山西省太原市2018届高三3月模拟考试数学理试题(一)含答案

山西省太原市2018届高三三模文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】解：由题意可知：错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，由交集的定义可得：错误！未找到引用源。

，表示为区间即错误！未找到引用源。

.本题选择C选项.2. 复数错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】解：由复数的运算法则可得：错误！未找到引用源。

.本题选择A选项.3. 在等差数列错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 8B. 6C. 4D. 3【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可知：错误！未找到引用源。

.本题选择D选项.4. 已知错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】解：由题意可知：错误！未找到引用源。

，上式平方可得：错误！未找到引用源。

.本题选择B选项.5. 函数错误！未找到引用源。

的图像大致为（）A. B. C.D.【答案】D6. 已知圆错误！未找到引用源。

,直线错误！未找到引用源。

,在错误！未找到引用源。

上随机选取一个数错误！未找到引用源。

,则事件“直线错误！未找到引用源。

与圆错误！未找到引用源。

相离”发生的概率为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】当直线错误！未找到引用源。

2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B. 5 C．4 D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B. 2 C. 3 D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝ 3.故选C.图D1884．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π24．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46．B 解析：输入a ＝1，则k ＝0，b ＝1；进入循环体，a ＝－12，否，k ＝1，a ＝－2，否，k ＝2，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ，则k ＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( )图M1-3A ．10B ．11C ．12D ．137．C 解析：由题意，得78＋88＋84＋86＋92＋90＋m ＋957＝88，n ＝9.所以m ＋n ＝12.故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z ＝3x ＋4y .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．C 解析：由题意，必有a 1＝0，a 8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016年天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 10.D 解析：f (x )＝1－cos ωx 2＋sin ωx 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， 所以x ＝k π＋π4ω(π，2π)，(k ∈Z )．因此ω⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，54∪⎝⎛⎭⎫98，94∪…＝⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，＋∞⇒ω∈⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58.故选D.11．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16的同一球面上，则P A ＝( )A ．3 B.72C ．2 3 D.9211．B 解析：如图D190，连接AC ，BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，则OE∥P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，12PC ＝12P A 2＋AC 2＝12P A 2＋8，所以由球的体积可得43π⎝⎛⎭⎫12P A 2＋83＝243π16，解得P A ＝72.故选B.图D19012．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )A ．4 B.3 132 C.17 24D.1012．B 解析：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m ，因为OA →·OB →＝6，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝6，从而(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－3，故m ＝3，不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥2138·y 1·92·1y 1＝3132，当且仅当13y 18＝92y 1，即y 1＝6 1313时取等号，故其最小值为3 132.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝2 5，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|.∴5m ＋85＝8m ＋202 5.解得m ＝2.14．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．14.5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，有c 2a 2－4b 2b2＝1，则e 2＝5，e ＝ 5.15．(2016年北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式T r ＋1＝C r 6·(－2)r x r 可知，x 2的系数为C 26(－2)2＝60，故填60.16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为________．16.13 解析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π时，sin x ≤12. 所以所求概率为⎝⎛⎭⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎫π－5π6π＝13.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10.消去d ，得q 4－2q 2－8＝0.解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB ⊂平面PBE ，CM 平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.如图D191，过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ， 从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝3 22， 所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.图D191 图D192方法二，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD → ，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13 .所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .20．解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c . 令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c .当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(2)知，1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2, 0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.①因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b 2＝1.②由①②，解得a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－2 2，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2. 所以x 0＝2 21＋2k2，则y 0＝2 2k 1＋2k2.所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋2 2)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0得y ＝ 2 2k1＋1＋2k2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1＋1＋2k 2. 同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2k 1＋1＋2k 2－ 2 2k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋2 2k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎫2，4π3. (1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．22．解：(1)将A 、B 化为直角坐标为A (2cos π，2sin π)，B ⎝⎛⎭⎫2cos 4π3，2sin 4π3，即A ，B 的直角坐标分别为A (－2,0)，B (－1，－3)，k AB ＝－3－0－1＋2＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝－3(x ＋2)，即直线AB 的方程为3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设M (2cos θ，sin θ)，它到直线AB 的距离d ＝|2 3cos θ＋sin θ＋2 3|2＝|13sin (θ＋φ)＋2 3|2， ∴d max ＝13＋2 32.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．23．解：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0. 解得1<x ≤32，或32<x <53. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <53. (2)f (x )＝2－x －|2x －a |，所以f (x )<0可化为|2x －a |>2－x ， ①即2x －a >2－x ，或2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ，∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。

太原市2018年高三模拟试题（一）
数学试卷（理工类）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,所以，选
A.
2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以，选A.
3. 已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以命题为真；命题为假，所以为真，选 B.
4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】，所以，选 D.
5. 已知等比数列中，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以因为，所以
因此选B.
6. 函数的图像大致为（）
A. B.。

太原市-2018-年高三年级模拟试题(一)文数太原市2018年高三模拟试题（一）数学试卷（文史类）第I 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2|log ,1,|12A y y x x B x y x ⎧==>==⎨⎬-⎩⎭，则AB =（ ）A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2. 设复数z 满足11zi z-=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 3. 已知命题200:,10p x R xx ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+ B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若23109aa a ++=，则9S =（ ）A ．3B ．9 C. 18 D ．27 6. 函数()2241x xx f x =-的图像大致为（ ）A ．B ．C.D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，则动点(),P a b 所形成平面区域的面积为（ ） A ． 4 B ． 8 C. 16 D ．32 8.抛物线28yx=的焦点为F ，设,A B 是抛物线上的两个动点，233AF BF AB +=，则AFB ∠的最大值为（ ）A ．3π B ．34π C. 56π D ．23π 9. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（ ）AB ．110.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()02f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω= （ ）A ． 23B ． 2 C. 143 D ．26311.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的体积为（ ） A 3313 D 3 12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x+-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分． 13.若双曲线()222:x 10y C b b-=>的离心率为2，则b =___________．14.函数sinxxy e=+在点()0,1处的切线方程是___________．15.在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM ANλμ=+，则实数λμ+=___________．16.已知数列{}na 满足()*1112,2,2018,2017n n n aa a n N n a a +-=-∈≥==，nS 为数列{}na 的前n 项和，则100S 的值为__________．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+．（1）求角B ； （2）若2b =，当ABC ∆的面积最大值．18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量x（单位：箱）7 66 5 6收入y（单位：元）165 142 148 125 150 学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．（1）若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？（2）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．附：回归方程ˆˆˆy bx a=+，其中()()()121ˆˆ,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑．19. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是菱形，060,2BAD PA PD AD ∠====，点M 在线段PC 上，且2,PM MC N =为AD的中点．（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为()22,0F ，点(2,2B -在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,M N ，在x 轴上，是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()2ln 2,2xxf x x axa x g x e =-+-=-．（1）求函数()f x 的极值；（2）若对任意给定的(]00,x e ∈，方程()()0f xg x =在(]0,e 上总有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为212x a ty t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．太原市2018年高三模拟试题（一）文数试卷答案一、选择题1-5: AABDD 6-10: AADAC 11、12：BB二、填空题3210x y -+= 15. 43 16. 2016三、解答题17.解：（1）利用正弦定理得：sin cos sin cos sin cos A C CC B C+=， sin cos sin sin sin cos cos sin B C B C B C B B+=+，又sinB 0≠，所以tan 1,4B B π==；（2）由正弦定理得：22sin bR B ===，∴1R =，max 1121222S ⎛=+= ⎝⎭．18.解：（1）由题意可求得回归方程为ˆˆ2026yx =+，据此预算售出8箱水时，预计收入为206元；766561651421481251506,14655x y ++++++++====，()()()1211900210ˆˆˆ20,1462062610010niii nii x x y y bay bx x x ==--++++===-=-⨯=++++-∑∑，∴ˆˆ2026yx =+，当9x =时，ˆ20926206y =⨯+=，即某天售出9箱水的预计收益是206元；（2）设事件1A ：甲获一等奖；事件2A ：甲获二等奖；事件1B ：乙获一等奖，事件2B ：乙获二等奖，事件1C ：丙获一等奖；事件2C ：丙获二等奖，则总事件有：()()()()()()()()111112121112211212221222,,C ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C ，8种情况．甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有()222,,A B C 1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率18P =．19．解：（1）∵,PA PD N =为AD 的中点， ∴PN AD ⊥，又∵底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴BN AD ⊥，又∵PN BN N ⋂=，∴AD ⊥平面PNB ， ∵2PA PD AD ===，∴3PN NB == 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面,ABCD AD PN AD=⊥，∴PN NB ⊥，∴133322PNBS∆==，∵AD ⊥平面,AD//BC PNB ， ∴BC ⊥平面PNB ，又2PM MC =， ∴22132233323P NBMM PNB C PNB VV V ---===⨯⨯⨯=．20.解：（1）依题意，2c =，∵点(2,2B -在C 上， ∴22421a b +=，又∵222ab c =+，∴228,4ab ==，∴椭圆方程为22184x y +=；（2）假设存在这样的点P ，设()()011,0,,P x E x y ，则()11,F x y --，()22221280184y kxk x x y =⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩，解得112222221212k x y kk==++()22,0A -，∴AE 所在直线方程为()222112y x k=+++，∴222112kM k ⎛⎫++⎝，同理可得222112k N k ⎛ -+⎝，00222222,112112k k PM x PN x k k ⎛⎫⎛⎫=-=- ++-+⎝⎝，20040PM PN x =⇒-=，∴02x =或02x=-，∴存在点P ，使得无论非零实数k 怎么变化，总有MPN ∠为直角，点P 坐标为()2,0或()2,0-．21.解：（1）()()()()211122x ax f x ax a x x+-+'=-+-=， ①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,+∞单调递增，()f x 无极值；②当0a >时，令()0f x '>，解得10x a<<，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，111ln1f aa a⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大，综上所述，0a ≤时，()f x 无极值；0a >，111ln1f aa a⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大．（2）()()12,xxx xg x g x e e -'=-=，令()()()0,,1,g g x x x '>∈-∞单增；()()(),10,x g x g x '∈-∞<递减．(]0,x e ∈时，()12,2g x e⎛⎤∈--⎥⎝⎦． 依题意，()()max 10112af g x a f e ⎧<<⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤-⎪⎩，由()2122f e aee ea =-+-≤-，得232ea e e+≥+， 由1111ln 12f a a a e ⎛⎫=+->- ⎪⎝⎭，即11ln 1a a e -+<，令()11ln h a a a e=-+，可知()h a 单增，且()1h e =，∴11ln 1a a e -+<，得()0,a e ∈，综上所述，232ea e e e+≤<+．22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义． 解：（1）1C 的参数方程212x a ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24yx=；（2）将曲线1C的参数方程标准化为212x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4Cy x =得2121402t t a +-=，由(()2124?1402D a =-->，得0a >，设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122tt =即122tt =或122t t =-， 当122tt =时，()121212222214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122tt =-时，()121212222214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =， 综上：136a =或94．23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤；综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。

太原市2018年高三年级模拟试题（三）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】详解：解不等式得集合A,B进而求，再求交集即可.分析：集合，，则.故选C.点睛：本题主要考查了集合的运算，属于基础题.2. 若，则的值为（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】分析：由复数的除法运算得，进而求模即可.详解：由，可得..故选D.点睛：本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.3. “”是“”恒成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设成立；反之，，故选A.4. 若，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】因为，所以..,所以,. 综上：.故选D.5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的等于（ ）A. 21B. 22C. 23D. 24 【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 6. 已知展开式中的系数为0，则正实数（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】分析：由二项展开的通项公式得的展开式的通项公式，再与相乘得项，令其系数等于0可得解.详解：的展开式的通项公式为：.令得：；令得：.展开式中为：.由题意知，解得（舍）或.故选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7. 已知数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】详解：由，得，数列是从第二项起的等比数列，公比为4，利用即可得解.详解，由，可得.两式相减可得：.即.数列是从第二项起的等比数列，公比为4，又所以.所以.故选B.点睛：给出与的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.8. 如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，①，依题意，MN∥AF，而DE与AF异面，从而可判断DE与MN不平行；②，假设BD与MN共面，可得A、D、E、F四点共面，导出矛盾，从而可否定假设，肯定BD与MN为异面直线；③，依题意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判断GH与MN成60°角；④，连接GF，那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上，通过线面垂直得到线线垂直．详解：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：对于①，M、N分别为EF、AE的中点，则MN∥AF，而DE与AF异面，故DE与MN不平行，故①错误；对于②，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面）；对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④，故答案为：②③④．点睛：本题主要考察了空间中的两直线的位置关系，需要一定的空间能力，属于中档题.9. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则（）A. B. 8 C. 16 D.【答案】A【解析】分析：利用抛物线性质分析线段比，进而得直线斜率，写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．详解：抛物线C：的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，与x轴交于点Q设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为d M，d N，由抛物线的定义可知|MF|=d M=x1+1，|NF|=d N=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．∵，∴，即，∴.∴,∴直线AB的斜率为，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=（x﹣1），将y=（x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，∴x1+x2=，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=+2=．故选：A．点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长的问题，以及抛物线的定义和性质，在解题的过程中，求焦点弦长的时候，也可以联立方程组，利用求得结果.10. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（）A. B. -1 C. 1 D.【答案】B【解析】分析：由题意求得φ、ω的值，写出函数f（x）的解析式，求图象的对称轴，得x1+x2的值，再求f（x1+x2）的值．详解：由函数的图象过点，∴，解得，又，∴，∴；又的图象向左平移π个单位之后为，由两函数图象完全重合知；又，∴，∴ω=2；∴，令,得其图象的对称轴为当，对称轴.∴，∴故选B.点睛：本题主要考查的是有关确定函数解析式的问题，在求解的过程中，需要明确正弦型曲线的对称轴的位置，，以及函数的性质，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，利用三角函数的性质求解．11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：还原几何体得四棱锥，根据球心到各顶点的距离相等列方程可得解.详解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点其中.根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：4﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=22+（4﹣x）2，解得出：，该多面体外接球的表面积为：4πR2=，故选：C．点睛：对于外接球问题，若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径.12. 设函数满足，则时，的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于等式，因为，故此等式可化为：，且.令，..当时，，单调递增，故，因此当时，恒成立.因为，所以恒成立.因此，在上单调递增，的最小值为.故本题正确答案为D.点睛：本题主要考察导数的灵活应用，技巧性很强，关键是把条件等式化为的形式，再构造函数即可求解.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 由曲线与直线所围成的图形的面积是__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积.14. 已知双曲线的实轴长为16，左焦点为是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】分析：求得双曲线C一条渐近线方程为，运用点到直线的距离公式，得，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得，进而得到双曲线的离心率．详解：双曲线的实轴长为16，所以，.设，双曲线C一条渐近线方程为，可得，即有，由，可得，所以，又，解得a=8，b=4，c=4，可得离心率为：.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力. (2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法. 公式法就是先根据已知条件求出和,或者的关系，再代入离心率的公式化简求解.方程法就是把已知的等式化简可以得到一个关于和的方程,再把该方程化为关于离心率的一次或二次方程，直接计算出离心率.15. 要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.【答案】120【解析】分析：先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可.详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 16. 已知数列与满足，且，则__________．【答案】【解析】分析：令和，得，令，得①，令，得,②①-②得：，利用累加求通项即可.详解：由，当,；当,.由，令，得：,①令，得：,②①-②得：.从而得：，，…….上述个式子相加得：.由①式可得：，得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考虑数列的递推关系求通项，关键在于找到数列与的隔项特征，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若.（1）求角；（2）当的值最小时，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得，进而得；（2）由内切圆的性质得，由余弦定理得，进而得，化简得，或，又，所以，从而得当时，的最小值为6，进而得面积.详解：（1）由正弦定理得，∴，∵，∴，∴.（2）由余弦定理得，由题意可知的内切圆半径为1，如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即，当且仅当时，的最小值为6，此时三角形的面积.点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.18. 如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面，点是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）在梯形中，易得，再有平面，，即可得，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角余弦求解即可.详解：（1）在梯形中，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即.∵平面，平面，∴，而，∴平面，∵，∴平面；（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，∴，设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴.点睛:本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.【答案】(1)见解析;(2)①;②见解析.【解析】分析：（1）根据题意可知的可能取值为，由统计数据可知其概率，进而得分布列；（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有2辆事故车的概率为；（3）设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，即可得出分布列与数学期望.详解：（1）由题意可知的可能取值为，由统计数据可知：，所以的分布列为（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有2辆事故车的概率为；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为.所以的分布列为：所以，所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为.不过原点的直线与椭圆相交于两点，设直线，直线，直线的斜率分别为，且成等比数列.（1）求的值；（2）若点在椭圆上，满足的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）由离心率公式及基本量运算可得，从而得方程；设直线的方程为，由，得，由已知，利用韦达定理带入可得；（2）假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，代入椭圆方程得：，整理得，由韦达定理带入可得，可知直线不存在.详解：（1）由已知得，则，故椭圆的方程为；设直线的方程为，由，得，则，由已知，则，即，所以；（2）假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，代入椭圆方程得：，即，则，即，则，所以，化简得：，而，则，此时，点中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在. 点睛:本题主要考察了直线与椭圆的位置关系,将向量问题坐标化得到方程,进而利用直线和椭圆联立,结合韦达定理即可得解,属于中档题.21. 已知函数的最大值为.（1）若关于的方程的两个实数根为，求证：；（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）本小问的解决方法是利用这个条件，得到含有的等式，对等式进行变形处理，使得等式左边是，右边是分式。

太原市2018年高三年级模拟考试（一）数学 试 题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。

2．回答第I 卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试题上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，须用0,5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，写在本试题上无效。

5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数1ii+的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞内单调递减的函数是（ ）A ．2y x =B ．||1y x =+C ．lg ||y x =-D ．||2x y =3．若右边表示的程序框图输出的S 是126，则条件①可以是（ ） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤4．甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是2334和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （ ）A ．12B ．14C ．16D ．5125．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和。

山西省太原市2018届高三3月模拟考试数学理试题（一）含解析太原市2018年高三模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,所以，选A.2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.3. 已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以命题为真；命题为假，所以为真，选B.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. 3 D. 2【答案】D【解析】，所以，选D.5. 已知等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以因为，所以因此选B.6. 函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令,因为,故排除选项A、B,因为,故排除选项D;故选C......................7. 已知不等式在平面区域上恒成立，若的最大值和最小值分别为和，则的值为（）A. 4B. 2C. -4D. -2【答案】C【解析】当时，；当时，因此选C.8. 已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线定义得,在三角形AFB中，所以，选D.9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】几何体如图，体积为选A.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10. 已知函数，若，在上具有单调性，那么的取值共有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D【解析】因为，所以因此，因为在上具有单调性，所以因此，即的取值共有9个，选D.点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.(4)由求增区间;由求减区间11. 三棱锥中，底面为正三角形，若，则三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥,设三棱锥外接球的半径为R，则, 体积为，选B. 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12. 设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以因此在上有两个不同的零点，由得，所以令，则，所以，又，所以当时，当时，要使方程有两个不同的零点，需，选C.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13. 在多项式的展开式中，的系数为___________．【答案】120【解析】根据二项式展开式可知，的系数应为.14. 已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率___________．【答案】【解析】如图所示渐近线OM的方程为右焦点为，因此，过点向ON作垂线，垂足为P，则.又因为，所以，在直角三角形中，，所以，故在三角形OMN中，，所以,所以，即所以双曲线的离心率为 .15. 某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．【答案】【解析】由题意得共有这15种，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有这6种，所以概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16. 数列中，，若数列满足，则数列的最大项为第__________项．【答案】6【解析】因为，所以根据叠加法得，所以当时，，当时，，因此数列的最大项为第6项.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 的内角为的对边分别为，已知．（1）求的最大值；（2）若，当的面积最大时，的周长；【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得，解得B,代入化简得，根据三角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法，(2)先根据余弦定理得，再根据基本不等式求最大值，此时的面积取最大，根据最大值等号取法确定值，即得三角形周长.试题解析：（1）由得：，，即，，；由，令，原式，当且仅当时，上式的最大值为．（2），即，当且仅当等号成立；，周长．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18. 某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量（单位：箱）收入（单位：元）学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．（1）若与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？（2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望；附：回归方程，其中．【答案】（1）206；（2）.【解析】试题分析：(1)先求出君子，代入公式求，，再求线性回归方程自变量为9的函数值，(2)先确定随机变量取法，在利用概率乘法求对应概率，列表可得分布列，根据数学期望公式求期望.试题解析：（1），经计算，所以线性回归方程为，当时，的估计值为206元；（2）的可能取值为0，300，500，600，800，1000；；；；；；；所以的数学期望．19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，．（1）求证：；（2）若分别为的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定定理，先证出平面，利用线面垂直的性质定理得，在中再证明；第二问，先证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求直线与平面所成角的正弦值，最后确定角.试题解析：（1）连接，，，交于点，因为底面是正方形，所以且为的中点.又所以平面，由于平面,故.又,故.解法1：设的中点为,连接,∥=, 所以为平行四边形，∥，因为平面，所以平面，所以,的中点为,所以.由平面，又可得，又，又所以平面所以,又,所以平面（注意：没有证明出平面，直接运用这一结论的，后续过程不给分）由题意,两两垂直，,以为坐标原点,向量的方向为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则为平面的一个法向量.设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角为.解法2：设的中点为,连接,则∥=,所以为平行四边形，∥，因为平面，所以平面，所以,的中点为,所以.同理，又，又所以平面所以,又,所以平面连接、，设交点为，连接，设的中点为，连接，则在三角形中，∥，所以平面，又在三角形中，∥，所以即为直线与平面所成的角.又,,所以在直角三角形中,,所以,直线与平面所成的角为.考点：本题主要考查：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程．【答案】（1）；（2）定直线.【解析】试题分析：(1)将点坐标代入椭圆方程，解方程组可得(2)先根据特殊位置计算交点在定直线上，再设，解方程组可得交点横坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得定值1.试题解析：（1），∴，由题目已知条件知，∴，所以；（2）由椭圆对称性知在上，假设直线过椭圆上顶点，则，∴，，∴，所以在定直线上．当不在椭圆顶点时，设，得，所以，，当时，得，所以显然成立，所以在定直线上．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. ．（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)先设切点坐标，根据导数几何意义得切线斜率，根据切点既在切线上也在曲线上，联立方程组可得．再利用导数研究单调性，并根据零点存在定理确定零点唯一性，即得证结论，(2)先化简不等式为，再分析函数单调性及其值域，结合图形确定讨论a的取法，根据整数解个数确定a满足条件，解得的范围．试题解析：（1）设切点为，则①，和相切，则②，所以，即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．（2）令，即，所以，令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，，当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；当时，，又，所以两个整数解为0，1，即，所以，即，当时，，因为在内大于或等于1，所以无整数解，舍去，综上，．22. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．【答案】（1）,；（2）或.【解析】试题分析：(1)先根据加减消元法得曲线的普通方程，再根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，由得，再利用韦达定理列方程解得实数的值．试题解析：解：（1）的参数方程，消参得普通方程为，的极坐标方程为两边同乘得即；（2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，）代入曲线得，由，得，设对应的参数为，由题意得即或，当时，，解得，当时，解得，综上：或．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)根据不等式解集化简绝对值得，解得，再根据不等式恒成立得，即得的取值范围．试题解析：解：（1）当时，，①时，，解得；②当时，，解得；③当时，，解得；综合①②③可知，原不等式的解集为．（2）由题意可知在上恒成立，当时，，从而可得，即，且，，因此．。

太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷（2018.4.2） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知{}{}2ln(1),2,xP x y x Q y y x P ==-==∈,则=P Q I （ ）.A (0,1) .B 1(,1)2 .C 1(0,)2.D (1,2)2、已知复数(2a iz i i+=-为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（ ） .A 1(2,)2- .B 1(,2)2- .C (,2)-∞- .D 1(+)2∞， 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）.A 锐角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰或直角三角形4、在区间[1,5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ）.A 15 .B 14 .C 35 .D 345、若2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++L 的展开式中的二项式系数和为32，则12+n a a a ++=L （ ）.A 241 .B 242 .C 243 .D 2446、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为（ ）.A 218 .B 4516 .C 9332.D 189647、已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ）.A 若30a >，则20150a < .B 若40a >，则20140a <.C 若30a >，则20150S > .D 若40a >，则20140S >8、已知k R ∈，点(,)P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）.A 15 .B 9 .C 1 .D 53-9、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a ≤- .B 1a <- .C 1a > .D 1a ≥10、平行四边形ABCD 中，1,1,2-=⋅==AD AB AD AB ，点M 在边CD 上，则MB MA ⋅的最大值为（ ）.A 5 .B 2 .C 221- .D 31-11、已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若a AF 21=，3221π=∠AF F ，则=∆∆221ABF F AF S S （ ）.A 1 .B 21 .C 31 .D 3212、不等式2ln (2)2x x x m x m ++-≤有且只有一个整数解，则m 的取值范围为（ ）.A [1,)-+∞ .B (,44ln 2][1,)-∞---+∞U .C (,33ln3][1,)-∞---+∞U .D (44ln 2,33ln3][1,)-----+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、121(1sin 2)x x dx --+=⎰.14、已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈，当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，则b 的取值范围是 .15、如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .16、已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对n N *∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）正视图侧视图俯视图12 212已知23BAC P π∠=，为BAC ∠内部一点，过点P 的直线与BAC ∠的两边交于点,B C ，且,PA AC AP ⊥=（1）若3AB =，求PC ； （2）求11PB PC+的取值范围. 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 的交点为O,2,60PD PB AB PA BCD ====∠=o .（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使平面ABP 与平面MBP 所成锐二面角的若存在，请指出M 点的位置；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分12分）在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布2(95,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？ （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若X ~2(,)N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=②22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++③20()P K K ≥0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0K0.455 0.708…6.6357.87910.828APBCDOA CPB20、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，)0,2(B 为右顶点，若=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得OMN OPQ S S ∆∆=21？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分） 已知函数()(2)()xf x x e ax =--.（1）当0a >时，讨论)(x f 的极值情况； （2）若(1)[()]0x f x a e --+≥，求a 的值.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2+2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为=(0)6πθρ>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积. 23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】 已知函数()||21f x x m x =++-. （1）当=1m 时，解不等式()3f x ≥； （2）若14m <，且当[,2]x m m ∈时，不等式1()12f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．理科数学 参考答案1.B2.C3.C 【解析】由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由正弦定理可得sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B =，又,(0,)+(0,)A B A B ππ∈∈，，所以22A B =或2+2=A B π，即A B =或+=2A B π，当A B =时，cos cos a b A B ==，，此时两直线重合，不符合题意，舍去.则ABC ∆是直角三角形. 4. B 5. B 6.C7.C 【解析】等比数列的公比0q ≠，若30a >，则2201411201510,0,0a q a a a q >∴>∴=>，所以A 错误；若40a >，则3201311201410,0,0a q a q a a q>∴>∴=>，所以B 错误；若30a >，则312=0,1a a q q>∴=时，20150S >，1q ≠时，201512015(1)=0(11a q S q q->--与20151q -同号），所以C 一定成立；易知D 不成立.8.B 【解析】由题意得：d =≤，且2230k k -+>，解得31k -≤≤.2222222=()()4(23)323ab a b a b k k k k k +-+=--+=+-，所以：当=3k -时，ab 取到最大值9.9. A 【解析】由线性区域可得00y >，由题意得0max 02()x a y +≤-，002yx +表示(2,0)-与00(,)x y 两点连线的斜率，由线性规划可得03172y x ≤≤+，所以002713x y +-≤-≤-，1a ≤-. 10.B 11.B12.D 22(2)x x x m -≤-，所以当2x >时，满足2ln 2(2)x x x x m x +-≥-只有一个整数解或当02x <<时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≤-只有一个整数解.令2ln 2()(2)x x x x f x x +-=-，所以222ln 32()(2)x x x f x x -+-'=-，令2()2ln 32g x x x x =-+-，得(21)(2)()x x g x x--'=-，所以()g x 在(0,2)单调递增，(2)+∞，单调递减，所以max ()(2)2ln 24622ln 20g x g ==-+-=>，又(1)0g =，(3)2ln 320,(4)4ln 260g g =->=-<，所以存在0(3,4)x ∈，使0()=0g x ，所以()f x 在(0,1)，0(,)x +∞单调递减，在(1,2)，0(2,)x 单调递增，所以当(0,2)x ∈时，min ()(1)1f x f ==-，当(2,)x ∈+∞时，max 0()()f x f x =，又(3)33ln3(1),(4)44ln 2(1)f f f f =--<=--<，且16(3)(4)ln027ef f -=>，所以2ln 2(2)x x x x x m +-≤-有且只有一个整数解的解为1x =或3x =，所以(1)m f >或(4)(3)f m f <≤，即1m ≥-或44ln 233ln3m --<≤-- 13.2π 14. 1 15. 2 16. [0,)+∞17. 【解析】（1）2=326BAC PAC BAP πππ∠=∠∴∠=，，，在PAB ∆中，由余弦定理知2222cos36PB AP AB AP AB π=+-=g ，得PB AP ，则233BPA APC ππ∠=∠=，.在直角APC ∆中，=cos3AP PC π=（2）设APC θ∠=，则6ABP πθ∠=-，在直角APC ∆中，=cos APPC θ，在PAB ∆中，由正弦定理知,sin()sin 2sin()666AP PB AP PB πππθθ=∴=--.所以2sin()11cos 6=sin PB PC AP AP πθθθ-++==，由题意知1,sin 1622ππθθ<<∴<<，所以11PB PC +的取值范围是1(,1)2. 18.【解析】（Ⅰ）证明：∵ PD ＝PB ，且O 为BD 中点，∴ PO ⊥BD. 在菱形ABCD 中，∵ ∠BCD ＝600，AB ＝2，∴ OA ＝3，OB ＝1. 又PB ＝2， ∴ PO ＝ 3.∵ PA ＝6，∴ PA 2＝PO 2＋OA 2，PO ⊥OA. ∵ BD ∩AO ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）建立如图所示坐标系，则A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(－3，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，3).∴ → AB ＝(－3，1，0)，→ BP ＝(0，－1，3)，→ BC ＝(－3，－1，0)，→CD ＝(3，-1，0)，设平面ABP 的一个法向量为n 1，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→ AB ＝0n 1·→ BP ＝0 得n 1＝(1，3，1)设→ CM ＝λ→ CD ，则→ BM ＝→ BC ＋→ CM ＝→ BC ＋λ→CD ＝(3(λ-1)，－(λ+1)，0).设平面BPM 的一个法向量为n 2，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→ BM ＝0n 2·→BP ＝0 得n 2＝(λ+1，3(λ－1)，λ－1) 由 |cos < n 1，n 2>|＝|5λ－3|5(λ+1)2+4(λ－1)2＝55 得 5λ2－6λ＋1＝0，∴ λ＝1或λ＝15 . 即，当点M 与点D 重合或|→ CM|＝15 |→ CD|时，锐二面角的余弦值为55.19.【解析】解：（1）∵语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为11(130)(10.96)0.022p P X =≥=-⨯=， 数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.02=10⨯人， 数学特别优秀的同学有5000.024=12⨯人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，321101063316161231066331616327(0),(1),1456151(2),(3),5628C C C P X P X C C C C C P X P X C C ============∴X 的分布列为：X 0123P314275615561283271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）2×2列联表：语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)=144.5 6.6351049012488K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20. 【解析】=，即2227b a a +=，由右顶点为)0,2(B ，得2=a ，解得32=b ，所以1C 的标准方程为13422=+y x . （Ⅱ）依题意可知2C 的方程为x y 42-=，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1-=ky x ，),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x M ，),(44y x N ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ky x ，得096)43(22=--+ky y k ， 由韦达定理得436221+=+k k y y ，439221+-=k y y ，则431122221++=-k k y y ，联立方程组⎩⎨⎧-=-=xy ky x 412，得0442=-+ky y ，由韦达定理得k y y 443-=+，443-=y y ，所以14243+=-k y y ，若OMN OPQ S S ∆∆=21，则432121y y y y -=-，即1243112222+=++k k k ，解得36±=k ，所以存在符合题意的直线方程为0136=++y x 或0136=+-y x . 21.【解析】（1）已知()()(2)()(1)2(1)(1)(2)x x x xf x e ax x e a x e a x x e a '=-+--=---=--因为0a >，由()0f x '=得1x =或ln 2x a =. ① 当=2e a 时，()(1)()0xf x x e e '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值； ② 当02ea <<时，ln21a <，则所以：有极大值(ln 2)=(ln 22)f a a a --，极小值 ③2ea >时，ln21a >，则所以：有极大值，极小值(ln 2)=(ln 22)f a a a -- 综上所述：02e a <<时，()f x 有极大值2(ln 22)a a --，极小值a e -； =2ea 时，()f x 无极值；2e a >时，()f x 有极大值a e -，极小值2(ln 22)a a --； （2）令()()g x f x a e =-+，则(1)()0x g x -≥， 且()()(1)(2)xg x f x x e a ''==--①0a ≤时，20xe a ->，所以当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g >=，此时(1)()0x g x -<，不满足题意；③ 由于()g x 与()f x 由相同的单调性，由（1）知 a.当=2ea 时，()g x 在R 上单增，且(1)=0g ，所以1x ≥时，()0g x ≥，1x <时，()0g x <， 所以当=2ea 时，恒有(1)()0x g x -≥，满足题意； b.当02ea <<时，()g x 在(ln 2,1)a 上单减，所以(ln 2,1)x a ∈时，()(1)=0g x g >，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；c.当2ea >时，()g x 在(1,ln 2)a 递减，所以当(1,ln 2)x a ∈时，()(1)=0g x g <，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；综上：=2e a . 22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程：22(2)4x y -+=，即22-40x y x +=.所以1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即=4cos ρθ.曲线3C 的直角坐标方程：(0)y x x =>，...........5分 （2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为12(,),(,)66ππρρ.将=6πθ代入=4cos ρθ，得1ρ， 将=6πθ代入=2sin ρθ，得2=1ρ，所以121PQ ρρ=-=，依题意得，点1C 到曲线=6πθ的距离为1sin 16d OC π==.所以11111)222C PQ S PQ d ∆===g . ......10分 23. 【解析】（1）当=1m 时，()|1|21f x x x =++-，则-3(1)1()2-(1)213()2x x f x xx x x ⎧⎪<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥，即原不等式的解集为(,1][1,)-∞-⋃+∞........5分（2）1()12f x x ≤+，即11+2-1122x m x x +≤+，又[,2]x m m ∈且14m <， 所以10,4m <<且0x > 所以11+121222m x x x ≤+--.即221m x x ≤+--. 令()221t x x x =+--，则131(0)2()13()2x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以[,2]x m m ∈时，min ()()=31t x t m m =+， 所以31m m ≤+，解得12m ≥-， 所以实数m 的取值范围是1(0,)4. ......10分。

2018届⼭西省⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试题Word 版含答案2018届⼭西省⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试题（word 版）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（） A ． 0 B ． -4 C ． -4或1 D ．-4或02. 某天的值⽇⼯作由4名同学负责，且其中1⼈负责清理讲台，另1⼈负责扫地，其余2⼈负责拖地，则不同的分⼯共有（）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,lo g 6a f b f c f ===，则,,a b c 的⼤⼩关系是（） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<4.在平⾏四边形A B C D 中，点E 为C D 的中点，B E 与A C 的交点为F ，设,AB a A D b ==，则向量B F =（） A ．1233a b +B ．1233a b --C. 1233a b -+D ．1233a b -5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0O A O B <，则的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对⼀些特殊的⼏何体有特定的称谓，例如：将底⾯为直⾓三⾓形的直三棱柱称为堑堵.将⼀堑堵沿其⼀顶点与相对的棱刨开，得到⼀个阳马（底⾯是长⽅形，且有⼀条侧棱与底⾯垂直的四棱锥）和⼀个鳖臑（四个⾯均匀直⾓三⾓形的四⾯体）.在如图所⽰的堑堵111A B C A B C -中，15,3,4A A A C AB BC ====，则阳马111C A B B A -的外接球的表⾯积是（）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7. 若,x y 满⾜约束条件44030y x x y x y ≤?+-≥??+-≤?，则1x y +的取值范围是（）A ．5,113??B ．13,115??C. 3,115??D ．15,113??8. 执⾏如图所⽰的程序框图，如果输⼊的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（）A ． 28e B ． 36e C. 45e D ．55e9.在A B C ?中，点D 为边A B 上⼀点，若3,32,3,s in 3B C C D A C A D A B C ⊥==∠=，则A B C ?的⾯积是（） A ．922 B ．1522C. 62 D ．12210.某市1路公交车每⽇清晨6：30于始发站A 站发出⾸班车，随后每隔10分钟发出下⼀班车.甲、⼄⼆⼈某⽇早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，⼄在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同⼀班公交车的概率是（） A ．16B ．14C.13D ．51211.如图，R t A B C ?中，,6,2A B B C A B B C ⊥==，若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的A ．B ．C. D ．12. 定义在R 上的函数()f x 满⾜()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ?-+≤<=?-≥?，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成⽴，则实数m 的最⼤值是（） A ． -1 B ．12-C. 13-D ．13⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.在复平⾯内，复数()228z m m m i =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是． 14.已知ta n 24πα??+=-，则1s in 2c o s 2αα-= ． 15.过双曲线()2222:10,0x y E a b ab-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右⽀有两个不同的公共点，则双曲线离⼼率的取值范围是．16.⼀个正⽅体的三视图如图所⽰，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正⽅体的体积是．三、解答题：共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答. （⼀）必考题：共60分.17. 已知等⽐数列{}n a 中，*11211120,,,64n nn n a a n N a a a ++>=-=∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()221lo g nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.某快递公司收取快递费⽤的标准是：重量不超过1k g 的包裹收费10元；重量超过1k g 的包裹，除1k g 收费10元之外，超过1k g 的部分，每超出1k g （不⾜1k g ，按1k g 计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位：k g ） 123 4 5包裹件数43 30 15 8 4公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500包裹件数（近似处理）6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之⼀作为前台⼯作⼈员的⼯资和公司利润，剩余的⽤作其他费⽤.⽬前前台有⼯作⼈员3⼈，每⼈每天揽件不超过150件，⼯资100元.公司正在考虑是否将前台⼯作⼈员裁减1⼈，试计算裁员前后公司每⽇利润的数学期望，并判断裁员是否对提⾼公司利润更有利？19.如图，在多⾯体A B C D E F 中，四边形A B C D 为菱形，//,A F D E A F A D ⊥，且平⾯B E D ⊥平⾯A B C D .（1）求证：A F C D ⊥；（2）若0160,2B A D A F A D E D ∠===，求⼆⾯⾓A F B E --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b ab+=>>过点21,2??，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的⽅程；（2）若,,A B P 为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且O P O A O B =+，求证：四边形O A P B 的⾯积为定值.21. 已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈. （1）当12时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有⼀个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成⽴，求m 的取值范围.（⼆）选考题：共10分.请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.22. 【选修4-4：坐标系与参数⽅程】在平⾯直⾓坐标系x O y 中，曲线1C 的参数⽅程为：c o s sin x y θθ=??=?（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：3x xy y'='=??得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴坐标系，求2C 的极坐标⽅程；（2）若直线c o s :sin x t l y t αα=??=?（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且21A B =-，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()1f x x a a R=--∈.（1）若()f x的最⼩值不⼩于3，求a的最⼤值；（2）若()()2g x f x x a a=+++的最⼩值为3，求a的值.试卷答案⼀、选择题1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC⼆、填空题13. ()2,0- 14.12- 15. ()1,5 16.三、解答题17.解：（1）设等⽐数列{}n a 的公⽐为q ，则0q >，因为12112nn n a a a ++-=，所以11111112n nn a qa qa q-+-=，因为0q >，解得2q =，所以17*122,64n n n a n N --==∈；（2）()()()()()()2227221lo g 1lo g 2nn n n b a n -=-=-=--，设7n c n =-，则()()21nn n b c =-，()()()()()()222222212342121234212n n n n nT b b b b b b c c c c c c --=++++++=-++-+++-+??()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++ ()()2123421226272132132n n n n c c c c c c n n n n --+-=++++++==-=-.18.解：（1）样本中包裹件数在101400之间的天数为48，频率48460 5f ==，故可估计概率为45显然未来3天中，包裹件数在101400之间的天数X 服从⼆项分布，即43,5XB ?? ???，故所求概率为223414855125C = ???；（2）①样本中快递费⽤及包裹件数如下表：包裹重量（单位：k g ） 1 2345快递费（单位：元）10 15 20 25 30 包裹件数43 30 15 84故样本中每件快递收取的费⽤的平均值为10431530201525830415100++++=（元），故该公司对每件快递收取的费⽤的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台⼯资和公司利润增加11553 =（元），将题⽬中的天数转化为频率，得包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500 包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450。

山西省太原市2018届高三数学3月模拟考试试题（一） 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21|log ,2,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A ． ()1,+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等比数列{}n a 中，2583218,S 3a a a a a =-=+，则1a =（ ） A ．12 B ．12- C. 29- D ．19- 6. 函数2ln xy x x=+的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，若a b +的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为（ ） A ． 4 B ． 2 C. -4 D ．-28.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足060AFB ∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 （ ）A ．2AB MN ≥ B ．23AB MN ≥ C. 3AB MN ≥ D ．AB MN ≥9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43 B ．83C. 2 D ．4 10.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，若()2,04f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，那么ω的取值共有 （ ）A ． 6个B ． 7个 C. 8个 D ．9个11.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ） ABC. 203π D12.设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ ） A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 92ln 21,10+⎛⎤⎥⎝⎦ D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.在多项式()()65121x y ++的展开式中，3xy 的系数为___________．14.已知双曲线2222:1x y C a b -=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率e =___________．15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．16.数列{}n a 中，()()*110,121,2n n a a a n n N n -=--=-∈≥，若数列{}n b 满足18111n n n b n a -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的最大项为第__________项．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+．（1）求()()sin sin coscos A B A A A B +++-的最大值； （2）若b =ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．（1）若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？ （2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为415，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望；附：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆ,niiinii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD PA BD ⊥． （1）求证：PB PD =；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为()21,0F ，点31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆方程；（2）若直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程． 21. ()()()()1,1,x f x a x g x ax e a R =-=-∈．（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切； （2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a 的范围．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11、12：BC 二、填空题13. 120 14. 315. 25 16. 6三、解答题 17.解：（1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=，cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=；由()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++，令sin cos t A A =+，原式21122t =+-， 当且仅当4A π=时，上式的最大值为52．（2）2221sin ,b 2cos 24S ac B a c ac B ===+-，即(2222,2a c ac ac =+≥≤+a c ==12MAX S =，周长L a b c =++=18.解：（1）6,146x y ==，经计算ˆ20,26ba ==，所以线性回归方程为ˆ2026y x =+， 当9x =时，y 的估计值为206元；（2）X 的可能取值为0，300，500，600，800，1000；()441601515225P X ==⨯=；()418300215345P X ==⨯⨯=；()2416500251575P X ==⨯⨯=；()111600P X ==⨯=；()2148002P X ==⨯⨯=；()2241000P X ==⨯=；所以X 的数学期望()600E X =． 19．解：（1）连接,AC BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形，∴,AC BD OB OD ⊥=， 又,PA BD PA ⊥⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥， 又OB OD =，∴PB PD =； （2）设PD 的中点为Q ，连接,AQ EQ ，则1//,2EQ CD EQ CD =， 又11//,22AF CD AF AB CD ==，∴//,EQ AF EQ AF =， ∴四边形AQEF 为平行四边形，∴//EF AQ ， ∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ PD ⊥，∵Q 是PD 的中点，∴AP AD ==∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ CD ⊥，又,AD CD AQ AD A ⊥=，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥， 又,BD PA BDCD D ⊥=，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)((),,0,0,0,0,22BP A Q ⎛ ⎝⎭，∴(220,,,2,0,22AQ PB ⎛⎫==⎪ ⎝⎭，∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ 为平面PCD 的一个法向量．∴1cos ,2AQ PBAQ PB AQ PB==-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则1sin cos ,2AQ PB θ==， ∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π． 20.解：（1）()21,0F ，∴1c =，由题目已知条件知222219141ab a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2,a b ==，所以22143x y +=； （2）由椭圆对称性知G 在0x x =上，假设直线l过椭圆上顶点，则(M ，∴85k N ⎛=⎝⎭，))12:2,:2A MA N l y x l y x =+=-，∴G ⎛ ⎝⎭，所以G 在定直线1x =上．当M 不在椭圆顶点时，设()()1122,,,M x y N x y ，()224143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222343264120k xk x k +-+-=，所以22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，()()121212:2,:222A M A N y y l y x l y x x x =+=-+-，当1x =时，1212322y y x x -=+-得()12122580x x x x -++=，所以()222222834641232250343434k k k k k k+--+=+++显然成立，所以G 在定直线1x =上． 21.解：（1）设切点为()00,x y ，则()()()0000000011,1xxxy a x ax e a x e x e =-=--+= ①，()y f x =和()y g x =相切，则()()()00001,1x x x x a g x a ax e a x e e e '==+-+-= ②，所以00000011x x xx e x x e e -+=+-，即0020xe x +-=．令()()2,10x x h x e x h x e '=+-=+>，所以()h x 单增．又因为()()010,110h h e =-<=->，所以，存在唯一实数0x ，使得0020x e x +-=，且()00,1x ∈．所以只存在唯一实数a ，使①②成立，即存在唯一实数a 使得()y f x =和()y g x =相切．（2）令()()f x g x >，即()()11x a x ax e ->-，所以11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 令()1x x m x x e -=-，则()2x xe x m x e+-'=，由（1）可知，()m x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞单增，且()00,1x ∈，故当0x ≤时，()()01m x m ≥=，当1x ≥时，()()11m x m ≥=， 当0a <时，因为要求整数解，所以()m x 在x Z ∈时，()1m x ≥，所以()1am x <有无穷多整数解，舍去； 当01a <<时，()1m x a <，又()()11,011m m a>==，所以两个整数解为0，1，即()()1211m am a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩， 所以2221e a e ≥-，即22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭，当1a ≥时，()1m x a <，因为()11,m x a≤在x Z ∈内大于或等于1， 所以()1m x a <无整数解，舍去，综上，22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭．22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为21x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a +-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94． 23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤；综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。

2018高三数学(理)3月模拟考试题一（太原市附答案）
c 2
8已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则（）
A． B． c D．
9 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A． B． c 2 D．4
10已知函数，若，在上具有单调性，那么的取值共有（）A． 6个 B． 7个 c 8个 D．9个
11三棱锥中，底面为正三角形，若，则三棱锥与三棱锥的共部分构成的几何体的外接球的体积为（）
A． B． c D．
12设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（）
A． B． c D．
二、填空题本大题共4道，每小题5分，共5不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5 AABDB 6-10 ccDAD 11、12Bc
二、填空题
13 120 14 15 16 6
三、解答题
17解（1）由得，
，即，，；
由，
令，原式，。

山西省太原市2018届高三数学3月模拟考试试题（一） 文第I 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==⎨⎩，则A B =（ ） A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2. 设复数z 满足11zi z-=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9 C. 18 D ．276. 函数()2241x x x f x =-的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，则动点(),P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A ． 4B ． 8 C. 16 D ．328.抛物线28y x =的焦点为F ，设,A B 是抛物线上的两个动点，AF BF +=，则AFB ∠的最大值为（ ）A ．3πB ．34π C. 56π D ．23π9. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（ ）A B ．1 10.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()02f f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω= （ ） A ．23 B ． 2 C. 143 D ．26311.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的体积为（ ）A 13D 12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.若双曲线()222:x 10y C b b-=>的离心率为2，则b =___________．14.函数sinx xy e =+在点()0,1处的切线方程是 ___________．15.在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则实数λμ+=___________．16.已知数列{}n a 满足()*1112,2,2018,2017n n n a a a n N n a a +-=-∈≥==，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则100S 的值为__________．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+． （1）求角B ；（2）若b =，当ABC ∆的面积最大值．18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．（1）若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？（2）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．附：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y b ay bx x x==--==--∑∑． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060,2BAD PA PD AD ∠====，点M 在线段PC 上，且2,PM MC N =为AD 的中点． （1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为()22,0F ，点(2,B 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,M N ，在x 轴上，是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数()()()2ln 2,2xxf x x ax a xg x e =-+-=-． （1）求函数()f x 的极值；（2）若对任意给定的(]00,x e ∈，方程()()0f x g x =在(]0,e 上总有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: AABDD 6-10: AADAC 11、12：BB 二、填空题14. 210x y -+= 15. 4316. 2016 三、解答题17.解：（1）利用正弦定理得：sin cos sin cos sin cos A C CC B C+=， sin cos sin sin sin cos cos sin B C B C B C B B +=+，又sinB 0≠，所以tan 1,4B B π==；（2）由正弦定理得：22sin 2b R B===，∴1R =，max 112S ⎛== ⎝⎭． 18.解：（1）由题意可求得回归方程为ˆˆ2026yx =+，据此预算售出8箱水时，预计收入为206元；766561651421481251506,14655x y ++++++++====，()()()1211900210ˆˆˆ20,1462062610010niii nii x x y y bay bx x x ==--++++===-=-⨯=++++-∑∑，∴ˆˆ2026yx =+， 当9x =时，ˆ20926206y=⨯+=，即某天售出9箱水的预计收益是206元； （2）设事件1A ：甲获一等奖；事件2A ：甲获二等奖；事件1B ：乙获一等奖，事件2B ：乙获二等奖，事件1C ：丙获一等奖；事件2C ：丙获二等奖， 则总事件有：()()()()()()()()111112121112211212221222,,C ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C ，8种情况．甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有()222,,A B C 1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率18P =． 19．解：（1）∵,PA PD N =为AD 的中点， ∴PN AD ⊥，又∵底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=， ∴ABD ∆为等边三角形，∴BN AD ⊥，又∵PN BN N ⋂=，∴AD ⊥平面PNB ， ∵2PA PD AD ===，∴PN NB ==又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面,ABCD AD PN AD =⊥，∴PN NB ⊥，∴1322PNB S ∆==， ∵AD ⊥平面,AD//BC PNB ， ∴BC ⊥平面PNB ，又2PM MC =，∴22132233323P NBM M PNB C PNB V V V ---===⨯⨯⨯=． 20.解：（1）依题意，2c =，∵点(2,B 在C 上， ∴22421a b+=， 又∵222a b c =+，∴228,4a b ==，∴椭圆方程为22184x y +=； （2）假设存在这样的点P ，设()()011,0,,P x E x y ，则()11,F x y --，()22221280184y kxk x x y =⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩，解得11x y ==，()A -，∴AE所在直线方程为()22y x =+，∴M ⎛⎝， 同理可得N ⎛⎫⎝，0022,kPM x PN x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎝⎝， 20040PM PN x =⇒-=，∴02x =或02x =-，∴存在点P ，使得无论非零实数k 怎么变化，总有MPN ∠为直角，点P 坐标为()2,0或()2,0-．21.解：（1）()()()()211122x ax f x ax a x x+-+'=-+-=， ①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,+∞单调递增，()f x 无极值； ②当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，111ln 1f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大，综上所述，0a ≤时，()f x 无极值；0a >，111ln 1f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大． （2）()()12,x xx xg x g x e e-'=-=，令()()()0,,1,g g x x x '>∈-∞单增；()()(),10,x g x g x '∈-∞<递减．(]0,x e ∈时，()12,2g x e ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．依题意，()()max10112afg x a f e ⎧<<⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤-⎪⎩，由()2122f e ae e ea =-+-≤-，得232e a e e +≥+， 由1111ln 12f a a a e ⎛⎫=+->-⎪⎝⎭，即11ln 1a a e -+<，令()11ln h a a a e =-+，可知()h a 单增，且()1h e =，∴11ln 1a a e -+<，得()0,a e ∈，综上所述，232ea e e e+≤<+． 22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为212x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a +-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94． 23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤；综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。

2019-2020学年湖北省孝感高中高三英语下学期期中试题及参考答案第一部分阅读（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项AYOU ARE WANTEDBrunetti CaféWe’ re looking for breakfast and lunchtime waiters and waitresses to work in our café on Sundays.Call Bella on 612398745 (8 a.m. — 4 p.m.)Babysitter neededWe need a babysitter to look after our boys aged 5 and 7 after school from4 p.m. — 6 p.m.Monday to Friday.£40/ weekCall Mary on 678345211Holiday jobDo you want to earn some extra money this summer? Do you speak another language? We need French, Spanish or German speakers to work for us in the City Museum shop from Tuesday to Friday.******************************Newspaper roundWe need young people to deliver newspapers on Monday and Friday mornings before school, The paper round takes 30 minutes in the village of Brook. Papers must be delivered before 8 a.m. and you must have your own bike.********************************1.How much will you be paid every week if you look after Mary’s children?A.£40.B.£50.C.£60.D.£70.2.If you want to work in the City Museum shop, you must ________.A.have your own bikeB.speak another languageC.be interested in museumsD.be at work before 8:00 a.m.3.If you want to work before going to school in the morning, you can ________.A.call Mary on 678345211B.call Bella on 612398745******************************************************************BDengue is a very painful illness spread by mosquitoes. In severe cases, dengue can even be deadly. Dengue is a serious disease affecting people in around 120 countries. It can cause high fevers, headaches, and severe pain. It’s caused by a virus spread by bites from mosquitoes. Therefore, dengue is more common in warm areas. Every year, roughly 390 million people get dengue, and as many as 25,000 die from it.Now scientists seem to have found a way to protect humans from dengue by first protecting mosquitoes. Dengue fever is caused by a virus. Though it may seem strange to think of it this way, the mosquitoes that spread the dengue virus are also infected with it. But the virus doesn’t seem to hurt the mosquitoes.Wolbachia is a kind of bacteria commonly found in many insects. In some insects, Wolbachia can keep some viruses fromduplicatingthemselves, which is how viruses grow inside a body. Wolbachia isn’t naturally found in mosquitoes. But by infecting these mosquitoes with Wolbachia, scientists can keep the mosquitoes from catching the dengue virus. Even better, the young mosquitoes coming from the eggs of the infected mosquitoes also carry Wolbachia.Researchers working with the World Mosquito Program (WMP) ran a 27-month study in Yogyakarta, Indonesia. They split a 10-square-mile area up into 24 smaller areas. In half of the areas, the scientists did nothing. In the other half, they set out containers of eggs from mosquitoes that had Wolbachia. They did this every two weeks for just 4 to 6 months.Ten months later, 80% of the mosquitoes in the treated areas carried Wolbachia. The researchers report the number of dengue cases in the treated areas was reduced by 77% and that the number of people needing hospital care for dengue dropped by 86%.Because the results of the experiment were so good, the WHO has placed Wolbachia-infected mosquito eggs in all parts of Yogyakarta and surrounding areas. The WHO says that within a year, their efforts will protect 2.5 million people against dengue and that their efforts will be turned into a program that can be repeated worldwide.4. What kind of disease is dengue?A. It is likely to cause death.B. It causes no pain but fevers.C. It happens less often in hot areas.D. It hurts both people and mosquitoes.5. The underlined word “duplicating” in paragraph 3 most probably means “________”.A. worsening the harm ofB. expanding the size ofC. increasing forces ofD. making copies of6. What can be inferred about the method from the figures listed in paragraph 5?A. Its wide use.B. Its effectiveness.C. Its complexity.D.Its easy operation.7. What’s the WHO’s attitude towards the method?A. Ambiguous.B. Positive.C. Tolerant.D. Skeptical.CMost animals living in crowded conditions have particularly strong immune systems, so it long puzzled researchers that honeybees do not.Part of the answer, discovered in 2015, is that queen bees vaccinate their eggs by moving parts of proteins from disease-causing pathogens to them before they are laid. These act as antigens totriggerthe development of a protective immune response in the developing young. But that observation raises the question of how the queen receives her antigen supply in the first place? Dr. Harwood wondered if the nurse bees were taking in parts of pathogens and passing them to royal jelly they were producing while eating the food brought to the hive.To test this idea, he teamed up with a group at theUniversityofHelsinki, inFinland, led by Dr Heli Salmela. Together, they collected about 150 nurse bees and divided them among six queenless mini hives equipped with baby bees to look after. Instead of honey, they fed the nurses on sugar water, and for three of the hives they added P. larvae, a bacterium causing a hive-killing disease, to the sugar water.In this case, to stop such an infection happening, Dr Harwood and Dr Salmela heat-treated the pathogens and so killed them in advance. They also labelled the dead bacteria with a fluorescent dye, to track them easily. And, sure enough, it was confirmed that parts of P. larvae were getting into royal jelly released by those bees which had been fed with the sugar water containing that.All told, these findings suggest that nurse bees are indeed, through their royal jelly, passing antigens onto the queen for vaccinating her eggs. They also mean the nurses are vaccinating baby bees as well, because baby bees, too, receive royal jelly for the first few days after they come out.8. What does the underlined word “trigger" in Paragraph 2 probably mean?A. Cut out.B. Set off.C. Slow down.D. Put off.9. Which is the main experimental subject in Paragraph 3?A. Queen bees.B. Nurse bees.C. Bee eggs.D. Baby bees.10. Why was P. larvae added to the sugar water?A. To test if it would cause a hive-killing disease.B. To check how the bacterium would affect the hive.C. To see whether the target bees would favor the taste.D. To confirm the bees would pass pathogens to royal jelly.11. What is the text mainly about?A. How bees multiply.B. How antigens function.C. How bees get vaccinated.D. How immune system works.DIn a recent survey of 2000 Americans, housecleaning was shown to have some mood-boosting effects — but that doesn't mean everybody is willing to do it.The majority of respondents (受访者) said cleaning gave them a sense of accomplishment (65%) and helped them clear their mind (63%). Half of these adults said they are most often motivated to clean when they're happy. In fact, 63% of those surveyed find the experience of cleaning to be relaxing - even more so than getting fresh air (61%).But that's not the only reason people clean. A big 70% admitted that tidying their home was a way of putting off having to do other things, with the average procrastinator (拖延者) using that trick four times a week. The survey showed that 86% of respondents do feel on top of their housework, but the last deep clean of their kitchen happened over a week and a half ago. That's no surprise because the kitchen is most terrible of all.Conducted by OnePoll on behalf of DishFish, the survey investigated people's attitudes toward dirty dishes and how they get through tricky task. More than two-thirds of people (69%) let their dishes pile up between washings with 20% saying “always” letting them be placed in the sink, which left them feeling stressed. More than any other room, the kitchen was rated as “very difficult” to cope with. And most people enjoy cleaning their toilet or taking out the garbage more than washing dishes by hand.How do they get through it? 66% listen to music while they clean. 72% have a best-loved song that they sounded while tidying up their home, with “Uptown Funk,”“Read All About It” and “Work” being the three favorite tunes on America's cleaning playlist.12. What is the result of the survey?A. Housecleaning may contribute to a good mood to some extent.B. Housecleaning may strengthen people's willingness to volunteer.C. Housecleaning may cause anxiety and concern for some people.D. Housecleaning may improve people's motivation to other housework.13. What is the top reason why people undertake housecleaning?A. They can entertain themselves.B. They can take in fresh air.C. They get a sense of achievement.D. They can delay other things.14. What are respondents' attitudes to dirty dishes?A. Many would rather wash dishes than throw out the rubbish.B. Half are under pressure with dirty dishes lying in the sink.C. A quarter will let dirty dishes pile up after their meals.D. Most prefer cleaning their toiletto washing dishes by hand.15. What column does the text belong to?A. Feature Story.B. Family Life.C. Scientific Hotspot.D. Finance Focus.第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。

太原市2018年高三年级模拟试题（三）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}2|320,|230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B =（ ）A ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若()125i z i -+=-，则z 的值为（ ）A ． 3B ．5C 3. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤”恒成立的（ ） A ． 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件4. 若01a b <<<，则1,,log ,log b a b aa b a b 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()112mod3=.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ． 22 C. 23 D ．246. 已知()()611x ax -+展开式中2x 的系数为0，则正实数a =（ ） A ．1 B ．25 C. 23D ．2 7. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1111,3n n a S a +==，则7a =（ ） A ．74 B ．534⨯ C. 634⨯ D ．641+8. 如图是正四面体的平面展开图，,,,G H M N 分别是,,,DE BE EF EC 的中点，在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．49. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于,M N 两点，若3PF MF =，则MN =（ ） A ．163B ．8 C. 16 D 8310. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A ．． -1 C. 1 D11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．514π B ．412πC. 41π D ．31π 12. 设函数()f x 满足()()()2232,28xe xf x x f x e f '+==，则2x ≥时，()f x 的最小值为（ ）A ． 22eB ．232e C. 24e D ．28e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.由曲线y =y x =所围成的图形的面积是．14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为,F M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为．15.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有种（用数字作答）.16.已知数列{}n a 与{}n b 满足()()()1*113121,2n nn n n n n b a b a b n N -+++-+=-+=∈，且12a=，则2n a =．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC ∆的内切圆面积为π，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2cos cos b c A a C -=. （1）求角A ；（2）当AB AC 的值最小时，求ABC ∆的面积.18. 如图，在梯形ABCD 中，0//,120AB CD BCD ∠=，四边形ACFE 为矩形，CF ⊥平面,ABCD AD CD BC CF ===，点M 是线段EF 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）求平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角的余弦值.19.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该车在第四年续保时的费用，求X的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.20. 已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的一个焦点为)，离心率为2.不过原点的直线l与椭圆C相交于,M N两点，设直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为12,,k k k，且12,,kk k成等比数列.（1）求12k k的值；（2）若点D在椭圆C上，满足()221,0OD OM ONλμλμλμ=++=≠的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数()()()ln20f x x a ax a=+->的最大值为()M a.（1）若关于a的方程()M a m=的两个实数根为12,a a，求证：1241a a<；（2）当2a>时，证明函数()()g x f x x=+在函数()f x的最小零点x处取得极小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为3cos33sinxyϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:6OM πθ5=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x =++-.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()10f x ax +->的解集为R ，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADC 6-10: BBCAB 11、12：CD 二、填空题13. 1614. 2 15. 120 16.142n -三、解答题17.解：（1）由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=， ∵sinB 0≠，∴2cos 1A =， ∴3A π=；（2）由余弦定理得222a b c bc =+-， 由题意可知ABC ∆的内切圆半径为1，如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，,D E 为切点，可得2,AI AD AE ===，则b c a +-=于是(222b c b c bc +-=+-，化简得()4b c =+≥ 所以12bc ≥或43bc ≤，又b c >>12bc ≥，即[)16,2AB AC bc =∈+∞， 当且仅当b c =时，AB AC 的最小值为6，此时三角形ABC 的面积11sin 12sin 223bc A π==⨯⨯=18.解：（1）在梯形中ABCD ，∵0//,,120AB CD AD BC BCD =∠=， ∴060,120DAB ABC ADC ∠=∠=∠=， 又∵AD CD =，∴030DAC ∠=，∴030CAB ∠=，∴090ACB ∠=， 即BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC CF ⊥，而CF BC C =，∴AC ⊥平面BCF ，∵//EF AC，∴EF ⊥平面BCF ； （2）建立如图所示空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====， 则())()0,0,0,,0,1,0,2C AB M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴()33,1,0,,1,12AB BM ⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭， 设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由110n AB nBM⎧=⎪⎨⎪⎩得002y x y z ⎧+=-+=⎩，取1x =，则11,3,2n ⎛= ⎝⎭，∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量，∴1212cos 191n n n n θ===+. 19.解：（1）由题意可知X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a ，由统计数据可知：()()()()()()1111310.9,0.8,0.7,, 1.1, 1.348841616P X a P X a P X a P X a P X a P X a ============，所以X 的分布列为（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为4，三辆车中至少有2辆事故车的概率为321311351144432P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为4000,8000-. 所以的分布列为：所以()40008000500044E Y =-⨯+⨯=， 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y ⨯=万元. 20.解：（1）由已知得c c e a ===224,1a b ==， 故椭圆C 的方程为2214x y +=； 设直线l 的方程为()()()11220,,,,y kx m m M x y N x y =+≠，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222148410,0k x kmx m +++-=∆>， 则()2121222418,1414m kmx x x x k k-+=-=++， 由已知()()()21212221212121212kx m kx m km x x m y y k k k k x x x x x x ++++====+，则()2120km x x m ++=，即22222810,144k m m k k -+==+， 所以21214k k k ==； （2）假设存在直线l 满足题设条件，且设()00,D x y ， 由OD OM ON λμ=+，得012012,x x x y y y λμλμ=+=+，代入椭圆方程得：()()22121214x x y y λμλμ+++=，即2222221212121221442x x x x y y y y λμλμλμ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则121240x x y y +=，即()()121240x x kx m kx m +++=， 则()()22121214440k x x km x x m ++++=， 所以()()2222222413214401414m k m km k k-+-+=++， 化简得：22214m k =+，而214k =，则1m =±， 此时，点,M N 中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与12,k,k k 成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在.21.解：（1）()()121,2,022a x a a f x a x a a x a x a⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=-=>->++，由()0f x '>， 得122a x a a -<<-；由()0f x '<，得12x a a>-； 所以，()f x 的增区间为12,2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，减区间为12,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以()21221ln M a f a a a a ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， 不妨设12a a <，∴22112221ln 21ln a a a a --=--，∴()222212112ln ln lna a a a a a -=-=， ∴22212121212ln a a aa a a a a -=，∴2121212142ln a a a a a a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴211221122ln4a a a a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设()()12ln 1h t t t t t =-->，则()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，所以，()h t 在()1,+∞上单调递增，()()10h t h >=，则12ln 0t t t->>，因211aa >，故2212121121122ln2ln 0,1a a a a a a a a a a a a ->><-，所以1241a a <； （2）由（1）可知，()f x 在区间12,2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，又2x a →-时，()f x →-∞， 易知，()21221ln f a M a a a a ⎛⎫-==--⎪⎝⎭在()2,+∞递增，()()27ln 20M a M >=->， ∴0122a x a a -<<-，且02a x x -<<时，()0f x <；012x x a a<<-时，()0f x >， 当122a x a a -<<-时，()()()()()()001ln 2,21ln 21,2a x x a a x x g x x a a x x x a a ⎧+-+-<<⎪=⎨⎛⎫+--<<- ⎪⎪⎝⎭⎩，于是02a x x -<<时，()()()0111122g x a a x a x a'=+-<+-++， 所以，若证明0121x a a <-+，则证明()01102a x a +-<+， 记()()211221ln 111H a f a a a a a ⎛⎫=-=+--+⎪++⎝⎭，则()()211411H a a a a '=--++，∵2a >，∴()118093H a '>-->，∴()H a 在()2,+∞内单调递增，∴()()222ln 203H a H >=->， ∵11221a a a a-<-+， ∴()f x 在112,22,21a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-⊆-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭内单调递增， ∴012,21x a a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭，于是02a x x -<<时， 22.解：（1）圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），∴圆C 的普通方程为()2239x y +-=；（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程6sin ρθ=，设()11,P ρθ，则由6sin 6ρθπθ=⎧⎪5⎨=⎪⎩解得1153,6πρθ==， 设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==，∴211PQ ρρ=-=.23.解：（1）∵函数()()21213f x x x x x =++-≥+--=， 故函数()21f x x x =++-的最小值为3， 此时21x -≤≤；（2）当不等式()10f x ax +->的解集为R ，函数()1f x ax >-+恒成立， 即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，函数()21,2213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩，而函数1y ax =-+表示过点()0,1，斜率为a -的一条直线， 如图所示：当直线1y ax =-+过点()1,3A 时，31a =-+， ∴2a =-，当直线1y ax =-+过点()2,3B -时，321a =+，∴1a =， 数形结合可得a 的取值范围为()2,1-.。