最新高三第二轮复习测试卷文科数学(三)

最新高考数学二模试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效）1．已知全集U=R，集合M={x|0＜x＜2}，集合N={x|x≥1}，则集合M∩（∁U N）等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜1} D．∅2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值（）A．130 B．260 C．156 D．1684．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN=BC=4，PA=4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．若正实数a，b满足a+b=4，则log2a+log2b的最大值是（）A．18 B．2 C．2D．26．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别（0，10] （10，20] （20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.647．已知圆x2+（y﹣2）2=4的圆心与抛物线y2=8x的焦点关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x﹣y=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x﹣y﹣2=08．已知一个三棱柱的底面是正三角形，且侧棱垂直于底面，此三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为（）A．24+B．24+2C．14D．129．一个算法流程图如图所示，要使输出的y值是输入的x值的2倍，这样的x值的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．610．区间[0，2]上随机取一个数x，sin的值介于到1之间的概率为（）A．B．C．D．11．已知直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交A，B两点，O为坐标原点，若△AOB是正三角形，则双曲线的离心率是（）A．B． C．D．12．已知函数y=f（x），y=g（x）的导函数的图象如右图所示，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A．B． C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置）13．已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．15．若曲线f（x）=x2﹣e x不存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．16．下列4个命题：①∃x∈（0，1），（）x＞log x．②∀k∈[0，8），y=log2（kx2+kx+2）的值域为R．③“存在x∈R，（）x+2x≤5”的否定是”不存在x∈R，（）x+2x≤5”④“若x∈（1，5），则f（x）=x+≥2”的否命题是“若x∈（﹣∞，1]∪[5，+∞），则f（x）=x+＜2”其中真命题的序号是．（请将所有真命题的序号都填上）三．解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17．在△ABC中，已知AC=3，sinA+cosA=，（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=3，求BC的值．18．某企业有两个分厂生产某种零件，现从两个分厂生产的零件中随机各抽出10件，量其内径尺寸（单位：mm），获得内径尺寸数据的茎叶图如图．（Ⅰ）计算甲厂零件内径的样本方差；（Ⅱ）现从乙厂这10零件中随机抽取两件内径不低于173cm的零件，求内径176cm的零件被抽中的概率．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=C1C=AC=2，D是A1C1上的一点，E是A1B1的中点，C1D=kA1C1．（Ⅰ）当k为何值时，B，C，D，E四点共面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四棱锥A﹣BCDE的体积．20．在直角坐标平面内，已知两点A（1，0），B（4，0），设M是平面内的动点，并且||=2||．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）自点B引直线l交曲线E于Q，N两点，求证：射线AQ与射线AN关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R．（Ⅰ）若f′（1）=9，f（x）的图象过点（2，7），求f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a＞2时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PB，PC是⊙O的割线，它们与⊙O分别交于B，D 和C，E，延长CD交PA于M，∠MPC=∠MDP．（Ⅰ）求证：AP∥BE；（Ⅱ）求证：M是AP的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）点（x，y）在曲线C上，试求x﹣2y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设A={（x，y）||x|+|y|=2}（x，y∈R）．（Ⅰ）若（x，y）∈A，试求u=x2+y2的取值范围；（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w2+v2=x2+y2，（x，y）∈A}，试求集合B表示的区域面积．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效）1．已知全集U=R，集合M={x|0＜x＜2}，集合N={x|x≥1}，则集合M∩（∁U N）等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜1} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先根据集合补集的定义求出集合N的补集，然后根据交集的定义求出所求即可．【解答】解：∵N={x|x≥1}，∴C U N={x|x＜1}M∩（C U N）={x|0＜x＜1}故选A．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数方程两边同乗1﹣2i，化简即可．【解答】解：∵（1+2i）z=4+3i，∴（1﹣2i）（1+2i）z=（4+3i）（1﹣2i）5z=10﹣5i，z=2﹣i，故选B．3．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值（）A．130 B．260 C．156 D．168【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质化简已知等式的左边前两项，得到关于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，再利用等差数列的求和公式表示出S13，利用等差数列的性质化简后，将a7的值代入即可求出值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，且a5+a9﹣a7=10，∴（a5+a9）﹣a7=2a7﹣a7=a7=10，则S13==13a7=130．故选：A4．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN=BC=4，PA=4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON，则∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由此能求出异面直线PA与MN所成的角．【解答】解：连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON，则OM BC，ON PA，∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN=BC=4，PA=4，得OM=2，ON=2，MN=4，cos∠ONM===．∴∠ONM=30°．即异面直线PA与MN成30°的角．故选：A．5．若正实数a，b满足a+b=4，则log2a+log2b的最大值是（）A．18 B．2 C．2D．2【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=4，∴4≥，化为：ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号．则log2a+log2b=log2（ab）≤log24=2，其最大值是2．故选；B．6．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别（0，10] （10，20] （20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64【考点】频率分布表．【分析】根据表格可以看出（10，20]的频数是13，（20，30]的频数是24，（30，40]的频数是15，把这三个数字相加，得到要求区间上的频数，用频数除以样本容量得到频率．【解答】解：由表格可以看出（10，20]的频数是13，（20，30]的频数是24，（30，40]的频数是15，∴（10，40）上的频数是13+24+15=52，∴样本数据落在（10，40）上的频率为=0.52．故选C．7．已知圆x2+（y﹣2）2=4的圆心与抛物线y2=8x的焦点关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x﹣y=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x﹣y﹣2=0【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得圆的圆心和抛物线的焦点坐标，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得直线l的斜率，进而得到所求直线l的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心为C（0，2），抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），可得CF的中点为（1，1），直线CF的斜率为=﹣1，可得直线l的斜率为1，则直线l的方程为y﹣1=x﹣1，即为y=x．故选：A．8．已知一个三棱柱的底面是正三角形，且侧棱垂直于底面，此三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为（）A．24+B．24+2C．14D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图和题意求出三棱柱的棱长、判断出结构特征，由面积公式求出各个面的面积，加起来求出该棱柱的全面积．【解答】解：根据三视图和题意知，三棱柱的底面是正三角形：边长2，边上的高是，侧棱与底面垂直，侧棱长是4，∴该棱柱的全面积S==24+，故选：B．9．一个算法流程图如图所示，要使输出的y值是输入的x值的2倍，这样的x值的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，根据条件，分x＜1，1≤x＜4，x≥4三种情况分别讨论，满足输出的y值是输入的x值的2倍的情况，即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值．当x＜1时，由x2+7x+4=2x，解得：x=﹣4，﹣1满足条件；当1≤x＜4时，由3x+1=2x，可得：x无解；当x≥4时，由3x﹣4=2x，解得：x=6，或﹣2（舍去），故这样的x值有3个．故选：B．10．区间[0，2]上随机取一个数x ，sin 的值介于到1之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】求出0≤sinx ≤的解集，根据几何概型的概率公式，即可求出对应的概率．【解答】解：当0≤x ≤2，则0≤x ≤π，由0≤sin x ≤，∴0≤x ≤，或≤x ≤π，即0≤x ≤，或≤x ≤2，则sin x 的值介于0到之间的概率P=；故选A ．11．已知直线x=2a 与双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）相交A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 是正三角形，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立方程求出A ，B 的坐标，结合三角形是正三角形，建立方程关系求出a ，b 的关系进行求解即可．【解答】解：当x=2a 时，代入双曲线方程得﹣=1，即=4﹣1=3，则y=±b ，不妨设A （2a ， b ），B （2a ，﹣b ），∵△AOB 是正三角形，∴tan30°==，则b=a ，平方得b 2=a 2=c 2﹣a 2，则a 2=c 2，则e 2=，则e=，故选：B12．已知函数y=f（x），y=g（x）的导函数的图象如右图所示，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，且|f′（x）|越来越大，即表示f （x）的单调递减的程度越来越大，而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，从四个选项中判断，可以得知答案．【解答】解：由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，所以f（x）与g（x）均单调递减，从图象中可以看出|f′（x）|越来越大，即表示f（x）的单调递减的程度越来越大，即下凸；而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，即上凸．从四个选项中判断，可以得知，选择：D．故选：D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置）13．已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是﹣3 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由向量=（2，4），=（1，1），我们易求出向量若向量+λ的坐标，再根据⊥（+λ），则•（+λ）=0，结合向量数量积的坐标运算公式，可以得到一个关于λ的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：+λ=（2，4）+λ（1，1）=（2+λ，4+λ）．∵⊥（+λ），∴•（+λ）=0，即（1，1）•（2+λ，4+λ）=2+λ+4+λ=6+2λ=0，∴λ=﹣3．故答案：﹣314．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为15．若曲线f（x）=x2﹣e x不存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[0，e）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）=ax﹣e x=0无实数解，即有a=，设g（x）=，求得导数和单调区间，求得极小值，结合图象即可得到a的范围．【解答】解：f（x）=x2﹣e x的导数为f′（x）=ax﹣e x，由f（x）不存在垂直于y轴的切线，可得ax﹣e x=0无实数解，由a=，设g（x）=，可得g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增；当x＜0或0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0），（0，1）递减．即有g（x）在x=1处取得极小值，且为e，由于直线y=a与y=g（x）图象无交点，可得0≤a＜e，故答案为：[0，e）．16．下列4个命题：①∃x∈（0，1），（）x＞log x．②∀k∈[0，8），y=log2（kx2+kx+2）的值域为R．③“存在x∈R，（）x+2x≤5”的否定是”不存在x∈R，（）x+2x≤5”④“若x∈（1，5），则f（x）=x+≥2”的否命题是“若x∈（﹣∞，1]∪[5，+∞），则f（x）=x+＜2”其中真命题的序号是①④．（请将所有真命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数和对数函数的性质进行判断．②根据对数函数的性质进行判断．③根据特称命题的否定是全称命题进行判断．④根据否命题的定义进行判断．【解答】解：①当x∈（0，1），（）x＞0，log x＜0．∴∃x∈（0，1），（）x＞log x．故①正确，②当k=0时，满足k∈[0，8），但此时y=log2（kx2+kx+2）=log22=1，此时函数的值域为{1}，不是R．故②错误③“存在x∈R，（）x+2x≤5”的否定是”任意x∈R，（）x+2x＞5”，故③错误，④“若x∈（1，5），则f（x）=x+≥2”的否命题是“若x∈（﹣∞，1]∪[5，+∞），则f（x）=x+＜2”，正确，故④正确，故答案为：①④．三．解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17．在△ABC中，已知AC=3，sinA+cosA=，（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=3，求BC的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由得，由此能求出sinA的值．（Ⅱ）由得，由此及余弦定理能求出BC的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得，由此及0＜A＜π，即得，故，∴sinA=sin=；（Ⅱ）由，得，由此及余弦定理得，故，即BC=．18．某企业有两个分厂生产某种零件，现从两个分厂生产的零件中随机各抽出10件，量其内径尺寸（单位：mm），获得内径尺寸数据的茎叶图如图．（Ⅰ）计算甲厂零件内径的样本方差；（Ⅱ）现从乙厂这10零件中随机抽取两件内径不低于173cm的零件，求内径176cm的零件被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图，先求出甲厂零件内径的平均数，由此能求出甲厂零件内径的样本方差．（Ⅱ）设内径为176cm的零件被抽中的事件为A，利用列举法能求出内径176cm的零件被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图，得甲厂零件内径的平均数为：==170，甲厂零件内径的样本方差：S2=[2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=57．（Ⅱ）设内径为176cm的零件被抽中的事件为A，从乙厂抽中两件内径不低于173cm的零件有：共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；∴内径176cm的零件被抽中的概率P（A）=．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=C1C=AC=2，D是A1C1上的一点，E是A1B1的中点，C1D=kA1C1．（Ⅰ）当k为何值时，B，C，D，E四点共面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四棱锥A﹣BCDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（Ⅰ）由题意可知，k=时，B，C，D，E四点共面．然后利用三角形中位线定理可知DE∥B1C1，再由B1C1∥BC，得DE∥BC，由此说明B，C，D，E四点共面；（Ⅱ）在三棱锥A﹣BCD中，利用等积法求出点A到平面BCDE的距离h，然后代入四棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）当k=时，B，C，D，E四点共面．事实上，若k=，则D是A1C1的中点，又E是A1B1的中点，∴DE∥B1C1，又B1C1∥BC，∴DE∥BC，则B，C，D，E四点共面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，即D为A1C1的中点，又A1A⊥平面ABC，A1ACC1是矩形，此时，，又A1A⊥平面ABC，∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD，由V A﹣BCD=V B﹣ACD，设点A到平面BCDE的距离h，则，∴，则=．20．在直角坐标平面内，已知两点A（1，0），B（4，0），设M是平面内的动点，并且||=2||．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）自点B引直线l交曲线E于Q，N两点，求证：射线AQ与射线AN关于直线x=1对称．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知条件，设点M坐标，代入||=2||，化简即可得动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）射线AQ与射线AN关于直线x=1对称，证明k QA+k NA=0即可．【解答】（Ⅰ）解：设M（x，y），，，由于，则=，化简得，x2+y2=4，动点M的轨迹E的方程x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），N（x2，y2），直线l：y=k（x﹣4），联立，得（1+k2）x2﹣8k2x+16k2﹣4=0，判别式△=16（1﹣3k2）＞0，解之：，，，又因为y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），k QA+k NA===，由于2x1x2﹣5（x1+x2）+8=+=0，所以，k QA+k NA=0，即，k QA=﹣k NA，因此，射线AQ与射线AN关于直线x=1对称．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R．（Ⅰ）若f′（1）=9，f（x）的图象过点（2，7），求f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a＞2时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值，将点（2，7）代入函数表达式，求出b的值，从而求出函数的解析式即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1﹣a=9，∴a=﹣8，∵f（x）图象过点（2，7），∴，∴b=9，f（x）解析式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≤0时，显然f′（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）内是增函数；当a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=±，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣）﹣（﹣，0）（0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣﹣0+f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以f（x）在区间（﹣∞，﹣]，[，+∞）上是增函数，在区间（﹣，0），上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a＞0时，f（x）在（0，）内是减函数，在[，+∞）内是增函数，若即2＜a＜4时，f（x）在内是减函数，在内是增函数，f（x）最大值为f（1），f（2）的中较大者，＞0，∴当2＜a＜4时，f（x）max=f（1）=1+a+b，若即a≥4时，f（x）在[1，2]上递减，f（x）max=f（1）=1+a+b，综上，a＞2时，f（x）在区间[1，2]上的最大值f（x）max=f（1）=1+a+b．﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PB，PC是⊙O的割线，它们与⊙O分别交于B，D 和C，E，延长CD交PA于M，∠MPC=∠MDP．（Ⅰ）求证：AP∥BE；（Ⅱ）求证：M是AP的中点．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由已知题意可得△PMD∽△CMP，∠MPD=∠C，结合∠EBD=∠C得∠EBD=∠MPD，即可证得结论；（Ⅱ）由△PMD∽△CMP得MP2=MD•MC，即可证明M是AP的中点．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠MPC=∠MDP且∠PMD=∠PMC，∴△PMD∽△CMP，∴∠MPD=∠C，又∠EBD=∠C，∴∠EBD=∠MPD，∴AP∥BE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）△PMD∽△CMP，∴即MP2=MD•MC，又MA是圆的切线，∴MA2=MD•MC，即MA2=MP2，∴MA=MP，即M是AP的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）点（x，y）在曲线C上，试求x﹣2y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．由倍角公式cos2θ=1﹣2sin2θ，方程变形为3ρ2+ρ2sin2θ﹣12=0，利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出．（Ⅱ）由曲线C的直角坐标方程，可设x=2cosθ，y=sinθ．利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．由倍角公式cos2θ=1﹣2sin2θ，方程变形为3ρ2+ρ2sin2θ﹣12=0，再由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y得曲线C的直角坐标方程是．（Ⅱ）由曲线C的直角坐标方程，可设x=2cosθ，y=sinθ．则z=x﹣2y==，则﹣4≤z≤4，故x﹣2y的取值范围是[﹣4，4]．[选修4-5：不等式选讲]24．设A={（x，y）||x|+|y|=2}（x，y∈R）．（Ⅰ）若（x，y）∈A，试求u=x2+y2的取值范围；（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w2+v2=x2+y2，（x，y）∈A}，试求集合B表示的区域面积．【考点】集合的表示法．【分析】（Ⅰ）若（x，y）∈A，表示的区域如图所示的正方形，即可求u=x2+y2的取值范围；（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w2+v2=x2+y2，（x，y）∈A}，表示的区域是以原点为圆心，，2为半径的圆环，即可求集合B表示的区域面积．【解答】解：（Ⅰ）A={（x，y）||x|+|y|=2}（x，y∈R），表示的区域如图所示的正方形，原点到区域的距离的范围是[，2]，∴u=x2+y2的取值范围是[2，4]；（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w2+v2=x2+y2，（x，y）∈A}，表示的区域是以原点为圆心，，2为半径的圆环，∴集合B表示的区域面积是π•22﹣π•2=2π．若要功夫深，铁杵磨成针！2016年10月16日。

江西省南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷数学（3）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(理)．下面是关于复数21z =-+i的四个命题：p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为 A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(文)．设全集+=R U ，集合A =｛02|2<-x x x ｝，B ={x }0lg ≥x ，则“∈x A ”是“∈x U B ð”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要 2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝． A ．34()2n ⋅B ．24()3n ⋅C ．134()2n -⋅D ．124()3n -⋅3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差C ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 4．（理）设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为．A ． 150B ．－150C ．300D ．－300 (文) 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为． A.43 B.83 C ．4 D ．8 5．（理）函数()f x 满足(0)0f =，其导函数()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.13 B.43 C ．2 D.83（文）已知函数()f x ＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值， 则实数a 的取值范围是．A ．(－1，2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3，6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)6A ．0B ．1＋ 2C ．1＋22D.2－17．定义在R 上的奇函数()f x 满足f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又g (x )＝c os πx2，则集合{x |f (x )＝g (x )}等于．A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,214| B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+=Z k k x k x x ,254214|或 C ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ±12，k ∈Z8．一个正方体的展开图如图所示，A ,B ,C ,D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°9．若点M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AM →＝AB →＋3AC →,则△ABM 与△ABC 的面积比为 A.15 B.25 C.35 D.45 10.如图，已知线段AB =A 在以原点O 为圆心的单位圆上运动时，点B 在x 轴上滑动，设AOB θ∠=，记()x θ为点B 的横坐标关于θ的函数，则()x θ在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像大致是二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)11．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为________．12．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．13．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．14．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分） (1)．在极坐标系中，点(4,)3M π到曲线cos()23πρθ-=上的点的距离的最小值为____． (2)．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____．15(文). 已知函数x x y cos sin +=，x x y cos sin 22=，则下列结论中，①两函数的图像均关于点（4π-，0）成中心对称；②两函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称；③两函数在区间（4π-，4π）上都是单调增函数； ④两函数的最小正周期相同.正确的序号是_____.三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数f （x ）=Asin （ωx +φ） （A ＞0，ω＞0）的一段图象如图所示． （1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）=cos3x ，h （x ）=f （x ）•g （x ）， 求函数h （x ）的单调递增区间． 17．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n ﹣2（n ∈N *），数列{b n }满足b 1=1，且点P （b n ，b n +1）（n ∈N *）在直线y =x +2上． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和D n ；（3）设22sin cos 22n n n n n c a b ππ=-（*n ∈N ），求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．18. （本小题满分12分）（理）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时,ξ＝0 ；当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时,ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望Eξ．(文)．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.7(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．（参考公式：22()()()()()n ad bca b b c c d d aχ-=++++，）19．（本小题满分12分）（理）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．（1）证明PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．(文)．如图(a)所示，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC的中点，沿DE将△ADE折起，使AD⊥DB，连接AB，AC，得到如图(b)所示的四棱锥ABCED.(1)求证：AC⊥平面ABD；(2)求四棱锥ABCED的体积．20．（本小题满分13分）已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)，且(a＋3b)⊥(a－3b)．(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．21. （本小题满分14分）（理）设函数()ln af x x x x =+，32()3g x x x =--． （1）讨论函数()()f x h x x=的单调性；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求M 的最大整数；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．(文)．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+（1）求(1),(0)f f '的值以及()f x 的单调区间；（2）令321()()2x h x f x x ax e =---，若()h x 在x ∈（1，3）单调递增，求a 的取值范围．南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷数学（3）参考答案二、填空题：每小题5分，共25分．11．32或12； 12．27； 13．(－∞，0)； 14．⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 15．（理）○12；○2(,0){2}-∞（文）3 三、解答题：（本大题共6小题共75分）16、解：（1）∵24()4123T πππ=-=，∴23Tπω==，∴()2sin(3)f x x θ=+．∵点（12π，2）在图象上，∴2sin （3×12π+θ）=2，即sin （φ+4π）=1，∴φ+4π=2k π+2π（k ∈Z ），即θ=2k π+4π．故()2sin(3)4f x x π=+．（2）()2sin(3)cos32(sin 3coscos3sin )cos3444h x x x x x x πππ=+=+23cos3cos 3)6cos 61)2x x x x x =+=++=sin （6x+4π）+2．由2k π2π-≤6x+4π≤2k π2π+（k ∈Z ）得函数()h x 的单调递增区间为[,]38324k k ππππ-+（k ∈Z ）． 17、解：（1）当n=1，a 1=2,当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1∴a n =2a n ﹣1（n≥2）， ∴{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1=2, ∴2nn a =又点1(,)n n P b b +在直线y =x +2上，∴b n+1=b n +2，∴{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1=1，∴b n =2n ﹣1（3）∵(21)2nn n a b n ⋅=-⨯∴ 123123252(21)2nn D n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ①23412123252(21)2n n D n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ ②①﹣②得123112222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 12(32)6n n +=--所以，1(23)26n n D n +=-⨯+（3）2 (21)n n n c n n ⎧=⎨--⎩为奇数为偶数T 2n =（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）－（b 2+b 4+…b 2n ）2122223n n n +-=--18、（理）(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E ξ＝1×611＋2×111＝6＋211.（文）解 (1)(2)根据列联表中的数据，得到k ＝105×10×30－20×45255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P (A )＝836＝29. 19、（理）解：（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 设PD=CD=2，则A （2，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），B （2，2，0）， 所以=（2，0，﹣2），=（0，1，1），=（2，2，0）．设=（x ，y ，z ）是平面BDE 的一个法向量， 则由，得；取=﹣1，则1n=（1，﹣1，1），∵•1n =2﹣2=0，∴⊥1n，又PA ⊄平面BDE ，∴PA∥平面BDE ．（2）由（1）知1n =（1，﹣1，1）是平面BDE 的一个法向量，又2n==（2，0，0）是平面DEC 的一个法向量．设二面角B ﹣DE ﹣C 的平面角为θ，由图可知θ=＜1n ，2n＞，∴cos θ=cos ＜1n ，2n＞===，故二面角B ﹣DE ﹣C 余弦值为．（3）∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴•=0+2﹣2=0，∴PB⊥DE．假设棱PB 上存在点F ，使PB⊥平面DEF ，设=λ（0＜λ＜1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），=+=（2λ，2λ，2﹣2λ），由•=0得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴λ=∈（0，1），此时PF=PB ，即在棱PB 上存在点F ，PF=PB ，使得PB⊥平面DEF ．（文）(1)证明 连接DC ，在等边△ABC 中，有BD ⊥CD ，而BD ⊥AD ，AD ∩DC ＝D ，所以BD ⊥平面ADC .又AC ⊂平面ADC ，所以BD ⊥AC .在△ADB 中，AD ＝DB ＝1，∠ADB ＝90°，则AB ＝ 2.由对称性，知AC ＝ 2.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，BC ＝2，则AB ⊥AC .又BD ∩AB ＝B ，所以AC ⊥平面ABD .(2)解 在梯形BCED 中，易知S △CDE ∶S △BCD ＝1∶2，所以V ABCD ＝2V ADCE .所以V ABCED ＝32V ABCD .又V ABCD ＝V CADB ＝13×12·AD ·DB ·AC＝13×12×2＝26，所以V ABCED ＝32×26＝24. 20、(1)由题意得a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0.化简得x 23＋y 2＝1，∴Q 点的轨迹C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(i)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2.(ii)当k ＝0时，|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2，当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1).21、（理）解：（1）2()ln a h x x x=+，233212()a x a h x x x x -'=-+=，①a ≤0，h'（x ）≥0，函数h （x ）在（0，+∞）上单调递增②a ＞0，()0h x '≥，x ≥h （x ）的单调递增区间为)+∞，()0h x '≤，0x <≤h （x ）的单调递减区间为（2）存在x 1，x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立，等价于：[g （x 1）﹣g （x 2）]max ≥M ，考察g （x ）=x 3﹣x 2﹣3，2()3()3g x x x '=-，极（最）小值由上表可知：min ()27g x =-，m ()1av g x =， ∴[g （x 1）﹣g （x 2）]max =g （x ）max ﹣g （x ）min =11227，所以满足条件的最大整数M=4； （3）当1[,2]2x ∈时，()ln 1a f x x x x =+≥恒成立，等价于a ≥x ﹣x 2lnx 恒成立， 记h （x ）=x ﹣x 2ln x ，所以a ≥h max （x ），又h′（x ）=1﹣2xln x ﹣x ，则h′（1）=0．记h'（x ）=（1﹣x ）﹣2ln x ，1[,1)2x ∈，1﹣x ＞0，x ln x ＜0，h'（x ）＞0即函数h （x ）=x ﹣x 2ln x 在区间1[,1)2上递增，记h'（x ）=（1﹣x ）﹣2ln x ， x ∈（1，2]，1﹣x ＜0,x ln x ＞0，h'（x ）＜0, 即函数()h x =x ﹣x 2ln x 在区间（1，2]上递减,∴x=1, ()h x 取到极大值也是最大值(1)h =1. ∴a ≥1（文）解：由于f （x ）=f ′（1）e x ﹣1﹣f （0）x +212x ，则f ′（x ）=f ′（1）e x ﹣1﹣f （0）+x ， 令x =1得，f （0）=1，则f （x ）=f ′（1）e x ﹣1﹣x +，∴f （0）=f ′（1）e ﹣1 则f ′（1）=e ，得到f （x ）=e x ﹣x +212x ，则g （x ）=f ′（x ）=e x ﹣1+x ，g ′（x ）=e x +1＞0，所以y =g （x ）在x ∈R 上单调递增，则f ′（x ）＞0=f ′（0）⇔x ＞0，f ′（x ）＜0=f ′（0）⇔x ＜0，所以f （x ）=e x ﹣x +212x 的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）． （2）由（1）知，h （x ）=f （x ）﹣x 3﹣212ax ﹣e x =﹣x 3+﹣x ，∴h ’（x ）=﹣3x 2+（1﹣a ）x ﹣1≥0对x ∈（1，3）恒成立，（1﹣a ）x≥3x 2+1，∵x ∈（1，3），∴1﹣a ≥令φ（x ）=，21()30x x φ'=->，∴1﹣a ≥，∴253a ≤-。

成都高2023届二诊复习卷（三）（答案在最后）数学试题（文科）一、单选题1．已知集合{}{}3|11,,log 1A y y x x B x x ==--∈=R ∣ ，则R A B = ð（）A ．{}1xx -∣ B ．{3}x x <∣C ．{}13x x -∣ D ．{13}xx -<∣ 2．若复数z 满足||2,3z z z z -=⋅=，则2z 的实部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A ．2-B ．2C ．3-D ．34．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A ．40a -<£B ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤5.已知向量(),3a m m =+ ，()4,b m = ，则“6m =”是“a 与b共线”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为,αβ，且1tan()3αβ-=，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，点()0,8A ，点M 满足5MA MO =，又点M 在曲线224y x x =-++上，则MO =（）A ．5B ．22C ．25D ．108．若2021log 2022a =，2022log 2023b =，20222021c =，20232022d =，则a ，b ，c ，d 中最大的是（）A ．a B ．b C ．c D ．d9．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式357sin 3!5!7!=-+-++ x x x x x ()()211121!n n x n ---+- ，(其中x R ∈，*n ∈N ，n !=1×2×3×…×n ，0!=1)，现用上述公式求()()11111112!4!6!22!n n --+-++-+- 的值，下列选项中与该值最接近的是（）A ．sin 30B ．sin 33C ．sin 36D ．sin3910．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，将△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）A ．2B ．62C ．112D ．5211．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．233B ．2C ．3D ．212．已知2π3是函数()()()sin 20πf x x ϕϕ=+<<的一个零点，则下列选项不正确的为（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭只有一个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D．直线y x =是曲线()y f x =的切线二、填空题13．已知在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为a b c ，，，满足2cos 2b A a c +=，且b =2a c -的取值范围为______.14．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF⋅ 的最小值为______.15．如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，且AB=DE=2，CF=1，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH ⊥AE ；③三棱锥B −GHF 的体积为定值；④三棱锥E −BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）16．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一的零点，函数()()()8sin πcos πg x x x x =+-且()()()12918g a g a g a ++⋅⋅⋅+=.则5a =______.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前三项的和为－9，前三项的积为－15.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 为递增数列，求数列{}n a 的前n 项和Sn .18．某食品研究员正在对一种过期食品中菌落数目进行统计，为检测该种过期食品的腐败程度，研究员现对若干份过期不同天数的该种食品样本进行检测，并且对样本的菌落数目逐一统计，得到如下数据：过期天数x （单位：天）12345菌落数目y （单位：千个）0.30.30.50.9 1.0(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(2)实验数据表明，该种食品在未添加防腐剂的条件下（其余条件相同），短期内（7天内）菌落数目y （单位：千个）与过期天数x （单位：天）应满足关系：0.01e 0.5x y =+.（i ）判断该样本是否添加防腐剂；（ii ）简要分析过期7天内防腐剂发挥的效果.附：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，,22AB CD AB CD AD ==∥，平面PAB ⊥平面ABCD ，且PAB 是正三角形，,M N 分别是,AD PC 的中点.(1)证明：MN平面PAB ；(2)若4PC =，求三棱锥N PAB -的体积.20．如图所示，已知椭圆22:163x y C +=与直线:163x y l +=．点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，O 是坐标原点．(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB 的面积S ；(2)若OD AB ⊥，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值.21．已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22114t x ty t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（0t >，t 为参数）．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线:10l x y --=与x 轴的交点为F ，且曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求||||FA FB ⋅的值．23．已知()|1||3|f x x x =-+-．(1)求()3f x ≤的解集；(2)已知2(2)1()a x f x -+≥在[3,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】由题意可得{|1}A y y =≥-，{|3}B x x =≥，R {|3}B x x =<ð，再根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为{}|11,{|1}A y y x x y y ==--∈=≥-R ，{}3log 1{|3}B x x x x =≥=≥∣，所以{|3}B x x =<R ð，所以(){|1}{|3}{|13}A B x x x x x x ⋂=≥-⋂<=-≤<R ð.故选：D.2．C【分析】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-,故根据||2,3z z z z -=⋅=可求得222,1x y ==，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-，则由||2,3z z z z -=⋅=可得|2i |2y =且223x y +=，解得222,1x y ==，故2222(i)2i x y x y x z y =+=-+，其实部为22211x y -=-=.故选：C.3．D【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4．A【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，4<0-恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则a<0且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5.A【分析】根据给定条件，求出a 与b共线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】向量(),3a m m =+，()4,b m = ，则2//4(3)0a b m m ⇔-+= ，解得2m =-或6m =，所以“6m =”是“a 与b共线”的充分不必要条件.故选：A6．B【分析】根据给定条件，可得tan 1β=，再利用和角的正切公式计算作答.【详解】依题意，tan 1β=，则11tan()tan 3tan tan[()]211tan()tan 13αββααββαββ+-+=-+===--⋅-，所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.故选：B 7．B【分析】先判断出点M 两个圆的公共点，求出()2,2M ，进而求出MO .【详解】设(),M x y .因为点()0,0O ，点()0,8A，且MA MO =，()22220x y ++=.而点M 在曲线y =y =平方后，整理为一个圆()2215x y -+=，所以曲线y =()2215x y -+=在x 轴上方部分.则两个圆的公共弦为两圆的方程相减，整理得：260x y +-=.所以(),M x y 满足260y x y ⎧⎪=⎨+-=⎪⎩，解得：22y x =⎧⎨=⎩.即()2,2M .所以MO ==故选：B 8．C【分析】先将a ，b ，c ，d 变换为：202111log 12021a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，202211log 12022b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，得到c d >，构造函数()()2022log 1g x x x =-+，()()2021log 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，结合导数和作差法得到d b >，c a >，从而得出a ，b ，c ，d 中最大值.【详解】因为20212021202120221log 2022log 20211log 120212021a ⎛⎫⎛⎫==⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20222022202220231log 2023log 20221log 120222022b ⎛⎫⎛⎫==⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，所以c d >；20222022111111log 1log 12022202220222022d b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()2022log 1g x x x =-+，()0,1x ∈，则()()111ln 2022g x x '=-+，当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，则()102022g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即202211log 1020222022⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以0d b ->，即d b >；20212021111111log 1log 12021202120212021c a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()2021log 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，则()()111ln 2021x x ϕ'=-+，当01x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，则()102021ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即202111log 1020212021⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以0c a ->，即c a >；综上：c d b >>，c a >，即a ，b ，c ，d 中最大的是c .故选：C.9．B【分析】求出(sin )'x 后代入1x =得cos1=sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭可得答案，即18090π︒⎛⎫- ⎪⎝⎭ 与33 最接近.【详解】()()246221'(sin )cos 112!4!6!22!n n x x x x x x n --==-+-++-+- 所以cos1=111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+- =sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 18090π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，由于18090π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 与33 最接近，故选：B【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径．【详解】易知四面体A EFD '的三条侧棱,,A E A F A D '''两两垂直，且1,1,2A E A F A D '''===，把四面体A EFD '补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A EFD '的外接球，球的半径为6,2R =故选：B.【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力．11．D【解析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a,b 的关系，即可求解.【详解】不妨设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线为0bx ay -=，圆()2224x y ++=的圆心为()2,0-，半径2r =，则圆心到渐近线的距离为2bd c==所以弦长2=，化简得：2243b c =，即()22243c a c -=，解得2c a =所以2ce a==.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题型.12．ABD【分析】先利用函数的零点解出ϕ，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC ，利用导数的几何意义判断D.【详解】由题意得2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，Z k ∈，即4π3k πϕ=-+，Z k ∈，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选项A ：当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象可得()y f x =在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，正确；选项B ：当11,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象可得()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得512x π=，即512x π=为函数的唯一极值点，正确；选项C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，07π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故直线7π6x =不是对称轴，错误；选项D ，由2π2cos 213y x '⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭得2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2π2π22π33x k +=+或22π22π33x k π+=-+，Z k ∈，解得πx k =或ππ3x k =+，Z k ∈，所以函数()y f x =在点0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2π2cos 013k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，切线方程为()02y x -=--即32y x =-，正确；故选：ABD 13．(-【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得π3B =，从而可表示出2a c -的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案.【详解】由题意在ABC 中，满足2cos 2b A a c +=，即2sin cos sin 2sin 2sin()B A A C A B +==+,即sin 2sin cos A A B =，而(0,π),sin 0A A ∈∴≠，故1cos 2B =，又π(0,π),3B B ∈∴=,则sin 4sin sin b A a AB ==，同理4sin c C =，故)22πsin 4sin s 8s 8in 4in(3a c A C A A -=-=--π6sin 6A A A =-=-，又2ππππ(0,),(,)3662A A ∈∴-∈-,故π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(2a c -∈-，故答案为：(-14．7336-【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15．①③④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，如下所示：因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂面,ABE HG ⊄面ABE ，故HG //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥面,,ABCD DA DC ⊂面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH ⊥AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=，即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故②错误；对③：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGF S 为定值，又DE //,CF CF ⊂面,BGF DE ⊄面BGF ，故DE //面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到面BGF 的距离是定值，故三棱锥B GFH -的体积为定值，则③正确；对④：取△EFC 的外心为1O ，过1O 作平面EFC 的垂线1O N ，则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上因为1OO ⊥面EFC ，FC ⊥面,ABCD CB ⊂面ABCD ，则CF CB ⊥，又CB CD ⊥，,,CF CD C CF CD ⋂=⊂面EFCD ，故CB ⊥面EFCD ,又BC ⊥面EFC ，则1OO //CB ，故1,OO BC 在同一个平面，则过O 作OP BC ⊥，连接,OB OC 如图所示.在△EFC 中，容易知5,2,1EF EC FC ===，则由余弦定理可得5cos 25EFC ∠=-25sin EFC ∠=，则由正弦定理可得1102sin 2EC O C OP EFC ===∠；设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ，则OC OB R ==，在△OBP 中，OB R =，102OP =，又22211522222BP PC OO OC O C R =-=-=-=-故由勾股定理可知：222OB OP BP =+，即22255544222R R R =++---解得：272R =，则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查线面平行的证明，线线垂直的判定，以及三棱锥体积的计算和外接球半径的求解，属综合困难题.16．14##0.25【分析】利用导数的定义和对称性可得12n n a a +-=，利用辅助角公式对()g x 化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理即可求解.【详解】因为()21cos 2n n f x x a x a +'=-++有唯一的零点，()f x '为偶函数，所以()00f '=，即12n n a a +-=，*N n ∈，所以数列{}n a 为公差为2的等差数列，又因为()228sinπcosπ82ππg x x x x x x x ⎫=+-=⎪⎪⎭11188π2444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()8h t t t =，则()h t 为奇函数，因为()80h t t '=>，所以()h t 在R 上单调递增，由题意得()()()1292220g a g a g a -+-+⋅⋅⋅+-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<⋅⋅⋅<，则129111444a a a -<-<⋅⋅⋅<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1928371651111111112444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1417．（1）an ＝－2n ＋1或an ＝2n －7；（2）Sn ＝226,3618,4n n n n n n ⎧-+≤⎨-+≥⎩.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列{}n a 前三项的和为9-，前三项的积为15-，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{}n a 的通项公式．（2）由（1）得an ＝2n －7，知|an |＝72,327,4n n n n -≤⎧⎨-≥⎩，分类讨论，结合等差数列的求和公式能求出数列{||}n a 的前n 项和为n S ．【详解】（1）设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ，所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2，所以an ＝－2n ＋1或an ＝2n －7.（2）由题意得an ＝2n －7，所以|an |＝72,327,4n n n n -≤⎧⎨-≥⎩，①n ≤3时，Sn ＝－(a 1＋a 2＋…＋an )＝()5722n n +-⨯＝6n －n 2；②n ≥4时，Sn ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋an ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋an )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|an |}的前n 项和Sn ＝226,3618,4n n n n n n ⎧-+≤⎨-+≥⎩.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．易错点是求等差数列通项公式时容易丢解．18.(1)ˆ0.2yx =(2)（i ）该样本添加了防腐剂；（ii ）抑制食品产生菌落，且效果越来越好.【分析】（1）根据线性回归方程的求法根据已知即可得出答案；（2）（i ）根据回归方程过样本中心列式即可判断；（ii ）根据所给关系得出未添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目，与已知添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目对比，即可总结得出答案.【详解】（1）由题意可得：1234535x ++++==，0.30.30.50.910.65y ++++==，且522222211234555ii x ==++++=∑，5110.320.330.540.95111i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，所以()()()551552221121511530.6ˆ0.255553i ii ii iii ii x x y y bx xyx y xx x ====---⨯⨯===--=-⨯-∑∑∑∑，则ˆˆ0.60.230ay bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.2yx =（2）（i ）0.01e 0.5x y ≠+，则样本不满足未添加防腐剂的条件，即该样本添加了防腐剂；（ii ）根据该种食品在未添加防腐剂的条件下应满足关系：0.01e 0.5x y =+，可得10.01e 0.50.5+≈，20.01e 0.50.6+≈，30.01e 0.50.7+≈，40.01e 0.5 1.0+≈，50.01e 0.5 2.0+≈，即过期天数x （单位：天）12345添加防腐剂菌落数目y （单位：千个）0.30.30.50.9 1.0未添加防腐剂菌落数目y （单位：千个）0.50.50.7 1.0 2.0则过期7天内防腐剂让其菌落数目小于未添加防腐剂，且差距越来越大，即过期7天内防腐剂发挥的效果为抑制食品产生菌落，且效果越来越好.19．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取BC 的中点E ，连接,EM EN ，易证EM 平面PAB ，EN 平面PAB ，再利用面面平行的判定定理证明；（2）取AB 的中点O ，连接,PO CO ，根据PAB 是正三角形，得到PO AB ⊥，再由平面PAB ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥平面ABCD ，在Rt POC △中，由222PO OC PC +=，求得2224AB CD AD BC ====，方法一：由60BAD ∠= ，求得点M 到AB 的距离，由MN 平面PAB ，得到点N 到平面PAB 的距离，再由体积公式求解；方法二：连接AC ，由60ABC ∠= ，得到点C 到AB 的距离，再根据N 为CP 的中点得到三棱锥N PAB -的高为三棱锥C PAB -高的12，然后由体积公式求解.【详解】（1）证明：如图所示：取BC 的中点E ，连接,EM EN .因为底面ABCD 是等腰梯形，AB CD ，又,M E 分别是,AD BC 的中点，所以EM AB ∥.又因为EM ⊄平面,PAB AB ⊂平面PAB ，所以EM 平面PAB .因为N 是PC 的中点，所以EN PB ∥.又因为EN ⊄平面,PAB PB ⊂平面PAB ，所以EN 平面PAB .因为EM ⊂平面,MNE EN ⊂平面,MNE EM EN E ⋂=，所以平面MNE 平面PAB .因为MN ⊂平面MNE ，所以MN 平面PAB .（2）如图所示：取AB 的中点O ，连接,PO CO .由已知得OA CD ∥且OA CD =，所以四边形OADC 是平行四边形，所以OC AD ∥，且OC AD =.因为PAB 是正三角形，所以PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PO ⊥平面ABCD ，又OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥.设2222AB CD AD BC a ====，则3PO a =.在Rt POC △中，由222PO OC PC +=，即222)4a +=，解得2a =，即2224AB CD AD BC ====.方法一：由题意可得60BAD ∠= ，点M 到AB 的距离，1sin60sin6022h AM AD ===，即点M 到平面PAB又MN 平面PAB ，所以点N 到平面PAB所以11142332N PAB PAB V S h -=⋅⋅=⨯⨯⨯= .方法二：连接AC ，由题意得，60ABC ∠= ，所以点C 到AB 的距离为sin60d BC = .因为N 为CP 的中点，所以三棱锥N PAB -的高为三棱锥C PAB -高的12，所以1122N PAB C PAB P ABC V V V ---==.所以11111142223232N PAB P ABC ABC V V S OP --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .20．(1)4；(2)证明见解析.【分析】（1）可得点()0,3P ，设切线方程为3y kx =+，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得k 的值，可知PA PB ⊥，求出两切点的坐标，可得出PA 、PB ，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，可得出切线PA 、PB 的方程，设点(),P m n ，求出直线AB 的方程，可得出直线AB 过定点T ，由OD AB ⊥结合直角三角形的几何性质可得出结论.【详解】（1）解：由题意知()0,3P ，过点P 与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为3y kx =+，联立22326y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222112120k x kx +++=，（*）由()()22214448214810k k k ∆=-+=-=，可得1k =±，即切线方程为3y x =±+，所以，PA PB ⊥，将1k =代入方程（*）可得2440x x ++=，可得2x =-，此时1y =，不妨设点()2,1A -，同理可得点()2,1B ，PA PB ===因此，142S PA PB =⋅=.（2）证明：先证明出椭圆22163x y +=在其上一点()0,Mx y 处的切线方程为0163x x y y +=，因为点()00,M x y 在椭圆22163x y +=上，则220026x y +=，联立0022163163x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 可得()222200002103633x y x x x y +-+-=，整理得220020x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，因此，椭圆22163x y +=在其上一点()0,Mx y 处的切线方程为0163x x y y +=.设()11,A x y 、()22,B x y ，则切线PA 的方程为11163x x y y +=，切线PB 的方程为22163x x y y+=.设(),P m n ，则1122163163mx ny mx ny ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程260mx ny +-=，所以，直线AB 的方程为260mx ny +-=，因为点(),P m n 在直线163xy+=上，则26m n +=，则26n m =-，所以，直线AB 的方程可表示为()660mx m y +--=，即()()610m x y y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，故直线AB 过定点()1,1T ，因为OD AB ⊥，所以，点D 在以OT 为直径的圆上，当点Q 为线段OT的中点时，122DQ OT ==，此时点Q 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得DQ.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分类讨论导函数e ()x f x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【详解】（1）2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()f x '的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=x g x x ,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，且()(1)e g x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e =xm x只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e =xm x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e=x m x，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =xm x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.（2）由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x xF x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t <令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h '⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x = ,即证:()()()11121111e 23e e2e x x x f x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e,(0,1)xx xG x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e eexx x xxxx x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e21e xp x xx x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.22．(1)212y x =(2)24【分析】（1）根据曲线C的参数方程为22114txty⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t>，t为参数），由y=两边平方求解；（2）易知直线的参数方程为()122xty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'''为参数，代入212y x=，利用参数的几何意义求解.【详解】（1）解：因为曲线C的参数方程为22114txtyt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（0t>，t为参数），所以由y=2221121124ty xt⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，而2211104txt=+-≥=，当且仅当2214tt=，即t=时，等号成立，所以曲线C的直角坐标方程212y x=；（2）易知直线:10l x y--=与x轴的交点为()1,0F,直线的参数方程为()12xty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'''为参数，代入212y x=得2240t''--=，设A，B两点对应的参数分别为12,t t''，则1224t t''⋅=-，所以12||||24FA FB t t''⋅==.23．(1)17[,]22；(2)[1,)+∞.【分析】（1）把函数()f x化成分段函数，再分段解不等式作答.（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，求出函数最大值作答.【详解】（1）依题意，24,1()2,1324,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，不等式()3f x ≤化为：1243x x ≤⎧⎨-+≤⎩或1323x <<⎧⎨≤⎩或3243x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得112x ≤≤或13x <<或732x ≤≤，即有1722x ≤≤，所以()3f x ≤的解集为17[,]22.（2）依题意，[3,)x ∀∈+∞，22225(2)1()(2)124(2)x a x f x a x x a x --+≥⇔-+≥-⇔≥-，21x -≥，1012x <≤-，于是2222252(2)1121(1)11(2)(2)(2)22x x x x x x x ---==-+=--+≤-----，当且仅当3x =时取等号，则1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞.24．设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b e x x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)25．已知()()()2ln ln f x ax x x x x =+--有三个不同零点1x ，2x ，3x ，且123.<<x x x (1)求实数a 的范围；(2)求证：3121232.ln ln ln x x xx x x ++>26．已知函数()()2ln ,2ln 2a f x ax x g x x x =+=+.(1)若()()f x g x ≥，求a 的取值范围；(2)记()f x 的零点为12,x x （12x x <），()g x 的极值点为0x ，证明：1024e x x x >.27．已知函数()e nxf x x nx =-（*n ∈N 且2n ≥）的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程()y g x =，并证明：0x ≥时，()()f x g x ≥．(2)若关于x 的方程()f x t =（t 为实数）有两个正实根12,x x ，证明：122ln ln t nx x n n n-<+．28．已知()2e sin =-+xf x ax x ．其中a R ∈，e 2.71828≈为自然对数的底数．(1)设曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为l ，若l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为12，求实数a 的值．(2)若*a N ∈，当0x ≥时，()0f x ≥恒成立时，求a 的最大值．29．已知函数()1e 2x f x x =+．(1)求函数()f x 在[]22-,上的最值；(2)若()()321e 3x g x f x x kx =-+-，当0k ≥时，判断函数()g x 的零点个数．30．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．24．(1)0b ≤时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln a b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为log ,ln ab a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)(21,e ⎤⎦；(3)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a 的取值范围；(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)2(),()ln x x f x b f a x e a x a b '==+--，①若0b ≤，则()ln 0x f x a a b '=-≥，所以()f x 在R 上单调递增；②若0b >，当,log ln a b x a ⎛⎫∈-∞ ⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当log ,ln ab x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.综上可得，0b ≤时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln a b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为log ,ln ab a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)()f x 有2个不同零点20x a bx e ⇔-+=有2个不同解ln 20x a e bx e ⇔-+=有2个不同的解，令ln t x a =，则220,0ln ln t tb b e e e e t a a tt +-+=⇒=>，记()22222(1)(),()t t t t e t e e e e e t e g t g t t t t'⋅-++--===，记2()(1),()(1)10t t t t h t e t e h t e t e e t '=--=-+⋅=⋅>，又(2)0h =，所以(0,2)t ∈时，()0,(2,)h t t ∞<∈+时，()0h t >，则()g t 在(0,2)单调递减，(2,)+∞单调递增，22(2),ln ln b bg e a a e∴>=∴<，22222,ln ,21bb e a a e e>∴>∴≤⇒<≤ .即实数a 的取值范围是(21,e ⎤⎦.(3)[方法一]【最优解】：2,()x a e f x e bx e ==-+有2个不同零点，则2x e e bx +=，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为2x ，较小者为1x ，1222412x x e e e e b e x x ++==>，注意到函数2x e e y x+=在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增，故122x x <<，又由5245e ee +<知25x >，122211122x e e e e b x x x b+=<⇒<，要证2212ln 2b b e x x e b >+，只需22ln e x b b>+，222222x x e e e b x x +=<且关于b 的函数()2ln e g b b b =+在4b e >上单调递增，所以只需证()22222222ln 52x x e x e x x x e >+>，只需证2222222ln ln 02x x x e x e e x e-->，只需证2ln ln 202x e xx e-->，242e < ，只需证4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，由于()11()44410x x xh x xe e e x xx '---+-+-==>，故函数()h x 单调递增，又54520(5)ln 5l 20n 2ln 02h e e =--=->，故4()ln ln 2xxh x x e =--在5x >时为正，从而题中的不等式得证.[方法二]：分析+放缩法2e,()e e x a f x bx ==-+有2个不同零点12,x x ，不妨设12x x <，由()e x f x b '=-得12ln x b x <<（其中ln 4b >）．且()()12221122e e 0,e e 0x x f x bx f x bx =-+==-+=．要证2212ln e 2e >+b b x x b，只需证2212ln e 2e b b bx bx ->，即证212ln e 2e x b b bx >，只需证212ln ln 2e b b x bx ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又22c 222e e e 0bf b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以212e x b<，即1212e bx <．所以只需证2ln(ln )x b b >．而ln 4b >，所以ln b b b >，又ln(ln )ln b b b >，所以只需证(ln(ln ))0f b b <．所以2242(ln(ln ))ln ln(ln )e lnln e e ln4e 0f b b b b b b b b b =-+=-+<-+<，原命题得证．[方法三]：若e a =且4e >b ，则满足21e a <≤且2e 2b >，由（Ⅱ）知()f x 有两个零点()1212,x x x x <且120ln x b x <<<．又2(2)2e 20f b =-<，故进一步有1202ln x b x <<<<．由()()120f x f x ==可得121e e x bx +=且222e e x bx =-，从而()212222121222ln e ln ln e e e e 2e 2e 2e x x b b b b b b x x bx bx b >+⇔->⇔>+．．因为102x <<，所以122e e 21e x +<，故只需证22222e e ln e ln ln x b b bx b b x b b>⇔->⇔>+．又因为()f x 在区间(ln ,)b +∞内单调递增，故只需证()22e ln 0f b f x b ⎛⎫+<= ⎪⎝⎭，即2e ln 0e b b b ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，注意4e >b 时有2e e 4ln e bb <<<，故不等式成立．【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，方法一：直接分析零点212e x b<，将要证明的不等式消元，代换为关于b 的函数，再利用零点反代法，换为关于2x 的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为2e ln f b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与0比较大小，代入函数放缩得到结论.25．(1)()2e e 11e e 1-+-（，(2)答案见解析【分析】（1）先利用参变量分离法，可得ln ln x x a x x x =--，然后构造函数ln ()ln x xh x x x x=--，判断()h x 单调性，然后作出函数的大致图像，确定a 的范围即可；（2）由（1）知，12301e x x x <<<<<，可设ln ()xu x x =，则1()1h x u u=--，然后利用导数确定()u x 的图像，由根的分布情况及111ln x u x =，32223ln ln x x u x x ==运算可得结果.【详解】（1）解：令()0f x =，得2ln (0)ln x ax x x x x+=>-，∴ln ln x x a x x x =--.设ln ()ln x xh x x x x=--，221ln (1)1ln ()(ln )x x x x x h x x x x ----=--'2222(1ln )(ln )(ln )x x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦=-22222(1ln )2ln (ln )ln (1ln )(2ln )(ln )(ln )x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤----⎣⎦==--设()2ln x x x ϕ=-，121()2x x x x ϕ'-=-=，易知()x ϕ在102⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴min 11()()1ln 1ln 2022x ϕϕ==-=+，∴()2ln 0x x x ϕ=->，则由()0h x '=，得1x =或e x =，令()0h x '>，解得()1,e x ∈；令()0h x '<，解得()()01e,x ∞∈⋃+，()h x ∴在()01，单调递减，在()1,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，()h x ∴有极小值()11h =，有极大值()()2e 1e e 1e e 1e e e 1h -+=-=--，又1ln ()ln 1xh x x x x=--，当0x +→时，ln 1ln =⋅→-∞x x x x ，()∴→+∞h x ，当x →+∞时，ln 0xx→，∴()1h x →，()h x ∴的图像如下：由图可知，要使()f x 有3个不同零点，即()h x a =有3个不同零点，实数a 的取值范围为()2e e 11,e e 1⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⎝⎭.（2）由（1）知，12301e x x x <<<<<，令ln ()xu u x x ==，则1()1h x u u=--，21ln xu x -='，故当()0,e x ∈时，()u x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()u x 单调递减.且0x +→时，u ∞→-；()10u =；x →+∞时，0u →；()()max1e .eu x u ==所以ln ()xu x x=的图像如下：由11u a u-=-，得1(1)(1)u u a u --=-，即2(1)10u a u a +-+-=，由根的分布知：2(1)10u a u a +-+-=有两根1u ，2u ，且1210eu u <<<，由图①②知，111ln x u x =，32223ln ln x x u x x ==，又121211u u au u a +=-⎧⎨=-⎩，∴1212u u u u +=，∴12111u u +=，∴3121231211212ln ln ln x x x x x x u u u ++=+=-，又10<u ，∴110u ->，故3121232ln ln ln x x x x x x ++>.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于难题.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．26．(1)44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭(2)证明见解析【分析】（1）构造函数()()()h x f x g x =-，然后分类讨论，即可得到a 的取值范围（2）()f x 和()g x 分别求导，求出()g x 的极值点0x 的关系式，()f x 单调区间，()f x 零点所在区间，即可证明.【详解】（1）记()()()21ln 202a h x f x g x x ax x ⎛⎫=-=-+-≥ ⎪⎝⎭，①当2a ≤时，取102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，不符条件；②当2a >时，()()221122122a a x ax ax x h x xx⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭=='，令()0,()0h x h x ''<>，∴()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以11ln210224a a h ⎛⎫⎛⎫=-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即44ln212ln2a +≥+，则a 的取值范围为44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭；（2）∵()22ag x x='+，令()0g x '=，则00,4e e 4ax x a =-=-，。

2020届高考高三文科数学第二次模拟考试（三 ）（附答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ） A ． B ．C ．D ．2．设复数，则在复平面内对应的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知，，则是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A ．B ．C ．D ． 6．要得到的图象，可由经过（ ）的变换得到．A ．向左平移个单位，横坐标缩为原来的，纵坐标扩大为原来的倍， 2{|2}A x x =<{|ln }B x y x ==A B =I ∅{|0}x x >{|20}x x -<<2{|0}x x <<i(i 1)z =-z :tan 3p α=π:3q α=pq 1441122365()f x R 0x >()ln f x x =221()()f e f e-⋅=2-12-4-14-π2sin(2)6y x =+sin y x =π6122B ．向左平移个单位，横坐标扩大为原来的倍，纵坐标缩为原来的， C ．向左平移个单位，横坐标缩为原来的，纵坐标扩大为原来的倍， D ．向左平移个单位，横坐标扩大为原来的倍，纵坐标缩为原来的， 7．函数的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点所在的直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．π6212π12122π12212(1)sin ()1x xe xf x e -=+22221(0,0)x y a b a b+=>>40x y -+=A B AB 13-2236332331824246++40246+C ．D ．10．记为数列的前项和，且有，，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，，若，则________． 14．已知集合，则的最大值为________．15．已知公差不为0的等差数列，满足成等比数列，为数列的前项和，当时，的值最大为________．16．用一个边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角所对应的边分别是，若满足．（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围．832246++1612246++n S {}n a n 11a =12nn n a a +=+8S =255256502511ABCD 1AB =3AD =P C BD AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu rλμ-311-3-a 2()ln f x x x ax x =-+a (0,)2e(0,)e (,)2e e 2(,)2e e ,2(2)x =+a )3(1,=b +=⋅a b a b x =()()(){}22,|324,,M a b a b a b =-+-=∈∈R R a b +10a >{}n a 416a a a ,,n S {}n a n 0n S >n 2a 2a ABC △,,A B C ,,a b c (sin sin )b A B +(sin sin sin )sin a A B Cc C -+-=B 6b =ABC △18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为等腰梯形，且，，分别为，的中点． （1）求证：；（2）求点到平面的距离．P ABCD -PC ⊥ABCD ABCD 112AD DC PC AB ====E F AB PD DE PA ⊥CDEF19．（12分）某中学高三年级，在男生中随机抽取了人，女生中随机抽取了人参加抽考测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：（1）确定，的值；（2）试判断能否有的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关；（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成学习小组．从这人中随机抽取名进行奖励，求受到奖励名同学中至少有名是男生的概率．507022a d 90%6221附：0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．0101．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．63520．（12分）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，做倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求的面积．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P k χ≥0k C 3(3,0)C 2F π3A B ,O 1F AOB △21．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴22()3ln f x x a x ax =-++()f x 0a >()4ln 3f x a a ≥-+C 10sin ρθ=x建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．（1）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程； （2）曲线与直线交于，两点，求的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数． （1）解不等式； （2）若的解集为空集，求实数的取值范围．l 1cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩t π3α=C l C l A B AB ()123f x x x =++-()5f x ≤21()52f x m m <---m文科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】因为，，所以．2．【答案】B 【解析】，所以在复平面内对应的点在第二象限． 3．【答案】B【解析】，则；而，则， 故是的必要不充分条件． 4．【答案】C【解析】当满足条件，执行循环；，满足条件，执行循环；满足条件，执行循环；满足条件，执行循环； 满足条件，执行循环；不满足条件，输出．5．【答案】C【解析】结合奇函数的概念，可知，， 所以． 6．【答案】A【解析】由图象经过向左平移个单位，横坐标缩为原来的，纵坐标扩大为原来的倍的变换得到的图象，所以选项A 正确． 7．【答案】C【解析】，排除A 、D ；，排除B ；故选C ．8．【答案】B{}{}2222A x x x x =<=-<<{}{}ln 0B x y x x x ===>{|02}x x A B <<=I i i(1i)1i(1i)(1i)(1i)2z +-+===--+z tan 3α=ππ3k α=+π3α=tan 3α=p q 1a =2a =5a =14a =41a =122a =12222()()2f e f e -=-=-21()2f e =221()()4f e f e-⋅=-sin y x =π6122π2sin(2)6y x =+(0)0f =(1)sin (1101)e e f ->+=【解析】该，，中点坐标，代入椭圆方程中，得到，，两式子相减得到， ，结合， ，，且， 代入上面式子得到，，故选B ． 9．【答案】A【解析】由题可得该几何体是一个正四棱柱，截去了一个三棱柱所剩的几何体（如下图），下底面面积，上底面是长为，宽为，面积，侧面两梯形的面积， 侧面两个矩形的面积， 所以．10．【答案】C【解析】依题意可得，则有，()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=22221212220x x y y a b--+=222121212222121212()()()()y y y y y y b a x x x x x x --+=-=---+12121y y x x -=-1202x x x +=1202y y y +=0013y x =-2213b a =2222613c b e a a ==-=122228S =⨯=22(22)223+=222222346S =⨯=312(24)221222S =⨯⨯+⨯=4222422122S =⨯+⨯=846122122824246S =+++=++112n n n a a ---=121112211()()()222121n n nn n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+=++++=-L L．11．【答案】C【解析】以为原点，直线，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，直线，圆与直线相切，所以圆的半径， 圆的方程为， 设点，则有， 所以． 12．【答案】A【解析】，函数有两个极值点，则有两个零点，即函数与函数的图象有两个交点， 当两函数图象相切时，设切点为，对函数求导， 则有，解得，要使函数图象有两个交点，则，即．8718(21)(21)(21)502S =-+-++-=L A AB AD x y (1,0)B (1,3)C (0,3)D :33BD l x y +=C BD C 32r d ==C 223(1)(3)4x y -+-=33(1cos ,3sin )22P θθ++31cos 2333sin 2λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩3131π1cos (1sin )cos sin cos()122226λμθθθθθ-=+-+=-=+≥-()ln 22f x x ax '=+-()f x ()f x 'ln y x =22y ax =-00(,)x y ln y x =1(ln )x x'=00000ln 2212y xy ax ax ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩00112y x e e a ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩02a e <<02ea <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】 【解析】，，，解得． 14．【答案】【解析】结合题意为以为圆心，为半径的圆，所以（为参数），，最大值为．15．【答案】【解析】结合成等比数列，得到，而为等差数列，设公差为，代入得到，解得，所以，， 当时，解得，所以的值最大为．16．【答案】【解析】由题，圆柱的底面圆的周长为，设底面圆的半径为，可得，， 圆柱的高为，所以体积为，用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面，易知半圆弧为圆锥的底面圆的周长：，设圆锥下底面圆半径，可得，， 圆锥的高，3-22(3)5x +=++a b 26x ⋅=++a b 222(3)5(8)x x ++=+3x =-52+M (3,2)23cos 2sin a b αα=+⎧⎨=+⎩α5cos sin 52sin()4a b πααα+=++=++52+18416a a a ,,1426a a a ={}n a d ()()111253a d a a d =++19a d =-0d <1(1)(1)19(9)222n n n d n n d n S na nd nd ---=+=-+=-0n S >1902n --<19n <n 18223π2a 1r 12π2r a =1πar =2a 3211112ππa V s h r h ===2a π2πC R a ==2r 22π2πr a =2r a =2222(2)3h a r a =-=所以圆锥的体积，所以， 故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据正弦定理有，整理可得，结合余弦定理有，所以． （2）根据（1）的，所以，，， 即面积的取值范围为．18．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）底面四边形为等腰梯形，且， 易得，，平面，平面， 所以，，所以平面，平面，所以，为的中点，易得，所以．（2）取中点，在等腰梯形，易求得，， 在中易得，，， 32222113ππ3333a V s h a a ==⋅=312322233π3ππa V V a ==223ππ3(0,93]2()()b a b a a b c c +-+-=222a c b ac +-=2221cos 22a c b B ac +-==π3B =222a c b ac +-=22362a c ac ac +=+≥36ac ≤113sin 3693222S ac B =≤⨯⨯=ABC △(0,93]217ABCD 112AD DC PC AB ====60ABC ∠=︒AC BC ⊥PC ⊥ABCD BC ⊂ABCD PC BC ⊥PC AC C =I BC ⊥PAC PA ⊂PAC PA BC ⊥E AB DE BC ∥DE PA ⊥DC H ABCD HE DC ⊥32HE =PCD △HF PC ∥HF DC ⊥12HF =易得，， 在等腰梯形中易得，为等腰三角形，面积为，设点到平面的距离为，则， 又，所以有，． 所以点到平面的距离．19．【答案】（1），；（2）没有的把握认为；（3）． 【解析】（1），，解得，．（2）由题知总数，得到，，所以没有的把握认为测试成绩优秀与性别有关．（3）结合，结合分层抽样原理，抽取人，则男生中抽取人设为， 女生抽取人设为，，，，则从6人中抽取2人，总的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共种，如果人全部都是女生，有，，，，，，共种，1EF =1222DF DP ==ABCD 1DE =DEF △212271()2248S =⨯⨯-=C DEF h 17324C DEF DEF V S h h -=⨯⨯=△1133224C DEF F CDE V V DC HE HF --==⨯⨯⨯⨯=732424h =217h =C DEF 21715a =40d =90%353550a +=3070d +=15a =40d =120n =()212015403530 2.0575*******k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 2.7 2.057>90%15a =62,a b 41234(,)a b (,1)a (,2)a (,3)a (,4)a (,1)b (,2)b (,3)b (,4)b (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)152(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)6所以． 20．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）过点，所以，，所以， 又，所以，所以双曲线的方程为．（2）结合题意可得直线的方程为，设，，联立方程，消去，得．∴，，∴， 直线的方程变形为． ∴原点到直线的距离为， ∴． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），当时，在时，，为单调减函数； 在时，为单调增函数． 当时，，为单调减函数． 当时，在时，，为单调减函数；在时，为单调增函数．63155P ==22136x y -=36AOB S =△(3,0)3a =3ce a==3c =222a b c +=6b =22136x y -=AB 3(3)y x =-11()A x y ,22()B x y ,223(3)136y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩y 230183x x +=-1218x x +=1233x x ⋅=2212121212()4163AB k x x x x x x =+-=+-=AB 3330x y --=O AB 22|33|332(3)1d -==+1133||16336222AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△222323(23)(1)()2(0)a x ax ax ax f x a x a x x x x-+-+-'=++==>0a >1(0,)x a∈()0f x '<()f x 1(,)x a∈+∞()f x 0a =()0f x '<()f x 0a <3(0,)2x a ∈-()0f x '<()f x 3(,)2x a∈-+∞()f x（2）由（1）知，当时，，， 令，则，解得， ∴在单调递减，在单调递增， ∴，∴，即，∴． 22．（1）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程； （2）曲线与直线交于，两点，求的最小值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线可化为，将代入可得，把代入得，消掉，即可得出．（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程有，整理可得，有，，，当，即时，取得最小值． 23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），0a >22min 1111()()3ln()23ln f x f a a a a a a a==-+⨯+⨯=+1()(4ln 3)ln 1f a a a a a--+=-+-ln 1(0)y t t t a =-++=>110y t'=-+=1t =y (0,1)(1,)+∞min 1|0x y y ===0y ≥min ()4ln 3f x a a ≥-+()4ln 3f x a a ≥-+π3α=C l C l A B AB 22:(5)25C x y +-=:3330l x y -+-=45C 210sin ρρθ=222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩22(5)25x y +-=π3α=112332x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 3330x y -+-=l C 22(1cos )(3sin 5)25t t αα+++-=22(cos 2sin )200t t αα+--=122(cos 2sin )t t αα+=--1220t t ⋅=-2124(cos 2sin )80AB t t αα=-=-+cos 2sin αα=1tan 2α=AB 4511x -≤≤(,4][1,)-∞--+∞U 32,31()4,32132,2x x f x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩即解或或，解得． （2）由（1）知在处取得最小值，且最小值为， 使的解集为空集， 即成立，解集为或， 所以的取值范围为3253x x -≤⎧⎨≥⎩45132x x +≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩32512x x -+≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩11x -≤≤()f x 12x =-7221()52f x m m <---217522m m ---≤4m ≤-1m ≥-m (,4][1,)-∞--+∞U。

最新高三数学文科第二次模拟试卷（附答案）一、单选题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2．某程序框图如图所示，若输出的结果是，则函数可能是下列的（）A．B．C．D．3．已知两个非零单位向量、的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．，B．在向上的投影为C．D．不存在，使4．三个数的大小顺序是A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b5．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的左、右焦点分别为，B为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为（）A ．2B．C．D．7．对于复数，若，则（）A．0B．2C．-2D．-18．已知集合，，则（）A ．或B．C ．D．9．已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．10．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A．13时~14时B．16时~17时C．18时~19时D．19时~20时11．在等差数列中，，则（）A．6B．7C．8D．912．下列函数中，值域为的偶函数是A．B．C．D．二、填空题13．不等式的解集是______．14．已知数列的前项和为，，，其中为常数，若，则数列中的项的最小值为__________．15．已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是．三、解答题16．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.17．在中，，点D在边AB上，，且.（1）若的面积为，求CD；（2）设，若，求证：.18．已知函数，若恒成立，求实数的最大值。

2020年高考数学（文科）二轮复习模拟卷（三）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|y=ln(x−2)}，则A∩B等于()A. {x|2≤x<3}B. {x|2<x≤3}C. {x|1≤x<2}D. {x|1≤x≤2}2.在复平面内，复数(2−i)2对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(b−c)(sinB+sinC)=a(sinA+sinC)，则角B等于()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为()A. 192B. 48C. 24D. 885.已知sin(π4+α)=23，则cos(π4−α)的值等于()A. −23B. 23C. √53D. ±√536.设向量a⃗=(1,1),b⃗ =(−1,3),c⃗=(2,1)，且，则λ=()A. 3B. 2C. −2D. −37.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. 110B. 18C. 16D. 158.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=32，且EF 与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A. 92B. 5C. 6D. 1529. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，若|FA|=3，|FB|=1，则p =( )A. 1B. √2C. 32D. 310. 函数y =lnx 2x的图象大致为 ( )A.B.C.D.11. 下列命题中正确的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ B. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则a ⃗ //b ⃗C. 若a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为|a⃗ | D. 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =(a ⃗ ⋅b ⃗ )212. 若对于函数f(x)=ln(x +1)+x 2图象上任意一点处的切线l 1，在函数g(x)=√2asin x2cos x2−x的图象上总存在一条切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−√2]⋃[√2,+∞)B. [−1,1−√22]C. (−∞,1−√22]⋃[√2−12,+∞]D. [√2−12,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知圆x 2+y 2−4x −6y =0，则过点M(1,1)的最短弦所在的直线方程是______． 14. 若双曲线x 24+y 2k=1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围为__________．15. 已知等比数列{a n }的首项为43，公比为−13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n −1S n≤B 对n ∈N ∗恒成立，则B −A 的最小值为________．16. 如图，在侧棱长为3的正三棱锥A −BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点B 的距离始终等于2√3，则动点P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为___．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17. 在△ABC 中，若√3a =2bsinA ．(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，且b =√3，a +c =3，a >c ，求a 、c 的值．18. 詹姆斯·哈登(James Harden)是美国NBA 当红球星，自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来，逐渐成长为球队的领袖．2017−18赛季哈登当选常规赛MVP(最有价值球员)． 年份 2012−13 2013−14 2014−15 2015−16 2016−17 2017−18 年份代码t1 2 3 4 5 6 常规赛场均得分y25.925.427.429.029.130.4(Ⅰ)根据表中数据，求y 关于t 的线性回归方程y ̂=b ̂t +a ̂(1≤t ≤10,t ∈N ∗)； (Ⅱ)根据线性回归方程预测哈登在2019−20赛季常规赛场均得分．【附】对于一组数据(t 1,y 1)，(t 2,y 2)，…(t n ,y n )，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ̂=i −t)(y i −y)ni=1∑(t −t)2n i=1，a ̂=y −b ̂t ，(参考数据：∑(t i −t)6i=1(y i −y)=17.6，计算结果保留小数点后一位)19. 如图，四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB//CD ，∠ABC =90°，AD =SD ，BC =CD =12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD ．(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA =120°，且三棱锥S −BCD 的体积为√612，求侧面△SAB 的面积．20.已知函数f(x)=e x−1+ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若∀x∈[1,+∞)，f(x)+lnx≥a+1恒成立，求a的取值范围．21.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆(a>b>0)的上顶点为，圆经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N.若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −2|−|2x −2|(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；(Ⅱ)当x ∈R 时，f(x)<−x +a 恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵B={x|y=ln(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，∴A∩B={x|2<x≤3}，故选：B根据集合的交集运算进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：本题主要考查复数的四则运算与复数的几何意义．化简，求出复数对应的坐标，即可得出结论．解：因为(2−i)2=3−4i，所以复数(2−i)2在复平面上对应的点(3,−4)位于第四象限．故选D．3.答案：C解析：解：根据题意，△ABC中，若(b−c)(sinB+sinC)=a(sinA+sinC)，则有(b−c)(b+c)=a(a+c)，即b2−c2=a2+ac，变形可得a2+c2−b2=−ac，则cosB=a2+c2−b22ac =−12，由于B为三角形内角，则B=2π3；故选：C．根据题意，由正弦定理可得(b−c)(b+c)=a(a+c)，变形可得a2+c2−b2=−ac，结合余弦定理可得cos B的值，由B的范围分析可得答案．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，关键是掌握正弦定理、余弦定理的形式．4.答案：B解析：本题考查等比数列的求和公式的实际应用，属于基础题．由题意可知，每天走的路程里数构成以12 为公比的等比数列，由S 6 =378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第三天走的路程．解：由题意得，将该人每天所走的路程依次排列，形成一个公比为12的等比数列，记为{a n }，其前6项和等于378， 于是有a 1[1−(12)6]1−12=378，解得a 1=192， 所以a 3=14×192=48， 即该人第三天走了48里． 故选B ．5.答案：B解析：本题考查诱导公式的应用，属于基础题． 解：已知sin(π4+α)=23， 所以，故选B ．6.答案：A解析：本题考查向量垂直以及向量的坐标运算，属于基础题． 可求出a ⃗ −λb ⃗ =(1+λ,1−3λ)，根据即可得出(a ⃗ −λb ⃗ )·c ⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值．解：a⃗−λb⃗ =(1+λ,1−3λ)，因为，所以(a⃗−λb⃗ )·c⃗=2×(1+λ)+1×(1−3λ)=0，解得λ=3．故选A．7.答案：D解析：本题考查古典概型的计算和应用．利用列举法求出从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点的事件的个数，然后找出符合要求的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式求解即可．解：设正六边形的6个顶点依次为A，B，C，D，E，F，从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，ABCD，ABCE，ABCF，ABDE，ABDF，ABEF，ACDE，ACDF，ACEF，ADEF，BCDE，BCDF，BCEF，BDEF，CDEF，即以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有ABDE，BCEF，ACDF，共3个，所以所求的概率为315=15，故选D．8.答案：D 解析：。

届高考模拟（二模）测试数学（文科）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。

2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、本大题共12小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合{}12S x x =∈+≥R ，{}21012T =--，，，，，.m 则集合S T I 中元素的个数是.A 0个 .B 1个 .C 2个 .D 3个（2）2(cos 75sin 75)+=o oA ．12 B ． 1 C ．32 D ．2（3）设i 为虚数单位，已知复数z 满足2zi z i=-，则其共轭复数z 为 A ．1i + B ．1i - C ． 22i + D ． 22i -俯视图侧视图正视图3544（4）设1232,3,()log (1),3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则((10))f f = A ．1 B ．2 C ．2e D ． 22e（5）已知焦点在x 轴双曲线的一条渐近线的倾斜角6π,则此双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.233（6）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．7 B ．8C ．9D ．10（7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．35812+π B ．3584+πC ．5812+πD ．584+πn ＝10, i ＝1 n ＝3n ＋1开 始n 是奇数?输出i 结 束是 否 n ＝ n ＝1?是 否n 2i ＝i ＋1（8）“1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为 增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 （9）函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图象如右图所示， 则(0)f 的值A ．32- B ．1-C ．2-D ．3-（10）在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元（11）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :y kx =的距离为22,则直线l 的斜率的取值范围是A. (23,23)-+B. [23,23]-+C.(,23)(23,)-∞-++∞U D. (,23][23,)-∞-++∞U（12）定义在R 上的函数()f x 满足(1)'()0x f x -≤，且)1(+=x f y 为偶函数，当1211x x -<-时，有A ． )2()2(21x f x f -≥-B ．12(2)(2)f x f x -=-C ．12(2)(2)f x f x -<- D ．12(2)(2)f x f x -≤-第Ⅱ卷本卷包括必考题与选考题两部分，第（13）至（21）题是必考题，每个试题考生必须做答，第（22）至（24）是选考题，考生根据要求做答。

2021年广西高三数学文科毕业班第二次测试卷〔答卷时间是：120分钟，满分是：150分〕本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共四页． 参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)； 假如事件A 、B 互相HY ，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)；假如事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k次的概率：P n (k)=C kn ·P k·(1－P)n －k；球的外表积公式S=24R π；球的体积公式V 球=334R π ，其中R 表示球的半径．第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕1．集合{}42<=x x M ，{}0322<--=x x x N ，那么集合N M = A ．{}2-<x x B ．{}3>x x C ．{}21<<-x x D ．{}32<<x x2．点)2007sin ,2007(cos ︒︒P 落在第______象限。

A ．一B ．二C ．三D ．四3．a 与b 均为单位向量，它们的夹角为︒60-等于 A ．7B ．10C ．13D ．44．设数列{}n a 是等差数列，且,6,682=-=a a n S 是数列{}n a 的前n 项的和，那么有 A ．54S S < B ．54S S = C ．56S S < D ．56S S =5．设函数⎩⎨⎧≤>+-=- )4(2)4()1(log )(43x x x x f x 的反函数)(1x f -，且a f =-)81(1，那么=+)7(a fA ．－2B ．－1C ．1D ．26．P 是圆221x y +=上一点，Q 是满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩的平面区域内的点，那么|PQ|的最小值为A ．2B 1C 1D ．7．函数4cot 4tanx x y +=, x∈]35,32[ππ的最小值是 A ．1B ． 2C ．334 D ． 48．奇函数)(x f 的定义域为R ，且是以2为周期的周期函数，数列{}n a 是首项为 1，公差为1的等差数列，那么)()()(1021a f a f a f +++ 的值是A ．0B ．1C ．－1D ．29．对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件：① 焦点在x 轴上；② 焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的间隔 等于6； ④抛物线上点〔2，a 〕到准线的间隔 为29。

梧州市高三毕业班第二次测试 数 学（文科）（答卷时间：120分钟，满分：150分）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共四页．全部解答都写在答卷（卡）上，不要写在本试卷面上． 考生注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班别、考号用钢笔写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)； 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)； 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：Pn(k)=C·Pk·(1－P)n －k ；（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式S=；球的体积公式V 球=，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M=｛x ∣x2－3 x +2=0｝,N=｛0，1，2｝，则下列关系正确的是 A ．M= NB ．M NC ．M ND ．N M2．若，则a0等于A ．1B ．32C ． 1D ．32 3．若点P(4 , a)到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则实数a 的取值范围是 A ．[0，10) B ．(0，10] C ．(10，0] D ．[0，10] 4．下列四个命题中的真命题为 A ．若sinA=sinB ，则∠A=∠B B ．若lgx2=0，则x=1C ．若a>b ，且ab>0，则D ．若b2=ac ，则a 、b 、c 成等比数列 5．函数，在上的最大值与最小值之和为，则等于A ．4B ．C ．2D ．6．已知等比数列中，公比，若，则最值情况为A ．最小值B ．最大值C ．最小值D ．最大值7．在中，，则的值为24R π334R π⊆5250125(1)(1)(1) (1)x a a x a x a x +=+-+-++----b a 11<2()log (1)(01)x a f x a x a a -=+->≠且[2,3]x ∈a a 1412{}n a 0<q 42=a 321a a a ++4-4-1212ABC ∆7,5,6AB BC CA ===AB BC ⋅⊆⊆CDAB EF1A 1C 1D 1B A ．B ．C ．D ．8．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，得到的函数的一条对称轴是A ．B ．C ．D ．9．5名上海世博会形象大使分别到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去1名形象大使，则不同的分派方法共有 A ．280种 B ．240种 C ．180种 D ．150种10．椭圆的两焦点分别是，等边的边与该椭圆分别相交于两点，且，则该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E 、F ，且，则下列结论中错误的是 A ． B．C ．三棱锥的体积为定值D ．异面直线所成的角为定值12．函数的定义域为R ，若是奇函数，是偶函数. 下列四个结论： ① ②的图像关于点对称 ③是奇函数 ④的图像关于直线对称其中正确命题的个数是: A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.）19-1938-38sin(4)3y x π=-4π6x π=3x π=2x π=12x π=-)0(12222>>=+b a b y a x 21F F 、21F AF ∆21AF AF 、C B 、21BC 2F F =21213-13-231111ABCD A B C D -11B D 2EF =AC BE ⊥//EF ABCD 平面A BEF -,AE BF )(x f )1(+x f )2(+x f )()4(x f x f =+)(x f )0,2(k )(Z k ∈)3(+x f )(x f )(12Z k k x ∈+=V 13．已知，则 ★ ．14．从总体数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N 为 ★ ．15．设F 为抛物线y ＝－x2的焦点，与抛物线相切于点P （4，4）的直线l 与x 轴的交点为Q ，则∠PQF 的值是 ★ ．16．已知直三棱柱ABC —A1B1C1中，，设平面与平面的交线是，则与直线的距离为 ★ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把解答过程写在答题卡相应位置上.） 17．（本小题满分10分）已知函数（其中>0，）的最小正周期为． （1）求的值；（2）在△中，若A<B ，且，求．18．（本小题满分12分） 为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ 用户推出了多款QQ 应用，如“QQ 农场”、“QQ 音乐”、“QQ 读书”等．市场调查表明，QQ 用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为，，．现有甲、乙、丙三位QQ 用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．（1）求三人中恰好有两人选择QQ 音乐的概率； （2）求三人所选择的应用互不相同的概率. 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且53)cos(),,0(=+∈αππα=αsin 41--11,4,3,2AA AB BC ABC π===∠=11A BC ABC l 11A Cl )(x f )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ωωR ∈x πωABC 1()()2f A f B ==AB BC 213161V ABC -VC ⊥ABC AC BC ⊥D AB，． （1）求证：平面平面；（2）当角变化时，求直线与平面所成的角 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知数列的首项，，…． （1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．21.（本小题满分12分）已知函数（1）若x1=2和x2=4为函数f(x)的两个极值点，求函数的表达式;（2）若在区间[1，3]上是单调递减函数，求的最小值.22．（本小题满分12分）AC BC a ==VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭VAB ⊥VCD θBC VAB {}n a 123a =121nn n a a a +=+1,2,3,n =1{1}n a -{}nn a n nS ),(2131)(23R b a bx ax x x f ∈-+=-)(x f )(x f -22b a +已知F1(2，0)，F2(2，0)，点P 满足|PF1|－|PF2|＝2，记点P 的轨迹为S ，过点F2作直线与轨迹S 交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线x ＝12的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记λ＝|AP|·|BQ|．（1）求轨迹S 的方程； （2）设点M （1，0），求证：当λ取最小值时，△PMQ 的面积为9．梧州市高三毕业班第二次测试 数学（文科）参考答案及评分标准二、填空题（每小题5分，共20分） 13． 14．120 15． 16．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）解：（1）∵． ……………2分 而的最小正周期为，>0， ，∴． …………4分 （2）由（1）得． 若是三角形的内角，则，∴．令，得， ∴或， ∴或． ………7分 由已知，是△的内角，且，∴，， ∴． ….………………8分-l -542π513)(x f )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)32sin(π-=x ω)(x f πωπ=πω221=ω)32sin()(π-=x x f x π<<x 035323π<π-<π-x 21)(=x f 21)32sin(=π-x 632π=π-x 6532π=π-x 4π=x 127π=x B A ,ABC B A <21)()(==B f A f 4π=A 127π=B 6π=--π=B A C又由正弦定理，得． …..…………10分18．（本题满分12分）解：（1）三人中恰好有两人选择QQ 音乐的概率为P= ………6分 （2）记第名用户选择的应用属于农场、音乐、读书分别为事件，i=1，2，3．由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i ，j ，k=1，2，3且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且． 他们选择的应用互不相同的概率19．（本题满分12分）解法1：（1） 是等腰三角形,又是的中点， ………..………………1分又底面 ………………2分于是平面． ………………3分 又平面 平面平面． …………4分 （2）过点在平面内作于，连接 ………………5分 则由1）知AB ⊥CH ， ∴CH ⊥平面 ………………6分 于是就是直线与平面所成的角 ………………7分在中，CD=， ； ………………8分设，在中， ………………9分………………10分221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC 9231131223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛C i ii i C B A ,,321,,A A A 321,,B B B 321,,C C C kj i C B A ,,111(),(),()236i i i P A P B P C ===12312313!()6()()()6P P A B C P A P B P C ===AC BC a ==∵ACB ∴△D AB CD AB ⊥∴VC ⊥ABC VC AB ⊥∴AB ⊥VCD AB ⊂VAB ∴VAB ⊥VCD C VCD CH VD ⊥H BH VAB CBH ∠BC VAB CHD Rt △a22sin CH θ=CBH ϕ∠=BHC Rt △sin CH a ϕ=sin θϕ=…………………12分H V，……11分 又，即直线与平面所成角的取值范围为． ………12分解法2：（1）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，…1分于是，，，． 从而，即．…2分同理，…3分即．又，平面． 又平面．平面平面. ………………4分（2）设直线与平面所成的角为，平面法向量为，则由． 得 ………………6分可取，又，于是， ………………10分π02θ<<∵0sin 1θ<<∴0sin 2ϕ<<π02ϕ≤≤π04ϕ<<∴BC VAB π04⎛⎫⎪⎝⎭，CACB CV ，，x y z (000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，tan 22a a VD θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，(0)AB a a =-，，2211(0)0002222a a AB CD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··ABCD ⊥2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··AB VD ⊥CD VD D =AB ⊥∴VCD AB ⊂VAB ∴VAB ⊥VCD BC VAB ϕVAB ()x y z =，，n 00AB VD ==，nn ··0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．(11)θ=n (00)BC a =-，，sin 2BC BCa ϕθ===n n ···，，．又，．即直线与平面所成角的取值范围为． ………………12分20．（本题满分12分）解：（1）由已知：， ， ………………2分 ，又，， …………………….4分 数列是以为首项，为公比的等比数列． …….…………….5分（2）由（1）知，即，． ………………………..6分设…， ①则…，② ……………………………7分 由①②得：…， ………..9分．.…..10分 又…． ….…..11分数列的前项和：．..12分 21．（本题满分12分）解：（1）π02θ<<∵0sin 1θ<<∴0sin 2ϕ<<π02ϕ≤≤π04ϕ<<∴BC VAB π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，121n n n a a a +=+∴111111222n n n n a a a a ++==+⋅∴11111(1)2n n a a +-=-123a =∴11112a -=∴1{1}n a -1212n n na 212121111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=--1112nn a =+∴2n n n n n a =+23123222n T =+++2nn+23112222n T =++1122n n n n +-++-2111222n T =++11111(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---∴11222n n n n T -=--123+++(1)2n n n ++=∴{}nn a n nn n nn n n n n S 22242)1(2222+-++=+++-=bx ax x x f -+=232131)(……………………2分……………………5分（2）在区间[—1，3]上是单调递减函数的最小值为13. …………… 12分22．（本题满分12分） 解：（1）由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P 的轨迹S 是以F1、F2为焦点的双曲线右支． 由c ＝2,2a ＝2，∴b2＝3．故轨迹S 的方程为x2－y23＝1 (x≥1) …….……4分（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x －2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与双曲线方程联立消y 得(k2－3)x2－4k2x ＋4k2＋3＝0． …………5分∴ 解得k2＞3．…… 7分|AP|·|BQ|＝＝14(2x1－1)(2x2－1) ＝14[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－x1＋x22＋14＝4k2＋3k2－3－2k2k2－3＋14＝2k2＋3k2－3＋14＝94＋9k2－3＞94． ………..…………..9分 b ax x x f -+='∴2)(⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧⨯-=-+-=-=-+-∴=-=824)2(4204,2)(42221b a b a b ax x x f x x 解得则的两个根是方程的两个极值点为函数和又x x x x f 831)(23--=∴)(x f 133)2(,)3,2(93113193103010)3(0)1(.]3,1[0)(22222=+-+∴-⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-≤-≥+⎩⎨⎧-≤-≥+⇒⎩⎨⎧≤-+≤--⇒⎩⎨⎧≤'≤-'∴-≤-+='∴即的距离的平方到原点的最小值为得交点联立的可行域作出上恒成立在区间O A b a A b a b a b a b a b a b a b a a b a f f b ax x x f 22b a +∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+=⋅>-=+>∆0334034022212221k k x x k k x x λ=121122x x --……………8分……………10分 ……………………4分当斜率不存在时，|AP|·|BQ|＝94，∴λ的最小值为94． ………………10分 此时，|PQ|＝6，|MF2|＝3，S △PMQ ＝12|MQ|·|PQ|＝9． ………………12分。

2021年高三下学期二轮复习质量检测数学（文）试题含答案xx.5一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}()1,2,3,4,5,1,2,5,2,3,5U U A B C A B ===⋂，则等于A.B.C. D. 2.设复数()12121,2z i z xi x R z z R =+=+∈⋅∈，若，则x 的值为A. B. C.1 D.23.以下三个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②老张身高176cm ，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为，则预计老张的孙子的身高为180cm ；③设样本数据的均值和方差均为2，若（m 为非零实数，）的均值和方差分别为A.0B.1C.2D.34.设命题p ：若的夹角是，则向量b 在a 方向上的投影是1；命题“”是“”的充分不必要条件，下列判断正确的是A. 是假命题B. 是真命题C. 是真命题D. 为真命题5.在平面直角坐标系xOy 中，设直线与圆相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于A.1B.2C.D.06.函数的图象大致是7.如图，A,B 分别是射线OM,ON 上的两点，给出下列向量：①；②;③;④;⑤若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有A.①②B. ②④C.①③D. ③⑤8.将函数的图象向左平移个长度单位，得到函数的图象，则的单调递增区间是A.B.C.D.9.已知某锥体的正视图和侧视图如右图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是10.已知函数，若其导函数在区间上有最大值10，则导函数在区间上的最小值为A. B. C. D.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11.设抛物线上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为 ▲ .12.若()1,,tan sin 24παπααπ⎛⎫∈=-+= ⎪⎝⎭，则 ▲ . 13.在区间上随机取一个数，则的值介于与之间的概率为 ▲ .14.已知满足约束条件若的最小值为0，则a = ▲ .15.某程序框图如图所示，则输出的S 的值为 ▲ .三、解答题：本大题共6个小题满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16. （本小题满分12分）已知分别为三个内角的对边，且（I ）求角C ；（II）如图，设D为BC的中点，且AD=2，求面积的最大值.17. （本小题满分12分）口袋中有6个小球，其中4个红球，2个白球，从袋中任取2个小球. （I）求所取2个小球都是红球的概率；（II）求所取2个小球颜色不相同的概率.18. （本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，且对任意，都有成等差数列. 成等比数列，且（I）求证：数列是等差数列；（II）求. .19. （本小题满分12分）如图，三棱锥中，底面ABC，D是AB的中点，AB=2DC，E是PA的中点，F是的重心.（I）求证：平面PAC；（II）求证：EF//平面PBC.20. （本小题满分13分）已知函数（I）求函数的单调区间；（II）当时，试推断方程：是否有实数解.21. （本小题满分14分）若双曲线过椭圆的焦点，且它们的离心率互为倒数.（I）求椭圆C的标准方程；（II）如图，椭圆C的左、右顶点分别为，过点M（1，0）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线的斜率分别为试问，是否存在实数m，使得若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.!29800 7468 瑨26843 68DB 棛33541 8305 茅36666 8F3A 輺28545 6F81 澁Cv34349 862D 蘭27290 6A9A 檚37559 92B7 銷El31586 7B62 筢22016 5600 嘀。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 22. 下列函数中，奇函数是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^53. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，且f(-1)=2，f(1)=-2，f(0)=1，则a、b、c的值分别为（）A. 1, -2, 1B. -1, 2, 1C. 1, 2, -1D. -1, -2, 14. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则sinB的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/7D. 7/85. 下列命题中，正确的是（）A. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上有最大值和最小值B. 若函数f(x)在区间[a, b]上可导，则f(x)在[a, b]上有最大值和最小值C. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f(x)在[a, b]上有最大值和最小值D. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递减，则f(x)在[a, b]上有最大值和最小值6. 已知数列{an}满足an+1=2an+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式为（）A. an=2n-1B. an=2nC. an=2n+1D. an=2n-27. 已知向量a=(1, -2)，向量b=(2, 3)，则向量a·b的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 58. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1+a5=10，a3+a7=18，则数列{an}的前10项和S10为（）A. 90B. 100C. 110D. 1209. 已知函数f(x)=ln(x+1)，则f(x)的单调递增区间为（）A. (-1, +∞)B. (-∞, -1)C. (-1, 0)D. (0, +∞)10. 下列不等式中，正确的是（）A. x^2-4x+3>0B. x^2+4x+3>0C. x^2-4x+3<0D. x^2+4x+3<0二、填空题（每小题5分，共50分）11. 已知复数z=2+3i，则|z|=__________。

第二学期第二次质量检测高三数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分；考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）一. 选择题（本大题共有8个小题；每小题5分；共40分；在每小题给出的四个选项中；有且只有一个是符合题目要求的）1. 集合{}N x ,3x 1|x A ∈<<-=的真子集的个数是（ ） A. 3B. 4C. 7D. 82. 已知()21cos -=α-π；则sin α的值为（ ） A. 21±B.21 C.23D. 23±3. “m=3”是“直线0m 3y 2mx =++和直线07m y )1m (x 3=+--+不重合而平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若函数x log 2y 21=的值域为［1,1-］；则其反函数的值域为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22B. []1,1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21D. [)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,222,5. 使函数x sin y =递减且函数x cos y =递增的区间是（ ）A. ⎪⎭⎫⎝⎛ππ2,23B. ()Z k 2k 2,k 2∈⎪⎭⎫⎝⎛π-ππ-π C. ()Z k k 2,2k 2∈⎪⎭⎫⎝⎛π+ππ+πD. ()z k k 2,2k 2∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ-π 6. 已知两点()2,0M -；()2,0N ；动点()y ,x P 满足8PN PM =⋅→→；则动点P 的轨迹方程为（ ）A. 1y 12x 22=+B. 112y x 22=+ C. 12y x 22=-D. 12y x 22=+7. 已知m ；n 表示两条直线；α表示一个平面；给出下列四个命题：（1）n //m n m ⇒⎩⎨⎧α⊥α⊥（2）α⇒⎩⎨⎧⊥α⊥//n n m m（3）n //m //n //m ⇒⎩⎨⎧αα（4）n m //n m ⊥⇒⎩⎨⎧αα⊥其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ②④C. ①④D. ②③8. 点()1,3P --在椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的左准线上；过点P 且方向向量)5,2(m =的光线；经过直线2y =反射后；通过椭圆的左焦点；则这个椭圆的离心率为（ ）A. 33B.31C.22 D.21第II 卷（非选择题 共110分）二. 填空题（本大题共6个小题；每小题5分；共30分）9. 二项式4x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中的常数项为_____________________。

2021届高三数学文科第二次质量检测试卷本套试卷分第I 卷〔选择题〕第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟。

参考公式假如事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 假如事件A 、B 互相HY ，那么()P A B P A P B ··=()() 球的外表积公式：S R =42π，其中R 表示球的半径假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率：()P k C P P n n kkn k()=--1球的体积公式：V R =433π，其中R 表示球的半径 第I 卷一. 选择题〔本大题一一共12题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 〔1〕p 且q 为真，那么以下命题中真命题的个数为〔 〕 ①p ②q ③p 或者q ④非p A. 1B. 2C. 3D. 4〔2〕直线l 1∥直线l 2的一个充分条件是〔 〕A. l 1，l 2同平行于一个平面B. l 1，l 2和同一个平面所成角相等C. l 1∥平面α且l 2⊂平面αD. l 1⊥平面α且l 2⊥平面α〔3〕将函数y x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+sin 246π的图象按向量a →平移后得到y x =sin2的图象，那么向量a →可以是〔 〕A. π46，⎛⎝⎫⎭⎪B. π86，⎛⎝⎫⎭⎪C. --⎛⎝ ⎫⎭⎪π46，D. --⎛⎝ ⎫⎭⎪π86， 〔4〕O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足OB OC OB OC OA →-→⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅→+→-→⎛⎝ ⎫⎭⎪=20，那么△ABC 的形状一定为〔 〕A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 斜三角形〔5〕假设点()P 21，-为圆()x y -+=12522的一条弦的中点，那么该弦所在直线的方程为〔 〕 A. x y +-=10 B. x y --=30 C. x y +=20D. 250x y --=〔6〕f x x x ax f ()cos ()=+=，35，那么f ()-=3〔 〕A. 5B. -5C. 1D. -1〔7〕函数f x xx x ()=>-≤⎧⎨⎩111那么不等式xf x x ()-≤2的解集为〔 〕 A. []-22，B. []-12，C. []12，D. [][]--2112，∪，〔8〕函数f x x()=2的反函数为f x -1()，假设fa fb --+=114()()，那么11a b+ 的最小值为〔 〕 A.14B.13C.12D. 1〔9〕中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为12的椭圆方程是〔 〕A. x y 22431+= B. x y 22341+= C. x y 2241+= D. x y 2241+=〔10〕函数f x ax c ()=-2满足-≤≤--≤≤411125f f ()()，，那么f ()3的取值范围是〔 〕 A. []-120，B. []120，C. []-731，D. []-720，〔11〕某校有6间不同的阅览室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方法的种数，现有以下四个结果，其中正确的选项是〔 〕 ①C 62②C C C C 636465662+++③276-④A 62A. ①和②B. ②C. ②和③D. ③和④〔12〕f x ()是定义在R 上的偶数，对任意x R ∈，都有()()f x f x -=+22，当[]x ∈46，时f x x()=-21，那么在区间[]-20，上f x ()为〔 〕A. 214x ++B. 214-++xC. 214x -+D. 214--+x第II 卷二. 填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在题中的横线上〕〔13〕设()()a b →=→=∈310，，，，，(cos sin )θθθπ，那么a b →→·的取值范围是 ___________。

12020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|2}A x x =<，{|ln }B x y x ==，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{|0}x x >C ．{|20}x x -<<D ．2{|0}x x <<【答案】D【解析】因为{}{}2222A x x x x =<=-<<，{}{}ln 0B x y x x x ===>，所以{|02}x x A B <<=I ．2．设复数i(i 1)z =-，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】i i(1i)1i(1i)(1i)(1i)2z +-+===--+，所以z 在复平面内对应的点在第二象限． 3．已知:tan 3p α=，π:3q α=，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】tan 3α=，则ππ3k α=+；而π3α=，则tan 3α=， 故p 是q 的必要不充分条件．4．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（ ）A ．14B ．41C ．122D ．365 【答案】C【解析】当1a =满足条件，执行循环；2a =，满足条件，执行循环；5a =满足条件，执行循环；14a =满足条件，执行循环； 41a =满足条件，执行循环；122a =不满足条件，输出122．5．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则221()()f e f e -⋅=（ ） A ．2-B ．12-C ．4-D ．14-【答案】C【解析】结合奇函数的概念，可知22()()2f e f e -=-=-，21()2f e =， 所以221()()4f e f e -⋅=-． 6．要得到π2sin(2)6y x =+的图象，可由sin y x =经过（ ）的变换得到． A ．向左平移π6个单位，横坐标缩为原来的12，纵坐标扩大为原来的2倍， B ．向左平移π6个单位，横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12， C ．向左平移π12个单位，横坐标缩为原来的12，纵坐标扩大为原来的2倍， D ．向左平移π12个单位，横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12， 【答案】A此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2【解析】由sin y x =图象经过向左平移π6个单位，横坐标缩为原来的12，纵坐标扩大为原来的2倍的变换得到π2sin(2)6y x =+的图象，所以选项A 正确．7．函数(1)sin ()1x xe xf x e -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】(0)0f =，排除A 、D ；(1)sin (1101)e e f ->+=，排除B ；故选C ．8．已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>与直线40x y -+=交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点所在的直线的斜率为13-，则椭圆的离心率为（ ）A ．223B ．63C ．32D ．33【答案】B【解析】该()11,A x y ，()22,B x y ，中点坐标()00,M x y ，代入椭圆方程中，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式子相减得到22221212220x x y y a b --+=，222121212222121212()()()()y y y y y y b a x x x x x x --+=-=---+，结合12121y y x x -=-， 1202x x x +=，1202y y y +=，且0013y x =-，代入上面式子得到2213b a =，2222613c b e a a ==-=，故选B ． 9．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积是（ ）A ．824246++B ．40246+C ．832246++D ．1612246++【答案】A【解析】由题可得该几何体是一个正四棱柱，截去了一个三棱柱所剩的几何体（如下图），下底面面积122228S =⨯=，上底面是长为22(22)223+=，宽为22， 面积2222346S =⨯=，侧面两梯形的面积312(24)221222S =⨯⨯+⨯=， 侧面两个矩形的面积4222422122S =⨯+⨯=，所以846122122824246S =+++=++．10．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且有11a =，12nn n a a +=+，则8S =（ ）A ．255B ．256C ．502D ．511【答案】C【解析】依题意可得112n n n a a ---=，3则有121112211()()()222121n n nn n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+=++++=-L L ，8718(21)(21)(21)502S =-+-++-=L ．11．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，则λμ-的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3-【答案】C【解析】以A 为原点，直线AB ，AD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则(1,0)B ，(1,3)C ，(0,3)D ，直线:33BD l x y +=，圆C 与直线BD 相切，所以圆C 的半径3r d ==，圆C 的方程为223(1)(3)4x y -+-=， 设点33(1cos ,3sin )22P θθ++，则有31cos 2333sin 2λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 所以3131π1cos (1sin )cos sin cos()1226λμθθθθθ-=+-+=-=+≥-． 12．已知a 为常数，函数2()ln f x x x ax x =-+有两个极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)2e B ．(0,)e C ．(,)2e eD ．2(,)2e e【答案】A【解析】()ln 22f x x ax '=+-，函数()f x 有两个极值点，则()f x '有两个零点，即函数ln y x =与函数22y ax =-的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为00(,)x y ，对函数ln y x =求导1(ln )x x'=，则有00000ln 2212y xy ax ax ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，解得00112y x e e a ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，要使函数图象有两个交点，则02a e <<，即02e a <<．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量,2(2)x =+a ，)3(1,=b ，若+=⋅a b a b ，则x =________． 【答案】3- 【解析】22(3)5x +=++a b 26x ⋅=++a b ，222(3)5(8)x x ++=+，解得3x =-． 14．已知集合()()(){}22,|324,,M a b a b a b =-+-=∈∈R R ，则a b +的最大值为________．【答案】52【解析】结合题意M 为以(3,2)为圆心，2为半径的圆，所以3cos 2sin a b αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），5cos sin 52sin()4a b πααα+=++=+，最大值为52．15．已知10a >公差不为0的等差数列{}n a ，满足416a a a ,,成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，当0n S >时，n 的值最大为________． 【答案】18【解析】结合416a a a ,,成等比数列，得到1426a a a =，而{}n a 为等差数列，设公差为d ，代入得到()()111253a d a a d =++，解得19a d =-，所以0d <，1(1)(1)19(9)222n n n d n n d n S na nd nd ---=+=-+=-， 当0n S >时1902n --<，解得19n <，所以n 的值最大为18． 16．用一个边长为2a 的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为2a 的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为__________．4【答案】223π【解析】由题，圆柱的底面圆的周长为2a ，设底面圆的半径为1r ，可得12π2r a =，1πa r =， 圆柱的高为2a ，所以体积为3211112ππa V s h r h ===，用一个半径为2a 的半圆卷成一个圆锥的侧面，易知半圆弧为圆锥的底面圆的周长：π2πC R a ==， 设圆锥下底面圆半径2r ，可得22π2πr a =，2r a =， 圆锥的高2222(2)3h a r a =-=，所以圆锥的体积32222113ππ333a V s h a a ==⋅=，所以312322233πππa V V a ==， 故答案为223π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，若满足(sin sin )b A B +(sin sin sin )sin a A B C c C -+-=．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，求ABC △面积的取值范围． 【答案】（1）π3；（2）(0,93]． 【解析】（1）根据正弦定理有2()()b a b a a b c c +-+-=，整理可得222a cb ac +-=，结合余弦定理有2221cos 22a c b B ac +-==，所以π3B =． （2）根据（1）的222a cb ac +-=，所以22362a c ac ac +=+≥，36ac ≤，113sin 3693222S ac B =≤⨯⨯=， 即ABC △面积的取值范围为(0,93]．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且112AD DC PC AB ====，E ，F 分别为AB ，PD 的中点．（1）求证：DE PA ⊥；（2）求点C 到平面DEF 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）217． 【解析】（1）底面四边形ABCD 为等腰梯形，且112AD DC PC AB ====， 易得60ABC ∠=︒，AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，PC AC C =I ，所以BC ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以PA BC ⊥，E 为AB 的中点，易得DE BC ∥，所以DE PA ⊥．（2）取DC 中点H ，在等腰梯形ABCD ，易求得HE DC ⊥，32HE =， 在PCD △中易得HF PC ∥，HF DC ⊥，12HF =， 易得1EF =，1222DF DP ==， 在等腰梯形ABCD 中易得1DE =，DEF △为等腰三角形，面积为212271()24S =-=，设点C 到平面DEF 的距离为h ，则173C DEF DEF V S h -=⨯⨯=△， 又1133224C DEF F CDE V V DC HE HF --==⨯⨯⨯⨯=，所以有732424h =，217h =． 所以点C 到平面DEF 的距离217．519．（12分）某中学高三年级，在男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加抽考测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的22⨯列联表：（1）确定a ，d 的值；（2）试判断能否有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关；（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成学习小组．从这6人中随机抽取2名进行奖励，求受到奖励2名同学中至少有1名是男生的概率． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P k χ≥0．250．15 0．10 0．05 0．025 0．0100k1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635【答案】（1）15a =，40d =；（2）没有90%的把握认为；（3）35． 【解析】（1）3550a +=，3070d +=，解得15a =，40d =． （2）由题知总数120n =，得到()212015403530 2.0575*******k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，2.7 2.057>，所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与性别有关．（3）结合15a =，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人设为,a b ， 女生抽取4人设为1，2，3，4，则从6人中抽取2人，总的情况有(,)a b ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共15种，如果2人全部都是女生，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，所以63155P ==． 20．（12分）已知双曲线C 3，且过3,0)点，过双曲线C 的右焦点2F ，做倾斜角为π3的直线交双曲线于A B ,两点，O 为坐标原点，1F 为左焦点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求AOB △的面积．【答案】（1）22136x y -=；（2）36AOB S =△． 【解析】（1）过3,0)点，所以3a =3ce a==，所以3c =， 又222a b c +=，所以6b =所以双曲线的方程为22136x y -=．（2）结合题意可得直线AB 的方程为3(3)y x =-，设11()A x y ,，22()B x y ,，联立方程223(3)136y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得230183x x +=-．∴1218x x +=，1233x x ⋅=，∴2212121212()4163AB k x x x x x =+-=+-= 直线AB 3330x y --=． ∴原点O 到直线AB 的距离为22|33|33(3)1d -==+， ∴1133||16336222AOB S AB d =⋅=⨯=△． 21．（12分）已知函数22()3ln f x x a x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：()4ln 3f x a a ≥-+．6【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）222323(23)(1)()2(0)a x ax ax ax f x a x a x x x x-+-+-'=++==>，当0a >时，在1(0,)x a∈时，()0f x '<，()f x 为单调减函数； 在1(,)x a∈+∞时，()f x 为单调增函数． 当0a =时，()0f x '<，()f x 为单调减函数． 当0a <时，在3(0,)2x a ∈-时，()0f x '<，()f x 为单调减函数；在3(,)2x a∈-+∞时，()f x 为单调增函数．（2）由（1）知，当0a >时，22min 1111()()3ln()23ln f x f a a a aa a a==-+⨯+⨯=+，1()(4ln 3)ln 1f a a a a a--+=-+-， 令ln 1(0)y t t t a =-++=>，则110y t'=-+=，解得1t =， ∴y 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， ∴min 1|0x y y ===，∴0y ≥，即min ()4ln 3f x a a ≥-+，∴()4ln 3f x a a ≥-+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）若π3α=，求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程； （2）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AB 的最小值．【答案】（1）22:(5)25C x y +-=，30l y -+=；（2）【解析】（1）曲线C 可化为210sin ρρθ=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入可得22(5)25x y +-=，把π3α=代入得11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消掉t30y -+=．（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程有22(1cos )(3sin 5)25t t αα+++-=， 整理可得22(cos 2sin )200t t αα+--=，有122(cos 2sin )t t αα+=--，1220t t ⋅=-，12AB t t =-=当cos 2sin αα=，即1tan 2α=时，AB取得最小值 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()123f x x x =++-． （1）解不等式()5f x ≤；（2）若21()52f x m m <---的解集为空集，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）11x -≤≤；（2）(,4][1,)-∞--+∞U ．【解析】（1）32,31()4,32132,2x x f x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩， 即解3253x x -≤⎧⎨≥⎩或45132x x +≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩或32512x x -+≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得11x -≤≤． （2）由（1）知()f x 在12x =-处取得最小值，且最小值为72， 使21()52f x m m <---的解集为空集， 即217522m m ---≤成立，解集为4m ≤-或1m ≥-， 所以m 的取值范围为(,4][1,)-∞--+∞U ．7。

最新高三（下）第二次自测数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|2x﹣1≤0}，B={x|x﹣a＜0}．若A∩B=A，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．2．“a=1”是“复数a2﹣1+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞115．设实数x，y满足x2+y2≤1，则点（x，y）不在区域内的概率是（）A．B．C．D．6．某正弦型函数的图象如图，则该函数的解析式可以为（）A．y=2sin（﹣）B．y=2sin（+）C．y=﹣2sin（﹣） D．7．在约束条件下，当3≤S≤5时，Z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，8] B．[7，8] C．[6，15] D．[7，15]8．数列{a n}的首项a1=1，{b n}为等比数列且b n=，若b50b51=2016，则a101=（）A．2015 B．4030 C．2016 D．40329．当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图为某四面体的三视图，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为4的正方形，则该四面体的内切球的半径为（）A．2B．C．D．11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．函数y=x3﹣3x2+3的图象与函数y=的图象的所有交点的纵坐标之和为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是[0，3]任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）14．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是．15．设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若，则数列{a n}的前n项和的取值范围是．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=，点M在线段BC上．（1）若AM=1，求BM的长；（2）若点N在线段MC上，且∠MAN=30°，问：当∠BAM取何值时，△AMN的面积最小？并求出面积的最小值．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．20．已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得的线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A、B两点，分别以A、B为切点作轨迹E的切线交于点P，若tan ∠APB=，试判断点Q是否为定点，若是，请求出点Q的坐标；若不是，请说明理由．21．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF 与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5不等式选讲]24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|2x﹣1≤0}，B={x|x﹣a＜0}．若A∩B=A，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出A，B，结合A∩B=A，可得A⊆B，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|2x﹣1≤0}=（﹣∞，]，B={x|x﹣a＜0}=（﹣∞，a）．若A∩B=A，则A⊆B，故a＞，即实数a的取值范围为，故选：A2．“a=1”是“复数a2﹣1+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用纯虚数的定义，先判断充分性再判断必要性．【解答】解：当a=1时，复数a2﹣1+（a+1）i=2i为纯虚数，满足充分性；当a2﹣1+（a+1）i是纯虚数时，有a2﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，满足必要性．综上，“a=1”是“复数a2﹣1+（a+1）i（a∈R），i为虚数单位）是纯虚数”的充要条件，故选：C．3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系判断．【解答】解；①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故①错误；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，若m⊥α，则m⊥γ，故②正确；③若m⊂α，显然结论错误；④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误．故选：B．4．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞11【考点】循环结构．【分析】写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的S在第十次循环中结果中，此时的i满足判断框中的条件，得到判断框中的条件．【解答】解：经过第一次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第二次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第三次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件…经过第十次循环得到，此时的i应该满足判断框中的条件，执行输出故判断框中的条件是i＞10故选C5．设实数x，y满足x2+y2≤1，则点（x，y）不在区域内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．【解答】解：满足约束条件x2+y2≤1区域为⊙O的内部（含边界），面积A=π内的区域为如图所示的正方形，边长为，面积S=4×=2则点（x，y）不落在区域的概率概率为P==1﹣故选B6．某正弦型函数的图象如图，则该函数的解析式可以为（）A．y=2sin（﹣）B．y=2sin（+）C．y=﹣2sin（﹣） D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过观察图象得出该函数的周期从而排除A、B选项，利用图象与y轴交点位于x 轴上方排除D选项，即得结论．【解答】解：观察图象可知：该函数的振幅为2，周期T=π﹣（﹣π）=π，且当x=﹣π时y=0，则A、B选项周期不是π、故排除，又∵当x=0时y＞0，∴D选项不满足题意，排除，故选：C．7．在约束条件下，当3≤S≤5时，Z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，8] B．[7，8] C．[6，15] D．[7，15]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过可行域内的点时，从而得到z=3x+2y的最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，将z的值转化为直线z=3x+2y在y轴上的截距，当直线z=3x+2y经过点A（1，2）时，z最小，最小值为：7．当直线z=3x+2y经过点B（0，4）时，z最大，最大值为：8，故目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7，8]．故选B．8．数列{a n}的首项a1=1，{b n}为等比数列且b n=，若b50b51=2016，则a101=（）A．2015 B．4030 C．2016 D．4032【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合b n=，得到a101=b1b2…b100，结合b50b51=2016，及等比数列的性质求得a101 ．【解答】解：由b n=，且a1=1，得b1=．b2=，a3=a2b2=b1b2．b3=，a4=a3b3=b1b2b3．…a n=b1b2…b n﹣1．∴a101=b1b2 (100)∵数列{b n}为等比数列，∴a101=（b1b100）（b2b99）…（b50b51）==2016，故选：C．9．当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）e x，∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选B．10．如图为某四面体的三视图，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为4的正方形，则该四面体的内切球的半径为（）A．2B．C．D．【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．棱长为4，利用等体积即可得出该四面体的内切球的半径．【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，棱长为4，正四面体的高为=，体积为×．设该四面体的内切球的半径为r，则4××r=×∴r=．故选：D．11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C．12．函数y=x3﹣3x2+3的图象与函数y=的图象的所有交点的纵坐标之和为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】函数的图象．【分析】画出图象，可知函数y=x3﹣3x2+3的图象与函数y=的图象关于点（1，1）中心对称．即可得出．【解答】解：由于函数y==1﹣，可知其定义域为{x|x≠1}，其两条渐近线方程分别为：x=1，y=1．画出图象：可知：函数y=x3﹣3x2+3的图象与函数y=的图象关于点（1，1）中心对称．根据图象的对称性可得所有交点的纵坐标之和等于4．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是[0，3]任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）【考点】回归分析．【分析】求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．【解答】解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．14．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（13，49）．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数的图象．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f （x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f （y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则d=表示区域内的点和原点的距离．由下图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．故答案为：（13，49）．15．设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若，则数列{a n}的前n项和的取值范围是．【考点】数列的求和；抽象函数及其应用．【分析】依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可求得S n的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=∴f（n）=∴=∈[，1）．故答案：[，1）16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如右图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=，点M在线段BC上．（1）若AM=1，求BM的长；（2）若点N在线段MC上，且∠MAN=30°，问：当∠BAM取何值时，△AMN的面积最小？并求出面积的最小值．【考点】三角形中的几何计算；解三角形．【分析】（1）利用余弦定理，建立方程，即可求BM的长；（2）由正弦定理，先求得AM，AN，再得出△AMN的面积，最后运用三角函数的最值求面积的最小值．【解答】解：（1）在△ABM中，B=30°，AB=，AM=1，根据余弦定理得，AM2=BM2+AB2﹣2×BM•AB•cosB，整理得，BM2﹣3BM+2=0，解得BM=1或BM=2，；（2）设∠BAM=θ，在△ABM，△ACN中分别用正弦定理得，AM=，AN=，而S△AMN=•|AM|•|AN|•sin30°=•=•=•=，显然，当θ=时，即∠BAM=，（S△AMN）min=•|AM|•|AN|•sin30°==．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC1交A1C于点F，连结DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）由已知得AA1⊥CD，CD⊥AB，从而CD⊥平面ABB1A1．由此能求出三菱锥C﹣A1DE的体积．【解答】（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF．因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D．所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1．20．已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得的线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A、B两点，分别以A、B为切点作轨迹E的切线交于点P，若tan∠APB=，试判断点Q是否为定点，若是，请求出点Q的坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（1）根据动圆过定点以及直线和x轴相交的弦长理由参数消元法即可求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，P（x0，y0），利用设而不求的思想，结合曲线在A，B处的切线方程，求出交点坐标借助向量数量积的关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y），半径r，（r＞0），∵动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，∴，消去r得x2=4y，故所求轨迹E的方程为x2=4y；（2）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，P（x0，y0），由题知Q（0，1），由，消去y得x2﹣4kx﹣4t=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4t，轨迹E在A点处的切线方程为l1：y﹣y1=（x﹣x1），即y=x﹣，同理，轨迹E在B处的切线方程为l1：y=x﹣，联立l1，l2：的方程解得交点坐标P（，），即P（2k，﹣t），由tan∠APB=得到||•||sin∠APB=||•||=2S△APB，得⊥，即•=0，=（﹣2k，2t），=（x2﹣x1，），∴﹣2k（x2﹣x1）+2t•=0，即2k（x2﹣x1）（t﹣1）=0，则2k（t﹣1）=0，则t=1，故Q是定点，坐标为（0，1）．21．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a．所以，由此能求出a的取值范围．（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，即λx2﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，设g（x）=λx2﹣lnx﹣x，则．令g'（x）=0，2λx2﹣x﹣1=0．由此进行分类讨论，能求出λ．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a．∴．…①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x=1是f（x）的极大值点．…②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=．因为x=1是f（x）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，即λx2﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，设g（x）=λx2﹣lnx﹣x，则．令g'（x）=0，2λx2﹣x﹣1=0．因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．因为x＞0，所以x1应舍去．当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，则即因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，代入方程组解得λ=1．…四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF 与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l 经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；圆的参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数θ，把曲线C的参数方程化为普通方程；由直线l过定点P，倾斜角为，写出直线l的参数方程；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，由根与系数的关系以及t的几何意义求出|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．[选修4-5不等式选讲]24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通过两边平方和绝对值不等式的性质，即可得到解集；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max，求得最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，由|x+3|＞|x﹣7|，两边平方，解得，x＞2，由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，且x≥7时，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．则有2＜x＜7．故可得其解集为{x|2＜x＜7}；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知，0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，即x=7时，lgt=1为最大值，故只需m＞1即可，即m＞1时，f（x）＜m恒成立．2016年10月21日。