【附加15套高考模拟试卷】江西省师大附中2019-2020下学期高三数学(理)期中考试试卷含答案

江西师范大学附属中学02020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,3,4A =，{}2,4,6B =，若x A ∈且x B ∉，则x 等于（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由{}2,3,4x A ∈=得x 可以是2,3,4中的任意一个，但{}2,4,6x B ∉=，所以x 只能是3．故选：B考点：集合的概念和元素与集合的关系2.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A. HB. GC. FD. E【答案】A 【解析】分析：先由复数的几何意义得到复数z ，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解.详解：由复数的几何意义，得2i z =+，则2i (2i)(1i)31i 1i 1i (1i)(1i)22z ++-===-+++-， 则该复数对应的点为31(,)22-，即点H .点睛：本题考查复数的几何意义、复数的除法法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.3.已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A. 13-B. 13C. 12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数， 得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 4.若()()221f x xf x '=+，则()0f '等于（ ）A. 2B. 0C. -2D. -4【答案】D 【解析】 【分析】先求导，算出()1f '，然后即可求出()0f '【详解】因为()()221f x xf x '=+，所以()()212f x f x ''=+所以()()1212f f ''=+，得()12f '=- 所以()42f x x '=-+，所以()04f '=- 故选：D【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 5.已知4cos ,(0,)5=∈ααπ，则tan α的值等于（ ） A.43 B.34C. 43-D. 34-【答案】B 【解析】 【分析】先根据4cos 0,(0,)5ααπ=>∈，利用平方关系得到sin α，再用商数关系求解.【详解】因为4cos 0,(0,)5ααπ=>∈，所以3sin 5α==，所以3tan 4α=.故选：B【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC+⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．7.数列111111,3,5,7,,(21),248162nn -+的前n 项和n S 的值等于（ ）A. 2112n n +-B. 21212n n n -+-C. 21112n n -+-D.2112n n n -+-【答案】A 【解析】 【分析】根据通项形式1(21)2n n -+，可分组求和即可求解. 【详解】11(1321)(21)24n n n S =+++-++++11(1)(121)221212n n n -+-⋅=+- 2112n n =+-,故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的求和公式，分组求和，属于容易题.8.22221x y ab-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A .[2,)+∞B. (2,)+∞C. D.)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与双曲线的交点的个数，利用已知直线与双曲线的渐近线的斜率关系求解.22221x ya b-=恒有两个公共点，所以ba>所以2cea==>所以双曲线离心率的取值范围是(2,)+∞故选：B【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.若函数2logy x=的图象上存在点(,)x y，满足约束条件30220x yx yy m+-≤⎧⎪-+⎨⎪⎩，则实数m的最大值为（）A.12B. 1C.32D. 2【答案】B【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，再作出函数2logy x=的图象，易得与直线30x y+-=交于点()2,1A，当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y满足不等式组，此时m达到最大值.【详解】由30220x yx yy m+-≤⎧⎪-+⎨⎪⎩，作出可行域如图所示阴影部分，再作出函数2log y x =的图象，与直线30x y +-=交于点()2,1A ， 当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 达到最大值. 所以实数m 的最大值为1. 故选：B【点睛】本题主要考查简单线性规划，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．11.已知抛物线22(0)y px p=，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A. 1x =B. 1x =-C. 2x =D. 2x =-【答案】B 【解析】∵y 2=2px 的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭, ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-2p ,即x=y+2p,将其代入y 2=2px 得y 2=2py+p 2,即y 2-2py-p 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=2p,∴122y y +=p=2,∴抛物线的方程为y 2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.12.抛物线22y px =与直线40ax y +-=交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．该抛物线的焦点为F ，则FA FB +=（ ）A. 7B.C. 6D. 5【答案】A 【解析】分析：首先应用曲线的交点应该同时落在各条曲线上，得到点(1,2)A 既在抛物线22y px =上，又在直线40ax y +-=上，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线方程，从而求得,p a 的值，联立方程组求得另一个交点B 的坐标，之后结合抛物线的定义求得最后的结果.详解：将点A ()1,2的坐标代入抛物线22y px =与直线40ax y +-=，得2a p ==，所以得抛物线24y x =与直线240x y +-=，由22404x y y x +-=⎧⎨=⎩得12x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=-⎩，所以得()4,4B -， 又抛物线的准线是1x =-，再结合抛物线的定义得()][()11417FA FB⎡⎤+=--+--=⎣⎦，故选A.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要明确两曲线相交交点的特征以及点在曲线上的条件，求得参数的值，从而确定抛物线和直线的方程，再联立方程组求得直线与抛物线的另一个交点，之后借助抛物线的定义，将其转化为到准线的距离即可求得结果.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3.2【解析】试题分析：四棱柱的高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122⨯+⨯=，因此体积为3.2考点】三视图【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.14.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.15.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8a i40 41 43 43 44 46 47 48在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是____．【答案】7【解析】【详解】本程序框图的含义是计算这组数据的方差,计算可得4041434344464748448a +++++++==222128(44)(44)(44)8a a a S -+++++==568=7. 16.双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 【答案】2 【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC 中，设内角、、A B C 的对边分别是a b c 、、,()cos ,sin m A A =,()2sin ,cos n A A =-，且2m n +=（1）求角A 的大小； （2）若42b =，且2c a =，求ABC 的面积．【答案】(1)4A π=；(2)16.【解析】【详解】（1）222(cos 2sin )(sin cos )m n A A A A +=-++42(cos sin )A A =+-=44cos()4A π++44cos()4,4A π∴++=cos()0,4A π∴+=又因为(0,)A π∈， 故42A ππ+=，∴4A π=；（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 即222(42)(2)2422cos4a a a π=+-⨯⨯，解得42a =，∴8c =，∴.18.某百货公司1~6月份的销售量与利润的统计数据如表: 月份1 2 3 4 5 6 销售量x/万件 10 11 13 12 8 6 利润y/万元 222529261612(1)根据2~5月份的统计数据,求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆb y=x+ˆa ; (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元,则认为得到的回归直线方程是理想的,试问所得回归直线方程是否理想?附：1122211()()ˆ)()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxybxx xnx====---==--∑∑∑∑【答案】(1)ˆ187y =x-30;7(2) 该小组所得线性回归方程是理想的. 【解析】【详解】试题分析：（1）直接根据线性回归方程的公式进行计算.（2）利用求出的线性回归方程检验预测值与实际值的差是否不超过2万元.解析：（1）根据表中2～5月份的数据，计算得11,24x y ==，521125132912268161092i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，52222221113128498i i x ==+++=∑，所以525222241092411241849841174i ii ii x y xyb xx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，1830241177a y bx =-=-⨯=-.故y 关于x 的回归直线方程为：183077y x =-. (2)当10x =时，183015010777y =⨯-=，此时1502227-<；当6x = 时，1830786777y =⨯-=，此时781227-< .故所得的回归直线方程是理想的． 19.如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证. 【详解】证明：（1）EF 是111D B C ∆的中位线，11//EF B D ∴.在正方体1AC 中，11//B D BD ，//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈.又Q EF ∈，Q β∴∈， 则Q 是α与β的公共点，a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈.R a ∴∈，且R β∈，则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线.【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.20.已知点P 是圆22:1O x y +=上任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，延长QP 到点M ，使=QP PM .（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(,0)C m 作圆O 的切线l ，交（1）中曲线E 于,A B 两点，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，根据=QP PM ，结合PQ y ⊥轴于点Q ，得到(,)2x P y ，将P 的坐标代入221x y +=即可.（2）设直线为,x ty m t R =+∈1=，将x ty m =+代入2214x y +=，得()2222404mt t y y m ++-+=，利用弦长公式结合韦达定理求得AB ，再求得原点到直线的距离，然后由12AOBSAB d =结合基本不等式求解. 【详解】（1）设(,)M x y ，因为=QP PM ， 所以P 为QM 的中点， 又因为PQ y ⊥轴于点Q ，所以(,)2x P y ，因为P 是圆22:1O x y +=上任意一点，所以2214x y +=.即点M 的轨迹E 的方程为2214xy +=.（2）根据题意直线与y 轴不垂直，设直线为()()1122,,,,,x ty m t R A x y B x y =+∈， 因为直线与圆相切，1=，即221m t =+，将x ty m =+代入2214x y +=，得()2222404mt t y y m ++-+=，()()()2224244480t mt m ∆=+--=>，212122224,44mt m y y y y t t -+=-⋅=++，12AB y y =-===，原点到直线的距离为1d ==，所以11221AOBm mSAB d =≤=+==，当且仅当3m m=，即m =时，取等号.所以AOB 面积的最大值为1【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与圆，直线与椭圆的位置关系以及三角形面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题. 21.已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.【答案】(1) 0a ≤时 ()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；0a >时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）()0,1. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,∞+,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知三点2,(2,0)36M N P ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、. （1）将,,M N P 三点的极坐标化为直角坐标； （2）判断,,M N P 三点是否在一条直线上.【答案】（1）((1,(2,0)M N P 、、；（2）在一条直线上，详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据极坐标公式求解.（2）分别求出直线,MN NP 的斜率即可.【详解】（1）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以,,M N P 三点的直角坐标分别是((1,(2,0)M N P 、、.（2）因为MN NP k k ==== 所以MN NP k k =所以,,M N P 三点在一条直线上.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标间的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 23.设0,|1|,|2|33>-<-<a aa x y ，求证：|24|+-<x y a . 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】运用绝对值不等式的性质||a b a b +≤+，结合不等式的基本性质求解. 【详解】证明：因0,|1|,|2|33>-<-<a a a x y ，所以()|24||212|x y x y +-=-+-，221233a ax y a ≤-+-<+=. 所以|24|+-<x y a 成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的性质和不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

第4题江西师大附中2019高三下开学考试--数学（理）数学〔理〕试题【一】选择题〔本大题共10个小题，每题5分，共50分、每题给出的选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的、〕1、假设复数z 满足i z i 6)33(=-〔i 是虚数单位〕，那么z ＝〔 〕A 、i 2323+-B、32-C、32+ D、32- 2、平面α⊥平面β, α∩β＝l , 点P ∈α, 点Q ∈l , 那么PQ ⊥l 是PQ ⊥β的 〔 〕A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 10:S 5＝1:2，那么S 15:S 5＝ ( )A 、 1:2B 、 1:3C 、 2:3D 、 3:4 4、如图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 〔 〕 A 、i>10 B 、i<10 C 、i>20 D 、i<20 5、将函数)42sin(4)(π+-=x x f 的图象向右平移ϕ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的21倍,所得图象关于直线4π=x 对称,那么ϕ的最小正值为 ( ) A. π81B. π83C. π43D. π216、假设函数()f x 在R上可导，且2/()2(2)f x x f x m =++()m R ∈，那么 ( )A.(0)(5)f f < B 、(0)(5)f f = C 、(0)(5)f f > D 、无法确定7、假设点P 是ABC ∆的外心，且=++λ，0120=∠C ，那么实数λ的值为( ) A 、21B 、21- C 、1 D 、1-8、由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形〔阴影部分〕的面积的最小值为 ( ) A.23 B.13C.12D.149、倾斜角α≠0的直线l 过椭圆12222=+by a x (a >b >0)的右焦点第8题交椭圆于A 、B 两点,P 为直线2=a x c上任意一点,那么∠APB 为 〔 〕A 、钝角B 、直角C 、锐角D 、都有可能10、21()23log 3xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭,实数a 、b 、c 满足 ()()()0f a f b f c <,(0<a <b <c )假设实数0x 是函数y =()f x 的一个零点，那么以下不等式中，不可能．．．成立的是〔 〕 A. 0x a < B. 0x b > C. 0x c < D. 0x c> 【二】填空题〔本大题共5个小题，每题5分，共25分、〕11、设0,0,24a b a b ab >>++=，那么a b +的最小值为 、12、变量,x y 满足约束条件14,22x y x y ≤+≤-≤-≤，假设目标函数z ax y =+〔其中0a >〕仅在点()3,1处取得最大值，那么a 的取值范围是 、13、一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形、那么它的体积为 、①假设f (x )为奇函数,那么()1f x -的图象关于点A(1,0)对称;②假设对x ∈R,有()1f x +＝()1f x -,那么f (x )的图象关于直线x ＝1对称;③假设函数()1f x -的图象关于直线x ＝1对称,那么f (x )为偶函数;④函数()1f x +与函数()1f x -的图象关于直线x ＝1对称.其中正确命题的序号是______________. 15、〔不等式选做题〕假设不等式|1|a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数,,x y z 恒成立，那么实数a 的取值范围是、【三】解答题〔本大题共6小题，共75分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、〕 16、〔此题总分值12分〕点P 到两个定点M 〔－1，0〕、N 〔1，0〕距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程.17.〔此题总分值12分〕设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，假设向量(1cos(),cos)2A Bm A B -=-+，5(,cos )82A B n -=且98m n ⋅=、 〔Ⅰ〕求tan tan A B ⋅的值； 〔Ⅱ〕求222sin ab C a b c +-的最大值、18、〔此题总分值12分〕斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=，侧棱与底面所成角为θ，点1B 在底面上射影D 落在BC 上、〔Ⅰ〕求证：AC ⊥平面11BB C C ；〔Ⅱ〕假设点D 恰为BC 中点，且11AB BC ⊥，求θ的大小；正视图侧视图俯视图〔III 〕假设1cos 3θ=，且当1AC BC AA a ===时，求二面角1C AB C --的大小、19、〔此题总分值12分〕平面上一定点C 〔4，0〕和一定直线P x l ,1:=为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且〔.0)2()2=-⋅+PQ PC PQ PC〔Ⅰ〕问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；〔Ⅱ〕设直线1:+=kx y l 与〔1〕中的曲线交于不同的两点A 、B ，是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆通过点D 〔0，－2〕？假设存在，求出k 的值，假设不存在，说明理由 20、〔此题总分值13分〕函数x ax x x f ln )(2-+=，.a R ∈ 〔Ⅰ〕假设函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；〔Ⅱ〕令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e 〔e 是自然常数〕时，函数)(x g 的最小值是3，假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由； 〔III 〕当∈x ],0(e 时，证明：xx x x e ln )1(2522+>-21、〔此题总分值14分〕在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>、 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列{}n a 的前n 项和n S ；〔Ⅲ〕证明存在k *∈N ，使得11n k n ka a a a ++≤对任意n *∈N 均成立、江西师大附中高三(理)数学答案【一】选择题ACDABCDDCD【二】填空题11、812、(1，+∞)13、7214、①③15、(,1[13,).-∞-++∞【三】解答题 16、〔此题总分值12分〕点P 到两个定点M 〔－1，0〕、N 〔1，0〕距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程.解：设点P 的坐标为〔x ，y 〕，由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++、整理得x 2+y 2－6x +1=0、 ①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2，因此∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33， 直线PM 的方程为y =±33〔x ＋1〕、②将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0、解得x ＝2＋3，x ＝2－3、 代入②式得点P 的坐标为〔2＋3，1＋3〕或〔2－3，－1＋3〕；〔2＋3，－1－3〕或〔2－3，1－3〕、∴直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1、 17.〔此题总分值12分〕设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，假设向量(1cos(),cos )2A B m A B -=-+，5(,cos )82A B n -=且98m n ⋅=、 〔Ⅰ〕求tan tan A B ⋅的值； 〔Ⅱ〕求222sin ab C a b c +-的最大值、解：〔Ⅰ〕由98m n ⋅=，得259[1cos()cos 828A B A B --++= 即51cos()9[1cos()828A B A B +--++=,亦即4cos()5cos()A B A B -=+因此1tan tan 9A B ⋅=〔Ⅱ〕因222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-, 而tan tan 993tan()(tan tan )1tan tan 884A B A B A B A B ++==+≥⨯=-,因此，tan()A B +有最小值34.当1tan tan 3A B ==时，取得最小值.又tan tan()C A B =-+，那么tan C 有最大值34-. 故222sin ab C a b c+-的最大值为38-.18、〔此题总分值12分〕斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=，侧棱与底面所成角为θ，点1B 在底面上射影D 落在BC 上、〔Ⅰ〕求证：AC ⊥平面11BB C C ；〔Ⅱ〕假设点D 恰为BC 中点，且11AB BC ⊥，求θ的大小；〔III 〕假设1cos 3θ=，且当1AC BC AA a ===时，求二面角1C AB C --的大小、解：〔I 〕∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1B D AC ⊥又∵BC AC ⊥，1B DBC D =，∴AC ⊥平面11BB C C〔II 〕1111111111AB BC BC AB C AC BC BC B CB C AB C AB AC ⊥⎫⊥⎫⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎭平面平面与相交∴四边形11BB C C 为菱形，又∵D 为BC 的中点，BD ABC ⊥平面 ∴1B BC ∠为侧棱和底面所成的角α，∴11cos 2B BC ∠=∴160B BC ∠=，即侧棱与底面所成角60、〔III 〕以C 为原点，CA 为x 轴CB 为y 轴，过C 点且垂直于平面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，那么A 〔a ,0,0〕，B (0,a ,0)，1(0,)3a C -，平面ABC 的法向量1(0,0,1)=n ，设平面ABC 1的法向量为2(,,)x y z =n ，由22100AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即403x y y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，2=n 12cos ,<n n ，12,45<>=n n∵二面角1C AB C --大小是锐二面角，∴二面角1C AB C --的大小是45.19、〔此题总分值12分〕平面上一定点C 〔4，0〕和一定直线P x l ,1:=为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且〔.0)2()2=-⋅+〔Ⅰ〕问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；〔Ⅱ〕设直线1:+=kx y l 与〔1〕中的曲线交于不同的两点A 、B ，是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆通过点D 〔0，－2〕？假设存在，求出k 的值，假设不存在，说明理由解：〔Ⅰ〕设P 的坐标为),(y x ，由)2()2(=-⋅+得||4||22=-∴〔,0)1(4)4222=--+-x y x 化简得.112422=-y x ∴P 点在双曲线上，其方程为.112422=-y x 〔Ⅱ〕设A 、B 点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1124122y x kx y 得,0132)3(22=---kx x k221221313,32k x x k k x x --=-=+∴，∵AB 与双曲线交于两点，∴△>0，即,0)13)(3(4422>---k k 解得.213213<<-k∵假设以AB 为直径的圆过D 〔0，－2〕，那么AD ⊥BD ，∴1-=⋅BD ADk k ，即1222211-=+⋅+x y x y∴,0)3)(3(0)2)(2(21212121=+++⇒=+++x x kx kx x x y y ∴21212(1)3()90k x x k x x ++++=∴222132(1)()39033k k k k k +-+⋅+=--,4k =±(22∈-即存在4k =±符合要求.20、〔此题总分值13分〕函数x ax x x f ln )(2-+=，.a R ∈ 〔Ⅰ〕假设函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；〔Ⅱ〕令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e 〔e 是自然常数〕时，函数)(x g 的最小值是3，假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由； 〔III 〕当∈x ],0(e 时，证明：xx x x e ln )1(2522+>- 解：〔Ⅰ〕1212)(2'≤-+=-+=xax x x a x x f 在[]2,1上恒成立，令12)(2-+=ax x x h ，有⎩⎨⎧≤≤0)2(0)1(h h 得,271⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a a 得27-≤a .〔Ⅱ〕假设存在实数a ，使x ax x g ln )(-=〔],0(e x ∈〕有最小值3，x a x g 1)('-=xax 1-=①当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min=-==ae e g x g ，ea 4=〔舍去〕， ②当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 ∴3ln 1)1()(min=+==a a g x g ，2e a =，满足条件. ③当ea≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min=-==ae e g x g ，ea 4=〔舍去〕，综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时)(x g 有最小值3. 〔III 〕令x x e x F ln )(2-=，由〔2〕知，3)(m i n =x F .令25ln )(+=x x x ϕ，2'ln 1)(x x x -=ϕ，当e x ≤<0时，0)('≥x ϕ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴32521251)()(max=+<+==e e x ϕϕ,25ln ln 2+>-∴x x x x e 即xx e 2522-x x ln )1(+>21、〔此题总分值14分〕在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>、 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕求数列{}n a 的前n 项和n S ；〔Ⅲ〕证明存在k *∈N ，使得11n k n ka a a a ++≤对任意n *∈N 均成立、解：〔Ⅰ〕解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+，3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+、由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+、以下用数学归纳法证明、〔1〕当1n =时，12a =，等式成立、〔2〕假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+、这确实是说，当1n k =+时等式也成立、依照〔1〕和〔2〕可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立、 解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+、 〔Ⅱ〕解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-，①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-②当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---、 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n nn n Sλλλλ+++--+=+--、当1λ=时，(1)2n n n T -=、这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-、 〔Ⅲ〕证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明：21214,22n n a a n a a λ++<=≥、③由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥、因此③式成立、因此，存在1k =，使得1121n k n k a a a a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立、。

江西师大附中2024届高考第三次模拟测试卷数学本卷满分：150分，考试时间：120分钟．注意事项：1．答题前、考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z =1+2i1-i2025-3i ，则z =( )A.12-32i B.12+32i C.-12-32iD.-12+32i 2.(2x +3)4的展开式中，x 的系数为()A.96B.144C.180D.2163.若tan α=2，则sin2αcos2α-sin 2α的值为( )A.-47B.23C.49D.474.已知3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为()A.6 B.8 C.10 D.125.已知钝角△ABC 的面积为3，AB =4，AC =2，则AB ·AC的值是()A.-6 B.-27 C.27或-27 D.-6或66.已知函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π 的部分图象如图所示，将f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g x 的图象，若g x 在区间0,t 上的值域为-3,2 ，则t 的取值范围为( )xy2π3-π122OA.5π12,2π3B.π4,5π6C.5π12,5π6D.5π12,π7.A 、B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=35,P A B =25,P (A +B )=710,则下列错误的是()A.P (B )=12B.P (AB )=25C.P (A B )=35D.P B A =138.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 在y 轴上，且△PF 1F 2的内心坐标为0,3c3，若线段PF 1上靠近点P 的三等分点Q 恰好在C 上，则C 的离心率为( )A.1+5 B.27-2 C.2+7 D.11+47二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1，则()A.数列a n 是等比数列B.数列log 2(a n +1) 是等差数列C.数列a n 的前n 项和为2n +1-n -2D.a 20能被3整除10.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设O a 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆O b ，O c 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC (阴影部分)叫做曲面三角形，若a =b =c ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面△ABC 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O -ABC .设∠BOC =α，∠AOC =β，∠AOB =γ，则下列结论正确的是( )A.若平面△ABC 是面积为34R 2的等边三角形，则a =b =c =R B.若a 2+b 2=c 2，则α2+β2=γ2C.若a =b =c =π3R ，则球面O -ABC 的体积V >212R3D.若平面△ABC 为直角三角形，且∠ACB =π2，则a 2+b 2=c 211.已知函数f x 及其导函数f x ，且g x =f x ，若∀x∈R,f x =f6-x,g4+x=g4-x，则( )A.f-2=f8 B.g-1+g3 =2C.2025i=1g(i)=0 D.f0 +f4 =2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数f x 是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f x =-x5-3x+a-1，则f-a的值为.13.2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有____种(用数字作答).14.已知函数f x =a x-log a x,a∈0,1∪1,+∞，若f x 在其定义域上没有零点，则a 的取值范围是___．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分)已知函数f(x)=a(2x+a)-ln x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0时，f(x)>9ln a．(参考数据：ln2≈0.693)16.(本题满分15分)某商场举办购物有奖活动，若购物金额超过100元，则可以抽奖一次，奖池中有8张数字卡片，其中两张卡片数字为1，两张卡片数字为2，两张卡片数字为3，两张卡片数字为4，每次抽奖者从中随机抽取两张卡片，取出两张卡片之后记下数字再一起放回奖池供下一位购物者抽取，如果抽到一张数字为1的卡片，则可获得10元的奖励，抽到两张数字为1的卡片，则可获得20元的奖励，抽到其他卡片没有奖.小华购物金额为120元，有一次抽奖机会。

2020届江西省南昌市江西师范大学附属中学高三第一次模拟测试数学（理）试题一、单选题。

1．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D【解析】由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 2．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【解析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.4．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12【答案】B【解析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解. 【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数， 得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ），∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 5．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C【解析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解. 【详解】 函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 6．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.7．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C【解析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】 由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--【答案】C【解析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-. 【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．17B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，224225+= B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 10．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++r r rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r ra b c 【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u ur r ，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r ，故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.11．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u v u u u v ，且1OQ AB ⋅=u u u v u u u v ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>【答案】A【解析】设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =u u u r u u u r，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=u u u r u u u r，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA=u u u r u u u r Q ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+=u u u r u u u r ()223310,02x y x y ∴+=>>故选：A 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 12．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】C【解析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【详解】由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令13x 3＋x 2－23＝－23，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，3050a a -≤<⎧⎨+>⎩解得a ∈[－3，0)，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.二、填空题13．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 【答案】3227a 【解析】由题意容积()22V a x x =-，求导研究单调性，分析即得解. 【详解】由题意：容积()22V a x x =-，02a x <<， 则22(2)(2)(2)(2)(6)V a x x a x a x a x '=-⨯-+-=--，由0V '=得6a x =或2ax =（舍去）， 令0,(0,);'0(,)662a a aV x V x '>∴∈<∴∈则6ax =为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时3max 227V a =. 故答案为：3227a 【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.14．已知数列{}n a 满足123232nn a a a na +++⋯+=，则n a =________．【答案】12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【解析】项和转化可得11(2)222nn n n na n --=-≥=，讨论1n =是否满足，分段表示即得解 【详解】当1n =时，由已知，可得1122a ==， ∵123232nn a a a na +++⋯+=，① 故()()1123123122n n a a a n a n --+++⋯+-=≥，②由①-②得11222n n n n na --=-=，∴12n n a n-=．显然当1n =时不满足上式，∴12,12,2n n n a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩故答案为：12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了利用n S 求n a ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.15．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{A =抽到一等品}，事件{B =抽到二等品}，事件{C =抽到三等品}，且已知()0.65P A =，()0.2P B =， ()0.1P C =，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________ 【答案】0.35【解析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，Q 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，()0.65P A =Q ，∴抽到不是一等品的概率是()110.650.35P P A =-=-=，故答案为：0.35． 【点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______． 【答案】12π【解析】设圆柱的轴截面的边长为x，可求得x =解 【详解】设圆柱的轴截面的边长为x ，则由28x =，得x =∴222212S S S πππ=+=⨯⨯+=圆柱表侧底． 故答案为：12π 【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a 中，a 1=1，其前n 项和为n S ，且满足()(21)n n S n a n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围．【答案】（1）()n a n n +=∈N （2）(),2-∞【解析】（1）项和转换可得()11n n na n a +=+，继而得到11111n n a a an n -====-L ，可得解；（2）代入可得23nn b n λ=-，由数列{}n b 为递增数列可得，2321nn λ⋅<+，令2321nn c n ⋅=+，可证明{}n c 为递增数列，即1c λ<，即得解 【详解】（1）∵()21n n S n a =+， ∴()1122n n S n a ++=+，∴()()11221n n n a n a n a ++=+-+， 即()11n n na n a +=+，∴11n na a n n+=+， ∴11111n n a a a n n -====-L ，∴()n a n n +=∈N ．（2）23n n b n λ=-．()()2121313n n n n b b n n λλ++-=-+--=2·3n -λ（2n+1）． ∵数列{}n b 为递增数列，∴()23210nn λ⋅-+>，即2321n n λ⋅<+．令2321nn c n ⋅=+，即112321631232323n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+． ∴{}n c 为递增数列，∴12c λ<=， 即λ的取值范围为(),2-∞． 【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【答案】（1）35．（2）45．【解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p543 905 ==．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P724 905 ==．【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．如图，ABCV内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，4AB=，EB=（1）求证：DE ⊥平面ACD ；（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B -ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．【答案】（1）见解析（2）23()16(04)3V x x x x =-<<，最大值833． 【解析】（1）先证明DC BC ⊥，BC AC ⊥，故BC ⊥平面ADC ．由//DE BC ，即得证；（2）可证明BE ⊥平面ABC ，结合条件表示出23()163V x x x =-利用均值不等式，即得解. 【详解】（1）证明：∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴//CD BE ，//BC DE ．∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥． ∵AB 是圆O 的直径，∴BC AC ⊥， 且DC AC C =I ，,DC AC ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥平面ADC ．∵//DE BC ，∴DE ⊥平面ADC ． （2）解∵DC ⊥平面ABC ，//DC BE ， ∴BE ⊥平面ABC ．在Rt ABE △中，4AB =，23EB =在Rt ABC △中，∵AC x =，∴216(04)BC x x =-<<， ∴2111622ABC S AC BC x x =⋅=-V ∴23()16(04)ABC E V x V x x x -==-<<三棱锥．∵()222221616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当2216x x =-，即22x =时取等号， ∴当22x =时，体积有最大值83． 【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20．P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =u u u u v u u u v．（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=，轨迹C 是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）22846003x y x x ⎛⎫+-=<<⎪⎝⎭【解析】（1）设(),M x y ，根据12DM DP =u u u u r u u u r可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以()3,0，)3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用>0∆求得215k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE uuu r，消去k 后得到轨迹方程；根据215k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x由12DM DP =u u u u r u u u r知：(),2P x yQ 点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=∴点M 的轨迹C 的方程为：2214x y += 轨迹C 是以()3,0-，()3,0为焦点，长轴长为4的椭圆（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在设():3l y k x =-，代入2214x y +=得：()222214243640k x k x k +-+-=则()()()2222244143640kk k ∆=--+->，解得：215k <设()11,A x y ，()22,B x y ，则21222414k x x k+=+ ∴()()()31212122224633661414k ky y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ Q 四边形OAEB 为平行四边形∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u u r 又(),OE x y =u u u r ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，消去k 得：22460x y x +-=215k <Q ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围. 21．已知函数(R)a ∈.(Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0a >时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 22f x a =-【解析】（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f （x ）的单调区间；（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a ＜ln 2时，函数f （x ）的最小值是-a ；当a≥ln2时，函数f （x ）的最小值是ln2-2a ． 【详解】(1)函数()f x 的定义域 为(0,)+∞．11()'-=-=axf x a x x因为0a >，令1()0f x a x ¢=-=，可得1x a=； 当10x a <<时，1()0ax f x x '-=>；当1x a>时，1()0ax f x x '-=<， 综上所述：可知函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)()i 当101a<≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,2]上是减函数， ()f x ∴的最小值是(2)ln 22f a =-()ii 当12a≥，即102a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数，()f x ∴的最小值是(1)f a =-()iii 当112a<<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数．又(2)(1)ln 2f f a -=-Q ，∴当1ln 22a <<时，()f x 的最小值是(1)f a =-； 当ln 21a <<时，()f x 的最小值为(2)ln 22f a =-综上所述，结论为当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是min ()x f a =-； 当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 22f x a =-. 【点睛】求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点M 1,2⎛ ⎝⎭对应的参数4πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）若点A ，B 为曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211+||||OA OB 的值． 【答案】（1）2212x y +=．()2211x y -+=．（2）32【解析】（1）先求解a,b ，消去参数ϕ，即得曲线1C 的直角坐标方程；再求解R ，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线2C 的直角坐标方程； （2）由于OA OB ⊥，可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入曲线1C 直角坐标方程，可得12,,ρρθ的关系，转化2222121111||||OA OB ρρ+=+2222cos sin sin cos 22θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得解. 【详解】（1）将1,2M ⎛ ⎝⎭及对应的参数4πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⋅⎩得1cos 4sin 24a b ππ⎧=⎪⎪=⎪⎩，即1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以曲线1C的方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，ϕ为参数，所以曲线1C 的直角坐标方程为2212x y +=．设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ=（或()222x R y R -+=），将点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R =， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=． （2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线1C 直角坐标方程，可得222211cos sin 12ρθρθ+=，222222sin cos 12ρθρθ+=，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+2222cos sin 3sin cos 222θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a +，求解不等式()22163a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞ 试题解析：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +． 由题设得()22163a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为()2,+∞。

2020年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−4x+3=0}，B={y|y=−x2+2x+2,x∈R}，全集U=R，则A∩(∁U B)=()A. ⌀B. [1,3]C. {3}D. {1,3}2.若复数z=1+mi在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()1+iA. (−1,1)B. (−1,0)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)3.在△ABC中，已知sinA=2cosB·sinC，则△ABC的形状是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不确定4.不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，则a的取值范围为()A. −1≤a≤1B. −1≤a<1C. −1<a<1D. −1<a≤15.若a，b，c∈R，a>b且a>c，则下列不等式一定成立的是()A. b>cB. ac>bcC. a2>bcD. a>b+c26.已知点M为双曲线C：x2−y2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|−8|MF2|=()A. 1B. 4C. 6D. 87.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高，2019年全年总收入与2018年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是()A. 该企业2019年研发的费用与原材料的费用超过当年总收入的50%B. 该企业2019年设备支出金额及原材料的费用均与2018年相当C. 该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍D. 该企业2018年与2019年研发的总费用占这两年总收入的20%8. 一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么此几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A. 102B. 128C. 144D. 1849. 函数f(x)=1+ln (x 2+2)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为√2:1，在东方文化中常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用，已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台之间高度差为100米，则下面选项中与该塔的实际高度最接近的是( )A. 400米B. 480米C. 520米D. 600米11. 已知点F 是抛物线y 2=8x 的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为A. ±2B. ±√33C. ±43D. ±3412. 若lga +lgb =0(a ≠1,b ≠1)，则函数f(x)=a x 与g(x)=b x 的图象( )A. 关于直线y =x 对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于原点对称二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若(x −4x )n 的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为______．14.已知向量b⃗ =(1,√3)，向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为1，则a⃗⋅b⃗ =________．215.正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O−AB1D1的体积为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知一扇形的圆心角是a，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C>0)，当a为弧度时，该扇形有最大面积，最大面积为．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.记数列{a n}的前n项和为T n，且{a n}满足a1=1，a n=3n−1+a n−1(n≥2)．(1)求a2、a3的值，并求数列{a n}的通项公式a n；(2)证明：T n=3 a n−n．218.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=PB，求二面角A−PC−D的余弦值．19.已知椭圆W：x2+y2=1，直线l过点(0,−2)与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．4(Ⅰ)设C为AB的中点，当直线l的斜率为3时，求线段OC的长；2(Ⅱ)当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．20.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表：求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2015年为x=1，2016年为x=2，……依次类推)的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X．(i)求X的分布列及E(X)；(ii)已知每个订单由k(k ≥2,k ∈N ∗)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 数量为Y ，假设p =7sin πk4k−πk 2,q =sinπk4k，求E(Y)取最大值时正整数k 的值．附：回归方程y ̂=b ̂x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i y i −nx⋅y ni=1∑x i2−nx2n i=1=i −x )(i −y )n i=1∑(x −x )2n a =y −b̂x ．21. 已知函数f(x)=ae x −sinx ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(Ⅰ)当a =1时，证明：对∀x ∈[0,+∞)，f(x)≥1； (Ⅱ)若函数f(x)在(0,π2)上存在极值，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−4ρsinθ=12，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点． (1)求点Q 的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，点M(−1,2)恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程．23.设函数f(x)=|x+m|+|2x+1|．(Ⅰ)当m=−1，解不等式f(x)≤3；(Ⅱ)求f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解：集合A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，B={y|y=−x2+2x+2,x∈R}={y|y=−(x−1)2+3}={y|y≤3}，全集U=R，∴∁U B={y|y>3}，∴A∩(∁U B)=⌀．故选：A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算，再由实部大于0且虚部小于0列式求解．解：∵z=1+mi1+i =(1+mi)(1−i)(1+i)(1−i)=1+m2+m−12i在复平面内对应的点在第四象限，∴{1+m2>0m−12<0，解得−1<m<1．∴实数m的取值范围是(−1,1)．故选：A．3.答案：B解析：直接利用两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可．本题考查三角形的判断与应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．解：sinA=2cosB·sinC，可得：sin(B+C)=2cosB·sinC，即：sinBcosC+cosBsinC=2cosB·sinC，sin(B −C)=0，∵B ，C 是三角形的内角，可得：B =C ， ∴△ABC 为等腰三角形； 故选B ．4.答案：D解析：解：由不等式x 2−x −2<0，得−1<x <2．∵不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1， ∴(a,a 2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1． 故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．5.答案：D解析：本题考查了不等式的基本性质，属基础题．根据同向不等式的可加性得2a >b +c ，再除以2即可得． 解：∵a >b ，a >c ，∴a +a >b ++c ，即2a >b +c ，所以a >b+c 2，故选：D ．6.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质，由条件求得a ，b ，c ，再结合双曲线的定义求得结果． 解：双曲线C ：x 2−y 28=1，可得a =1，b =2√2，c =3，点M 为双曲线C ：x 2−y 28=1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|+|F 1F 2|−|MF 2|=−2a +2c =4．故选B．7.答案：B解析：本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的计算，属基础题．先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的计算，逐一检验即可得解．由折线图可知：不妨设2018年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t．对于选项A，该企业2019年研发费用为0.25×2t=0.5t，2019年原材料费用为0.3×2t=0.6t，当年总收入的50%为t，t<1.1t，故A正确；对于选项B，该企业2019年设备支出金额0.2×2t=0.4t，2019年原材料费用为0.3×2t=0.6t，该企业2018年设备支出金额0.4×t=0.4t，2018年原材料费用为0.15×t=0.15t，故B错误；对于选项C，该企业2019年工资支出为0.2×2t=0.4t，2018年工资支出为0.2×t=0.2t，故C正确；对于选项D，该企业2019年研发费用为0.25×2t=0.5t，2018年研发费用为0.1×t=0.1t，合计0.6t=3t×0.2，故D正确．故选：B．8.答案：C解析：解：由三视图知几何体为正四棱锥，且底面正方形的边长为8，斜高为5，其直观图如图：×8×5=144．∴几何体的表面积S=82+4×12故选C．9.答案：D解析：本题主要考查函数的图象，属于基础题.利用特殊点即可求解．解：因为f(0)=1+ln2>0，即函数f(x)的图象过点(0,ln2)，所以排除A、B、C，故选D．10.答案：B解析：本题考查了函数模型的应用，设第一展望台到塔底的高度为x米，则100+xx=√2，得出x，设塔的实际高度为y米，则yx+100=√2，解出即可．解：设第一展望台到塔底的高度为x米，则100+xx=√2，x=100(√2+1)；设塔的实际高度为y米，则yx+100=√2，故塔高y=(x+100)√2=200(√2+1)≈480米，即塔高约为480米．故选B．11.答案：C解析：本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成4：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．解：作出抛物线的准线l：x=−2，当A在第一象限，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E，∴设AF=4m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=4m，BD=m，因此，在RT△ABE中，AE=3m，AB=5m，则BE=4m，∴tan∠BAE=BEAE =4m3m=43，即直线AB的斜率为43，同理当A在第四象限时，直线AB的斜率为−43，所以，直线AB的斜率为±43，故选C．12.答案：C解析：由条件lga+lgb=0(a≠1,b≠1)，得ab=1，即b=1a (a>0,b>0)，所以g(x)=(1a)x=a−x，易知函数f(x)=a x与g(x)=a−x的图象关于y轴对称，故正确答案为C.13.答案：96解析：解：在(x−4x)n中，令x=1可得，其展开式中各项系数和为(−3)n，结合题意可得(−3)n=81，解得n=4．∴(x−4x )n的展开式的通项公式为：T r+1=C4r x4−r(−4x)r=(−4)r⋅C4r⋅x4−2r，令4−2r=0，解得r=2．∴常数项为C42×(−4)2=96．故答案为：96．由已知可得n的值，写出二项式(x−4x)n的通项，令x的指数为0，可得r的值，则答案可求．本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．14.答案：1解析：本题考查向量的数量积的应用，向量的投影，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用向量的数量积公式得到向量的投影，列出方程求出a⃗ ⋅b⃗ ．解：∵b⃗ =(1,√3)，∴|b⃗ |=√12+(√3)2=2，a⃗在b⃗ 上的投影=a⃗ ⋅b⃗|b⃗|∴12=a⃗⋅b⃗|b⃗ |∴a⃗⋅b⃗ =12|b⃗ |=1．故答案为1．15.答案：16a3解析：解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，棱长为a，∴对角线AC⊥平面BDD1B1，∴三棱锥O−AB1D1的体积为V三棱锥O−AB1D1=13⋅S△OB1D1⋅AO=13⋅12B1D1⋅BB1⋅AO=13⋅12⋅√2a⋅a⋅√22a=16a3．故答案为：16a3．画出图形，容易得出三棱锥O−AB1D1的底面△OB1D1的面积，高AO的大小，从而求出三棱锥的体积．本题以正方体为载体，考查了三棱锥的体积，解题的关键是选取适当的底面与高，是基础题．16.答案：2C216解析：由题意知：C=2R+a⋅R，则a=C−2RR =CR−2，S扇=12a⋅R2=12(CR−2)⋅R2=−R2+C2R=−(R−C4)2+C216，当R=C4，即a=CC4−2=2时，该扇形有最大面积C216．17.答案：(1)解：∵{a n}满足a1=1，a n=3n−1+a n−1(n≥2)，∴a2=3+a1=4，a3=32+a2 =13．a n−a n−1=3n−1，∴a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(a n−a n−1)=1+3+32+⋯+3n−1=1−3n1−3=3n2−12．∴数列{a n}的通项公式a n=3n2−12．(2)证明：∵a n=3n2−12，∴T n=12[(3−1)+(32−1)+(33−1)+⋯+(3n−1)]=12[(3+32+33+⋯+3n)−n]=12[3(1−3n)1−3−n]=12[3(3n−1)2−n]=3a n−n2，∴T n=3 a n−n2．解析：(1)由已知依次令n=1和n=2，能求出a2、a3的值，再利用累加法能求出{a n}的通项公式．(2)利用分级求和法结合等比数列前n项和公式能证明T n=3 a n−n2．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的证明，是中档题，解题时要注意累加法、分组求和法和等比数列的性质的合理运用．18.答案：解：(1)证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，由ABCD 是边长为2的菱形，可得AB =BC =2， 又∠ABC =60°，可得△ABC 为等边三角形， 即有CO ⊥AB ，OC =√3， 由PA ⊥PB ，可得OP =12AB =1， 而PC =2，由OP 2+OC 2=12+(√3)2=22=PC 2， 可得CO ⊥OP ， 而AB ∩OP =O ，可得CO ⊥平面PAB ， 又OC ⊂平面ABCD ， 即有平面PAB ⊥平面ABCD ； (2)由PA =PB ，可得PO ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ， 直线OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OC ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0，0)，A(0,−1,0)，P(0,0，1)，B(0,1，0)， C(√3,0，0)，D(√3,−2,0)，可得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面APC 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 平面DPC 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得{y 1+z 1=0√3x 1−z 1=0，取z 1=√3，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)， 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{2y 2=0√3x 2−z 2=0，取x 2=√3，可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，3)， 由题意可得二面角A −PC −D 为锐角，记为θ，则cosθ=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+3√3√7⋅√12=2√77． 即有二面角A −PC −D 的余弦值为2√77．解析：本题考查面面垂直的判定，注意运用判定定理和线面垂直的判定，考查二面角的余弦值的求法，注意运用空间向量法，建立坐标系，求得法向量及夹角的余弦值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)取AB 的中点O ，连接AC ，CO ，PO ，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO ⊥平面PAB ，再由面面垂直的判定定理即可得证；(2)由面面垂直的性质定理，可得直线OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OC ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，分别求得O ，A ，P ，B ，C ，D ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，设平面APC 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面DPC 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．19.答案：解：(Ⅰ)当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为y =32x −2.…(1分)代入椭圆方程得5x 2−12x +6=0，…(2分) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 0,y 0). 则x 1+x 2=125，…(3分)所以点C 的坐标x 0=65，y 0=32x 0−2=−15，…(4分) 所以|OC|=√(65)2+(−15)2=√375.…(5分)(Ⅱ)设直线l ：y =kx −2，由{x 24+y 2=1y =kx −2得(1+4k 2)x 2−16kx +12=0，…(6分) 所以△=(16k)2−48(1+4k 2)=16(4k 2−3)…(7分) x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2.…(8分) |AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(16k 1+4k 2)2−4×121+4k 2=4√1+k 2√4k 2−31+4k 2.…(10分)原点O 到直线l 的距离d =√1+k 2…(11分)所以△OAB 面积为12|AB|d =12×4√1+k 2√4k2−31+4k 2⋅√1+k2=4√4k 2−31+4k 2．因为△OAB 面积等于1， 所以4√4k2−31+4k 2=1，…(12分)解得k =±√72，…(13分)带入判别式检验，符合题意，所以k =±√72.…(14分)解析：(Ⅰ)当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为y =32x −2，代入椭圆方程，求出C 的坐标，即可求线段OC 的长；(Ⅱ)设直线l ：y =kx −2，代入椭圆方程，利用△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率． 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知可得：x =1+2+3+4+55=3，y =9+12+17+21+275=17.2，∑x i 5i=1y i =1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303，∑x i 25i=1=12+22+32+42+52=55，所以b ̂=∑x i 5i=1y i −5x⋅y ∑x i i=1−5x2 =303−5×3×17.255−5×32=4510=4.5，所以a =y −b̂x =17.2−4.5×3=3.7， 所以y ̂=b̂x +a =4.5x +3.7， 当x =6时，y =4.5×6+3.7=30.7(百亿元)，所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7(百亿元)． (2)(i)由题知，X 的可能取值为：0，1，2， P(X =0)=(1−p)(1−q)， P(X =1)=(1−p)q +(1−q)p ， P(X =2)=pq ， 所以X 的分布列为：E(X)=0×(1−p)(1−q)+(p +q −2pq)+2pq =p +q ． (ii)因为Y =KX ，所以E(Y)=kE(X)=k(p +q)=k(7sin πk4k−πk 2+sinπk4k)=2sin πk −πk ，令t =1k ∈(0,12]，设f(t)=2sinπt −πt ，则E(Y)=f(t)， 因为f′(t)=2πcosπt −π=2π(cosπt −12)，且πt ∈(0,π2]， 所以，当t ∈(0,13)时，f′(t)>0，所以f(t)在区间(0,13)上单调递增; 当t ∈(13,12)时，f′(t)<0，所以f(t)在区间(13,12)上单调递减; 所以，当t =13，即k =3时， f(t)≤f(13)=√3−π3(百亿元) 所以E(Y)取最大值时k 的值为3．解析：本题考查了回归直线方程、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望和利用导数研究闭区间上函数的最值，是较难题．(1)先得出公式计算b̂和a ，可得线性回归方程，当x =6时可得预测值； (2)(i)由题知，X 的可能取值为：0，1，2，得出对应的概率，即可得出分布列和数学期望； (ii)因为Y =KX ，所以E(Y)=kE(X)=k(p +q)=2sin πk −πk ，令t =1k ∈(0,12]，设f(t)=2sinπt −πt ，利用导数研究最值即可．21.答案：解：(Ⅰ)a =1时，f(x)=e x −sinx ，f′(x)=e x −cosx ，∵x ∈[0,+∞)，∴e x ≥1，而cosx ≤1， 故f′(x)≥0，f(x)在[0,+∞)递增， 故f(x)≥f(0)=1； (Ⅱ)f′(x)=ae x −cosx ， 若函数f(x)在(0,π2)上存在极值， 则方程a =cosx e x有解，令ℎ(x)=cosx e x ，则ℎ′(x)=−(sinx+cosx)e x<0，x ∈(0,π2)，故ℎ(x)在(0,π2)递减，而x →0时，ℎ(x)→ℎ(0)=1， x →π2时，ℎ(x)→ℎ(π2)=0，故ℎ(x)∈(0,1)， 故a ∈(0,1)．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．(Ⅰ)代入a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可； (Ⅱ)求出函数的导数，问题转化为方程a =cosx e x有解，令ℎ(x)=cosx e x，根据函数的单调性求出ℎ(x)的范围，从而求出a 的范围．22.答案：解：(Ⅰ)设点Q ，P 的极坐标分别为(ρ,θ)，(ρ0,θ0)，则ρ02+4ρ0cosθ0−4ρ0sinθ0=12且ρ0=2ρ，θ0=θ，所以(2ρ)2+4⋅(2ρ)cosθ−4⋅(2ρ)sinθ=12所以点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=3． 故点Q 轨迹的直角坐标方程为x 2+y 2+2x −2y =3． (Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线的直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=5， 将直线参数方程代入曲线的方程得(tcosα)2+(1+tsinα)2=5， 即t 2+2tsinα−4=0，由题意不妨设方程两根为−t ，2t ， 所以{−t +2t =−2sinα−t ×2t =−4即{t =−2sinαt 2=2，所以sin 2α=12⇒cos 2α=12，又sinα与cosα在一三象限同号，二四象限异号， 所以直线的斜率k =tanα=±1，又直线过M(−1,2) 故直线的普通方程为x −y +3=0或x +y −1=0．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)当m =−1时，不等式f(x)≤3，可化为|x −1|+|2x +1|≤3．当x ≤−12时，−x +1−2x −1≤3，∴x ≥−1，∴−1≤x ≤−12； 当−12<x <1时，−x +1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴−12<x <1； 当x ≥1时，x −1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴x =1； 综上所得，−1≤x ≤1． (Ⅱ)f(x)=|x +m|+|2x +1|=|x +m|+|x +12|+|x +12|≥|(x +m)−(x +12)|+|x +12|=|m −12|+|x +12|，当且仅当(x +m)(x +12)≤0时等号成立． 又因为|m −12|+|x +12|≥|m −12|，当且仅当x =−12时，等号成立． 所以，当x =−12时，f(x)取得最小值|m −12|．解析：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义．(Ⅰ)当m =−1，化简不等式，通过x 的范围，取得绝对值符号，求解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．。

江西师范大学附属中学02020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,3,4A =，{}2,4,6B =，若x A ∈且x B ∉，则x 等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】【详解】试题分析：由{}2,3,4x A ∈=得x 可以是2,3,4中的任意一个，但{}2,4,6x B ∉=，所以x 只能是3．故选：B考点：集合的概念和元素与集合的关系2.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1z i +的点是（ ）A. HB. GC. FD. E【答案】A【解析】分析：先由复数的几何意义得到复数z ，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解. 详解：由复数的几何意义，得2i z =+， 则2i (2i)(1i)31i 1i 1i (1i)(1i)22z ++-===-+++-， 则该复数对应的点为31(,)22-，即点H .点睛：本题考查复数的几何意义、复数的除法法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.3.已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是 A. 13- B. 13 C. 12- D. 12【答案】B【解析】【分析】 依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数，得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．4.若()()221f x xf x '=+，则()0f '等于（ ） A. 2B. 0C. -2D. -4【答案】D【解析】【分析】先求导，算出()1f '，然后即可求出()0f '【详解】因为()()221f x xf x '=+，所以()()212f x f x ''=+ 所以()()1212f f ''=+，得()12f '=-所以()42f x x '=-+，所以()04f '=-故选：D【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.5.已知4cos ,(0,)5=∈ααπ，则tan α的值等于（ ） A. 43B. 34C. 43-D. 34- 【答案】B【解析】【分析】 先根据4cos 0,(0,)5ααπ=>∈，利用平方关系得到sin α，再用商数关系求解. 【详解】因为4cos 0,(0,)5ααπ=>∈， 所以3sin 5α==， 所以3tan 4α=.故选：B【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.在ABC V 中，()2BC BA AC AC +⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状一定是（ ） A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】 先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以222a c b -=，即ABC V 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．7.数列111111,3,5,7,,(21),248162n n -+L L 的前n 项和n S 的值等于（ ） A. 2112n n +- B. 21212n n n -+- C. 21112n n -+- D. 2112n n n -+- 【答案】A【解析】【分析】 根据通项形式1(21)2n n -+，可分组求和即可求解. 【详解】11(1321)(21)24n n n S =+++-++++K K 11(1)(121)221212n n n -+-⋅=+- 2112n n =+-, 故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的求和公式，分组求和，属于容易题.8.22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. [2,)+∞B. (2,)+∞C.D. )+∞【答案】B【解析】【分析】根据直线与双曲线的交点的个数，利用已知直线与双曲线的渐近线的斜率关系求解.22221x y a b-=恒有两个公共点，所以b a>所以212c bea a⎛⎫==+>⎪⎝⎭所以双曲线离心率的取值范围是(2,)+∞故选：B【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.若函数2logy x=的图象上存在点(,)x y，满足约束条件30220x yx yy m+-≤⎧⎪-+⎨⎪⎩……，则实数m的最大值为（）A.12B. 1C.32D. 2【答案】B【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，再作出函数2logy x=的图象，易得与直线30x y+-=交于点()2,1A，当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y满足不等式组，此时m达到最大值.【详解】由30220x yx yy m+-≤⎧⎪-+⎨⎪⎩……，作出可行域如图所示阴影部分，再作出函数2logy x=的图象，与直线30x y+-=交于点()2,1A，当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y满足不等式组，且此时m达到最大值.所以实数m的最大值为1.故选：B【点睛】本题主要考查简单线性规划，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C【解析】 试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．11.已知抛物线22(0)y px p =f ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A. 1x =B. 1x =-C. 2x =D. 2x =- 【答案】B【解析】∵y 2=2px 的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-2p ,即x=y+2p ,将其代入y 2=2px 得y 2=2py+p 2,即y 2-2py-p 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=2p,∴122y y +=p=2,∴抛物线的方程为y 2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.12.抛物线22y px =与直线40ax y +-=交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．该抛物线的焦点为F ，则FA FB +=（ ）A. 7B. 35C. 6D. 5 【答案】A【解析】分析：首先应用曲线的交点应该同时落在各条曲线上，得到点(1,2)A 既在抛物线22y px =上，又在直线40ax y +-=上，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线方程，从而求得,p a 的值，联立方程组求得另一个交点B 的坐标，之后结合抛物线的定义求得最后的结果.详解：将点A ()1,2的坐标代入抛物线22y px =与直线40ax y +-=，得2a p ==，所以得抛物线24y x =与直线240x y +-=，由22404x y y x +-=⎧⎨=⎩得12x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=-⎩，所以得()4,4B -， 又抛物线的准线是1x =-，再结合抛物线的定义得()][()11417FA FB ⎡⎤+=--+--=⎣⎦，故选A.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要明确两曲线相交交点的特征以及点在曲线上的条件，求得参数的值，从而确定抛物线和直线的方程，再联立方程组求得直线与抛物线的另一个交点，之后借助抛物线的定义，将其转化为到准线的距离即可求得结果.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3 . 2【解析】试题分析：四棱柱的高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122⨯+⨯=，因此体积为3.2【考点】三视图【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.14.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.15.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是____．【答案】7【解析】【详解】本程序框图的含义是计算这组数据的方差,计算可得4041434344464748448a +++++++==222128(44)(44)(44)8a a a S -+++++=L =568=7. 16.双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________.【答案】2【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC V 中，设内角、、A B C 的对边分别是a b c 、、,()cos ,sin m A A =v ,()2sin ,cos n A A =-v ，且2m n +=v v（1）求角A 的大小；（2）若42b =，且2c a =，求ABC V 的面积． 【答案】(1)4A π=；(2)16. 【解析】【详解】（1）222(cos 2sin )(sin cos )m n A A A A +=+-++r r 422(cos sin )A A =+-= 44cos()4A π++44cos()4,4A π∴++= cos()0,4A π∴+=又因为(0,)A π∈， 故42A ππ+=，∴4A π=；（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即222(42)(2)2422cos 4a a a π=+-⨯⨯，解得42a =，∴8c =，∴.18.某百货公司1~6月份的销售量与利润的统计数据如表:月份 1 2 3 4 5 6销售量x/万件 10 11 13 12 8 6利润y/万元22 25 29 26 16 12(1)根据2~5月份的统计数据,求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆb y=x+ˆa ; (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元,则认为得到的回归直线方程是理想的,试问所得回归直线方程是否理想?【答案】(1)ˆ187y =x-30;7(2) 该小组所得线性回归方程是理想的. 【解析】 试题分析：（1）直接根据线性回归方程的公式进行计算.（2）利用求出的线性回归方程检验预测值与实际值的差是否不超过2万元.解析：（1）根据表中2～5月份的数据，计算得11,24x y ==，521125132912268161092ii i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，52222221113128498i i x ==+++=∑，所以525222241092411241849841174i ii i i x y xy b xx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，1830241177a y bx =-=-⨯=-.故y 关于x 的回归直线方程为：183077y x =-. (2)当10x =时，183015010777y =⨯-=，此时1502227-<；当6x = 时，1830786777y =⨯-=，此时781227-< .故所得的回归直线方程是理想的． 19.如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =I ，11A C EF Q =I .求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证.【详解】证明：（1）EF Q 是111D B C ∆的中位线，11//EF B D ∴.在正方体1AC 中，11//B D BD ，//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈Q .又Q EF ∈，Q β∴∈，则Q 是α与β的公共点，a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈.R a ∴∈，且R β∈，则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线.【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.20.已知点P 是圆22:1O x y +=上任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，延长QP 到点M ，使=u u u r u u u u r QP PM . （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(,0)C m 作圆O 的切线l ，交（1）中曲线E 于,A B 两点，求AOB V 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1. 【解析】【分析】（1）设(,)M x y ，根据=u u u r u u u u r QP PM ，结合PQ y ⊥轴于点Q ，得到(,)2xP y ，将P 的坐标代入221x y +=即可.（2）设直线为,x ty m t R =+∈1=，将x ty m =+代入2214x y +=，得()2222404mt t y y m ++-+=，利用弦长公式结合韦达定理求得AB ，再求得原点到直线的距离，然后由12AOB S AB d =V 结合基本不等式求解. 【详解】（1）设(,)M x y ，因为=u u u r u u u u r QP PM ， 所以P 为QM 的中点，又因为PQ y ⊥轴于点Q ， 所以(,)2xP y ，因为P 是圆22:1O x y +=上任意一点， 所以2214x y +=. 即点M 的轨迹E 的方程为2214x y +=. （2）根据题意直线与y 轴不垂直，设直线为()()1122,,,,,x ty m t R A x y B x y =+∈，因为直线与圆相切，1=，即221m t =+，将x ty m =+代入2214x y +=，得()2222404mt t y y m ++-+=， ()()()2224244480t mt m ∆=+--=>， 212122224,44mt m y y y y t t -+=-⋅=++，12AB y y =-===，原点到直线的距离为1d ==，所以112213AOB m mS AB d =≤=+==V ，当且仅当3m m=，即m =. 所以AOB V 面积的最大值为1【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与圆，直线与椭圆的位置关系以及三角形面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.21.已知()()ln 1f x x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）()0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知三点2,(2,0)36M N P ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、. （1）将,,M N P 三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断,,M N P 三点是否在一条直线上.【答案】（1）((1,(2,0)M N P 、、；（2）在一条直线上，详见解析.【解析】【分析】（1）根据极坐标公式求解.（2）分别求出直线,MN NP 的斜率即可.【详解】（1）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以,,M N P 三点的直角坐标分别是((1,(2,0)M N P 、、.（2）因为MN NP k k ====所以MN NP k k = 所以,,M N P 三点在一条直线上.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标间的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 23.设0,|1|,|2|33>-<-<a a a x y ，求证：|24|+-<x y a . 【答案】详见解析.【解析】【分析】 运用绝对值不等式的性质||a b a b +≤+，结合不等式的基本性质求解. 【详解】证明：因为0,|1|,|2|33>-<-<a a a x y ， 所以()|24||212|x y x y +-=-+-，221233a a x y a ≤-+-<+=. 所以|24|+-<x y a 成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的性质和不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

江西师大附中2019高三第一次模拟考试数学（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则()R A C B I =( ) A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}12x x <≤ D ．{}12x x ≤≤2．复数()53z i i i =-+(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ． 4i + 3．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A ．5k ≥ B ．5k < C ．5k > D ．6k ≤4．已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===uuu r uuu r uuu r ，则AB BC BC CA CA AB⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uu r uu r uu u r的值等于( )A ．25 B.24 C ．25- D. 24-5．设2cos5a π=，0.33b =，5log 3c =，则( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ． b c a <<6．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则( )A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题 7．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为( ) A ．9214π+ B ．8214π+ C ．9224π+ D ．8224π+ 8．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos =α( )A ．2-B ．72 C ．2- 或72D ． 72-9．在区间[]1,1-上任取两点a ，b ，方程20x ax b ++=有实数根的概率为p ，则( )A ．102p <<B ．19216p << C ．9161625p << D ．16125p << 10．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且01k <<），BD l =为定长，则ABC ∆的面积最大值为( )A ．221l k - B ． 21l k -C ．()2221l k -D ．()221lk -11．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数(x R ∈)，如：[]1.32-=-，[]0.80=，[]3.43=．定义{}[]x x x =-，给出如下命题：①使[]13x +=成立的x 的取值范围是23x ≤<； ②函数{}y x =的定义域为R ，值域为[]0,1；③2320202019201920192019+++=10092020202020202020⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭L ．其中正确的命题有( )A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞ B ． 4(,)3+∞ C ． 2(0,)3 D ． 24(,)33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．32()n x x-的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ．14．已知实数x ，y 满足约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最大值等于 ． 15．设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，集合{}123,,A a a a =，A S ⊆，123,,a a a 满足123a a a <<且325a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ．16．若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为 ．三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数()21322f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上.（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）令11n n n n na a c a a ++=+，证明：121222n n c c c n <+++<+L .18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =. （Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ，如果3n =，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n =，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50％，即取出的每件产品是优质品的概率都是12，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y a b a b∑+=>>的离心率1F 、2F ，直线:20l x y +-=经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点． （Ⅰ）求∑的方程；（Ⅱ）在∑上是否存在C 、D 两点，满足CD //AB ，11F C F D =？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln ln u x x x x =-，()v x x a =-，()aw x x=，三个函数的定义域均为集合{}1A x x =>．（Ⅰ）若()()u x v x ≥恒成立，满足条件的实数a 组成的集合为B ，试判断集合A 与B 的关系，并说明理由；（Ⅱ）记[]()()()()()2w x G x u x w x v x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，是否存在m N +∈，使得对任意的实数(),a m ∈+∞，函数()G x 有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ，若不存在，请说明理由．（以下数据供参考： 2.7183e ≈，)ln 10.8814≈）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）． （I ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||2|f x x x =+--， （I ）解不等式()2f x ≥；（Ⅱ）当x R ∈，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．数学（理）答案1． D 2．A 3．C 4．C 5．C 6．C 7．A 8. A 9．B 10．C 11．B ． 12．A 13． 112 14． 12 15．55 16．3h = 17．解析：（1）Q 点(),n n S 在()f x 的图象上，21322n S n n ∴=+， 当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+；当1n =时，112a S ==适合上式，()1n a n n N *∴=+∈；（2）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>=++， 122n c c c n ∴+++>L ，又121122112n n n c n n n n ++=+=+-++++， 121111112233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L11122222n n n =+-<++，121222n n c c c n ∴<+++<+L 成立．18．.【解析】（1）证明：连接1AC ，在平行四边形11A ACC 中， 由AC AA =1得平行四边形11A ACC 为菱形，所以11AC C A ⊥， 又11AB C A ⊥，所以111C AB C A 面⊥，所以111C B C A ⊥，又1111C B C A ⊥，所以1111A ACC C B 面⊥，所以平面11ACC A ⊥平面111A B C （2）取11C A 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则11A ACC 面的法向量为)0,0,1(=，设面11AA B 的法向量为),,(z y x =，因为)0,1,2(),3,0,0(),0,1,0(11B A A -，所以)0,2,2(),3,1,0(11==B A A A 由11303220z A A n y z A B n x y x y ⎧⎧=⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩u u u r r u u u r r，令3-=y ，则)1,3,3(-= 设所求二面角为θ，则721cos cos ==n m θ， 故二面角111C AA B --的余弦值为217． 19 解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品的事件为A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()1122()A A B A B =U ，且11A B 与22A B 互斥，所以()()()()()()1122111222()P A P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+41113161616264=⨯+⨯=. （Ⅱ）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()150016P X ==，()18004P X ==，所以X 的分布列为期望506.25EX = 20．解：（Ⅰ）∵直线:20l x y +-=经过焦点2F ， ∴()22,0F ，即2c =； 又e =，∴a b == ∴椭圆∑的方程为22162x y +=；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD ， ∵CD ∥AB ，∴k CD =k AB =﹣1，设直线CD 的方程为y x m =-+，由22162x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩， 得2246360x mx m -+-=， ∴296120m ∆=->；（*） 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则1232m x x +=，212364m x x -=；由已知11F C F D =，若线段CD 的中点为E ，则F 1E ⊥CD ，∴11F E k =；又()12,0F -，3,44m m E ⎛⎫⎪⎝⎭； 故14=1324F E mk m =+，解得4m =-； 当4m =-时，296120m ∆=-<，这与（*）矛盾， ∴不存在满足条件的直线CD ． 21．（Ⅰ）()()ln ln ()u x v x a x x x x m x ≥⇒≥-+=()1()ln ,1,m x x x x'=-∈+∞， 已知1()ln m x x x '=-在()1,+∞上单调递减，()(1)1m x m ''∴<=，存在()01,x ∈+∞，使得0()=0m x '，函数()m x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减，0()a m x ≥， 由0()=0m x '得001ln x x =，001()=11m x x x +->，1,a B A ∴>⊆． （Ⅱ）令()()()ln ln af x u x w x x x x x=-=--， ()()()(),1,22w x ag x v x x a x x=-=--∈+∞， ()21(1)()ln 10,1,af x x x x x '=+-+>∈+∞，由于(),a m ∈+∞，()1,(1)0,,a f a x f x ⇒>=-<→+∞→+∞，由零点存在性定理可知，()1,a ∀∈+∞，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点．()2(2)()10,1,2a g x x x '=+>∈+∞，3(1)102a g =-<，(),x g x →+∞→+∞， 同理可知()1,a ∀∈+∞，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点．()3假设存在()01,x ∈+∞，使得00()=()=0f x g x ，2000000ln ln ,2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消a ，得002002ln 021x x x x -=--． 令22()ln 21x h x x x x =---，()222142()021x h x x x x +'=+>--， ()h x ∴单调递增．44132(2)ln 2ln 055h e =-=<Q，0.88140h =->，()0x ∴∈，此时200001181,21125422x a x x x ⎛⎫==++-∈ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， ∴满足条件的最小正整数2m =．22．【解析】（Ⅰ）1sin()62πρθ-=Q11cos )22ρθθ∴-=，1122y x -=，10x -+=.…………5分 （Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(22cos ,2sin )αα+ 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离4cos()37322d πα++==≤………10分 解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心到直线的距离为32所以，最大距离为37222+= ………10分 23．【解析】（Ⅰ）由已知可得：4,2()2,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩所以，()2f x ≥的解集为{1}x x ≥. …………………5分 (II)由（Ⅰ）知，224x x +--≤；11111()[(1)]24111y yy y y y y y y y -+=++-=++≥--- 11221x x y y∴+--≤+-. ……………………10分。

绝密★启封前江西省师大附中2019届高考押题卷试题（一）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．3(1)(2)i i i --+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -2．已知集合{}(,)|2M x y x y =+=，{}(,)|4N x y x y =-=，则MN =（ ）A ．3,1x y ==-B ．(3,1)-C ．{}3,1-D ．{}(3,1)-3．函数2cos ()xf x x π=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=，则2a b +=（ ）A ．6B ．C ．10D ．5．过点(2,2)-且与双曲线2212-=x y 有共同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．22124-=y x B ．22142-=x y C ．22142-=y x D ．22124-=x y6．∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3C π=，c =3b a =，则∆ABC 的面积为（ ）A ．24B ．4C D ．24+7．《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安， 至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马 初日行九十七里，日减二里．”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和， 设计框图如下图．若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ）A ．6?i >B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i >8．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包 活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28 元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙 二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（ ）A ．310B ．25C ．12D ．359．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒10．将函数()cos()2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6π个单位长度，所得函数图象关于2x π=对称，则ϕ=（ ）A ．512π-B ．3π-C ．3π D ．512π 11．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()2(3)f x f x =+，当30x -<≤时，3()log (1)f x x =-,则(2018)f =（ ）A ．67312-B ．67212-C ．67212 D ．67312 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数2()ln 24f x x x x =+-，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为__________．14．已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是_______．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=sin()αβ+=__________． 16．已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，∆ABC是边长为D 是线段AB 上一点，且3AD BD =．球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O 的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设{}()*n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，且23a =，4318a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若3log n n n b a a =+，求12n b b b +++．18．（12分）已知从A 地去B 地有①或②两条公路可走，并且汽车走公路①堵车的概率为14，汽车走公路②堵车的概率为p ，若现在有两辆汽车走公路①，有一辆汽车走公路②，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响，（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点．（1）求证：AG ⊥平面ADF ；（2）若AB =，求二面角D CA G --的余弦值．20．（12分）设椭圆2222:1(0,0)y x C a b a b +=>>，离心率e =2b =物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为(0,1)， （1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为O ，A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆上一点，且有OA OB ⊥，当线段AB 的中点在y 轴上时，求直线AB 的方程．21．（12分）已知函数2()22ln f x x mx x =++，m R ∈． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式2()23x f x e x ≤+在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P --的直线l 的参数方程为1cos 45(2sin 45x t t y t =-+︒⎧⎨=-+︒⎩为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin tan 2(0)a a ρθθ⋅⋅=>，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N ．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM MN =，求实数a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()21f x x a x =---．（1）当2a =时，求()30f x +≥的解集；（2）当[1,3]x ∈时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围．理科数学参考答案一、B 、D 、A 、D 、A B 、B 、D 、B 、B B 、B 二、13. 30x y --= 14. 4 15. 1 16. 100π 三、17．（1）设{}n a 为首项为1a ，公比为q ，()0q >，则依题意，13211318a q a q a q ⎧=-=⎪⎨⎪⎩，解得11a =， 3q =， 所以{}n a 的通项公式为13n n a -=，n ∈*N ． （2）因为()13log 31n n n n b a a n -=+=+-， 所以()()2112313330121n n b b b b n -++++=+++++++++-⎡⎤⎣⎦()()11133113222n n n n n n ----=+=+-． 18．（1）由已知条件得()2121337C 144416p p ⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅= ⎪⎝⎭，即31p =， ∴13p =，即走公路②堵车的概率为13．（2）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，3， ()332304438P ξ==⋅⋅=，()7116P ξ==，()1211213112C 4434436P ξ==⋅⋅+⋅⋅⋅=， ()1111344348P ξ==⋅⋅=， ∴随机变量ξ的分布列为所以()3711501238166486E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（1）∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，∴AD AB ⊥，∵矩形ABCD菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ，∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点．∴AG BE ⊥，即AG AF ⊥， ∵ADAF A =，∴AG ⊥平面ADF ．（2）由（1）可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z轴，建立空间直角坐标系，设AB ==1BC =，32AG =，故()0,0,0A，3,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1D ，3,0,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3,2AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1AD =，3,0,02AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111,,x y z =n ，则1111113020AC x y z AD z ⋅=-+=⋅⎧==⎪⎨⎪⎩n n，取1y =()1=n ， 设平面ACG 的法向量()2222,,x y z =n ，则222222302302AC x y z AG x ⋅=⎧⎪⎪⎨+=⋅=⎪=⎪⎩n n ，取22y =，得(20,=n ， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212cos θ⋅===⋅n n n n ， 易知θ为钝角，∴二面角D CA G --的余弦值为． 20．（1）由e =得a =，又有b =222a b c =+，解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=，由抛物线的焦点为()0,1得，抛物线焦点在y 轴，且12p=，抛物线的方程为24x y =．（2）由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0，设直线OA 方程为y kx =，0k >，联立方程24y kxx y==⎧⎨⎩得：24x kx =，可知点A 的横坐标4A x k =，即()24,4A k k ，因为OA OB ⊥，可设直线OB 方程为1y x k=-，连立方程22112010y x k y x =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得2222012k x k =+，从而得x = 若线段AB 的中点在y轴上，可知B x =B ⎛⎝，有4k =，且0k >，解得k =，从而得12A ⎫⎪⎭，()B ，直线AB的方程8180y +-=．21．（1）依题意，()0,x ∈+∞，()221'222x mx f x x m x x++=++=⋅，若22m -≤≤，则210x mx ++≥，故()'0f x ≥，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 当22m m <->或时，令210x mx ++=，解得1x =，2x =若2m >0<0<，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；若2m <-，则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()'0f x >，当x ⎝⎭时，()'0f x <，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()'0f x >； 综上所述：当2m ≥-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2m <-时，函数()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减． （2）题中不等式等价于2222ln 2e 3x x mx x x ++≤+，即2e ln x x x mx -+≥，因此2e ln x x x m x-+≥，设()2e ln x x x h x x-+=，则()()22e 1ln 1'x x x x h x x -++-=，()'10h ∴=，当()0,1x ∈时，()2e 1ln 10x x x x -++-<，即()'0h x <，()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()2e 1ln 10x x x x -++->，即()'0h x >，()h x 单调递增； 因此1x =为()h x 的极小值点，即()()1e 1h x h ≥=+，故e 1m ≤+， 故实数m 的取值范围为(],e 1-∞+．22．（1）∵1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为10x y --=．∵sin tan 2a ρθθ=，∴22sin 2cos a ρθρθ=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为22y ax =． （2）∵22y ax =，∴0x ≥，设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是1t ，()2120,0t t t >>，则1PM t =，2PN t =， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =， 将1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩，代入22y ax =，得)()22420t a t a -+++=，∴)()1212242t t a t t a ⎧+=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，又∵212t t =，∴14a =．23．（1）当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-，①122213x x x <-+-≥-⎧⎪⎨⎪⎩或②1222213x x x ≤<--+≥-⎧⎪⎨⎪⎩或③22213x x x ≥--+≥-⎧⎨⎩， 解①得：142x -≤<，解②得：122x ≤<，解③得：2x =， 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤． （2）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立，即32122x a x x -≤+-=+，故2222x x a x --≤-≤+， 即322x a x --≤-≤+，232x a x ∴--≤≤+对[]1,3x ∈时成立，故[]3,5a ∈-．。

绝密★启封前江西省师大附中2019届高考押题卷试题（二）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝｛x N ∈｜0≤x ≤3｝，B ＝｛x ∈R ｜－2＜x ＜2｝则 A ∩B = A 、{0,1} B 、{1} C 、[0,1] D 、[0,2)2.设复数 z 满足(1)1i z i +=-，则 z = A 、1 B 、i C 、-1 D 、- i3.已知sin α－2cos α = 0，则 tan2α =A 、43 B 、－43 C 、45 D 、－454.函数1()||f x x x=-的大致图像为5.设α , β为两个不同平面，m , n 为两条不同的直线，给出以下命题：（ ） （1） 若 m ⊥ α, n / / α， 则 m ⊥ n ；（2） 若α / / β,m ⊂α， 则 m / /β ； （3） 若α ⊥β , m ⊂α，n ⊂β， 则 m ⊥ n ；（4） 若 m ⊥ n , m ⊥α, n / / β， 则α ⊥β； 则真命题个数为A 、1B 、2C 、3D 、46.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A、13 B 、413 C、7D 、477.将函数2()cos cos f x x x x +的图象向左平移6π个单位得到函数 g ( x ) 的图象，则函数 g ( x ) 的一个对称中心是（） A 、（4π，12） B 、（－4π，－12） C 、（12π，12） D 、（512π-，－12）8． 设向量 a ，b ，c 都是单位向量， 且2a ＝b， 则a ，b 的夹角为（） A 、6π B 、4π C 、3π D 、23π9.已知实数 x , y 满足50304x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，若不等式 ax - y > 0恒成立，则实数 a 的取值范围为A 、（－∞，23） B 、（4，＋∞） C 、（43，4） D 、（23，4） 10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A 、8B 、4C 、83 D 、16311.已知数列{ a n } 为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1， 若2()1xf x x =-， 则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝（ ） A 、- 22019B 、22020C 、-22017D 、2201812.已知定义在 R 上的可导函数 f (x ) ，对于任意实数 x 都有()()2f x f x x -=-成立，且当x ∈ (－∞,0]时，都有'()21f x x <+成立，若(2)(1)3(1)f m f m m m <-++， 则实数 m 的取值范围为（） A 、（－1，13） B 、（－1,0） C 、（－∞，－1） D 、（－13，+∞）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。

第4题江西师大附中高三数学(理)开学考试试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z ＝（ ）A ．i 2323+-B．322i - C．322+ D．322-- 2．平面α⊥平面β, α∩β＝l , 点P∈α, 点Q∈l , 那么PQ⊥l 是PQ⊥β的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5＝ ( )A ． 1:2B ． 1:3C ． 2:3D ． 3:4 4．如图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．i>10B ．i<10C ．i>D ．i<．将函数)42sin(4)(π+-=x x f 的图象向右平移ϕ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的21倍,所得图象关于直线4π=x 对称,则ϕ的最小正值为 ( )A. π81B. π83 C.π43 D. π21 6．若函数()f x 在R 上可导，且2/()2(2)f x x f x m =++()m R ∈，则 ( ) A.(0)(5)f f < B ．(0)(5)f f = C ．(0)(5)f f > D ．无法确定7．若点P 是ABC ∆的外心，且=++λ，0120=∠C ，则实数λ的值为( )A ．21 B ．21- C ．1 D ．1-8．由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为 ( )A.23 B.13 C.12 D.149．已知倾斜角α≠0的直线l 过椭圆12222=+b y a x (a >b >0)的右焦点交椭圆于A ．B 两点,P第8题为直线2=a x c上任意一点,则∠APB 为 （ ）A ．钝角B ．直角C ．锐角D ．都有可能10．已知21()23log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,实数a 、b 、c 满足 ()()()0f a f b f c <,(0<a <b <c )若实数0x 是函数y =()f x 的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是（ ） A. 0x a < B. 0x b > C. 0x c < D. 0x c >二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．设0,0,24a b a b ab >>++=，则a b +的最小值为 ． 12．已知变量,x y 满足约束条件14,22x y x y ≤+≤-≤-≤，若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点()3,1处取得最大值，则a 的取值范围是 ． 13．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．则它的体积为 ．14．对于定义在R 上的函数f (x ),有下述命题:①若f (x )为奇函数,则()1f x -的图象关于点A(1,0)对称;②若对x ∈R,有()1f x +＝()1f x -,则f (x )的图象关于直线x ＝1对称;③若函数()1f x -的图象关于直线x ＝1对称,则f (x )为偶函数;④函数()1f x +与函数()1f x -的图象关于直线x ＝1对称.其中正确命题的序号是______________. 15．（不等式选做题）若不等式|1|a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数,,x y z 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分12分）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程.正视图侧视图俯视图17.（本题满分12分）设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，若向量(1cos(),cos)2A Bm A B -=-+，5(,cos )82A B n -=且 98m n ⋅=． （Ⅰ）求tan tan A B ⋅的值； （Ⅱ）求222sin ab Ca b c +-的最大值．18．（本题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=，侧棱与底面所成角为θ，点1B 在底面上射影D 落在BC 上．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）若点D 恰为BC 中点，且11AB BC ⊥，求θ的大小； （III ）若1cos 3θ=，且当1AC BC AA a ===时，求二面角1C AB C --的大小． 19．（本题满分12分）已知平面上一定点C （4，0）和一定直线P x l ,1:=为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且（.0)2()2=-⋅+ （Ⅰ）问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与（1）中的曲线交于不同的两点A 、B ，是否存在实数k ，使 得以线段AB 为直径的圆经过点D （0，－2）？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由本题满分13分）已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈ （Ⅰ）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （III ）当∈x ],0(e 时，证明： x x x x e ln )1(2522+>-21．（本题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立．江西师大附中高三(理)数学答案.1.30一、选择题 ACDAB CDDCD二、填空题 11．8 12．(1，+∞) 13．72 14．①③ 15．(,1[13,).-∞++∞三、解答题16．（本题满分12分）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ， 即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0．①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2，所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33， 直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）． ② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0．解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．∴直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1． 17.（本题满分12分）设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，若向量 (1cos(),cos)2A Bm A B -=-+，5(,cos)82A B n -=且98m n ⋅=． （Ⅰ）求tan tan A B ⋅的值； （Ⅱ）求222sin ab Ca b c +-的最大值．解：（Ⅰ） 由98m n ⋅=，得259[1cos()cos 828A B A B --++= 即 51c o s ()9[1c o s ()828A B A B +--++= ,亦即4cos()5cos()A B A B -=+所以 1tan tan 9A B ⋅=（Ⅱ） 因222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-,而tan tan 993tan()(tan tan )1tan tan 884A B A B A B A B ++==+≥⨯=-, 所以，tan()A B +有最小值34.当1tan tan 3A B ==时，取得最小值. 又tan tan()C A B =-+，则tan C 有最大值34-.故222sin ab C a b c +-的最大值为38-. 18．（本题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=，侧棱与底面所成角为θ，点1B 在底面上射影D 落在BC 上．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）若点D 恰为BC 中点，且11AB BC ⊥，求θ的大小； （III ）若1co s 3θ=，且当1AC BC AA a ===时，求二面角1C AB C --的大小． 解：（I ）∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1B D AC ⊥又∵BC AC ⊥，1B D BC D =，∴AC ⊥平面11BB C C（II ）1111111111AB BC BC AB C AC BC BC B C B C AB C AB AC ⊥⎫⊥⎫⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎭平面平面与相交∴四边形11BB C C 为菱形， 又∵D 为BC 的中点，BD ABC ⊥平面∴1B BC ∠为侧棱和底面所成的角α，∴11cos 2B BC ∠=∴160B BC ∠=，即侧棱与底面所成角60．（III ）以C 为原点，CA 为x 轴CB 为y 轴，过C 点且垂直于平面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，则A （a ,0,0），B (0,a ,0)，1(0,,)33a C -，平面ABC 的法向量1(0,0,1)=n ，设平面ABC 1的法向量为2(,,)x y z =n ，由22100AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0403x y y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，2=n12cos ,<>=n n ，12,45<>=n n∵二面角1C AB C --大小是锐二面角， ∴二面角1C AB C --的大小是45.19．（本题满分12分）已知平面上一定点C （4，0）和一定直线P x l ,1:=为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且（.0)2()2=-⋅+ （Ⅰ）问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与（1）中的曲线交于不同的两点A 、B ，是否存在实数k ，使 得以线段AB 为直径的圆经过点D （0，－2）？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由 解：（Ⅰ）设P 的坐标为),(y x ，由 0)2()2(=-⋅+得0||4||22=-∴（,0)1(4)4222=--+-x y x 化简得.112422=-y x ∴P 点在双曲线上，其方程为.112422=-y x （Ⅱ）设A 、B 点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1124122y x kx y 得,0132)3(22=---kx x k221221313,32k x x k k x x --=-=+∴， ∵AB 与双曲线交于两点，∴△>0， 即 ,0)13)(3(4422>---k k 解得.213213<<-k∵若以AB 为直径的圆过D （0，－2），则AD ⊥BD ， ∴1-=⋅BD AD k k ，即1222211-=+⋅+x y x y ∴,0)3)(3(0)2)(2(21212121=+++⇒=+++x x kx kx x x y y ∴21212(1)3()90k x x k x x ++++=∴222132(1)()39033kk k k k+-+⋅+=--, 4k =±(22∈-即存在4k =±符合要求.本题满分13分）已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈ （Ⅰ）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （III ）当∈x ],0(e 时，证明： x x x x e ln )1(2522+>-解：（Ⅰ）01212)(2'≤-+=-+=xax x x a x x f 在[]2,1上恒成立，令 12)(2-+=ax x x h ，有⎩⎨⎧≤≤0)2(0)1(h h 得,271⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a a 得27-≤a .（Ⅱ）假设存在实数a ，使x ax x g ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，x a x g 1)('-=xax 1-=①当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去），②当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 ∴3ln 1)1()(min =+==a ag x g ，2e a =，满足条件.③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去），综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时)(x g 有最小值3. （III ）令x x e x F ln )(2-=，由（2）知，3)(min =x F .令25ln )(+=x x x ϕ，2'ln 1)(x xx -=ϕ， 当e x ≤<0时，0)('≥x ϕ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴32521251)()(max =+<+==e e x ϕϕ ,25ln ln 2+>-∴x x x x e 即x x e 2522-x x ln )1(+> 21．（本题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 解：（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+，3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．。

【关键字】数学江西师大附中2018届高三年级测试（三模）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简集合M和N,再求.详解：由题得所以.由题得所以.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些根底知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k赋值，再求.2. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些根底知识的掌握能力和运算能力. (2)复数的共轭复数3. 设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题.对于选项B, 若，则或a与相交.所以选项B是假命题.对于选项C, 若，则或与相交.所以选项C是假命题.对于选项D, 若，则,是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于根底题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些根底知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分不必要条件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项①，由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则||=1，因此||＞1不成立．反之取，=，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1“是“||＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.8. 已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立得B(1，m-1).=表示动点（x,y）和点D（-1,0）的斜率，可行域中点B和D的斜率最大，所以故选B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（）A. B.C. D. 与的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，，5=9900，=1650，n=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.12. 已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图像与直线以及轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得a值，然后求出二项式的通项，得到的展开式中含x及的项，分别与中的项相乘求得答案．详解：由题意，a=∴=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以﹣再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为（﹣1）2•23•=80．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为（﹣1）3则的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．..............................14. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_______________．【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球半径为，球心为，且球心到上底面的距离为，则球心到下底面的距离为．在如图所示的和中，由勾股定理可得及，解得．所以三棱锥的外接球的表面积为．答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．15. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则________________．【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（﹣1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得=x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用求出k的值.16. 为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C,设M(x,y)，因为，所以，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，且在△ABC内部，所以|MB|的最小值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力. (2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M的轨迹方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列的前项和为.详解：（1），，，即；当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.（2）当时，，当时，，，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.19. 如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为. （1）求证：面面；（2）求面与面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取中点，连，取中点,连，再证明面，再证明面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用向量法求得面与面所成二面角的余弦值为.详解：取中点，连，则.再取中点,连，则，易得，于是，四边形为平行四边形，得,从而，那么面，又面，故面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,,设面的法向量,由，得：，取，得，所以面的法向量.同理可得：面的法向量，则，所以面与面所成二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20. 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点．（1）若，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入得，最后计算的面积. 详解：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据得到，其二是化简.21. 已知函数.（1）若，求函数的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数的最大值.(2)先转化为在恒成立，再构造函数求，再化简=1，即得解.详解:（1）在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令令所以在单调递增，，，所以存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增..，即构造函数，易证在单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是化简.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线的普通方程，利用极坐标公式求直线的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求的值.详解：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数，其中为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是.（2）存在正实数.上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。