浙江省宁波市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析

浙江省宁波市镇海中学2017-2018学年高一上学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知向量，，若与共线，则（）A．-2 B．-1 C．1 D．22. 已知，则的值是（）C．-2 D．2A．B．3. 在中，，，则（）A．B．C．D．4. 在中，若，则是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定5. 已知中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，，则的面积为（）C．3 D．A．B．6. 如果满足，，的有两个，那么x的取值范围为（）A．B．C．D．7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则∠B=（）A．60°B．45°C．135°D．120°8. 设D，E分别是的边AB，BC上的点，且，，若，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．9. 已知平面向量，满足，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．10. 在锐角三角形中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）B．C．D．A．二、填空题11. 已知钝角的面积为，，，则角______，______．三、双空题12. 若，则________，_______.13. 已知向量，向量，则最大值是______，最小值是________.14. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则角A=_______的面积等于_______.四、填空题15. 已知半径为4的圆O上的两点A，B满足，则_______.16. 在中，，已知∠BAC的平分线交BC于点D，且，求的最小值______.17. 在中，，，，P是内部一点，且满足，则_______.五、解答题18. 已知平面上两个向量，其中，.（Ⅰ）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（Ⅱ）若向量在向量的方向上的投影为，求向量的坐标.19. 已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）若函数在上仅有一个零点，求实数m的取值范围.20. 在中，边、、分别是角、、的对边，且满足.（1）求；（2）若，，求边，的值．21. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若的面积为2，且，求的值.22. 如图，已知点O为直线l外一点，直线l上依次排列着A，B，C，D四点，满足：（1）∠AOC为锐角，；（2）（3）.（Ⅰ）求∠AOC的值；（Ⅱ）若，求CD的值.。

宁波市一2017学年第学期九校联考高一数学试题选择题部分（共40分）2018.01一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2a A =,{},B a b =,若⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ,则A B =1.,1,2A b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 1.1,2B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 1.,12C ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 1.1,,12D ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭2.已知向量,a b满足=3a b = ，，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为 .2A π 2.3B π 3.4C π 5.6D π 3.已知A 是ABC ∆的内角且sin 2cos 1A A +=-,则tan A =3.4A - 4.3B - 3.4C 4.3D4．若当x R ∈时,函数()xf x a =始终满足0()1f x <≤,则函数1log ay x=的图象大致为5.将函数)0()4sin()(>+=ωπωx x f 的图象向左平移8π个单位,所得到的函数图象关于y 轴对称，则函数)(x f 的最小正周期不可能是9.πA 5.πB π.C π2.D 6.已知⎩⎨⎧<+≥+=0),sin(0),cos()(x x x x x f βα是奇函数,则βα,的可能值为.,2A παπβ==2,0.πβα==B .,2C παβπ== 0,2.==βπαD7.设函数21()||x f x x -=,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是1.(,1)3A 1.()(1,)3B -∞+∞ ， 111.(,)(,1)322C 1.(,0)(0,)(1,)3D -∞+∞ 8. 已知1260OA OB AOB OP OA OB λμ==∠==+，，，，22λμ+=，则OA 在OP上的投影.A 既有最大值，又有最小值.B 有最大值，没有最小值.C 有最小值，没有最大值 .D 既无最大值，又无最小值9.在边长为1的正ABC ∆中，,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>>且1x y +=，则CD BE ⋅ 的最大值为5.8A - 3.4B - 3.8C - 3.2D -10.定义在R 上的偶函数)(x f 满足)2()(x f x f -=,当]1,0[∈x 时2()f x x =,则函数()|sin 2|()g x x f x π=-（）在区间]25,21[-上的所有零点的和为.6A .7B .8C .10D非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 函数)1(log )(2-=x x f 的定义域是 ▲ .12.计算:21log 32-+= ▲ ;若632==b a R),∈b a （,则11a b+= ▲ ．13.已知(2,3),(1,)AB AC k ==- .若AB AC = ,则k = ▲ ；若,AB AC的夹角为钝角,则k 的范围为 ▲ ．14.已知函数)32cos()(π-=x x f ，则3()4f π= ▲ ； 若31)2(=x f ，]2,2[ππ-∈x ，则sin()3x π-= ▲ ．15.向量a 与b 的夹角为3π，若对任意的t R ∈,a tb - a = ▲ ．16.已知函数5,2,()22, 2.x x x f x a a x -+≤⎧=⎨++>⎩，其中0a >且1a ≠，若12a =时方程()f x b =有两个不同的实根，则实数b 的取值范围是 ▲ ；若()f x 的值域为[3,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．17.若对任意的实数1a ≤-，恒有230b a b a ⋅--≥成立，则实数b 的取值范围为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）已知(cos ,sin ),(1,0),(4,4)a x x b c ===.(Ⅰ)若//()a c b -,求tan x ；(Ⅱ)求a b +的最大值,并求出对应的x 的值.19.（本题满分15分）已知函数()sin()4f x A x π=+,若(0)f =(Ⅰ)求A 的值;(Ⅱ)将函数()f x 的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变,得到函数()g x 的图像.(i)写出()g x 的解析式和它的对称中心;(ii)若α为锐角，求使得不等式()8g πα-<成立的α的取值范围.20.（本题满分15分）已知函数)2||,0()sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f ,角ϕ的终边经过点)3,1(-P .若))(,()),(,(2211x f x B x f x A 是)(x f 的图象上任意两点,且当4|)()(|21=-x f x f 时,||21x x -的最小值为3π. (Ⅰ)求的值和ϕω；(Ⅱ)求函数)(x f 在],0[π∈x 上的单调递减区间； (Ⅲ)当],18[m x π∈时,不等式02)()(2≤--x f x f 恒成立,求m 的最大值.21.（本题满分15分）已知函数mx x f x ++=)12(log )(24的图像经过点233(,+log 3)24P -.(Ⅰ)求m 值并判断()f x 的奇偶性；(Ⅱ)设)2(log )(4a x x g x ++=,若关于x 的方程)()(x g x f =在]2,2[-∈x 上有且只有一个解，求a 的取值范围.22.（本题满分15分）定义在R 上的函数x ax x f +=2)(.(Ⅰ)当0>a 时, 求证:对任意的12,x x R ∈都有[])2()()(212121x x f x f x f +≥+成立; (Ⅱ)当[]2,0∈x 时,1)(≤x f 恒成立,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)若14a =, 点2(,,)P m n m Z n Z ∈∈）(是函数()y f x =图象上的点，求,m n .宁波市一2017学年第学期九校联考高一数学答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

某某省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值X围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。

浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高一数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合2，3，4，，3，，2，，则A. B. C. D. 3，【答案】A【解析】解：集合2，3，4，，3，，2，，，．故选：A．根据补集与交集的定义写出即可．本题考查了集合的基本运算问题，是基础题．2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．由幂函数的单调性结合选项得答案．本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D.【答案】C【解析】解：故选：C．只需利用向量减法和中点把稍作变化即可．此题考查了向量变换，属基础题．4.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在上为增函数，且，，，，的零点所在区间为．故选：C．计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题．5.已知为锐角，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：为锐角，．故选：D．利用诱导公式变形，结合平方关系把根式内部的代数式化为完全平方式，开方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．6.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，，排除C，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性，利用，进行排除即可本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最小正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称【答案】B【解析】解：函数的最小正周期，故A错误，当时，，，此时函数为增函数，故B正确，，即图象关于点不对称，故C错误，，则图象关于直线不对称，故D错误，故选：B．根据三角函数的周期性，单调性以及对称性分别进行判断即可．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合三角函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量，满足，，且，则，的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由可得，即，，，，的夹角为．故选：A．对两边平方计算，再代入夹角公式即可求出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，向量的夹角公式，属于基础题．9.设函数的定义域为A，且满足任意恒有的函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：满足任意恒有函数关于中心对称的对称中心为故选：C．满足任意恒有，则函数关于中心对称，由此可得结论．本题考查函数的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0【答案】D【解析】解：，即函数是奇函数，得图象关于原点对称，函数的值城是，，则，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性，利用奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知，则______，______．【答案】3【解析】解：；；；．故答案为：．根据即可得出，从而得出，的值，进而得出的值．考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设，则______，______．【答案】【解析】解：由，得，．故答案为：；．由已知展开两角和的正切求，由同角三角函数基本关系式化弦为切求．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用及两角和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．【答案】2【解析】解：，；由，，且，得，即．故答案为：；2．直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．本题考查向量模的求法，考查向量故选的坐标运算，是基础题．14.已知函数一部分图象如图所示，则______，函数的单调递增区间为______．【答案】2 ，【解析】解：由图象知，则周期，即，即，即，由五点对应法得，即，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故答案为：，．根据图象先求出函数的周期，和，利用五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______．【答案】【解析】解：弧长为的弧所对的圆心角为，半径，这条弧所在的扇形面积为．故答案为：．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．16.已知且，函数，满足对任意实数，，都有成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：函数，对任意实数，，都有成立，则在R上为增函数；当时，函数为增函数，则有，即；当时，函数为增函数，则有；由在R上为增函数，则，即有；由可得a的取值范围为：故答案为：根据题意知函数在R上为增函数，利用分段函数的单调性列不等式组，从而求出a 的取值范围．本题考查了分段函数的单调性与应用问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量，，满足，向量满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意，单位向量，，满足，不妨设，，，，，，，即到点和的距离和为，则直线AB的方程为，表示点点到直线直线AB上点的距离，，最大值为到的距离即为，故的取值范围是，故答案为：由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的方程，则表示点点到直线直线AB上点的距离，即可求出范围．本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知集合，．Ⅰ求；Ⅱ已知，若，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，故A∩B=，（Ⅱ）由C B，得：a≥4，【解析】（Ⅰ）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=，（Ⅱ）由集合的包含关系得：C B，则：a≥4，得解．本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数Ⅰ求函数的最小正周期；Ⅱ现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】解：Ⅰ函数，，函数的最小正周期；Ⅱ由于，将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，由于，故：，所以：，故：的值域为．【解析】Ⅰ首先利用平面向量的数量积运算和三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．Ⅱ利用函数的关系式和函数的图象的平移变换的应用求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的横行变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，．Ⅰ求的值；Ⅱ求的最小值，并求出此时t的值．【答案】解：Ⅰ，Ⅱ，，，，故当时，的最小值为．【解析】Ⅰ结合向量的数量积公式即可求出Ⅱ利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求最值．本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．21.如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交、两点．Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求的值．【答案】解：Ⅰ由、，得，、，，则．Ⅱ，，，，，，则，．【解析】Ⅰ根据三角函数的定义求出，和，的值，利用两角和差的余弦公式进行求解Ⅱ先求出的三角函数值，结合两角和差的正弦公式求的值即可本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义求出对应角的三角函数值，以及利用两角和差的公式进行求解是解决本题的关键．22.设，其中．Ⅰ当时，分别求及的值域；Ⅱ记，，若，求实数t的值．【答案】解：Ⅰ当时，由，当且仅当时，取等号，即的值域为．设，则，则，当且仅当，即时，取等号，故的值域为．Ⅱ，，即此时函数的值域为，，，得或，当时，即或，，即，即，则，得或成立．当时，即时，，即，即，即或或，或满足条件，综上或或或成立．【解析】Ⅰ当时，求出函数和的解析式，结合二次函数的性质进行求解即可Ⅱ根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建立方程即可本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。

宁波市2017学年第一学期期末考试高三数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A.2.已知，则条件“”是条件“”的（）条件.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当时，不成立，所以充分性不成立，当时，成立，也成立，所以必要性成立，所以“”是条件“”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题通过不等式的基本性质主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.若函数为偶函数，则实数的值为（）A. 1B.C. 1或D. 0【答案】C【解析】时，不是偶函数，时，二次函数的对称轴为，若为偶函数，则，得或，故选C.4.【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（）A. 3B.C. 5D.【答案】D【解析】是焦点在轴上的椭圆，，离心率，得，故选D.5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴，解得r=2，本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．6.已知，为的导函数，则的图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，为奇函数，图象关于原点对称，排除，又，可排除，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意，，，，故选B.8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设5人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则易知5a=100，a=20又,3a+3d=7(2a-3d),所以24d=11a,,所以最小的1份为.9.若函数在上的最大值为，最小值为，则（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】，又，且时，等号成立，故只需求的最大值，由于，故，故选C.10.已知向量，，满足，，，为内一点（包括边界），，若，则以下结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为原点，以所在直线轴建立坐标系，设，则有，，得，又点在内，满足的关系式为，取不满足，，排除选项，取，不满足，排除选项，又，正确，故选B.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积以及平面向量基本定理、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知，则__________．【答案】2【解析】，，，故答案为. 12.设为虚数单位，则复数的虚部为__________，模为__________．【答案】(1). -2,(2).【解析】，的虚部为，故答案为（1）；（2）.13.对给定的正整数，定义，其中，，则__________；当时，__________．【答案】(1). 64(2).【解析】，时，，故答案为（1）；（2）.14.在锐角中，已知，则角的取值范围是__________，又若分别为角的对边，则的取值范围是__________．【答案】(1). (2).【解析】锐角中，，，由，可得，，故答案为（1）；（2）.15.已知双曲线的渐近线方程是，右焦点，则双曲线的方程为_________，又若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为__________．【答案】(1). (2).【解析】双曲线的渐近线方程是，右焦点，双曲线方程为，设右焦点，由双曲线定义可得，的周长为，故答案为（1）；（2）.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用双曲线的定义结合三角形的性质求三角形周长最小值的.16.现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）．【答案】52【解析】因为，对于上述四种情形掷这四个骰子，分别有种情形，综上共有种情形，故答案为.17.如图，在平面四边形中，，，，点为中点，分别在线段上，则的最小值为__________．【答案】1【解析】设，则，另外时，，去根号得，，得或，又，当时取等号，所以所求最小值为.故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值，最小值为.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式化简，根据周期公式可得结果；（Ⅱ由，可得，结合正弦函数的图象可得时，取得最大值，时，的最小值为.试题解析：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为，所以.当，即时，取得最大值；当，即时，.即的最小值为.19.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).试题分析：（Ⅰ）设与的交点为，连结，则为的中点，由为中点，利用三角形中位线定理可得，从而根据线面平行的判定定理可得平面；（Ⅱ）由勾股定理可得，根据线面垂直的性质定理得平面，故，再根据线面垂直的判定定理可得平面，故就是直线与平面所成的角，在直角中可得.试题解析：（Ⅰ）设与的交点为，连结.因为为矩形，所以为的中点.在中，由已知为中点，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在中，，，所以，即.因为平面平面，平面平面，，所以平面，故.又因为，平面，所以平面，故就是直线与平面所成的角.在直角中，，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法20.已知函数.（Ⅰ）若方程只有一解，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，可得函数在上单调递减，函数在区间上单调递增，根据单调性可得时，，时，,且，结合函数图象可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意正实数，恒成立，等价于，先排除，当时，利用导数可得，所以.试题解析：（Ⅰ）由已知.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在区间上单调递增.故.又当时，.且（对足够小的）.又当时，.即所求的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.所以对任意正实数，恒成立，等价于.∵.（1）当时，，与式矛盾，故不合题意.（2）当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在区间上单调递减.，所以.综合（1）（2）知实数的取值范围为.21.已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，，由消去得，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，从而可得结论；（Ⅱ）设，则，，，，，利用导数求出的最小值即可. 试题解析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，以为切点的切线方程分别为，.由消去得.则，.这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，得.所以直线恒过定点.（Ⅱ）设，则，，当时，则，可得，当时，则，，，同样可得.所以.由.所以.令，..所以在上为减函数，在上为增函数.所以.（或当时取等号.）【方法点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22.已知数列满足，.（Ⅰ）若，求证：对任意正整数均有；（Ⅱ）若，求证：对任意恒成立.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，根据和在均为增函数，可得，当时，由在上为减函数，得.当时，可得恒成立，从而可得结论；（Ⅱ）由第（Ⅰ）题知，令，则，可证明为递减数列，.从而.又由可得.所以.试题解析：（Ⅰ）当时，根据和在均为增函数. 从而当时，必有或.当时，由在上为减函数，得.当时，，从而恒成立.综上所述，对所有满足的正整数均成立.（Ⅱ）一方面，由第（Ⅰ）题知.又.所以.另一方面，，且，令，则，即，且，.∴.由，且知为递减数列，且.所以.从而.又由.所以.所以.。