 如图r 给r 定r空间直角坐标系和向量 a ，
设 i , j , k 为坐标向量,则存在唯一的
例2.求点 A ( 2 , 3 , 1 ) 关 于 x O y 平 面 , z O x 平 面 及 原 点 O 的 对 称 点
解: Q A ( 2 , 3 , 1 ) 在 x O y 平 面 上 的 射 影 为 C ( 2 , 3 , 0 ) ,
在 z O x 平 面 上 的 射 影 为 B ( 2 ,0 , 1 )
点 A ( 2 , 3 , 1 ) 关 于 x O y 平 面 的 对 称 点 C ( 2 , 3 , 1 )
关 于 z O x 平 面 及 原 点 O 的 对 称 点 分 别 为 B (2 ,3 , 1 ),
A ( 2 ,3 ,1 )
练习 1
例3． 求 在正证 方D 1 体FA B 平 C 面 D A D A 1 E B 1 C 1 D 1 中 E , F 分 别 是 B B 1 , C D 的 中 点 ,
r a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 r , 1 , 4 ) ( 5 , 4 , 9 ) r |ar |2 2 ( 3 )2 5 23 88 a 8 ( 2 , 3 ,5 ) ( 1 6 , 2 4 ,4 0 )
a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) 2 ( 3 ) ( 3 ) 1 5 ( 4 ) 2 9
二．新课讲解
1．空间直角坐标系：
这（个基1）底若叫空单间位的正一交个基基底底的用 三{ ri个,rj基,k r向}表 量互示 相垂直，且长为 1，
(2)在空r间r 选r 定一点O 和一个单位
正交基r 底r {ir, j, k} ，以点O 为原点，分
z
别以 i , j , k 的方向为正方向建立三
条数轴：x 轴、y 轴、z 轴 ，它们
a / / b a 1 b 1 , a 2 b 2 u ( u u r R ) , a b a 1 b 1 a 2 b 2 0
( 3 ) 若 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 则 A B ( x 2 x 1 , y 2 y 1 )
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有序r实数组r(a1, ar2, a3)，r
使 aa 1 i a 2j a 3k ，
有序实数组(a1, a2, a3) 叫作向量
在空间r直角坐标系 O xyz 中的坐标， 记作 a(a1,a2,a3)．
在空间直角坐标系 O xyz 中，对
空组间( x任, 一y,点z )A，，使存O 在uu A u r唯 一xri的有yrj序 u u实zurk r数， 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量O A 在
三．例题分析r
r
r r r r rr r r
例1．已r 知 a r ( 2 , 3 , 5 ) , b ( 3 , 1 , 4 ) 求 a b , a b , | a | , 8 a , a b
解: a r b r ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) ( 1 , 2 , 1 )
则 p r 的 坐 标 为 (x r ,y )
( 2 ) 若 r a r ( a 1 ,a 2 ) ,b ( b 1 ,b r 2 )r 则 r a b ( a 1 b 1 , a 2 b 2 ) , a b r ( r a 1 b 1 , a 2 b 2 )
r a r ( a 1 ,a 2 ) ( R ) , a u u r b r a 1 b 1 a 2 b 2
